周测评(八) 三角函数的图象与性质-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（AX版）

·数学· 参考答案及解析 sin20+cos0 有(SE膠PMoN)mt=8, sin -cos a sin -cos 所以矩形PMON面积的最大值为8. 因为sin0cos0=- 2<0,所以0e(管，所以 (2)由(1)知，PN=OM=4cos0,ON=PM= 4sin BN=4-4sin 0,AM=4-4cos 0, sin 0-cos 0=(sin 0+cos 0)2-4sin Ocos 0= Rt△PBN和Rt△PMA的面积和 1+5 2 S=Saas+Sau=2PN·BN+号PM· 1 1 所以原式= sinf-cos01+√5 =5-1. AM=号×4os0X4-4in0)+2×4n0X 2 (4-4cos 0)=8(sin 0+cos 0)-16sin 0cos 0, 12.解：(1)连接OP,如图，令∠AOP= 令sn9叶cos0=,即t=反sn0+）,面受< o<<》: 0+<则14<E, 2sin 0cos 0=(sin 0+cos 0)2-(sin?0+cos 0)= t8-1, 则S=f(t)=8t-8(t2-1)=-8t2十8t+8= -8-》+10,显然了)在1反]上单测 递减， 因为四边形PMON为矩形，则OM=OPcos0= 4cos 0,PM=OP sin 0=4sin 0, 当1=E,即0=时，f0)m=fw2)=8厄- 于是得矩形PMON的面积S形PMoN=OM· 8,而f(1)=8,因此，82-8≤S<8, PM=4cos0·4sin9=8sin20,而0<20<x, 所以Rt△PBN和Rt△PMA的面积和的取值 则当20=分，即0=时，sin29取最大值1，即 范围是[82-8,8). 2024一2025学年度学科素养周测评（八） 数学·三角函数的图象与性质 一、选择题 1.A【解析】由已知得f(0)=f(受》，得a十2= 所以后）=4x晋+）+2-2-2， 所以B不正确； 3,解得a=1. 2.D【解析】由图象知： A+b=6 -A+6=-2解 令3x+管-k长Z解得x-暂-语4∈Z。 释公2 取友=0，则王=一 所以对称中心为 5π 将，点(0,4)的坐标代入f(x)=4sin(ax+p)+2 1 (2小，所以C不正确： 得sinp=2' 由图象可知，点(0,4)在y=f(x)的下降邮分 将南线向右平移哥个单位长度得到曲线于（红） 上，且0<9<π， 所以甲一，所以A不正痛： 4ml-》+周+2 =4c0s3x十2，所以D正确. 将点（后，-2）的坐标代入f)=4如(ar+）十3.D【解析】由fx)湘邻两条对称轴之间的距离 3x 为受得T-石-2×受，解得。=2.由f(x)≤ 即a=3,所以fx)=4sin6z+）+2, F(侣）对x∈R恒成立可得x=石为对琳轴， *17· AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 所以f(）m管+)=士1所以+p- 由正弦函数、余弦函数的图象可知在f(x) √6 sin wx和g(x)=√6 cos wx的图象的交点处 x,k∈Z,得p=吾+k,∈Z sin ar=cOs=士2， f(x)=sin(2z++k,&∈五又f(侵) 所以BD1=2X后×号 23, f(x),所以sim(++k小>sim2x+看+kx小， 所以|AC|=4,所以f(x)=√6 sin wx的最小正 k∈乙.当是为偶数时，一sin>sin管，镇式不成 月期T=4,中经-4，所以w-至 主！当为奇数时，sin管>-sin行，镇式成主，所 5.A【解析】如图，①和②面积相等，故阴影部分 的面积即为矩形ABCD的面积，可得AB=3. 以fx)=-in(2x+）: 设函数f(x)的最小正周期为T,则AD=T,由 所以r侣)nx+》- 题老得3T=6,解得T=2,放=2x,得u 4.A【解析】解法一：令f(x)=g(x),得tan ar=1, 2,即fx)=tan(分十小fx)的图象过点 所以ar=x+牙k∈刀，不坊取质=0,1,2，得 (管-小即m(合×晋+)小-m(侣+)-1 三个连续的文点依次为A(凭)，B(吧一)， 因为（←受》则臣+∈(-登）： c() 国为△ABC为正三角形，沿-元为△ABC的边 6 长肥)为△MBC的病 由正弦函数、余弦函数的图象可知在∫(x)= √6sinx和g(x)=√6 coS wx的图象的交点处 sinz=cos wx=士 2 ,所以△ABC的高为2× 所以+g= ，解得甲=一 后×号-25，将晤-25 所以ra)=m合-》： 解得仙一受 所以g）=m2gr=2 6 tan 0=0. 解法二：如图，在同一平面直角坐标系中，作出函 数f(x)=√6 sin wx和g(x)=√6 cos wr的 图象， 设两图象的三个连续交点分别为A,B,C,连接 子引，国为此时f)的最小位为-<0， AB,AC,BC, 则△ABC为正三角形，过，点B作BD⊥AC,垂足 为D, 营如一音>此时f化)能取到最小维一，中 w=-4→w=4, 代入可得×4一2>不，满足要求： 若了)取不到装小值-：则客满足营如一意< AX *18* ·数学· 参考答案及解析 哪<号 三、填空题 2π po)=4os原。一)在we(?,》上单调递 9.4.5【解析】由题意得T-6,又0>0，故m 减，所以存在唯一山符合题意； 3,且A+6=4.5,-A+6=-1.5,解得A 所以。=4或者。∈（仔》，所以所有满足条件 3,6=1.5,故H=f0)=3sim(行+9）+1.5当 的w的积属于区间(7,13). t=0时，H=0,即3sinp十1.5=0，sin9=-2,又 二、选择题 7,ACD【解析】对A,因为f(一2-x)=1+ 19<2,解得p=一若，故H=f)= n《-名-1-in2a延-1+sn受- 2 2 3sim(g-8）+1.5, f(x),所以f(x)的图象关于直线x=一1轴对 称A正病：对B易得直如受=-1时，f) 所以f(2024)=3sin 2024“-）+1.5 3 1一s血受有最大值，此时受=2张x-2∈刀。 3sin(674x+2）+1.5=3sim7+1.5=45. 即x=4地-1(k∈Z),故在(-2,4)上有x=-1, [s 10. 【解析】f'(x)=cosx-asin x, 3共2个最低点，B错误：对C,因为f(一x)十 fx)=1+m+1+m受=2，所以 因为r)-s血x十a6osx在货得）上是产 格单调函数， f(x)的图象关于点(0,1)中心对称，C正确：对 所以fx)≥0或f(x)0在x(,）上 D,曲线y=1-c0s受向左平移1个单位长度可 恒成立， 得y=1-生-1-m受+）-1+ 当x=元时，f'(π)=一1，(x)≥0不符合 2 题意； n受=f红)的图象D正确 当f'(x)≤0时，asin x≥cosx, 8.BC【解析】y=f(x)十f'(x)=sin(ax十p)十 当x层小时，n>0,所以a≥品在 mcos(wz十p)=√1+wsin(wz十p十u),其中 x(上板成立， tanμ=w.依题意可知√+仙=√5，u2=4, 而w>0,所以w=2,所以f(x)=sin(2x+ a≥(al）国为x(停小所以 p,f'x)=2cos(2x+p,由fo)·f'0)- 得如g2oms9=血2g=,由于2p∈0，》 所以a≥-号 5 所以29=音g=吾，fe)=sin2x+） 当xe(,）时，m<0,所以a≤a 若xe[0,m],则2z+君∈[后2m+m> 在x∈(x,）上恒成立， 0),要使函数f(x)在区间[0，m]上的值城 「1， 卑来a≤（品）因为x∈君》所以 为2 meo}deg,+o 则需经<2m十百<否，解得管<m≤行，所以结 即a≤5； 合老项知m的取值可以是号名 综上所速，3≤a<3 ·19 AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 四、解答题 4 L架.0依器意可知，子-受普-受脚T-2红 sin=f(), 二所以a=L f(任+)=m号（任+）=sim(管+等 (任-=m任-小=信-音 又过点B(任，2小，所以1×誓十甲-营+2， 则f(任+)≠f(任-小 k∈Z,即g=+2kx,k∈Z. 又p≤受所以g=云即fx)=2ne+）: 故y=sin子x不是M函数”. (2)函数f(x)满足f(x)=f女+3），放fx) (2②)因为f0)=2in9=-1,且1g≤2，所 以p=-否，即fx)=2sin(ar-若）o>0）. 的周期为T一经， 因为f(任+)=f(任-小，所以f(x)= 又当xo,到）时f)恰有两个零点则一百 (受-) 当x侵kx+子2x+时，(x) 依题意，x<。一<2，即< f(r-ztx)-sin(-k)kEz. 又f在（上单，所以。<ar 当x∈[昌受2x+）时，fx)- <w- f[度-(-刘小-m--j 5π 61 2， w>0, 依题意，得 即 2所以 co(-2小kez -6≤2 w会3 综上：f(x)= 1426 0如≤2，因为。<仙≤，故不合题意 5元元、x .6 9w一62’ 6 5 或 即 所以 元3π .5 ≤w≤ rw一6≤2' 3 -5 x,k∈Z中， 5ππ、3元 ga- 62’ m≥3， 当=0时，x∈[匠，小，)=n,此时华 若 即 8显然不等式组无 w-<受 调递增区间为[匠引 解签上心的取值范围为侣引 )-on()e 12.解：1)y=sin3x不是“M函数”，理由如下： )∈z中， f(+）=m号+）=im(停+2 当k=1时e[,）)=o(e-小， AX ·20· ·数学· 参考答案及解析 「1x 厂2x,4力 5一3元 其和为一受十十 当-∈[2，o小即xe,)时，函 3 1 当0C<号或a=1时，/e)=a有4个解，由 数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 对称性可知：其和为子×2+×2=4 所以在0， 上的单调递增区间为 42 当a-号时，)=6有6个解，由对称性可 知：其和为×2+×2++-6 (3)由(2)知：函数∫(x)在 -2 T5 上图象为： 当号 a<1时，f(x)=a有8个解，其和为 02+×2+ 3元 ×2十2π×2=8m, 3π，a=0, V2 2 4π，a∈ y=a ,u. 所以S= √2 6x,a= 2 4 当a=0时，f(x)=a有3个解，由对称性可知： 2024一2025学年度学科素养周测评（九） 数学·三角恒等变换 一、选择题 4.D【解析】因为sin(2a十B)=sin[a十(a十B)]= 1.B【解析】由cosa(1+√3tan10°)=1可得 sin acos(a十β)+cos asin(a+B), cossin 10+cos10 所以ino(a+B)+(a+B)-2号 cos10° =1, 2sin40° 两边除以cos acos(a十)，得tana十tan(a十3)= 即cos cos10°=1， 所以6sa-n0一2n行 cos10°sin80°2sin40°cos40 + 2sin40 cos40°， 5.B【解折】国为cos(行-a)=n(经-+a)= 又a为锐角，故a=40° sim(ta小 2.D【解折】由题意得co(a十）=一言，sin(a十 所以tan o(a+牙)=3-22)sin(年+a), ）-号，所以s(+2a)=os(胥+2a+） 故ana=(3-22)tan(0+） -如(a+）=-2a(+若）n(a+)-器 3.B【解析】由题意得，2 sin acos a(1+sinB)+ ana十an4_ana十l,所 2sin2 acos B=0, 1-tan atan4 1-tan a 因为x<a<3,所以sina≠0，所以cosa(1+ sin B)+sin acos B=0, 以ma=6-2曾故ma-20g- 即cosa十sin(a十B)=0,所以sin(a十)=-cosa, a十(3-22)=0，解得tana=√2-1， 所以ina+》=-1. 所以cos2a= cos'a-sin'a 1-tan'a cos a os2a十sin2&1十tan2a ·21· AX2024一2025学年度学科素养周测评（八） 数学·三角函数的图象与性质 (考拔时同40分钟，总分100分》 一、选择题（本题共6小“，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个进项中，只有一项是 符合题日要求的) 题号 1 答案 1.若雨数了化)一十如十2关于不-受对称，则实数a- A1 且0 c-1 D.2 么已知函数f(r》-An(wr十罗》十6(w>0,A>0,0<g<Tb∈R》的部分图象如图，则 ( Ag=君 信}-2 C点(-源o为南线y一fu)的一个划称中心 D将由线y-f)向右平移。个单位长度得到庙线y一4s3十2 3.已知南数x)一n(au十)，其中w>0,中为实数，若f(x)相邻两条对称轴之何的 离为，且f运信)对xR成立，且f》>f,用倍的值为(） A号 B号 c n-9 学科素养周测浮[八】数学第1页共4页)】 衡水真 4.若函数f(x)=5对n如r(>0)的图象与函登x(x)=后c0sx的图象的任章三个连 续交点都是一个正三角形的三个题点，则w一 爱 Ri c骨 DE 五已知函散心)=mor十po>0,p<受)的图象如图所术，图中阴影每分的面积为 6则g A.0 B-3 c 0月 已知函数f)一4o@sorm>0,fz)在区何[o上的最小值恰为一则新 有清足条件的▣的积属于区闻 《》 A.1,4] 且[4,7 C(7,13) D[13.+oo) 二，选择罐（本紫共2小题，每小题6分，共12分.在每小精始出的选项中，有多项符合题目 要求全部燃对的得6分，部分透对的得阳分分，有迹错的得0分] 题号 8 答类 名已知函数八a)=1+m受，则x)的图象 A.关于直线x=一1轴对称 且在（一2,4）上有3个最低 C关于点(0,1D中心对称 卫可由曲线y一1一c受句左半移1个单位长皮得到 成已知函数e)=a(ar十p),其中am>0,p∈0，》/(x)是r)的导雨数，若y= f+红的最大摧为后，月了0)·了O)-店，则使r在区0，m]上的值装 为经别的的家直可以为 《》 B号 c 密卷 学科素养周衡评八)数学第2页（共4页} AX 三，填空题|本题共2小题，每小题6分，共12分】 9,简车亦称为“水转简车”，一种以流水为动力，取水灌田的工其，简军发明于隋而盛于唐， 型今已有1000多年的历史如图，段设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的简车 按逆时针方向数每6分钟转一圆的匀速图圆运动，简车的物心OE离水面C的高度 为1.5米，设筑车上的某个盛水筒P的初始位置为点D(水面与篱车右侧的交点)，从此 处开始计时，：分钟时，孩盛水简与水面距离为H=f()=Am(十p)十 b(A>0.w>0.p1<受0，则f202)- 10.若雨数x)=m子十60于在（停，）上是严格单调雨数，则实数a的取值整围 为 四，解答题本题共2小题，共0分.解答应写出文字说明，证明过程演算步骤) h,2如分已知函数fx)=2n(r+p)om>0,lg≤引 诺)的图象经过点Ao小行，2且点B恰好是：)的图象中距离点A 最近的最高点，试球f红)的解析式： 2考了0)-1，且f)在管止单调，在o,上恰有网个零点，求。的取值 枚围 AX 学科素养周测浮八)数学第3页{共4页) 衡水真题密卷 名(20分诺函敬y-)湾是儿x)-f+且f停+-f得-x∈风.期斧 函数y=f(x)为M函数” (1)试判晰y=如工是香为“M函数”，并说明理由， ②函数f为M两数，且当x∈[匠]y一血，求y一的都折式，并写 出在0, ,3江上的单调通增区列： @在②条作下，当：[受时，关于工的方型faa为拿数有银，记 方程所有解的和为S,求5. 学科素养周衡评八)数学第4页（共页}