第二单元空间向量在立体几何中的应用B卷能力提升-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第二单元 空间向量在立体几何中的应用 B卷·名师原创 能力提升卷 一、单选题 1．（25-26高二上·全国�单元测试）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 【详解】因为为直线的方向向量，为直线的方向向量，与的夹角的余弦值为， 所以，解得．故选：C 2．（24-25高二上·辽宁�阶段练习）已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【详解】若，则，所以，解得，故.故选：A. 3．（25-26高二上·全国�单元测试）已知点，平面，其中法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【详解】A，若，则，． B，若，则，． C，若，则，． D，若，则，． 一题多解    多方法解题 设，则，若点在平面内， 则，则． 依次验证A，B，C，D中的坐标知，只有B选项中的坐标满足（即）．故选：B. 4．（25-26高二上·全国�单元测试）已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】A因为不重合，所以由直线方向向量与直线的位置关系可得，所以本选项说法不正确； B由法向量与方向向量的定义易知或，所以本选项说法不正确； C由于为平面的法向量，所以，所以本选项说法不正确； D由平面法向量与平面的位置关系可得，所以本选项说法正确，故选：D 5．（24-25高二上·福建福州�期中）已知二面角棱上有两点，，若的长为，异面直线与所成的角大小为（   ） A． B． C． D． 【详解】设，异面直线与所成的角为， 因为，，所以. 因为，所以 ， 所以，即，解得， 所以，所以.故选：B. 6．（25-26高二上·全国�单元测试）已知，，，，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的法向量为，则,令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离是．故选：D 7．（25-26高二上·全国�单元测试）如图，已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面，此时直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【详解】依题意，，，而平面平面， 平面平面，又平面，平面， 则平面，平面，，因此直线两两垂直． 如图，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，则，，，，， ，，设平面的法向量， 则，令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角的余弦值为．    8．（25-26高二上·全国�单元测试）已知一对不共线的向量的夹角为，定义为一个向量，其模为，其同时与向量垂直（如图1）．在平行六面体中（如图2），下列结论正确的是（    ） A．向量平行于平面 B．当时， C．若，，，则 D．平行六面体的体积 【详解】对于A，由题意，向量垂直于平面，所以A错； 对于B，当时，， 而 ，所以B错； 对于C，因为，即， 所以，， 所以，所以C错； 对于D，的模，即为平行六面体底面的面积，且垂直于底面， 由数量积的几何意义知，是在垂直于底面的方向上的投影向量的模 （即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，所以D正确.故选：D 二、多选题 9．（25-26高二上·全国�单元测试）已知，，，，则（    ） A．直线的单位方向向量是 B．平面的一个法向量是 C．四点共面 D．点到直线的距离为 【详解】对于A：因为，，所以直线的单位方向向量是或 （注意直线的单位方向向量有2个，是相反向量），故A错误； 对于B：设平面的法向量是，因为，， 所以则.令，可得，故B正确； 对于C：由题意得，则，所以，四点共面，故C正确; 对于D：，，， 则点到直线的距离为，故D错误.故选：BC 10．（25-26高二上·全国�单元测试）如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，且平面，则 D．平面与平面所成锐二面角的余弦值为 【详解】由题意可知两两垂直，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，． 选项 正误 原因 A √ ，又，故 B × ，，则，所以不垂直． C √ ，，则．而，，设为平面FGD的法向量，则则可取．若平面，则与平面的法向量垂直，所以，即，解得． D √ 易得为平面的一个法向量，又为平面的一个法向量，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 故选：ACD. 11．（22-23高二上·重庆沙坪坝�期中）已知正三棱柱，各棱长均为4，且点E为棱上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（      ） A．该三棱柱既有外接球，又有内切球 B．三棱锥的体积是 C．直线与直线恒不垂直 D．直线与平面所成角的正弦值范围是 【详解】A选项，设等边三角形的内切圆半径为， 则，，所以该三棱柱没有内切球，A选项错误. B选项，设是的中点，则，， 根据正三棱柱的性质可知，，由于平面，所以平面， 所以，B选项正确. 以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设，， ，所以当在的中点时，直线与直线垂直，C选项错误. ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则， ， ，即， 所以直线与平面所成角的正弦值范围是，D选项正确. 故选：BD 三、填空题 12．（17-18高二下·上海杨浦�期末）空间直角坐标系中，两平面α与β分别以（2，1，1）与（0，2，1）为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为 ．（写出一个方向向量的坐标） 【详解】设直线l的一个方向向量为， 依题意可知 ，所以，令，则，，所以.故答案为：. 13．（24-25高二上·广东广州�期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ． 【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，得． 设，则． 因为平面，所以，则，解得，， 所以，，故．故答案为： 14．（25-26高二上·全国�单元测试）如图，在四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是 ． 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图． 因为二面角的平面角大小为，所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为是四边形内部一点（包括边界），所以的轨迹是过点的一条线段． 延长交于点，设， 由题意得，，，， 所以，，． 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，令，则． 因为二面角的平面角大小为，所以，解得， 所以当在线段上时，面积最大，最大值为．故答案为：4 四、解答题-证明题 15．（25-26高二上·全国�单元测试）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，． 由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ，则直线到直线的距离为． （2）设平面的法向量为，由（1）可知，，， 则即令，则，所以． 设点到平面的距离为，，则点到平面的距离为． 16．（25-26高二上·全国�单元测试）如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． (1)求证：平面平面； (2)若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）在梯形中，，故， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，．易知． 因为是的中点，点是的中点，所以，． ，． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为， 则． 17．（23-24高三上·湖南长沙�阶段练习）如图，四棱柱中，底面为正方形，与交于点，平面平面与底面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）过作于，因为平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角，所以， ，则， 又因为底面为正方形，， 所以，是中点，， 可知为同一点，所以平面． （2）因为底面是正方形，所以， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． ，，，， 则． 又，所以， 所以， 设平面的法向量是，由 令，则，得， 因为， 设平面的法向量为，所以 令，则，得， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18．（23-24高二上·湖北武汉�期中）如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，为的中点，点为线段上一动点，且． (1)若点为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）取中点，连接，， 因为分别为中点，所以，， 因为四边形为菱形，为中点，所以，， 所以，，则四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以∥平面. （2）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，因为平面，平面，所以，， 因为，四边形为菱形，所以三角形为等边三角形， 因为为中点，所以，， 所以两两垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，，， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， ， 所以， 所以线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时. 19．（25-26高二上·全国�单元测试）在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为． (1)已知点，向量，求过点且以为法向量的平面方程； (2)已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面的方程为，平面与平面的交线的标准方程为，且平面与平面的夹角的余弦值为，求平面的点法式方程． 【详解】（1）方法一：由题意，过点，且以为法向量的平面方程为，即．方法二：设过点且以为法向量的平面上不同于的任一点， 则，所以， 所以过点且以为法向量的平面方程为． （2）平面的方程为，所以平面的法向量可取， 平面的法向量可以取，平面的法向量可以取． 设两平面的交线的方向向量为，由，令，则，，所以． 设直线与平面所成角为，则． （3）由平面的方程为可知，平面的法向量可以取．由交线的标准方程为可知，的方向向量可以为．设平面的法向量，则有整理得不妨设，解得或， 故平面的法向量可以为或．又直线在平面内，不妨取直线上一点， 若，则平面的方程为； 若，则平面的方程为． 综上，平面的点法式方程为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学人教B版（秋） 姚老师18241275155 第二单元 空间向量在立体几何中的应用 B卷·名师原创 能力提升卷 一、单选题 1．（25-26高二上·全国�单元测试）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 2．（24-25高二上·辽宁�阶段练习）已知平面的法向量，平面的法向量，若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（25-26高二上·全国�单元测试）已知点，平面，其中法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国�单元测试）已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·福建福州�期中）已知二面角棱上有两点，，若的长为，异面直线与所成的角大小为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国�单元测试）已知，，，，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·全国�单元测试）如图，已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面，此时直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．（25-26高二上·全国�单元测试）已知一对不共线的向量的夹角为，定义为一个向量，其模为，其同时与向量垂直（如图1）．在平行六面体中（如图2），下列结论正确的是（    ） A．向量平行于平面 B．当时， C．若，，，则 D．平行六面体的体积 二、多选题 9．（25-26高二上·全国�单元测试）已知，，，，则（    ） A．直线的单位方向向量是 B．平面的一个法向量是 C．四点共面 D．点到直线的距离为 10．（25-26高二上·全国�单元测试）如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，且平面，则 D．平面与平面所成锐二面角的余弦值为 11．（22-23高二上·重庆沙坪坝�期中）已知正三棱柱，各棱长均为4，且点E为棱上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（      ） A．该三棱柱既有外接球，又有内切球 B．三棱锥的体积是 C．直线与直线恒不垂直 D．直线与平面所成角的正弦值范围是 三、填空题 12．（17-18高二下·上海杨浦�期末）空间直角坐标系中，两平面α与β分别以（2，1，1）与（0，2，1）为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为 ．（写出一个方向向量的坐标） 13．（24-25高二上·广东广州�期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则 ． 14．（25-26高二上·全国�单元测试）如图，在四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是 ． 四、解答题-证明题 15．（25-26高二上·全国�单元测试）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点． (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 16．（25-26高二上·全国�单元测试）如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． (1)求证：平面平面； (2)若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（23-24高三上·湖南长沙�阶段练习）如图，四棱柱中，底面为正方形，与交于点，平面平面与底面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（23-24高二上·湖北武汉�期中）如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，为的中点，点为线段上一动点，且． (1)若点为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（25-26高二上·全国�单元测试）在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为． (1)已知点，向量，求过点且以为法向量的平面方程； (2)已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面的方程为，平面与平面的交线的标准方程为，且平面与平面的夹角的余弦值为，求平面的点法式方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$