第一章《特殊的平行四边形》复习与小结（1）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊的平行四边形 复习与小结（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若AB＝20，则CD＝（　　） A．10 B．6 C．8 D．5 3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，已知AE＝3，CF＝2，△BEF的面积为11，则正方形ABCD的面积为（　　） A．25 B．28 C．33 D．36 4．如图，在直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴负半轴上，O为坐标原点，点A，B都在第二象限内，点A的坐标为（﹣3，4），则点B的坐标为（　　） A．（﹣5，4） B．（﹣6，3） C．（﹣8，4） D．（2，4） 5．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB∥CD．添加下列选项中的条件，仍不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AD＝BC且AC⊥BD B．AB＝CD且AB＝AD C．AD∥BC且OA2+OB2＝AB2 D．AB＝CD且AC⊥BD 6．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20cm，则△BCE的周长是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．40cm 7．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D．无法确定 8．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接OC．下列关于结论①、②的判断正确的是（　　） ①∠BAD的度数为100°；②线段OC长度的最大值为． A．①、②都对 B．①错②对 C．①对②错 D．①、②都错 9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝3，S菱形ABCD＝24，则OM的长为（　　） A．3 B．3.5 C．2 D．2.5 10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论；①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①②④ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝8，则菱形ABCD的面积为 　 　 ． 12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，∠AOB＝60°，则BD的长为　 　 ． 13．如图，菱形ABCD的边长AB＝3cm，则菱形的周长为　 　 cm． 14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE．若E恰为BC的中点，且OE＝3，则AC的长为　 　 ． 15．如图，以边长为2的正方形CDEF的对角线交点O为端点引两条互相垂直的射线，分别与正方形CDEF的边交于A、B两点，则线段AB，的最小值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为2，求另一条对角线的长． 17．如图，在长方形ABCD中，EFGH是正方形，已知AE＝10cm，GC＝7cm，则长方形的周长是多少厘米？ 18．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交边BC于点E．过点E作EF∥DC交边AD于点F．求证：四边形EFDC是正方形． 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点．过点C作CE∥BD，过点D作DE∥BC，且DE，CE交于点E，连接AE，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论． 20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高，EF⊥AD，垂足为F，且AF＝DF． （1）求证：AE＝CD； （2）若AE＝5，CE＝6，求△ABC的面积． 21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F． （1）求证：OE＝BC； （2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积． 22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AC＝6，∠ABC＝60°，求矩形AEFD的面积． 23．如图，在▱ABCD中，线段BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF． （1）证明：四边形BECF为菱形； （2）若AD＝12，CE＝10，求四边形BFCE的面积． 24．如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B．嘉淇在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2． （1）直接写出AB与BC的数量关系，∠ABD与∠CBD的数量关系； （2）猜想四边形ABCD的形状，并证明自己的猜想； （3）若AB＝6，∠ABC＝60°，直接写出四边形ABCD的面积． 25．【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：　 　 ； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形ABCDE中，AC⊥BD，垂足为N，AC＝BD＝2，CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2，四边形AEDN为长方形，求四边形AEDN的面积． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40.0分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C A A A B D B 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．16． 12．8． 13．12． 14．． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90.分） 16．解：①当较长对角线长为2时，则另一对角线长为：22＝2； ②当较短对角线长为2时，则另一对角线长为2tan60°2＝6； 故另一条对角线的长为2或6． 17．解：设正方形EFGH的边长为x cm， 由题知，AD＝EF＝x cm，AF＝AE﹣EF＝（10﹣x）cm， DC＝DG+GC＝AF+GC＝（17﹣x）cm， 长方形ABCD的周长等于2×（DC+AD）＝2×（17﹣x+x）＝34（cm）． 答：长方形ABCD的周长等于34cm． 18．证明：∵在矩形ABCD中，∠C＝90°，AD∥BC， 又∵EF∥CD， ∴四边形EFDC是矩形． ∵AD∥BC， ∴∠CED＝∠ADE， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠CED＝∠CDE， ∴CD＝CE， ∴矩形EFDC是正方形． 19．解：四边形ADCE是菱形， 证明：∵CE∥BD，DE∥BC， ∴四边形BDEC是平行四边形， ∴BD＝CE， 在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝AD＝BCAB， ∴AD＝CE， ∵AD∥CE， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AD＝CD， ∴四边形ADCE是菱形． 20．（1）证明：如图，连接DE， ∵BE是AC边上的高， ∴BE⊥AC， 在△ABC中，AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴DEBC＝CD， ∵EF⊥AD，AF＝DF， ∴EF垂直平分AD， ∴AE＝DE， ∴AE＝CD； （2）解：∵AE＝CD＝5，BC＝2CD， ∴BC＝10， ∵BE⊥AC，CE＝6， ∴BE8， ∵AC＝AE+CE＝5+6＝11， ∴△ABC的面积AC•BE11×8＝44． 21．（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AEBO是平行四边形， 又∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴AC⊥BD， 即∠AOB＝90°， ∴四边形AEBO是矩形， ∴OE＝AB， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∴OE＝BC； （2）解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴，BD＝2OB， ∵四边形AEBO是矩形， ∴∠OAE＝90°，AE＝OB， 在Rt△AOE中，OE＝10，OA＝8， ∴， ∴OB＝6， 故BD＝2OB＝12， ∴菱形ABCD的面积为． 22．（1）证明：在菱形ABCD中，CF＝BE， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴BE+CE＝CF+CE， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， 又∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC＝6， ∴AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴EF＝BC＝AC＝6， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴， ∴． 23．（1）证明：∵EF垂直平分BC， ∴BO＝CO，∠BEO＝∠COF＝90°， ∵CF∥BE， ∴∠EBO＝∠FCO， ∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴BE＝CF， 四边形BECF是平行四边形， ∵EF垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∴四边形BECF为菱形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝12， ∴OC， ∴OE8， ∴四边形BFCE的面积16×12＝96． 24．解：（1）根据作图可知，AB＝BC，BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD； （2）四边形ABCD是菱形，证明如下： ∵l1∥l2， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AD＝AB， ∵AB＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （3）过点A作AH⊥BC，如图所示： ∵AB＝6，∠ABC＝60°， 在Rt△ABH中，∠BAH＝90°﹣60°＝30°， 由勾股定理可知，， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝6， ∴S菱形ABCD． 25．解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）发现：a2+b2＝c2， 理由：∵图2中图形的面积＝2abc2（a+b）（a+b）， ∴abc2（a+b）2， ∴2ab+c2＝（a+b）2， ∴a2+b2＝c2； （3）∵CN＝a，BN＝b，△BCN周长为2， ∴BC＝2﹣CN﹣BN＝2﹣a﹣b， ∵在Rt△BNC 中，BC2＝CN2+BN2， ∴（2﹣a﹣b）2＝a2+b2， ∴4+a2+b2+2ab﹣4a﹣4b＝a2+b2， ∴4+2ab﹣4a﹣4b＝0， ∴ab﹣2（a+b）＝﹣2， ∵AC＝BD＝2，CN＝a，BN＝b， ∴AN＝AC﹣CN＝2﹣a，DN＝BD﹣BN＝2﹣b， ∴长方形AEDN的面积为：AN•DN＝（2﹣a）（2﹣b）＝4+ab﹣2（a+b）＝4﹣2＝2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$