1.1元空间向量及其运算B卷（能力提升）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第一单元 空间向量及其运算 B卷·名师原创 能力提升卷 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 2．在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 5．已知空间直角坐标系中三个顶点坐标分别为，，，是边上的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图，正四棱台中，，，，是的中点，在直线上各取一个点，，使得M，P，Q三点共线，则线段的长度为（    ）    A．3 B． C． D．4 8．正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知空间向量都是非零向量，且满足，，若与同向共线，且，则有（    ） A． B． C． D． 10．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，很多人的童年都少不了折纸的乐趣，同时，折纸活动也蕴含着丰富的数学内容，例如：中，，，将三角形沿着翻折至三角形，则下列数量积可能为零的是（    ） A． B． C． D． 11．在坐标系中，，，轴两两之间的夹角均为，向量分别是与轴的正方向同向的单位向量．空间向量，记，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则三棱锥的体积为 D．若，，且，则夹角的余弦值的最大值为 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 13．在一次手工创作课上，有一位同学需要将一个如图所示的木质的正四棱锥模型用一个平面进行切割，已知该四棱锥的底面边长和侧棱长均为4，切割平面必须过点，且分别交于点，若，，则的值为 ．    14．在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ． 四、解答题-问答题 15．已知空间四点. (1)求和的值; (2)若点在平面ABC内，请直接写出的值. 16．已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段的中点. (1)用，，表示，并求出； (2)求. 17．如图，已知是平行六面体．    (1)在图中标出的结果； (2)设是底面的中心，是侧面对角线上的点，，设，试求的值； (3)设底面是边长为1的正方形，，，求的值． 18．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 19．若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：． 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关． (1)若，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由； (2)已知线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由； (3)证明：对于中的任意两个元素，，均有． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 空间向量及其运算 B卷·名师原创 能力提升卷 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据关于平面对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，得出点坐标，再利用空间向量减法的坐标运算求出向量坐标，再计算模长即可． 【详解】由点与点关于平面对称，则对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，可得， 所以， ， 故选：A． 2．在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 3．如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： . 故选：A. 4．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 5．已知空间直角坐标系中三个顶点坐标分别为，，，是边上的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求空间中两点间的距离、空间向量数量积的应用 【分析】先根据题意，设，可得，再根据是边上的高，计算，最后得和. 【详解】因为，，，所以，． 因为点在边上，所以设， 则． 由是边上的高可得，解得， 所以， 所以． 6．已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得的取值范围，再根据范围之间的关系即可判断其充分性或必要性. 【详解】依题意得，，， 当与的夹角为钝角时， ，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数，使， 于是得解得，. 所以与不共线时，， 所以的取值范围为． 所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件． 故选: 7．如图，正四棱台中，，，，是的中点，在直线上各取一个点，，使得M，P，Q三点共线，则线段的长度为（    ）    A．3 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、空间位置关系的向量证明 【分析】根据正四棱台的特征，建立空间直角坐标系，利用M、P、Q三点共线，得到等量关系，从而确定的位置，进而得到线段的长度. 【详解】连接交于点，连接交于点，连接，由正四棱台的结构特征， 两两垂直，故以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为在正四棱台中，，，，所以，， 所以，，，，，， 因为是的中点，所以，设，， 所以， ． 要使三点共线，则共线，即存在，使得， 则解得 所以，， 所以， 所以．    故选：C. 8．正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数量积的应用 【分析】取的中点，则，根据向量加法的几何性质求出的取值范围即可求解. 【详解】取的中点，由题意则， 所以， 又因为，所以，当且仅当方向相同时等号成立； ，当且仅当方向相反时等号成立， 因为正四面体的棱长为2，所以在中，，，， 所以，即， 所以，， 又，所以，即， 所以的最大值为, 故选：B 二、多选题 9．已知空间向量都是非零向量，且满足，，若与同向共线，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】数量积的运算律、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】先由和解出，再由与同向共线，可得，再判断各个选项. 【详解】由，得， 由于与同向共线，故可设因此，于是， 又因为，所以，解得或（舍去）， 于是，从而，，所以A正确； ，所以B错误； ，所以C正确； ，所以不成立，因此D错误． 故选：AC. 10．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，很多人的童年都少不了折纸的乐趣，同时，折纸活动也蕴含着丰富的数学内容，例如：中，，，将三角形沿着翻折至三角形，则下列数量积可能为零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】用定义求向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】由题意可得，分别对所给命题中两个向量的夹角是否存在的情况进行判定，可得所给命题的真假． 【详解】由题意如图所示：    A中，由于，所以当平面平面时，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以，此时，所以A正确； B中，因为，，， 可得，则在翻折过程中，会超过（原因：点翻折后，，） 故存在，因为，故直线与直线有可能垂直，此时，所以B正确； C中，在中，，所以为锐角，故不可能为0，所以C不正确； D中，易知，将三角形沿着翻折时， ，，三点共线，且四边形为矩形，所以， 此时，所以D正确． 故选：ABD． 11．在坐标系中，，，轴两两之间的夹角均为，向量分别是与轴的正方向同向的单位向量．空间向量，记，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则三棱锥的体积为 D．若，，且，则夹角的余弦值的最大值为 【答案】ACD 【知识点】锥体体积的有关计算、空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量的坐标运算可判断A；通过空间向量的数量积运算可判断B；根据定义得到棱锥是棱长为2的正三棱锥，求体积可判断C；通过计算空间向量的模长，再求得夹角余弦可判断D. 【详解】对于A，由，，得，，所以，则．故A正确； 对于B， ．故B不正确； 对于C，由题意知三棱锥是棱长为2的正四面体， 则该四面体的高为， 所以三棱锥的体积为．故C正确；    对于D，由，， 得，，， ， ， 所以 则夹角的余弦值的最大值为．故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、求投影向量 【分析】根据投影向量的概念以及空间向量数量积的坐标运算求解. 【详解】由题，， 所以， ， 则在方向上的投影向量的坐标为 . 故答案为: . 13．在一次手工创作课上，有一位同学需要将一个如图所示的木质的正四棱锥模型用一个平面进行切割，已知该四棱锥的底面边长和侧棱长均为4，切割平面必须过点，且分别交于点，若，，则的值为 ．    【答案】 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量共面求参数、用空间基底表示向量 【分析】用向量表示，结合已知可得，根据空间四点共面的结论可得，求得，继而求得答案. 【详解】因为， 设，则， 由于四点共面，故，解得， 故，则． 故答案为：. 14．在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ． 【答案】 0 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标, ，当时，，．，．从而当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，，， ，， 所以当时，，． 因为，，所以， 所以，，． 所以， 所以，． 当时，取得最小值，最小值为1； 当或，时，取得最大值，最大值为． 所以． 故答案为：0，    四、解答题-问答题 15．已知空间四点. (1)求和的值; (2)若点在平面ABC内，请直接写出的值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）利用向量的线性运算可求得，利用，可求； （2）由已知可得，根据向量共面的充要条件得出方程组，求解即可得出答案. 【详解】（1） 且， ， ， .. 即； （2）由（1）知，又， 因为点在平面ABC内，共面， 所以根据向量共面的充要条件可知，存在，使， 所以，解得. 16．已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段的中点. (1)用，，表示，并求出； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】（1）首先根据空间向量的线性运算得到，再求其模长即可. （2）根据展开求解即可. 【详解】（1）因为点M是线段的中点，点G是的重心， 所以， 因为， 所以 ， ∴. （2） . 17．如图，已知是平行六面体．    (1)在图中标出的结果； (2)设是底面的中心，是侧面对角线上的点，，设，试求的值； (3)设底面是边长为1的正方形，，，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）借助向量空间向量线性运算法则计算后在图中标出即可得； （2）借助向量空间向量线性运算法则计算即可得； （3）借助向量空间向量线性运算法，数量积及其运算律求得，再代入公式求向量夹角的余弦即可. 【详解】（1）如图，取的中点即为所求．    由平行六面体的性质可得， 故． （2） ， 即． （3）， 所以 ． ， ， 所以． 18．如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量与几何最值、空间向量模长的坐标表示 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果． 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． 19．若，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，，定义： ①数乘运算：； ②加法运算：； ③数量积运算：； ④向量的模：． 对于中一组向量，若存在一组不同时为零的实数，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关． (1)若，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由； (2)已知线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由； (3)证明：对于中的任意两个元素，，均有． 【答案】(1)线性相关，理由见解析 (2)向量线性无关，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】向量新定义 【分析】(1)由向量的线性相关性质可得； (2)由平面向量基本定理，采用反证法可得； (3)求出模，根据函数性质可得. 【详解】（1）设存在实数，使得， 则可得， 即，，可取，则，所以线性相关． （2）假设线性相关，则存在一组不同时为零的实数，使得，即， 因为向量线性无关，所以解得，与不同时为零相矛盾， 所以向量线性无关． （3）设，，则， 所以． 又， 所以， 当且仅当，，…，同时成立时，等号成立，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$