15.4 第2课时 等腰三角形的判定-【优化设计】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步测控全优设计(沪科版2024)

15.4等腰三角形0数学 第2课时 等腰三角形的判定 知识点三等边三角形的判定 凰|练基础 千里之行始于足下 4.(河北邯郸一模)如图，这是一个三角形裁剪后 知识点一等腰三角形的判定 剩余的部分图形，则原三角形不可能为( ) A.直角三角形 1.(浙江杭州二模)已知△ABC中，AH为边 B.钝角三角形 BC上的高，在添加下列条件中的一个后，仍 140 C.等腰三角形 不能判断△ABC是等腰三角形的是() D.等边三角形 A.BH-HC 5.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形： B.∠BAH=∠CAH ②有一个角等于60的等腰三角形；③一腰上 C.∠B=∠HAC 的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其 D.SAABH=S△AHC 中能判定是等边三角形的个数是() 2.如图，AD=BC,AB=AC=BD,∠D= A.3 B.2 C.1 D.0 ∠DEA=∠C,则图中一共有( )个等腰 6.(广东惠州一模)如图，已知D为BC的中点， 三角形. DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F为垂足，且BE= CF,∠BDE=30°，求证：△ABC是等边三 角形. A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分 别在AB,BC,AC边上，且BE=CF,BD= CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形； (2)当∠A=50时，求∠DEF的度数. 89 数学/第15章轴对称图形与等腰三角形 知识点三含30°角的直角三角形的性质 ②练提能百尺竿头更进一步 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°， ∠DBC=60°，BC=2,则AD的长为( 10.(安徽马鞍山模拟)如图，△ABC中，AB 8,AC=6,∠ABC和∠ACB的平分线交于 点P,过点P作DE∥BC分别交AB,AC于 A D 点D,E,则△ADE的周长为() A.3 B.4 C.5 D.6 8.(安徽宣城模拟)如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，∠B=15°，DE垂直平分AB,交BC于点 E,AE=6cm,则AC=( ) A.不能确定 B.10 B C.12 D.14 11.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A A.6 cm B.5 cm 30°，CD⊥AB,垂足为D,则AD与BD之比 C.4 cm D.3 cm 为() 9.(浙江金华中考)如图，在△ABC中，∠ACB= A.2:1B.3:1 C.4:1 D.5:1 90°，AB的垂直平分线交AB于点D,交BC 于点E,连接AE (1)求证：∠AEC=2∠B. (2)若∠BAC=60°，EC=3,求BE的长. +一N (第11题图) (第12题图) 12.如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm,现 有两点M,N分别从点A,B同时出发，沿三 角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s, 点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达 A点时，M,N同时停止运动.点M,N运动 几秒后，可得到等边三角形AMN?() A.1 B.0.5 C.4 D.2 13.如图，M,N是∠AOB的边OA上的两个点 (OM<ON),∠AOB=30°，OM=a, MN=4.若边OB上有且只有1个点P,满 足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围 是 90 15.4等腰三角形0数学 14.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于 三引练素养 探究创新发展素养 点E,AC=9,则AE= B 17.如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOC 100°，∠AOB=a.以OB为边作等边三角形 BOD,连接CD. E (1)求证：△ABO≌△CBD; 15.(黑龙江哈尔滨模拟)已知：AC⊥BC,AD⊥ (2)当a=150°时，试判断△C0D的形状，并 BD,AC=BD. 说明理由； (1)如图1，求证：AD=BC; (3)探究：当α为多少度时，△COD是等腰 (2)如图2，AC交BD于点E,连接CD,若 三角形？（直接写出结论） ∠DEC=135°，在不添加任何辅助线的 情况下，请直接写出图中所有的等腰三 角形 100 D B 图1 图2 16.(山东淄博一模)如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB 和AC于点D,E. (1)求证：AE=2CE; (2)连接CD,请判断△BCD的形状，并说明 理由 917.相1》如周周市 (活RMG 明：：∠ACD=∠A,∠BDC=2∠A 由I泽∠BDC=2∠CDE ∴∠CDE=∠CD. ÷DE0A 1解如周斯本： (2h∠CB+∠AB=IB 38旺明图.作DE⊥AC于点E,DF⊥C文CB竹 是卡汽于点F, :AD在AB的★克平分气上： DA-DB. CD平分∠AB.DE⊥CA,DF⊥ ÷DE-D求 表△DLB为R1△DBF◆， [DA-DB. DE-DF, AR:△DA公R△DBF(HI), ∠ADE=∠HDF ∠EDF+∠CF1B0, ∠AC-∠AE+∠BDC+∠DF+∠EP I0',即∠ADB+∠ACn-1 15,4等楼三角形 第1课时等腰三角形的性质 体参地 1,H2C385 4证，B-GE ÷∠B=∠8C 配平分∠HD ∠DEC=∠BBC,H∠DEC=∠& 在△DCE和AACB◆， DE-AB. ∠DEC-∠B: CE-CB. △DCEO△CB(SAS, 解得a-36,六∠A=38 ∠D=∠L ∠4C的度教为防 5.A.B (3)证明：B是A8时中A,A0=AD 7.证期T△LC是事域三角形， 品F是AB的命重平命自： MB=BC,∠ABD=∠CE=60 AFBF 又BDCE, ,∠BA=∠FA8=7, △MBD△BCE(SASI ∠AFB=∠FAMC=36°， ACA-CF. 米C象」 AB-ACmCF. 10E销在△AP和△ACP中， AF-BF-BC+CF-AB+BC AB-AC. 第2课时等程三角形的判定 PB-PC. AP-AP. 练基础 △ABP2△ACP(55 1C2.C ∠AP-∠CAP, 表1)楚用：A=AC, 中AP是等舞三角彩ABC顶角∠BAC的平分线，单 ∠B-∠ 格等睡S用形的“三我金一“，得AP⊥C 修提整 在△BDE和△CEF中，∠B=∠C, 11D生D13.401435 BE-CF. 1反速期1)：△ABC为等腰天角那，A8为焦隐， ,.△8Da△CEF(sAs)- AC-BC. DE-EF, ,∠CAB=ACBA ,△DEF是等暴三扇形： 又：CH为风地上的高 (2)解Y△BDB☑△CEF, CH是是边的中底：即CH干分我B ∠BDR-∠CEF. PA=PB,÷∠PAB-∠HA ∠ED+∠CgF=∠HED+∠uDE H∠CAE-∠CAB-∠PAB, '∠B+∠贴D+∠DE-1r, ∠CBF-∠M-∠PBA, ∠DEF+∠BED+∠CEF=IB', ∠CAE-∠CBF ∠B-∠DEF ∠ACE■∠CF, (2)&△AEC和△BFC◆.AC=C. ∠A=4,AB=AC ∠CAE=∠CBF “∠8-支×(10-0)-5， AAECAABFCTASA ,∠DEF=65 AE-BF, 4D5.A 革素养 6延明D是C的中A 6(1)解镜∠AHD=,:D平会∠ABC 5.80-CD. DE⊥AB.DPLAC AB-AC. ∠C-∠AmC- ”,△ED和△CFD标是意角三用琴 义BD=AD, 在R4△.BED和R△CFD中 “∠A= BD-CD. 克Y∠BDC=∠A+∠ABD.年∠BDC=x'+. BE-CF. ∠8DC-∠C-2r 8D-C. ∠B-∠C, 在AA中，∠A+∠AC+∠C=18 A因mC ∠BDE-a,DE⊥AB ∠B=时， :△AC是华域周 7.B &D 象(1)正两DE泰直平分AB, AAE-BE. ∠EAB-∠B. ∠AC-∠EAB+∠B-2∠B (2)解∠ACB-0,∠BAC-0, ∠B-18-(∠ACB+∠8AC0-0”, 六∠AC=1∠H=4g ∠CA-30. ÷AE-2CE- :DE毒直李身AB, BE-A5-5. 练镯能 10.D1LB12.C 13.g■4成>814,6 15ID证用AC⊥C.AD⊥D, :∠ADB=∠BCA=0 在Rt△ADB和L△BCA中， AB-BA, 8D-AC. R△ADB☑RL△CAIHL, .AD-BC 2)解△A5,△/XK,△成，△宝是等腰之意题 16,1)证划如图，是基川张 :DE是A8的◆直平令我， 5AE-BE. ,∠ABE=∠A=80, ∠ABC-60 ∠CHEe∠AC-∠ABE', BEWCE, AEICE. 2)据△D具平罐≤角和 厘齿中下： 在△BDE和△BCE中. ∠DHE-∠CBE, ∠BDE-∠BCE BE-BE. :△HB2△CfAA, 580-C 片CAC=0 △CD是等边角形 华素养 .A=C,O=D,∠AC=∠OD=阳"， ∠AC-∠0BC-∠OD-∠0C 年∠ABO=∠CBD 在AAO和△CD中. BA-BC. ∠ABO-∠CBD. BO-BD, ,AAa△CBDCSAS). (3)解△00光直角工角形，理由如下： △AA△CBD, ∠BDC=∠M0B=150. 又F∠ODB=∠D-0, .∠C0=150=0m°-m“, △0灵直角三秀题， (3)解D◆使CDCD,需∠CD-∠CD0 ,209e-60 a-130 ②要棱OC-0,毫∠OCD-∠CB0 2a-4m185-2002- a=10 ①表使0)-CD,套∠0CD-∠CD. 2200--1--6 4m160 故备，为109发130减160时，△D是等里≤角形 常专题五侧腰三角形问题中的分类讨论思想 1.A.D 玉20线27.5或35 4,朝①声段小用冷风扇时，授较小：角为： 时x十士十4=1800， 解荐x-30,对=12矿， 故三角制工个内角的度教令形为D.初'，四， ②海根大角为最角时，或整小角为✉ 时x十女十r=180', 故之角工个内角的建教会弱为2扣，0，和 除上眸域：三周移三十内角的度数分解秀30,0.12世 五20,40.80 5.B系.23减157.2列 解△AC为平是三角形，周条为1 分两种情况， AB=∠A=40' 少查一4为层时，表线1一4一4=8 ∠C=∠A=4, 4十4=8， ∴∠AC-19°==0=100 二不重阳成5扇彩.放a=4为楼美会去 兰AH的◆直平分线MN交姓AC专点G ②套￥一4为我边时， .DB-DA. 品∠DHA=∠A=40 2 i∠DHC=∠ABC-∠DBA=100°-=0 ?4为点连表，5勇壁餐井合三角利的三线是原， 12.解国，在△ABC中，AB=C,D是C边上的 中线， 失.D 0.解自雪等5角形寿三角和时， 廿等我三角形一腰上的离与器一维所在直线的酸小 失角为3， ”北又角形的壤周一0+15=125， 天角形的=(1一15》÷1一.5 t ADCD■r.ABACm2x, “等腰元角刚的泰角的度款为1,7,5,37.5 AB++CD-BC+. 西当等腰三角形为权角天角形时 荟AB+AD-15,NC+CD=1,可得-1， :等腰及角刚一腰上的高后芳一腰典在夏线的酸中 ÷腰素A8=D,盒陵BC=16 类角为3， 若AB+A0=1.时C十CD-15,可得-7： “此三角形的暖角一间”一好一码， 楼来AB-14,或进BC= 此三角附的成角=(1可一5门中艺=法“： 品该三角形的韩长和成越岭录分利为10，l6友，5 13.C 11解当∠A是明角时，如图1， 14.45设0 15.83线11时 16.(I①证到：AB-AC ∠B-∠C :∠ADE-∠ACB, ∠ADE+∠CDE=∠ADC=∠B+∠AD= AB=AC,∠A=40', ∠ACB+∠BAD, ·∠Ax-∠0-1rg-0 ∠CDE=∠BAD. 在△AID和△DCE中 AH的命直◆分MNAC十AD ∠AD-∠CDE 5D8-04. AB-DC. ∠DAA-∠A-40. ∠B=∠C .∠DC-∠ABC-∠DHA-r-4m=r △ABDM△DCE(ASA. 自∠A是真角时，如面2， ②解ABAC=4.AE=3,CD=AB, CE AC-AE4-11CDAR4. :△ABDX☑ADCE, ÷D=E-1, ÷BC=十C0=1+4=5 进碳C的长为 [2公解(1)中①的格论勿感或是. 证明：？AB-AC, ÷∠AHe=∠ACN: 二1m-∠AC-1阿-∠ACB, 即∠ABD-∠DCE Y∠ADE=∠ACB ∠ADE=∠ABC, ÷∠ADB+∠BAD=∠AC=∠ADE=∠ADB+ ∠CDB, ∠BAD-∠CDR 旅△AD和△DCE中 ∠BLD=∠CDE. AB-DC, ∠A8D=∠DCE, △AHH△CE(A8A (解①参D-EA时，如周 AB-AC,∠BC=40,∠AIDE=∠ACB, ÷∠ABC-∠AB-1-∠KC)-× ∠ADE=∠ABC=U FED■EA ,∠EAD=∠ADE=T0, .∠ADC=1r-∠EAD-∠ACD-1-T” 70-48”. ∠CDE=∠ADR-∠AID-E-4r-1D DA-DE时.中， AB=AC,∠BC=4,∠ADE-∠ACB, ÷∠ABC-∠ACBn吉1-∠BC=× ∠ADE=∠ACB=m DA-DE.