第一单元空间向量及其运算A卷基础达标-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第一单元 空间向量及其运算 A卷·名校好题 基础达标卷 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳�期中）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁�期中）已知空间向量，.若，则（    ） A．12 B．10 C． D． 3．（24-25高二上·重庆�阶段练习）在三棱锥中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏南京�期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国�单元测试）已知向量，则在方向上投影的数量为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国�单元测试）已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·全国�单元测试）《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（    ） A． B．1 C． D． 8．（2022高二·全国�专题练习）如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，则||等于（    ） A． B．5 C． D．5 二、多选题 9．（23-24高二下·河北张家口�开学考试）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．与垂直 B．与共线 C．与所成角为锐角 D．，，，可作为空间向量的一组基底 10．（23-24高二下·河南�阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 B．若向量，且，则 C．若向量，则在上的投影向量的模为 D．为空间中任意一点，若，且，则四点共面 11．（25-26高二上·全国�单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·全国�单元测试）已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基，则实数等于 ． 13．（23-24高二上·辽宁�期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（24-25高二上·福建厦门�期中）如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为 . 四、解答题-问答题 15．（25-26高二上·全国�单元测试）已知向量，． (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围． 16．（25-26高二上·全国�单元测试）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，． (1)以为基表示； (2)若，，，，求的最小值． 17．（25-26高二上·全国�单元测试）已知空间中三点，，． (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)求以CB，CA为邻边的平行四边形的面积． 18．（24-25高二上·山西�阶段练习）如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，点D为中点，设，，. (1)以为一组基底，表示，； (2)线段上是否存在一点E，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由. 19．（25-26高二上·全国�单元测试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一单元 空间向量及其运算 A卷·名校好题 基础达标卷 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳�期中）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴的对称点得解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为. 故选：C 2．（24-25高二上·辽宁�期中）已知空间向量，.若，则（    ） A．12 B．10 C． D． 【答案】A 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示 【分析】通过两向量的平行关系即可确定、值，即可求解. 【详解】因为，所以有：， 解得，，所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·重庆�阶段练习）在三棱锥中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算得到，进而求得的值，从而求解. 【详解】因为，， 所以， 又，可得， 所以. 故选：B. 4．（23-24高二上·江苏南京�期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、求空间向量的数量积 【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A 5．（25-26高二上·全国�单元测试）已知向量，则在方向上投影的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】根据向量投影公式结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】已知，得， 所以在方向上投影的数量为. 故选：D. 6．（25-26高二上·全国�单元测试）已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的坐标运算 【分析】由空间向量基本定理设向量在基底下的坐标为，根据题意结合空间向量相等的条件建立方程组，解方程组可得答案． 【详解】设向量在基底下的坐标为，则， 整理得， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为． 故选：B 7．（25-26高二上·全国�单元测试）《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量的坐标，根据向量坐标运算公式求结论；方法二：利用向量表示，结合数量积定义及运算律求结论. 【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，，，， ，， ． 方法二：由题意可知， ， ． 堑堵为直三棱柱，且， ， ． 故选：B. 8．（2022高二·全国�专题练习）如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3、5，M、N分别在上、下底面圆周上，且，则||等于（    ） A． B．5 C． D．5 【答案】A 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】用，，表示出，计算再开方即可得出答案. 【详解】∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2， ∴•0，0， 又3×5×cos60°. ∵， ∴2＝（）2 222+2•229+16+25+15＝65， ∴||. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二下·河北张家口�开学考试）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．与垂直 B．与共线 C．与所成角为锐角 D．，，，可作为空间向量的一组基底 【答案】BC 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间向量垂直的坐标表示 【分析】对A：计算出即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对C：计算并判断与是否共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得. 【详解】对A：，故与不垂直，故A错误； 对B：由、，有，故与共线，故B正确； 对C：，且与不共线， 故与所成角为锐角，故C正确； 对D：由与共线，故，，不可作为空间向量的一组基底，故D错误. 故选：BC. 10．（23-24高二下·河南�阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为 B．若向量，且，则 C．若向量，则在上的投影向量的模为 D．为空间中任意一点，若，且，则四点共面 【答案】BC 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间共面向量定理的推论及应用、空间向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】选项A，直接求出点关于平面的对称点，即可判断出选项A的正误；选项B，利用空间向量垂直的坐标表示，即可得出，从而可判断出选项B的正误；选项C，根据投影向量的定义，即可求出结果，从而判断出选项C的正误；选项D，根据空间向量共面的结论可判断出选项D的正误. 【详解】对于选项A，点关于平面的对称点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为，且，所以，得到，所以选项B正确， 对于选项C，因为，所以在上的投影向量的模为，故选项C正确， 对于选项D，由空间向量基本定理的推论可知：，且时，四点共面，所以选项D错误， 故选：BC. 11．（25-26高二上·全国�单元测试）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以，故．故D错误. 故选：ABC 三、填空题 12．（25-26高二上·全国�单元测试）已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基，则实数等于 ． 【答案】4 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量基底概念及辨析 【分析】因为三个向量不能作为空间向量的一组基，所以共面，由向量共面的条件求解即可. 【详解】因为三个向量不能作为空间向量的一组基， 所以共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基）， 则存在，使得，即， 所以,解得. 故答案为：4 13．（23-24高二上·辽宁�期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 14．（24-25高二上·福建厦门�期中）如图在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为 . 【答案】1 【知识点】基本不等式求和的最小值、空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，，四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据，，，四点共面得到. 四、解答题-问答题 15．（25-26高二上·全国�单元测试）已知向量，． (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)且. 【知识点】向量垂直的坐标表示、求空间向量的数量积、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）先求出，，根据向量垂直得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且， 即的取值范围为且. 16．（25-26高二上·全国�单元测试）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，． (1)以为基表示； (2)若，，，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合图形计算即可； （2）根据，结合数量积的运算律计算即可. 【详解】（1） ． （2） ， 故当时，取得最小值，所以． 17．（25-26高二上·全国�单元测试）已知空间中三点，，． (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)求以CB，CA为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、求投影向量 【分析】（1）设，由，代入点的坐标解方程即可； （2）向量在向量上的投影向量，又，故可求得； （3）由向量的数量积求夹角，得到，从而，再由三角形面积公式求得的面积即可求得平行四边形面积. 【详解】（1）设， 因为四边形是平行四边形，所以，由，，， 得，， 所以，故． （2）因为，，，所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量， 所以． （3）因为，，，所以，， 所以，即， 又，所以， 所以的面积， 所以以为邻边的平行四边形的面积为3． 18．（24-25高二上·山西�阶段练习）如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，点D为中点，设，，. (1)以为一组基底，表示，； (2)线段上是否存在一点E，使得？若存在，求出；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，2 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）利用向量的加减数乘运算，结合图形将，用表示即得； （2）依题设，，将用表示，利用求出的值，即可求得. 【详解】（1）， ； （2）设线段上存在一点E，使得，且，， 因为，且， 因故 ， 解得，此时点E与点C重合，. 19．（25-26高二上·全国�单元测试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案； 法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案； 【详解】（1）法1，结合题图，， 由题，， 则， 所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； （2）法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 （3）法1，由于，， 因此，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，， 则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$