第2章 实数 章末复习-【优化设计】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步测控全优设计(北师大版2024)

数学/第二章实数 章末复习 昼引知识梳理 无理数：无限不循环小数 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x=a,那么这个正数x就叫a的算 算术平方根 术平方根，记作a,读作“根号a”,特别地，0的算术平方根是0，即瓜=0 性质：a30:a≥0 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2-a那么这个数x就叫做 a的平方根（他叫做二次方根），记作±a,读作“正、负根号a” 平方根 个正数有两个平方根，它们互为相反数：0只有一个平方根，它是0本身；负数设有平方根 性质 or-ae≥:a-8 开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数 定义：一般地，如果一个数的立方等于a,即x=4,那么这个数r就叫 做a的立方根（也叫做三次方根），记作匠，读作“三次根号a” 立方根 性质 正数的立方根是正数：0的立方根是0：负数的立方根是负数 (wa)3=u:@=d 实 开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，a叫做被开方数 估算与用计算器开方 定义：有理数和无理数统称为实数 按定义分：有理数有限小数或循环小数、无理数无限不循环小数 分类 实数 按正负分：正实数、0、负实数 实数与数轴上的点是一一对应的 性质 在实数范固内，相反数、倒数、绝对值的意义和它们在有理数范围内的意义完全一样 实数的运算与大小比较：有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用 定义：一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数 性质 =u≥0，b≥0：层a≥0，b>0 最简二次根式：一般地，被开方数不含分母也不含能开得尽方的 二次根式 因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式 乘除法 后50≥0，b2≥0：得8a≥0，b>0 运算 加减法：先化简为最简二次根式。再合并菽开方数相同的二次根式 混合运算：实数的运算法则与运算顺序，运算律仍然适用于二次根式的混合运算 B.两个无理数的和一定是无理数 昼引易错专练 C.负实数可以进行开立方运算 D.一个有理数与一个无理数的乘积一定是无理数 (易错点①对无理数的概念理解不准确 (易错点2算术平方根、平方根、立方根的概念模糊 例1有下列说法：①无限小数都是无理数：②无理数包括 正无理数，零和负无理数；③无理数是用根号形式表示 不清 的数：④带根号的数是无理数：⑤无理数是开方开不尽 例2有下列说法：(1)任何数都有平方根；(2)一个数的 的数，⑤数轴上的点不能表示无理数，⑦号是分数，©无 算术平方根一定是正数：(3)a2的算术平方根是a: (4)一个数的算术平方根不可能是负数：(5)负数没 理数是无限不循环小数.其中正确的说法是 有立方根，其中不正确的说法有() 拓展训练 A.1个 B.2个 1.下列说法正确的是() C.3个 D.4个 A.无理数无法求绝对值与相反数 32 章末复习。数学 拓展训练 易错点6忽视二次根式与绝对值综合考查时的大小 2.下列说法错误的是() A.5是25的算术平方根 关系 B.1是1的一个平方根 例6如果一个三角形的三边长分别为1，，4.则化简| C.√4的平方根是士2 2k-5|一√k2一12k+36的结果是( A.3k-11 B.k+1 C.1 D.11-3k D.对于任意实数a,总有一a=一a 拓展训练 易错点3对二次根式与最简二次根式的概念理解 6.(上海中考)化简：+2（侵）+3-51. 有误 5+2 例3下面说法正确的是( ) A.形如va的式子是二次根式 B.②与√20是同类二次根式.可以合并 C.√14是最简二次根式 D.若√a=a,则a>0 拓展训练 易错点⑦二次根式计算错误 3.下列各根式中，最简二次根式是() 例7下列选项中，计算正确的是( A.V8a B. 6 A.3+2√2=5√2 B.√12-√3=3 C.va+ C.2X3=√6 D.W8÷√2=4 2 D.√2a'b 拓展训练 易错点4)考虑不周，忽视问题的多解 7.下列各式计算正确的是( 例4已知la=5,w=7,且|a十b1=a+b,则a-b的 A.√2+3=5 值为() B.4√3-3√3=1 A.2或12 B.2或-12 C.2√3×33=6√3 C.-2或12 D.-2或-12 拓展训练 4.解方程：(x一1)一9=0. 且|高频考点提升练 1.(湖南怀化中考)下列数中，是无理数的是( A.-3 B.0 c D.7 2.(湖北荆门中考)一√2的倒数的平方是() A.2 B号 易错点5估算错误 C.-2 D. 例5下列选项中的整数，与√17最接近的是( 3.(广东中考)若式子√2x一4在实数范围内有意义，则 A.3 B.4 C.5 D.6 x的取值范围是() 拓展训练 A.x≠2 B.x≥2 5.V23-1的整数部分是 ,小数部分是 C.x≤2 D.x≠-2 33 数学/第二章实数 4下列二次根式+√停P压。 (1)在图1中画格点线段EF,GH各一条，使点E, F,G,H分别落在边AB,BC,CD,DA上，且EF= √26，其中是最简二次根式的有() GH,EF不平行GH. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (2)在图2中画格点线段MN,PQ各一条，使点M, 5.下列叙述正确的是( N,P,Q分别落在边AB,BC,CD,DA上，且PQ- A.√(-2)=-2 √/5MN. B12的算术平方根是号 C.√/16=±4 D.一64的平方根是士2 6.(内蒙古呼伦贝尔中考)已知实数a在数轴上的对应 图1 图2 点位置如图所示，则化简|a一1|一√(a-2)的结果 16.计算：(5-√2)(W5+√2)+(w-1). 是( a 2 A.3-2a B.-1 C.1 D.2a-3 7.(湖北宜昌中考)对于无理数3，添加关联的数或者 运算符号组成新的式子，其运算结果能成为有理数 的是() A.2√3-3√2 B.√3+③ 17.阅读并仿照例题化去分母中的根号. C.(W3)3 D.0×5 例： 1 3-√2 =3-√2， 8.(湖南常德中考)下列运算正确的是( 3+√2(3+√2)(W3-√2) A.3+√4=√7 B.√12=3√2 1)试求：①1的值：② √7+√6 32-V1元的值， C.√(-2)7=-2 D.4-2 √6 3 (2)利用解答(1)的经验，比较7-√6与√6一√5的 9.(贵州黔东南中考)实数2√10介于( ) 大小： A.4和5之间 B.5和6之间 (3)根据所积累的经验填空（比较大小）：2√2019 C.6和7之间 D.7和8之间 √/2018+2020. 10.(江苏徐州中考)7的平方根是 11.(四川南充中考)计算：1一√2引十2= 12.(山东菏泽中考)计算（√3一4）(5+4)的结果 是 13.(山东咸海中考)计算5-√12-(W8-1)°的结果 是 14.若V(x-4)严+√(x-6)严=x-4+6-x=2,则x 的取值范围为 15.(浙江温州中考)如图，在6X4的方格纸ABCD中， 请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端 点均不与点A,B,C,D重合， 34较答塞为wG·8=√(29，b0). 2原武-√3×宁4-2 静x-5=6, √=，x68X8Xw5 蓝中清 上，A2.V面答紫不难一》35 等素养 6票-5V层证周知 -√受-贤-√得 西V气证到， 两中浮高 (8“V+g-0V牙a6为E题新 ÷4=有，4一82-1一4一1-特 案为1 第1弹时二次帮大的它算及如或诺量 1提 1,c1D1B425g5.C4.--1 1.4(筹鬼不窄一) ,幅：(1)2区-v+一万 =48-38+22-32=8- 昏-商+E-晋+w-s 感慢能 1.C1C天0.3d 4.相1第式√0X写=%X,5=106. 3厚式√g,G 眼式室5过 话6 2-05-1y5-g5 清器平华停 8 “.解1X2X一0+百√正-行X灯= 25m. 1:10第式-1营-√8x写-中+ 一i-+-2原- (田原女-v-√经4-4-百-5 【动原式一28-√6爷】+1一34+3 -2v3+4-2v-43, 幕中南 1.A1B3A4G53543,7,6 -学门 2+4-4+2万-2， 陈素养 [-] :1方选6+度5-网 与1 6-5-度 后×x6-1 5=381- 为鹰25年容”+作+8 微专题三二次根式非负性的政用 2m 5+5 1014-4-101. 3-1 周由101一x+√a1证w4:则 2)式+i-D十后-面 m流属 匹-风 ,,a-c2w】0l, 南动平吉，得a一10@=1001 -100=102 --1+=14+…+面-逐 5解：解超随果不一件型由： 。气得0且。-10，所以> 出5划20且4->0，度0且a3<0 1.A1.B3D43反12k-57.-1 解得a>3或a6 k解：(1)深式-(6厅-5+4j+2行 益装：产新莲花肌二新医结果不一格 w5+2-号 6D7.1系-3第.三0.41 (2原式=12=41+1+3=4=12=43. 11,据：(1限为w-1川20，+2>0， 幅1(1)那式-10E-3-5,E+35-5E+23 m-1++-0 所这1m一1=0，√石+2=0，所日m-1=0,十=0， 原式-6-竖+-区-6 解等销播门，和一之 》原式=一2mw十十4nm+4一4= 月-4医 原式-红：正+y一7在+5 当w=1,=一g时，原式-2×1+1×（一2）=血 12.解：(1》整事得Va一+一3)=0， 4y=tr近+2-5 所双4-2=0,0=3=0， 解得4=2=工 速想批 2因为+=+3=1,2=〔3)'=13 1.C1.B 人解子十y+2=4十y-y=《2十= 所双△AC是直角三角，∠C一， 4.16 5.朝：(1)解作长为体意于的氧餐的虞表为： (6月-4×w)-108-12-9 宽专题四二交根式大小比坡的方法 〔2》长声体食子的体积，3一23)X{6月-1√3)× 1解：11因为45-80.(5=7，且0>75 所以4,55瓦 中考 1.B3A3542556127.5-2 17+2亚，霄√窗w豆，所以W落+w1T(√14号 ),所+T>+ 米解：(1)原式--1一2十3=名 1.解：明为2<区<3.所以，驱十34 又为9<V<19,所衡-6 =√2X万--25一1 所以22+3<√亚一3， =25-3-28-1 临素养 解：第1个数：生a=1时， ,情u,信- 4解：二-5=2二园-1B-1在 252*5025) =13-√171， 第2个数：当一2时： 所以5司2◆ k解=5<1.，所6-7区2,2n-1n4. 94妆6与2区9 解：压-的同致为示压+风 -厅的数为示不+ 为1+>+13， 1 所以一 -g- 所以正-Gi-/互 12店-8 2+8 及行+面+厦 + 为2++以方行 帝末复习 思最专炼 D 例3C 保情懂 AC 4D 5限瑞峰 4解：(x一1)1-9m6, -=土3， 得4或工一一 无喝属革 线1阿-4 A 隔璃峰 《解：原式-145-8-4+3-8-0 州7 拓误瑞练 LD 高能寿点望升超 1.02.8384.C5.86.D1,D8.DC 1.71L.12.-1山13.--1 14.4xG5 15.解：1在图1，线股EF相线授GH厚为期求. 亿)妇图2，线段MN和线段Q律为所成. 围1 围2 16解：原式-5→2+3-2万+1-7-1 =8 .都0行中店防+分而-店 』y2+7 -32◆F 2角7居一 同理可年 6+店w-.“7后+E “店十店-<- (30> 第三章位置与坐标 1定值置 体基镜 。A 1.制：(1D电影离岭位置量(0，}.体有场的位置是1,4)， 少年真的位置是(3. (.0 》客线 (》从率工家到少年宫节略线较老年：（仿，5）→ 4,：有超利艺术中心，要月确这授地相对于学 校的仪置还需婴重： (卧离李校最近的任雕是人童公网，它在学腔南制四 左向上，这一方向上迁有农角有场，它门与学校的 距肉不同： (为他角和师离。 5.D 6.D 7,解：若案不度一，怎AH区+A1然+A2性+归区· G主属白区✉D川这✉足区 感提 1320m由实验 13)2,9)相 中 B 考南23,240的3.国加同为奇数镜nu同为偶数」 6, 2平面直角坐标系 前)课时平要直角丝标驱 修基建 1.C2C人AkC5CD 7.落客不雕一，如2，)，(0.》，0,0)等 里1儿 体提整 1.B2.D 3解：A44,31B-2,3,C(-4一1)，D《2 (2AB.CD之间的关系是ABCD且AB=CD 感中 草素养 厚3漂时蔬立夏角保标系求是的保标 解：(10A 1B2. 1解：（门以天安门为坐标摩点建文平直直角坐标暴如图 所示 当0，期一n=4,解得m=一1 第1课时生标系中特韩位置点的免标特程 体基您 1.D1m>33.等素不厢一.知(1.一1》等 4.C 5.D 6.C 7.D &.D 9.B 14.C ILD 生提能 1.解：(1)因为点2w十4，w一1)在￥轴上 所以知十4D,解得 一2，则 %区P0,-3 120 点P在过点A亿，一4)且与平行的直线上 蝴其筑坐标为一4：母国一1■一4，解得解一一1， 2)各景点的坐标分别是：天要门0,02，较宫0：：国 2.解：(1D点B的条标为（一1）9,0们：如下周： (,1)，人民大公章(=1，一1)、中国国家海物 图，以A为原点建立直角坐标，作CBAD ZEDC-45CED-50 1-m A0,0,0,2》,C32,D5,01, 形的南■X(8+)×28(m 2A8-5.8aw-子·AB5-号×3×5-受 纸造伦 1.C2.10,&3) 1解：0)暮案不明一，如图断录，光时A(0),(1.U) C3,0,X4,2),1,3 ■■■■■■■ DJ的长是：因为直A(0),G(0,一)都在y轴上， 所风线段0的长是5. 2)8m4-3×4-是×1×2-子×1×2-号× 8战段C它，K?存平行于y轴，所巴CE多K,义因为 CE一4，K1=4,清但E一N1因龙，线段CE,K!平行 1×3-×1×1-11-1-1-15-现5-鼠 丑则等，属样娘，CK与平行且射等， 4解：1)情成妇周. 体中考 1.B2D1A4D5,B6.A 素养 (107,-3 相为一1 (3》因为点气4，》在洋轴的E半第上： 所以最=0s>0 所但成P的生标为4a0),直严的坐标为(a,a): 所以线段PP的长为P到：的的更离为a P在正轴上，程0P的长为，根哪意 (2)依能意，特A8成x轴，且A日=3一《一)=5， =10,.直P判AH的距演为4： 又点P在上 点P的标为(0,5(0，一) (2。=1010 中 1.B1〔-1,10 玉麟：1)虹图，△A,心为所作 (2)如周， (3)点A的电标为2,5 修素养 醉：《)儒，以AD新在直线为轴，AB的系直平分线 为x轴建立平面直角量标系如周，完时C(8,一3》 D〔B.) 3纯对称与坐标变化 BB4c5BCC -3,10 22行h 直的情生标不变，坐标影减去