1.2 空间向量在立体几何中的应用A卷（基础达标）-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

高二数学人教B版（秋） 姚老师18241275155 第二单元 空间向量在立体几何中的应用 A卷·名校好题 基础达标卷 一、单选题 1．若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，则与所成的角为（   ） A． B． C． D． 2．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．9 3．已知不重合的平面与平面，若平面的法向量，，，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能 4．设向量是平面的法向量，向量是直线的方向向量，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在空间直角坐标系中，已知，，，，，若线段与平面交于点，则（   ） A． B． C． D． 6．已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 7．（如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离和分别为6米和8米，的长为21米，的长为23米，则水库底面与水坝斜面所成二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B． C．平面的一个法向量为 D．点到平面的距离为 10．若平面的法向量为，平而的法向量为，直线的方向向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（    ） A．当E点运动时，总成立 B．当E向运动时，二面角逐渐变小 C．二面角的最小值为45° D．在方向上的投影向量为 三、填空题 12．空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 13．已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ． 14．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 四、解答题-证明题 15．如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 16．如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点. (1)求证：； (2)若平面，证明：平面. 17．如图，在长方体中，，.为上一动点，记.   (1)求线段的最小值； (2)当取最小值时，求三棱锥的体积； (3)当平面时，求的值. 18．如图，在直四棱柱中，，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 19．羡除是《九章算术》中记载的一种五面体．如图五面体ABCDEF，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，其中，，，，M为AD中点，平面BCEF与平面ADEF交于EF．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF能够确定，然后解答下列各题： (1)求证：平面CDE； (2)求二面角的余弦值． (3)在线段AE上是否存在点Q，使得MQ与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 条件①：平面平面ABCD； 条件②：平面平面ABCD； 条件③：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二单元 空间向量在立体几何中的应用 A卷·名校好题 基础达标卷 一、单选题 1．若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，则与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【详解】设与两条异面直线所成的角为，则， 因为与这两条异面直线所成的角等于直线的方向向量与的方向向量的夹角或夹角的补角， 又，所以， 所以异面直线与所成的角等于，故选：B. 2．已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．9 【详解】因为是平面的一个法向量， 点在平面内，所以， 所以. 由条件得， 所以，解得.故选：D 3．已知不重合的平面与平面，若平面的法向量，，，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能 【详解】设平面的一个法向量为， 所以，令，可得， 即可知 易知两法向量既不垂直也不平行，所以平面、平面相交但不垂直. 故选：C 4．设向量是平面的法向量，向量是直线的方向向量，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】因为，由“”可以推出“”， 由“”也可以推出“”，故“”是“”的充要条件.故选：C. 5．在空间直角坐标系中，已知，，，，，若线段与平面交于点，则（   ） A． B． C． D． 【详解】，，设平面的法向量为， 由，可知，且， 令，则，所以，为平面的一个法向量， 因为在线段上，设，所以， 由可得：所以，，即，所以，故选：B. 6．已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 【详解】在平行六面体， 令，则， 设平面的法向量，而， 则，整理得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 故选：A 7．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 则点到直线的距离 ， 设，因为，所以，则. 所以，点到直线的距离的最小值为，故选：A. 8．如图所示，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离和分别为6米和8米，的长为21米，的长为23米，则水库底面与水坝斜面所成二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【详解】方法1：根据向量的加法法则，， 则， 所以. 设向量与的夹角为， 则就是水库底面与水坝斜面所成的二面角的平面角，因此， 所以，故所求二面角的余弦值为.故选：A. 方法2： 在平面内过作的平行线，且使得，连接， 因为，所以，所以四边形是矩形，且是二面角的平面角. 因为，，且，平面，所以平面. 又因为，所以平面，因为平面，所以. 在直角中，可得. 在中，由余弦定理可知，所以所求二面角的余弦值为. 故选：A.    二、多选题 9．已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．平面的一个法向量为 D．点到平面的距离为 【详解】由题意得，，故A正确； ，所以，，故B不正确； 由题意得，，，，所以，， 设是平面的法向量，则, 令，则，，则，故C正确 ，则点到平面的距离为，故D不正确.故选：AC 10．若平面的法向量为，平而的法向量为，直线的方向向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】对于A，由，得，则，解得，A正确； 对于B，由，得，则，解得，B正确； 对于C，由，得，，，则或，C错误； 对于D，由，得，，，则，D正确.故选：ABD 11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（    ） A．当E点运动时，总成立 B．当E向运动时，二面角逐渐变小 C．二面角的最小值为45° D．在方向上的投影向量为 【详解】对A：因为，面，所以面， 因为面，所以，同理可证， 因为，面，所以平面， 因为平面，所以总成立，故选项A正确； 对B：平面即平面，而平面即平面，所以当E向运动时， 二面角大小不变，选项B不正确； 对C：建立如图所示的空间直角坐标系：则， 因为E，F在上，且，故可设 ，设平面的法向量为， 又，所以，取，则， 平面的法向量为，所以， 设二面角的平面角为，则为锐角， 故，当，故，所以，当且仅当时取最大值，即取最小值，故C正确； 对D：因为，，所以，故在方向上的投影向量为， 故选项D正确．故选：ACD． 三、填空题 12．空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离.故答案为： 13．已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ． 【详解】设平面的单位法向量为， 因为直线，均平行于平面，所以有， 由可得： 或， 故平面的单位法向量为或．故答案为：或． 14．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【详解】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意可知，， 故． 设平面的法向量为，又， 则有即 令，可得平面的一个法向量为． 设与平面的法向量的夹角为， 则，则直线与平面所成角的正弦值为．故答案为： 四、解答题-证明题 15．如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，所以， 即直线与直线所成角的余弦值为. （2）由于，平面，平面，故平面， 因此直线到平面的距离与点到平面的距离相等. ，，，， 设平面的法向量为，则，且，令，则. 又，故到平面的距离为，因此直线到平面的距离为. 16．如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，点为上靠近点的三等分点. (1)求证：； (2)若平面，证明：平面. 【详解】（1）如图，连接交于点，连接. 根据题意可知该四棱锥为正四棱锥，平面，平面，. 又四边形为正方形，. 又，平面，平面，平面，平面，. （2）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，. ，，，，， ，，由平面，知为平面的一个法向量. 又，且不在平面，平面. 17．如图，在长方体中，，.为上一动点，记. (1)求线段的最小值； (2)当取最小值时，求三棱锥的体积； (3)当平面时，求的值. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 因为， ,故， 则 ， 故当时，取得最小值. （2）取最小值时，，，则， 故 . （3）因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时，故，即，解得. 18．如图，在直四棱柱中，，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为在直四棱柱中，平面， 又，平面，所以，， 又因为，所以，即，，两两垂直， 以A为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设.所以，，，，，， 设平面的一个法向量为， 又，，所以 令，解得，，所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 又，，所以 令，解得，，所以平面的一个法向量为， 因为，所以平面平面； （2）因为，，所以，， 设平面的一个法向量为， 所以 令，解得，，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角的大小为， 所以，即平面与平面的夹角的余弦值为. 19．羡除是《九章算术》中记载的一种五面体．如图五面体ABCDEF，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，其中，，，，M为AD中点，平面BCEF与平面ADEF交于EF．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF能够确定，然后解答下列各题： (1)求证：平面CDE； (2)求二面角的余弦值． (3)在线段AE上是否存在点Q，使得MQ与平面ABE所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 条件①：平面平面ABCD； 条件②：平面平面ABCD； 条件③：． 【详解】（1）等腰梯形ABCD，M是AD中点，，又， 故四边形BCDM为平行四边形，故，平面CDE，平面CDE，故平面CDE． （2）选①：连接，，作于，则，，， 同理可得，，故， 平面平面ABCD，平面平面，平面， 故平面，平面，故， ，故，此时，故， 如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，   ，，，，，， 设平面的法向量为，则， 取得到； 设平面的法向量为，则， 取得到； ， 所以二面角的余弦值为． 选②：取BC中点为N，EF中点为P，连接MP和MN平面平面ABCD，故平面平面， ，平面ADEF，故平面ABCD，， 如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，   ，，，，，，， ，， 设平面BAE的一个法向量，，， 令，则，，则易知是平面AEF的一个法向量， ，根据图像知二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． 选③：取MD中点，连接和，易知，， ，，，，故， 故二面角，故平面平面ABCD， 取BC中点为N，EF中点为P，连接MP和MN 平面平面ABCD，平面平面，， 平面ADEF，故平面ABCD，故， 如图所示：以为轴建立空间直角坐标系， 后续同②； （3）若选择①： 设，，， ， ， 解得，均不满足题意，故不存在点Q． 若选②或者③： 设，，，， ，解得，均不满足题意，故不存在点Q． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$