专题06二次函数的应用（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题06 二次函数的应用十二类题型 典例详解 类型一、围墙栅栏问题 类型二、图形切割问题 类型三、折叠与展开问题 类型四、动点面积问题 类型五、销售利润问题 类型六、桥梁隧道问题 类型七、分段函数问题 类型八、增长率问题 类型九、抛物线轨迹——抛球问题 类型十、抛物线轨迹——喷水问题 类型十一、变速直线运动问题 类型十二、其他问题 压轴专练 类型一、围墙栅栏问题 例1．（2025·天津东丽·模拟预测）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ②当时， 解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； 综上，正确结论是②③． 故选：C． 变式1-1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则的长为， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∴x的取值范围为，故②错误； 当时，即， 解得， ∵， ∴， ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③正确； ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，故④正确． 故选：D． 变式1-2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植3种不同的花卉，墙的最大可用长度是，现有长为的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有两道隔栏的矩形花圃． (1)若要围成总面积为的花圃，边的长应是多少？ (2)当为多少米时，花圃的面积最大？ 【答案】(1)边的长应是20米 (2)当长为，花圃有最大面积． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，得到长方形花圃的长的代数式以及面积的代数式是解题的关键． （1）设的长为x米，则长为米且，根据其面积列出方程求解即可； （2）把（1）中用代数式表示的面积并运用配方法整理为，然后再根据二次函数的性质以及x的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：设的长为x米，则长为米且，即， 根据题意得：， 解得：或5（不合题意舍弃）. 答：边的长应是20米． （2）解：花圃的面积为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，花圃有最大面积，即当长为，花圃有最大面积． 变式1-3．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 【答案】(1)矩形菜园面积的最大值为1050平方米 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的性质求最大值； （2）设米，根据矩形的面积公式建立二次函数，利用二次函数的最大值求解即可． 【详解】（1）解：设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为1050平方米． 答：矩形菜园面积的最大值为1050平方米； （2）解：当木栏增加米时，木栏总长为米， 设米，，根据题意，得： 矩形菜园面积， ，图像开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， ∵矩形菜园面积的最大值为2800米， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 类型二、图形切割问题 例2．（2025·天津和平·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12． 其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，得： 解得， ∴， 由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误； ②二次函数解析式为，说法正确； ③矩形面积最大时，，说法错误； ④当时，矩形面积取最大值， ∴， ∴，说法正确． 所以，说法正确的是②④，共2个， 故选：B． 变式2-1．（2025·山东潍坊·二模）如图，有一张边长为的菱形纸片，现用它裁出一个矩形纸片，矩形纸片的四个顶点、、、分别位于菱形的四条边上，且，．如何裁剪才能使裁出的矩形纸片的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当、、、为菱形各边的中点时，才能使裁出的矩形纸片的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，二次函数的应用，根据题意设 ，则，进而分别求得，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 设 ，则 ∵，则 ∴是等边三角形，则 过点作于点 ∴， ∴ 设矩形纸片的面积为， ∴ ∴当时，矩形纸片的面积最大为 答：当、、、为菱形各边的中点时，才能使裁出的矩形纸片的面积最大，最大值为 变式2-2．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求，已知米，米，设米，种花的面积为平方米，草坪面积为平方米． (1)分别求和与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)当的长为多少米时，种花的面积为440平方米？ (3)若种花每平方米需200元，铺设草坪每平方米需100元，现设计要求种花的面积不大于440平方米，设学校所需费用（元），求与之间的函数关系式，并求出学校所需费用的最大值． 【答案】(1)， (2)的长为10米或22米 (3)，最大值为140000元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据三角形面积公式可得的解析式，再用长方形面积减去四个三角形面积，即可得的函数解析式； （2）根据题意知，即可得关于x的方程，解方程即可得； （3）列出总费用的函数解析式，将其配方成顶点式，根据花的面积不大于440平方米可得x的范围，结合此范围根据二次函数性质即可得函数的最大值，从而得解． 【详解】（1）解：根据题意，，； （2）解：根据题意，知，即， 解得：，， 故当的长为10米或22米时种花的面积为440平方米； （3）解：设总费用为W元， 则 ， 由（2）知当或时，， 在中，当时，W随x的增大而增大，当时，W随x的增大而减小， ∴当时，W取得最大值，最大值， 当时，W取得最大值，最大值， ∴学校所需费用的最大值为140000元． 变式2-3．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）有一块矩形地块，，，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为，现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．且甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过，甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为30元、40元、60元，设三种花卉的种植总成本为y元． (1)用含x的代数式分别表示（直接写化简后的结果）： 甲种花卉种植面积______； 乙种花卉种植面积______； 丙种花卉种植面积______； (2)求种植总成本y与x的函数表达式，并求出种植总成本的最小值； (3)若总种植成本不高于27200元，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)；； (2)，最小值为24000元 (3) 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意得，，，从而逐个计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得，种植总成本，然后结合二次函数的性质即可判断得解； （3）依据题意，令，则，可得或，结合抛物线的开口向上，且总种植成本不高于27200元，同时，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 甲种花卉种植面积：； 乙种花卉种植面积：； 丙种花卉种植面积：； 故答案为：；；； （2）解：由题意，结合（1）可得，种植总成本 又甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过， ∴， ∴， 种植总成本， 当时，y取最小值，且最小值为24000元． （3）解：由题意：令，则， 可得或 又， 结合抛物线的开口向上，且总种植成本不高于27200元，则． 类型三、折叠与展开问题 例3．（2025·湖北襄阳·二模）综合与实践： 当下快递行业高速发展．某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧． 【探索过程】 步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔； 步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长，宽的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠，这样便可以制作完成一个长方体盒子．如图，设剪去的小正方形的边长为，长方体的长、宽、高的和为，长方体包装盒的底面积为． 【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒． 【解决问题】请按要求完成下列任务： (1)分别求y关于x，S关于x的函数解析式； (2)若设计的长方体包装盒的底面积为，求x的值； (3)经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于且不高于时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的底面积S的最大值及剪去的小正方形的边长． 【答案】(1) (2)4 (3)S的最大值为，此时小正方形的边长为3cm 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的应用，二次函数的实际应用． （1）根据题意列出y关于x，S关于x的函数解析式即可． （2）当时，解一元二次方程，并选择合适的答案即可． （3）由y的取值范围得出x的取值范围，再根据二次函数的图像和性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即． （2）解：当时，， ∴， 解得， （舍去）， 答：x的值为4． （3）解：由题意知，， ∴，解得，， ∵， 又∵， ∴当时，S随x的增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为408， 即S的最大值为，此时小正方形的边长为3cm． 变式3-1．（2025·山东青岛·一模）小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）． (1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？ (2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？ 【答案】(1)裁掉的正方形的边长为； (2)裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键． （1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为，则题意可列出方程，可求得答案； （2）由条件可求得x的取值范围，用x表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示： 设裁掉的正方形的边长为，由题意可得： ， 解得：或（舍去）． 答：裁掉的正方形的边长为； （2）解：设总费用为y元， 则 ． 又∵， ∴． ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，最小值为． 答：裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元． 变式3-2．（2025·河南濮阳·一模）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实 践 活 动 方案一： 如右图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二： 如右图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问 题 解 决 （1）在方案一中． ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值 （2）在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． （3）将（2）中的与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接 【答案】（1）①；②；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了列代数式、二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意用含x的式子表示长，并代入数值计算； （2）利用长方体的体积公式表示出图中纸盒的体积； （3）画出函数的图象，根据函数的图象解答即可． 【详解】解：（1）①根据题意，得． 答：边的长为. ②根据题意，得. ∵，， ∴当时，有最大值，即单个无盖纸盒体积的最大值为. （2）根据题意，得. （3）描点、画函数图象如解图所示． 画出方案一的函数图象，如解图所示． 由图象，可知当时，方案二的纸盒体积更大；当时，两个方案的纸盒体积一样大；当时，方案一的纸盒体积更大． 变式3-3．（2025·河南郑州·一模）综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒 如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接． (1)求证：． (2)如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）． ①该纸盒的高为x，用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围． ②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】（1）根据正方形，等边三角形的性质证明，即可求解； （2）①如图所示，作的角平分线交于点，作的角平分线交于点，两角平分线交于点，则，由含30度角的直角三角形的性质得到，，则，同理得到，由此即可求解； ②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y，则，结合二次函数求最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形 ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． （2）解：①如图所示，作的角平分线交于点，作的角平分线交于点，两角平分线交于点，则， ∴，则， ∴， 同理，， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴纸盒底面边长为：； ②纸盒侧面积存在最大值，设纸盒侧面积为y， 则， 当时，y取得最大值． 【点睛】本题主要考查正方形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，二次函数求最值的计算方法，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 类型四、动点面积问题 例4．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，，．点为边上的任意一点，过点分别作、的平行线，与、的交点分别为、，设． (1)用含的式子表示平行四边形的面积． (2)当为何值时，平行四边形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，平行四边形的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据勾股定理，先求得，，通过平行，推出，那么， ，，通过得出答案； （2）先化成顶点式，从而得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 当时，平行四边形的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的面积，平行的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 变式4-1．（2025·宁夏银川·一模）如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点作于点，连接，． (1)用t的代数式表示： ， (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． (4)当t为何值时，的面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)， (2)当时，四边形能够成为菱形； (3)当t为或时，为直角三角形； (4)当时，有最大值为． 【分析】（1）根据点的运动，含角的直角三角形的性质即可求解； （2）先证明四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，则，列方程求出即可； （3）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，如图3，②当时，如图4，③当不成立；分别找一等量关系列方程可以求出的值； （4）作于点，求得，利用三角形面积公式列得关于二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：四边形能够成为菱形，理由是： 由（1）得：， ， ， 四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ，， ， ， ， 当时，四边形能够成为菱形； （3）解：分三种情况： 当时，如图3， 则四边形为矩形， ， ，， ， ； 当时，如图4， 四边形为平行四边形， ， ， 在中，，， ， ， 则， ， 当不成立； 综上所述：当为或时，为直角三角形； （4）解：作于点， 在中，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的性质和判定，直角三角形的性质以及勾股定理，二次函数的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 类型五、销售利润问题 例5．（24-25八年级下·四川成都·期末）某商场有A、两种商品，一件商品的售价比一件A商品的售价多元，若用元购进A种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍． (1)求A、两种商品每件售价各多少元； (2)商品每件的进价为元，按原售价销售，该商场每天可销售种商品件，假设销售单价每上涨一元，种商品每天的销售量就减少件，设一件商品售价元，种商品每天的销售利润为元，求种商品销售单价为多少元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种商品每件售价元，种商品每件售价元 (2)种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查二次函数的应用，分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程和函数关系式． （1）设种商品每件售价元，根据“用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍“列方程并检验，即可得到答案； （2）根据题意得，由二次函数的最值可得答案． 【详解】（1）解：设A种商品每件售价元，则种商品每件售价元， 用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ， 种商品每件售价元，种商品每件售价元； （2）解：根据题意得： ， ， 当时，取最大值，最大值为元， 种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元． 变式5-1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商场购入一批进价为50元/个的盲盒进行销售，售价为60元/个，每个月可卖出230个，如果每个盲盒的售价上涨1元，则每月少卖10个（每个盲盒的售价不能高于75元），设每个盲盒的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元， (1)求y与x的函数关系式并直接写出x的取值范围； (2)每个盲盒的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ (3)若商场决定每销售一个盲盒就向慈善机构捐赠a元，捐赠后，为确保盲盒每月销售获得的最大利润为2250元，请直接写出a的值． 【答案】(1)，，且x为正整数； (2)当每个盲盒的售价定为66元或67时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据利润等于售价减去进价乘以销售量列式求解即可； （2）根据（1）所求把对应的解析式化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）同（1）列出对应的y关于x的二次函数关系式，根据二次函数的性质可得，在对称轴处函数有最大值，再根据最大利润建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∵每个盲盒的售价不能高于75元， ∴，且x为正整数； （2）解：∵，， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当或时，y有最大值，最大值为2720， ∴或， ∴当每个盲盒的售价定为66元或67时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元； （3）解：由题意得，， ， ∵当为整数时，有最大值，且要保证盲盒每月销售获得的最大利润为2250元， ∴为整数 ∴， 解得或（舍去）． 变式5-2．（2025·山东青岛·二模）三月樱桃花满山，五月樱桃红满市．5月1日起，某超市每天从水果批发市场购进樱桃进行销售，樱桃的进价y元/千克与第x天满足一次函数关系如图(且x为整数)，5月1日樱桃的进价为25元/千克，5月3日樱桃的进价为24元/千克．超市先按照售价为45元/千克时，能销售8千克，售价每天比前一天降低1元/千克时，销售量会增加2千克． (1)求出与的关系式； (2)写出销售过程中每天的利润(元)与的关系式；并求第几天可获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)在销售过程中，共有几天总进价不少于元？ 【答案】(1) (，x为整数) (2)(0<x<30且x为整数)，第19天可获得的利润最大，最大利润是484元 (3)在销售过程中，共有5天总进价不少于725元 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）分别将第天的售价和销量用含的代数式表示出来，再写出关于的函数关系式，根据二次函数的图象特征及的取值范围，确定当取何值值最大，求出其最大值即可； （3）根据总进价进价单价进货量这里进货量销量，表示出第天的总进价，根据题意列出关于的不等式并求其解集，符合条件的的取值个数即为答案． 【详解】（1）解：设与的关系式为、为常数，且， 将（1，25）和（3，24）分别代入， 得， 解得， 与的关系式为(且x为整数）， （2）解：根据题意得，第天的售价为元，第天的销量为千克， 则， 销售过程中每天的利润元与的关系式为(，x为整数）， ， 该二次函数开口向下，对称轴为直线，且为整数， 当时值最大，， 第天可获得的利润最大，最大利润是元． （3）解：第天的总进价为元， 根据题意，得， 整理，得， 令， ∵， ∴函数图象开口向上， ∵函数与x轴的交点为，， ∴当时，， 即当时，， 在销售过程中，共有天总进价不少于元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、二次函数求最值的方法及一元二次不等式的解法是解题的关键． 变式5-3．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【答案】(1)； (2)6月出售这种矿泉水每瓶获利最大 (3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题； （1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，根据二次函数的性质，即可求解； （3）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解． 【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱 ∴，， 根据信息③可得与售价的乘积相等，设， 代入得，， ∴，， （2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下， 依题意，， ∴ ∴当时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利最大； （3）解：依题意， 当该矿泉水需求量与供给量相等时， 解得：（舍去） 当时，， ，解得：， 总利润为（元） 答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 类型六、桥梁隧道问题 例6．（24-25九年级上·全国·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 【答案】(1) (2)可以通过 (3)可以通过 【分析】此题考查抛物线的性质及其应用，将抛物线上的两个点之间的水平距离与货车宽度作比较，从而来解决实际问题． （1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式； （2）令，解出x的值，然后将与车宽作比较即可求解； （3）隧道内设双行道后，将（2）求出时的抛物线线上两点的距离与2个车宽作比较． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， 又因为点在抛物线上， 所以有． 所以． 因此抛物线为：． （2）解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； （3）解：由（2）可知 ， ∴货车可以通过． 变式6-1．（24-25九年级上·全国·期末）小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． (1)写出M、C、N、F四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式； (3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 【答案】(1) (2)抛物线的表达式为 (3)卡车载物后的限高应是 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，合理分析图象信息是解题的关键． （1），，即可推出和的坐标，可得到的坐标；由，即可求得的坐标，根据卡车宽求出点F的坐标； （2）利用待定系数法运算求解即可； （3）根据卡车的宽度，求出隧道的高度，即可推出卡车载物后的限高应是多少米． 【详解】（1）解：由题意可得：，，点与点关于对称， ∴点的坐标为：，点的坐标为：， ∴， ∵， ∴； ∵卡车宽为， ∴， ∴； （2）解：∵抛物线的解析式为： ，把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为 ； （3）∵卡车宽为米， ∴时的高度为：， ∵到隧道顶面对应的点的距离应不小于米， ∴的最大高度为， ∴卡车载物后的限高应是米． 变式6-2．（24-25九年级上·全国·期末）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图1是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的表达式； (2)这艘货船能否安全过桥？ 【答案】(1) (2)该船能安全通过 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据经过，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先求出点D的横坐标，再代入，得出，即可作答． 【详解】（1）解：由题易知，，抛物线的顶点为点， 设抛物线的解析式为， 将分别代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：根据题意得，点D的横坐标为， 把代入， 得 ∵， ∴该船能安全通过． 变式6-3．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图1所示的是山西晋城景德桥，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米． (1)如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式． (2)现有两个宽为4米，高3米的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由． 【答案】(1) (2)两小舟能同时从桥下穿过，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． （1）设抛物线解析式为，再根据题意求解即可； （2）由题意得，令解出方程，再进行判断即可得到解答． 【详解】（1）解：由题意得，点O和点A的坐标分别为和， ∵B为函数顶点， ∴， 设抛物线解析式为， ∵顶点， ∴， 再将代入解析式可得，， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）两小舟能同时从桥下穿过，理由如下： ∵两小舟的高均为3米， ∴当时，， 解得，， ∴最大能通行的宽度为：（米）， ∵两小舟宽为4米， ∴， ∴两小舟能同时从桥下穿过． 类型七、分段函数问题 例7．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）辽宁省是我国著名的水果产区之一，很多地区的水果还被列为地标性水果，如大连樱桃、小梁山西瓜、鞍山南果梨、绥中白梨、东港草莓、盖州苹果、朝阳大枣等．某果园今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市20天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第天时，日销售量（单位：）与之间的函数关系式为草莓单价（单位：元）与之间的函数关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)设日销售额为元，当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)当时，的最大值为1560 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出与之间的函数关系式即可； （2）分和两种情况列函数关系式，根据函数的增减性求出最大值，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为． 将点代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为． （2）解：由题意，得当时，． 随的增大而增大． 当时，取最大值，最大值为． 当时，． ，抛物线的开口向下，且对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． ， 当时，取最大值，最大值为． ， 当时，的最大值为1560． 变式7-1．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）是时间x（天）的一次函数，其关系如下表： 时间x（天） 1 2 4 10 36 … 日销量m（件） 94 92 88 76 24 … 根据市场规律，未来40天内，前20天每天的价格（元/件）与时间x（天）的函数关系式为且x为整数，后20天每天的价格（元/件）与时间x（天）的函数关系式为且x为整数． (1)求日销售量m（件）与x（天）之间的关系式； (2)未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 【答案】(1) (2)未来40天中第14天日销售利润最大，最大利润578元 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题，属于中考常考题型． （1）利用待定系数法可求得一次函数关系式； （2）日利润日销售量每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论． 【详解】（1）解：设一次函数关系式为， 将，分别代入一次函数关系式中，得， 解得， ， 日销售量（件）与（天）之间的函数关系式：； （2）解：设前20天日销售利润为元，后20天日销售利润为元， 则， ，， 当时，有最大值，最大值为578； ， ，此函数图象开口向上，对称轴是直线， 在内，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为． ， 答：第14天的日销售利润最大为578元． 变式7-2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）在乡村振兴活动中，某电商正在热销一种当地特色商品，其成本为50元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为80元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用400元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中，且x为整数）． (1)求y与x的函数关系式： (2)当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价为75元时，商家所获利润最大，最大利润是6250元 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的性质，根据图象列出解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可； （2）分别求出当时与当时的销售利润解析式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，设， 将和代入，可得 ， 解得， ∴； 当时，设， 将和代入，可得 ， 解得， ∴； ∴； （2）解：当时， 销售利润， 当时，销售利润有最大值，为6250元； 当时， 销售利润， 该二次函数开口向上，对称轴为， ∴当时，销售利润有最大值，为元； ∵， ∴当售价为75元时，商家所获利润最大，最大利润是6250元． 类型八、增长率问题 例8．（2015·山东临沂·一模）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 【答案】(1)这种产品产量的年增长率为 (2)2014年这种产品的产量应达到110万件 【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率； （2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决． 【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x， 根据题意列方程得， 解得，（舍去）． 答：这种产品产量的年增长率为． （2）解：（万件）． 答：2014年这种产品的产量应达到110万件． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为． 变式8-1．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价 每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 变式8-2．（21-22九年级上·全国·课后作业）某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 【答案】，y是x的函数 【分析】根据题意可得一年后的产量是，再经过一年后的产量是，由此求解即可． 【详解】解：这种产品的原产量是，一年后的产量是，再经过一年后的产量是，即两年后的产量， 即① ①式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数． 【电锯】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 变式8-3．（2021·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 【答案】（1）20%；（2）6125000（元） 【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可； （2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值． 【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0， 由题意得：， 解得：x=0.2或x=-2.2（舍）， 答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%； （2）设多改造a户，最高投入费用为w元， 由题意得：， ∵a=-50，抛物线开口向下， ∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元， 答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解． 类型九、抛物线轨迹——抛球问题 例9．（2025·河南·模拟预测）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系． (1)求小球飞行时的高度． (2)小球的飞行高度能否达到？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，灵活运用二次函数的性质建立方程是解决问题的关键． （1）把代入函数关系式解方程即可得到结论； （2）把代入函数关系式可得方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，代入函数关系得 ， ∴小球飞行时的高度为； （2）解：小球的飞行高度能达到，理由如下： 当时，代入函数关系得：， 整理得， 解得， ∴当时，小球的飞行高度达到． 变式9-1．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 变式9-2．（2025·湖北武汉·模拟预测）某校将举行“迎五四青年节”投篮比赛，为取得好成绩，小明在课余时间进行了大量投篮练习．如图1，将篮球从点掷出，篮球在处落到地面，篮球的运动路线可看作是抛物线的一部分．为研究这个过程，小明以水平地面为轴建立如图的平面直角坐标系，点与轴的水平距离为，且距离水平地面（轴）为，点与轴的水平距离为，抛物线与轴交于点． (1)请直接写出：①抛物线的解析式为 ； ②求抛物线的顶点坐标为 (2)比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以点为中心放置一个高为，直径为的圆柱形球筐，其截面为矩形，若抛物线恒过、两点（落地点会发生变化）． ①求出解析式中与之间满足的关系式； ②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）①运用待定系数法求函数解析式即可； ②把解析式配方为顶点式，得到顶点坐标即可； （）①把点的坐标代入解析式得到和的关系式即可； ②分别求出点、的坐标，代入解析式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：①由抛物线，过点，， 得， ∴ ∴； ②∵， ∴抛物线的顶点坐标是． （2）解：①∵点的坐标为， ∵抛物线经过点， ∴，整理得：； ②∵，圆筐的截面为矩形， ∴，， 当抛物线经过点时，，解得：； 当抛物线经过点时，，解得：； 综上可得：， 变式9-3．（2025·陕西咸阳·二模）乒乓球项目在我国体育中占据着举足轻重的地位，被称为中国的“国球”．某乒乓球训练基地用乒乓球发球器对运动员进行训练，已知球台长约为，中间处球网的高度约为．现有一台乒乓球发球器，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线的一部分，从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线的一部分．乒乓球第一次接触台面在球网左侧，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．以球台所在直线为轴，发球器所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图是发球器（为发球口）其中一次发射的乒乓球的运动轨迹．已知：所在直线为，，乒乓球在段运动的最高点距乒乓球台面的距离． (1)求点的坐标； (2)当乒乓球运动到点正上方时，求乒乓球距点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是确定B，C坐标，用待定系数法求出函数解析式． （1）令中的，解方程求出x值即可； （2）根据已知条件确定出点C坐标，再确定出顶点N的坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，再令，求出y的值减去0.15即得结论． 【详解】（1）解：将代入中， 得． 解之，得． ． （2），， ， ． 抛物线的对称轴为直线， ∴顶点N坐标为， 设这条抛物线的表达式为． 将代入，得． 解得． 该抛物线表达式为． 由题意可知：． 当时，， ． 当乒乓球运动到点正上方时，乒乓球距点的距离为． 类型十、抛物线轨迹——喷水问题 例10．（2025·江西宜春·模拟预测）秋水广场，位于江西省南昌市红谷滩新区的赣江之滨，紧邻行政中心广场是一座集休闲、娱乐，观光于一体的大型城市公共空间．它因紧邻赣江，设计巧妙地融入了水元素，尤其是其拥有的亚洲最大的音乐喷泉群（图1）而闻名遐迩，成为南昌市标志性的旅游景点之一． 某一个泉眼从点O向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，在泉眼中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离泉眼中心，如图2，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求水管的长度， (2)若在第一象限的泉眼中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与之间的水平距离， ②现计划降低水管高度，使落水点恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少？ 【答案】(1)水管的长度为 (2)①景观射灯与之间的水平距离为；②水管要下降 【分析】该题考查了二次函数的应用． （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，令求出y值，即可求解； （2）①把代入解析式，即可求解； ②求出降低水管后的水柱所在抛物线的解析式，然后代入求出y值，然后求出解答即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线顶点N的坐标为，点B的坐标为， ∴设第一象限抛物线的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴第一象限抛物线的解析式为． ∵当时，， ∴． 答：水管的长度为． （2）解：①当时，， ， ， 解得（不合题意，舍去）． 答：景观射灯与间的水平距离为． ②设降低水管后，水柱所在的抛物线的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴． 当时，， ∴， 答：水管要下降． 变式10-1．（2025·贵州遵义·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度 （3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长． 【答案】（1）；（2）无人机应该下降的高度为；（3） 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷水口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值， 再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式； （2）以无人机控制中心为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒水覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， ∴所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∴点P的纵坐标为， 把代入中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 变式10-2．（2025·陕西咸阳·二模）某小区花园里安装了一个喷泉，在地面上垂直安装了一根高为的喷水管，由喷头A喷出的抛物线型水柱在与喷水管的水平距离为处达到最高，此时水柱与地面距离为．小区管理人员为提升喷泉的视觉效果，计划对该喷泉装置进行改造．如图，在水柱方向与喷水管距离的C处对应安装一个垂直于地面的落水回喷台，水柱从回喷台中心B处落入，再从B处向喷水管方向回喷抛物线型水柱，其中抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，且在距离地面处达到最高，线段表示地面，以，所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标； (2)若小区管理人员计划在地面上修建一个以O为圆心，半径为的圆形水池．请判断抛物线型水柱是否会落入该圆形水池内，并说明理由． 【答案】(1)； (2)抛物线型水柱会落入该圆形水池内，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，将点代入中，即可求解函数解析式，再将代入，即可求解点坐标； （2）设抛物线的函数表达式为，将代入中，求出抛物线的函数表达式为，将代入中，解方程，再比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 由题意得，点的横坐标为3， 将代入，得， 点的坐标为； （2）解：抛物线型水柱会落入该圆形水池内． 理由如下： 抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，且在距离地面处达到最高， 设抛物线的函数表达式为， 由（1）知，点的坐标为，将代入中， 得， 解得，（舍去）， 抛物线的函数表达式为． 当水柱落在地面上时，，将代入中， 得， 解得（舍去），， ， 抛物线型水柱会落入该圆形水池内． 类型十一、变速直线运动问题 例11．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2) (3)停车距离约为． 【分析】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用； （1）设，，结合题意可得，，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为时，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为， ∴，， ∵当骑行速度为时，反应距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∵当骑行速度为时，刹车距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时，． （2）解：设骑行速度为，而，， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：∵当刹车距离为时， ∴， 解得：，（舍去）， ∴ ∴停车距离约为． 变式11-1．（24-25九年级上·广东·期末）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据： 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：观察分析 （1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点A的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 【答案】（1）， （2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为 （3）若小球不能撞上小车， n的取值范围为 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）令，求得小球停下来的时间，再将代入y与x的函数关系解答即可； （3）假定经过t秒小球追上电动小车，得到关于t的一元二次方程，令，得到关于n的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：（1）v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系， 设v与x的函数关系为，y与x的函数关系为， 将代入，得 ， 解得， v与x的函数关系为， 将代入，得 ， y与x的函数关系为； （2）当时，则， 解得， 将代入，得 ， 当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为； （3）假定经过t秒小球追上电动小车， ， ， 由题意得， ， 若小球不能撞上小车， n的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 变式11-2．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）某科研单位为保障某种型号的无人机能安全投产，随机选择一架该种型号的无人机进行测试，测试该无人机在跑道上着陆后滑行的情况，收集到的数据如下表． 滑行时间t/s 0 1 2 3 4 … 滑行速度/（m/s） 30 28 26 24 22 … 滑行距离/m 0 29 56 81 104 … 已知该无人机在跑道上着陆后的滑行速度与滑行时间之间满足一次函数关系，滑行距离与滑行时间之间满足二次函数关系． (1)直接写出关于的函数表达式________________和关于的函数表达式_________________（不需要写出自变量范围） (2)求该无人机着陆滑行中，最后5秒滑行的距离是多少米？ (3)若该无人机在跑道上开始滑行时，发现前方处有另外一架无人机以 （）的速度匀速同向滑行，要保证被测试的无人机无法追上前方的无人机，请直接写出的范围______________． 【答案】(1)， (2)米； (3) 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出该无人机着陆滑行停止，再分别求出当和时的路程，作差即可求出答案； （3）有题意可知，，设，得到二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，将代入得到， 解得， ∴关于的函数表达式为， 设关于的函数表达式，将代入得到 解得 ∴关于的函数表达式 故答案为：， （2）当时，，解得， 即该无人机着陆滑行停止， ∴当时， 当时， ∵， 即该无人机着陆滑行中，最后5秒滑行的距离是米； （3）由题意可得，， 设， 则， ∵ ∴ ∴的对称轴在轴的右侧， ∴，即， 解得，， 故答案为： 变式11-3．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）汽车在行驶的过程中，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新能源汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过）进行测试，测得部分数据如表： 车速 0 20 40 60 80 100 刹车距离 0 6 14 24 36 50 (1)刹车距离与车速之间满足二次函数关系，求出刹车距离与车速之间的函数关系； (2)该车进入测试路段，若该路段行车的最高限速为，要求该型新能源汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距至少为多少米？ (3)在某路段上，若该型汽车的刹车距离不超过50米，直接写出车速的控制范围_________． 【答案】(1) (2)应超过米 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，由函数的函数值求自变量的运用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）当车速为时，将代入中，求出刹车距离，进而可得答案； （3）先求出时，v的值，再根据函数的性质求取值范围即可． 【详解】（1）解：设刹车距离与车速之间的函数关系式为， 把代入解析式中， 得， 解得， 刹车距离与车速之间的函数关系式为； （2）当车速为时， 将代入中， 解得刹车距离是， ， 答：安全车距应超过米； （3）． 若该型汽车的刹车距离不超过50米， 则， 不等式变形为：， 解方程， 解得（舍去）， 故车速在． 类型十二、其他问题 例12．（2024·贵州·模拟预测）如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，嘉琪在枯水期测得河道宽度米．河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为米．以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． 解决如下问题： (1)求河道轮廓的函数解析式，并求此时最大水深为多少米？ (2)在丰水期，测得水面到的距离为米． ①求此时水面截痕的长； ②嘉琪乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点E处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小球飞行轨迹的形状保持不变，要想让小球飞到河岸（即点A右侧）上，求嘉琪的小船至少要向右划行多少米？ 【答案】(1)，最大水深为米 (2)①米②至少要向右划行米 【分析】（1）过作轴交于，结合题意及抛物线的性质得，，设，将的坐标代入，求出最小值，即可求解； （2）①当时，解方程，即可求解； ②的中点为，小球轨迹为抛物线的一部分，顶点为，可得，，由对称性得，可设小球的轨迹抛物线的解析式为， 设向右划行米，小球落到点得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴交于， ， 由抛物线的对称性得， ， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得：， ； 当时， ， 最大水深为（米）， 抛物线的解析式为，最大水深为米． （2）解：①水面到的距离为米， 当时， ， 解得：，， （米）， 答：此时水面截痕的长米； ②解：如图，的中点为，小球轨迹为抛物线的一部分，顶点为， ， 由①得， 小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过、， 、关于小球轨迹所在抛物线的对称轴对称， ，， ， 可设小球的轨迹抛物线的解析式为， ， 解得：， ， 设向右划行米，小球落到点， ， 将代入得： ， 解得：，， 故嘉琪的小船至少要向右划行米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数的性质，理解题意，能熟练利用待定系数法，二次函数的性质进行求解是解题的关键． 变式12-1．（2025·陕西西安·模拟预测）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系；把锅纵断面的抛物线记为把锅盖纵断面的抛物线记为为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同），为锅深，锅盖高． (1)求抛物线的解析式； (2)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1)， (2)锅盖能正常盖上，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， （1）根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【详解】（1）解：将代入中，得 解得，， 点坐标为，点坐标为 锅口直径 设抛物线的解析式为 将点和点分别代入中， 得 解得 抛物线的解析式为 （2）解：锅盖能正常盖上 当时，抛物线， ， 而 锅盖能正常盖上． 变式12-2．（2025·河北石家庄·三模）生活情境：一天放学后，妈妈带淇淇到面馆吃面，爱思考的淇淇仔细观察盛面汤的碗，发现汤碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽，与碗底宽AB平行．当碗中装满面汤时，面汤的最大深度．以为原点，水平线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)喝掉部分面汤后，汤的表面（后面简称“汤面”）下降了至处，求此时汤面的长； (3)将面汤碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，直接写出此时汤面的长． 【答案】(1) (2)汤面的宽度为 (3) 【分析】（1）分别求出，，，设抛物线的解析式为，再将点代入即可求的值； （2）根据题意可得，求出，再求汤面的宽度为； （3）作出线段，设与轴的交点为，求出，直线与抛物线的交点为点，求出点再由两点间距离公式求的长即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，， 抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：汤面下降了， 此时汤面与碗底距离为，即， 令， 解得（舍去），， 汤面的宽度为； （3）解：，， ． 作出线段，设与轴的交点为， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，分别代入， 得，解得 直线的解析式为， 令， 解得或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，能够根据所给的问题情境，转化为二次函数的图象及性质是解题的关键． 变式12-3．（2025·陕西西安·模拟预测）西安乐华城是集休闲、娱乐、观光于一体的大型主题乐园．立环过山车“白龙飞天”是其经典项目之一．过山车的一部分轨道，可以近似的看成两段抛物线，在平面直角坐标系中，其图象如图所示，其中轨道抛物线的顶点到的距离，抛物线与轴交于点，（轨道厚度忽略不计）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在轨道距离地面处有两个点和（点在点的左侧，当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了至点，又进入下坡段至最低点，已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长． 【答案】(1)； (2)米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （）由题意知，，然后用待定系数法求出抛物线的函数解析式； （）先根据平移的性质求出物线的函数解析式，再令求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 设抛物线的函数解析式为， 把代入解析式得：， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由题意知，， 当时，， 解得，， ∴，， ∴， ∵抛物线的形状与抛物线完全相同， ∴抛物线可以看作是由抛物线向右平移个单位长度得到的， ∴抛物线的函数解析式为， 令，则， 即米． 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在相距的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高的小妹距较近的那棵树时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 m． 【答案】/ 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 根据题意，运用待定系数法，建立适当的平面直角坐标系，求得函数解析式，代入求值即可解答． 【详解】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为轴，左边树为轴建立平面直角坐标系， 由题意可得，， 设函数解析式为 把、、三点分别代入得： 解得． ． 当时，米． 故答案为：． 2．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）用总长的木板制作矩形置物架（图中外框和内部三条分割线的长度和为）．已知四边形是正方形，四边形、、是矩形，．为了便于放置物品，的长不小于，设的长为． (1)若矩形的面积为，求x的值． (2)若矩形的面积为，求S最大时，x的值． 【答案】(1)x的值为70 (2)x的值为80 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用， （1）根据题意表示出，，然后列方程求出，，然后分别代入求解判断即可； （2）表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴，， 由题意，得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意， ∴x的值为70． （2）解：由（1）知， 由题意，得， ∵的高度不小于， ∴，解得， ∴当时，S最大， ∴x的值为80． 4．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物，此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”毛绒玩具，进价为25元，经市场调查发现，销售这种毛绒玩具，每天的销售量y（件）是每件的售价x（元）（且x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如表所示： 每件的售价x（元） … 36 37 38 … 每天的销售量y（件） … 78 76 74 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式． (2)求出每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式． (3)请你分析该商店销售这种毛绒玩具，能否实现投入总成本最少且获利最大． 【答案】(1) (2) (3)能实现 【分析】本题考查了二次函数的应用，求一次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数的解析式，即可作答． （2）根据总利润等于单个利润乘上销售量进行列式，即可作答． （3）先化为顶点式，再结合二次函数的图象性质进行作答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式为． （3）解：由（2）知， ∵， ∴w有最大值， ∵， ∴当时，该商店销售这种毛绒玩具获利最大为元，此时销售量y最小，即投入总成本最少． 答：能实现投入总成本最少且获利最大． 5．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）请根据以下实际生活素材，完成项目式学习任务． 制定加工方案 生产背景 背景 某教具厂安排名工人加工一批教具，有“”“”两种样式． 因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“”教具件，或“”教具件， 要求全厂每天加工“”教具至少件 背景 每天加工的教具都能销售出去，扣除各种成本，教具厂的获利情况为：“”教具：元/件；“”教具：当每天加工件时，每件获利元；如果每天多加工件，那么平均每件获利将减少元． 信息整理 现安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具，列表如下： 教具种类 加工人数 (人) 每人每天加工量(件) 平均每件获利 (元) 探究任务 任务 探寻变量关系 求之间的数量关系． 任务 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式． 任务 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务：；任务：；任务：安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具或者安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具，能使每天总利润最大 【分析】任务：根据题意列出函数关系式即可； 任务：由题意可得“”教具平均每件获利为元，进而列出关于的函数表达式即可； 任务：根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务：由题意得，， ∴； 任务：由题意得，“”教具平均每件获利为元， ∴ ， 即； 任务：由（）得，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵且为整数， ∴当或时，的值最大，此时或， ∴安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具或者安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具，能使每天总利润最大． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）小博周末随家人采摘草莓，小博发现种植草莓的大棚使用钢结构骨架，它的横截面可以近似看作由矩形和抛物线构成，小博通过采摘园主获得了大棚的部分信息，并绘制了图象． 如图，大棚横截面下方是矩形，顶部是抛物线．取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E．若以O点为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．E点为抛物线的顶点且，，．请你解决下列问题： (1)求抛物线的解析式，并写出自变量取值范围； (2)小博观察到顶棚内部采用另一种轻质材料制作的直角三角形支架进行加固．如图，若点G在横梁段的中点处，，垂足为点G，和关于成轴对称．一个横梁上需要两个这样的直角三角形，所需这种轻质材料总长是的和．若一个大棚有15个横梁，不考虑材料损耗，请你计算，制作这样的支架，一共需要多长这种轻质材料？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，矩形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可求出点B的坐标和点E的坐标，再把解析式设为顶点式，并利用待定系数法求解即可； （2）证明四边形是矩形，得到，，则，可得，进而可得，即可求出，由勾股定理可得，由轴对称的性质可得，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，点O为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点B， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点G在横梁段的中点处， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ， 答：制作这样的支架，一共需要这种轻质材料． 7．（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 8．（2025·江西南昌·模拟预测）某课外科技活动小组研制了一种航模飞行器，通过实验，童威收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化数据如下表： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …… 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …… 飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …… 探究发现： （1）x与t、y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述，直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） 问题解决： 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机，根据上面的深究发现解决下列问题 （2）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离 （3）在安全线上设置回收区域，，．若飞机落到内（不包括端点M、N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围. 【答案】（1）， （2）飞机落到安全线时飞行的水平距离为 （3）发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于 【分析】本题主要考查一次函数的应用、二次函数的应用等知识，理解题意、灵活运用函数知识解决实际问题是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令二次函数代入函数解析式即可求解； （3）设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度，结合题意可得，然后根据题意求解即可． 【详解】解：（1）与是一次函数关系，与是二次函数关系， 设， 由题意得：， 解得：， ，． （2）依题意，得．解得，或（不合题意舍去）， 当时，水平距离． 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为． （3）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度， ∵，． ∴ ， ， ， ∵， 当时，； 当时，． ． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于. 9．（2025·湖北·模拟预测）某科技展览馆在周末开放时，统计了参观者到达展览馆检票口的情况，如果把参观者到达检票口的累计人数（为整数，单位：人）和时间（为整数，单位：分钟）的数据点标记到坐标系中，用光滑的曲线连接数据点，可近似看作的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为，．若展览馆入口处有一个自动检票机，每分钟可处理张票． (1)求与之间的函数解析式； (2)展览馆入口处排队等待检票的参观者人数最多时有多少人？ (3)检票开始后的第分钟开始，为了减少排队等候时间，展览馆在入口处临时开放了一个自动检票机，若新自动检票机每分钟可处理张票，则新机器投入使用多长时间后，展览馆检票处不再出现排队等待的情况（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)人 (3)分钟 【分析】（）利用顶点式假设出二次函数的解析式，再利用待定系数法解答即可； （）设第分钟时的排队等待人数为人，求出与之间的二次函数解析式，再利用二次函数的性质解答即可； （）设自动检票机分钟时间后，展览馆入口处不再出现排队等待的情况，根据题意可列出关于的方程，解方程即可求解； 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为， ∴可设， 将代入，得， 解得， ∴； （2）解：设第分钟时的排队等待人数为人， 由题意可得， ， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴排队等待人数最多时是人； （3）解：设自动检票机分钟时间后，展览馆入口处不再出现排队等待的情况， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， 答：自动检票机分钟时间后，展览馆入口处不再出现排队等待的情况． 10．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求水管的长度； (2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少m? 【答案】(1)米 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，令，即可求解； （2）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解． 【详解】（1）解：如图2，令水柱最高点为点C，水柱落地处为点B， 由题意可知，，， 设抛物线的表达式为， 点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的表达式为， 令，则， 水管的长度为米； （2）设水管要升高h米，则扩建后抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得， 水管要升高． 11．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，是正方形的对角线，，边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、，并过点作，垂足为，连接、设长为． (1)请判断线段在平移过程中，四边形是什么四边形，并说明理由； (2)在平移变换的过程中，当，求的面积与的函数关系式； (3)是否存在一个的值，使点在线段的垂直平分线上？ 【答案】(1)四边形是平行四边形．理由见解析 (2)的面积与的函数关系式为或 (3)存在一个的值，使点在线段的垂直平分线上 【分析】（1）根据平移的性质，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案； （2）根据正方形的性质，平移的性质，可得与的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得，根据全等三角形的判定与性质，余角的性质，可得与的位置关系； （3）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下： 四边形是正方形， 且， 由平移的性质得：， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，过作于． 如图，当点在点右侧时， 则，， ， 即； 如图，当点在点左侧时， 则，， ， 即， 综上所述，的面积与的函数关系式为或； （3）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ， ， 故存在一个的值，使点在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）请根据所提供的信息，完成探究任务． 制定建设方案 信息 设计部：如图，一个边长为的正方形花坛由块全等的小正方形组成，对每个小正方形进行统一的建设， 在小正方形中，点、、分别在、、上，且，在、两个区域上种植不同的花卉，五边形内铺设地砖，并在地砖上以正方形的中心为圆心、半径为的范围内建一个雕塑． 信息 工程部：在、两个区域上种植的花卉每平方米种植成本分别是元、元，铺设地砖的成本每平方米是元，每个雕塑费用为元． 信息 市场部：（1）投标方根据设计部与工程部提供信息自行设计方案，中标价的利润率为；（2）甲、乙、丙三家公司参与投标，他们的投标价分别为元、元、元． 任务 建立数学模型 设长为，用含有的代数式表示大正方形花坛种花卉的总成本为______，铺设地砖的总成本为______，大正方形花坛建设的总成本为______；直接写出的取值范围为______． 任务 确定实施方案 你认为哪一家公司可以中标，并说明这家公司的实施方案即求的长． 【答案】任务1：元，元，元， ；任务2：甲公司更容易中标． 【分析】本题考查二次函数的实际应用： 任务：计算种花卉的总成本，需分别计算两个三角形和的面积，再结合各自的种植单价，将两者成本相加得到总成本．核心是利用三角形面积公式底高，把面积转化为含变量的表达式，再乘以单价计算成本．计算铺设地砖的总成本，地砖铺设区域为五边形，其面积需用小正方形的总面积，减去花卉种植的两个三角形面积和圆形区域面积．得到地砖面积后，乘以地砖单价即为总成本．核心是通过“总面积减非地砖区域面积”确定地砖面积．计算大正方形花坛建设的总成本，总成本为花卉种植成本、地砖铺设成本与固定成本元的总和．将前两问得到的成本表达式代入求和，化简后得到含的总成本公式．确定的取值范围，表示的长度，而点在上，长为，因此需满足大于且小于，即； 任务：根据利润率公式成本投标价利润率，先算出各公司对应的总成本，再代入总成本表达式解方程．结合的取值范围，判断哪个公司的方程有符合条件的解，进而确定中标公司及对应的长度即值． 【详解】解：任务：在中，， ∴的面积为，其种植成本为元． 在中，因为大正方形边长为，小正方形边长为，， ∴，， ∴，其种植成本为（元）． ∴种花卉的总成本（元）． ∵小正方形的面积为，的面积为，的面积为，以为圆心、半径为的圆的面积为， ∴五边形的面积 ∴铺设地砖的成本为元． ∵大正方形花坛建设的总成本 元． ∵在上，， ∴ ． 任务：甲公司更容易中标，理由如下： 甲公司：投标价元，元． 乙公司：投标价元，元． 丙公司：投标价元，元． ∵总成本 ，是二次函数，开口向上，对称轴为， ∴ 当时，元，当时，元， ∴当时，总成本在元到元之间． ∵甲公司元、乙公司元、丙公司元，均大于实际最大总成本约元 又∵甲公司成本最低，与实际成本的差距最小，更可能满足条件． ∴甲公司更容易中标．为了节约成本，提高利润，故总成本越低越好，故． 13．（2023·陕西·中考真题）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 【答案】(1) (2)方案二的内部支架节省材料，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键 （1）先确定顶点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式； （2）分别求出方案一和方案二的内部支架材料长度，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，，为抛物线的顶点， ∴，∴顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：，即； （2）解：方案二的内部支架节省材料，理由如下： 方案一：∵，， ∴，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案一内部支架材料长度为：； 方案二：∵，， ∴，，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案二内部支架材料长度为：； ∵， ∴方案二的内部支架节省材料． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数的应用十二类题型 典例详解 类型一、围墙栅栏问题 类型二、图形切割问题 类型三、折叠与展开问题 类型四、动点面积问题 类型五、销售利润问题 类型六、桥梁隧道问题 类型七、分段函数问题 类型八、增长率问题 类型九、抛物线轨迹——抛球问题 类型十、抛物线轨迹——喷水问题 类型十一、变速直线运动问题 类型十二、其他问题 压轴专练 类型一、围墙栅栏问题 例1．（2025·天津东丽·模拟预测）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 变式1-1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 变式1-2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，为了美化环境，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植3种不同的花卉，墙的最大可用长度是，现有长为的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有两道隔栏的矩形花圃． (1)若要围成总面积为的花圃，边的长应是多少？ (2)当为多少米时，花圃的面积最大？ 变式1-3．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在一块空地上有一段长为米的旧墙，现在利用旧墙一部分（不超过）和100米长的木栏围成一个矩形菜园． (1)若，求矩形菜园面积的最大值； (2)若木栏增加米，矩形菜园面积的最大值为2800米，则的值为_____． 类型二、图形切割问题 例2．（2025·天津和平·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12． 其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1．（2025·山东潍坊·二模）如图，有一张边长为的菱形纸片，现用它裁出一个矩形纸片，矩形纸片的四个顶点、、、分别位于菱形的四条边上，且，．如何裁剪才能使裁出的矩形纸片的面积最大？最大面积是多少？ 变式2-2．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求，已知米，米，设米，种花的面积为平方米，草坪面积为平方米． (1)分别求和与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)当的长为多少米时，种花的面积为440平方米？ (3)若种花每平方米需200元，铺设草坪每平方米需100元，现设计要求种花的面积不大于440平方米，设学校所需费用（元），求与之间的函数关系式，并求出学校所需费用的最大值． 变式2-3．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）有一块矩形地块，，，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为，现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．且甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过，甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为30元、40元、60元，设三种花卉的种植总成本为y元． (1)用含x的代数式分别表示（直接写化简后的结果）： 甲种花卉种植面积______； 乙种花卉种植面积______； 丙种花卉种植面积______； (2)求种植总成本y与x的函数表达式，并求出种植总成本的最小值； (3)若总种植成本不高于27200元，直接写出x的取值范围． 类型三、折叠与展开问题 例3．（2025·湖北襄阳·二模）综合与实践： 当下快递行业高速发展．某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧． 【探索过程】 步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔； 步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长，宽的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠，这样便可以制作完成一个长方体盒子．如图，设剪去的小正方形的边长为，长方体的长、宽、高的和为，长方体包装盒的底面积为． 【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒． 【解决问题】请按要求完成下列任务： (1)分别求y关于x，S关于x的函数解析式； (2)若设计的长方体包装盒的底面积为，求x的值； (3)经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于且不高于时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的底面积S的最大值及剪去的小正方形的边长． 变式3-1．（2025·山东青岛·一模）小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）． (1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？ (2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？ 变式3-2．（2025·河南濮阳·一模）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 问题 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计） 实 践 活 动 方案一： 如右图，甲活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形 方案二： 如右图，乙活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形 问 题 解 决 （1）在方案一中． ①求制作无盖纸盒的底面边的长； ②请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式，并求出单个无盖纸盒体积的最大值 （2）在方案二中，请写出制作的每个无盖纸盒的体积与的函数关系式． （3）将（2）中的与x的几组对应值列表： 1 3 5 6 7 8 10 15 19 1444 3468 4500 4704 4732 4608 4000 1500 76 如图，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接 变式3-3．（2025·河南郑州·一模）综合与实践：制作无盖正三棱柱纸盒 如图1，正方形纸片的边长为12，在正方形内部作等边三角形，连接． (1)求证：． (2)如图2，在等边三角形的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）． ①该纸盒的高为x，用含x的代数式表示该纸盒底面的边长，并确定x的取值范围． ②该纸盒的侧面积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由． 类型四、动点面积问题 例4．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，，．点为边上的任意一点，过点分别作、的平行线，与、的交点分别为、，设． (1)用含的式子表示平行四边形的面积． (2)当为何值时，平行四边形的面积最大？最大面积是多少？ (1)用t的代数式表示： ， (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． (4)当t为何值时，的面积最大，并求出最大面积． 类型五、销售利润问题 例5．（24-25八年级下·四川成都·期末）某商场有A、两种商品，一件商品的售价比一件A商品的售价多元，若用元购进A种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍． (1)求A、两种商品每件售价各多少元； (2)商品每件的进价为元，按原售价销售，该商场每天可销售种商品件，假设销售单价每上涨一元，种商品每天的销售量就减少件，设一件商品售价元，种商品每天的销售利润为元，求种商品销售单价为多少元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 变式5-1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）某商场购入一批进价为50元/个的盲盒进行销售，售价为60元/个，每个月可卖出230个，如果每个盲盒的售价上涨1元，则每月少卖10个（每个盲盒的售价不能高于75元），设每个盲盒的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元， (1)求y与x的函数关系式并直接写出x的取值范围； (2)每个盲盒的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ (3)若商场决定每销售一个盲盒就向慈善机构捐赠a元，捐赠后，为确保盲盒每月销售获得的最大利润为2250元，请直接写出a的值． 变式5-2．（2025·山东青岛·二模）三月樱桃花满山，五月樱桃红满市．5月1日起，某超市每天从水果批发市场购进樱桃进行销售，樱桃的进价y元/千克与第x天满足一次函数关系如图(且x为整数)，5月1日樱桃的进价为25元/千克，5月3日樱桃的进价为24元/千克．超市先按照售价为45元/千克时，能销售8千克，售价每天比前一天降低1元/千克时，销售量会增加2千克． (1)求出与的关系式； (2)写出销售过程中每天的利润(元)与的关系式；并求第几天可获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)在销售过程中，共有几天总进价不少于元？ 变式5-3．（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 类型六、桥梁隧道问题 例6．（24-25九年级上·全国·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 变式6-1．（24-25九年级上·全国·期末）小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． (1)写出M、C、N、F四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式； (3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 变式6-2．（24-25九年级上·全国·期末）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图1是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的表达式； (2)这艘货船能否安全过桥？ 变式6-3．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图1所示的是山西晋城景德桥，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米． (1)如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式． (2)现有两个宽为4米，高3米的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由． 类型七、分段函数问题 例7．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）辽宁省是我国著名的水果产区之一，很多地区的水果还被列为地标性水果，如大连樱桃、小梁山西瓜、鞍山南果梨、绥中白梨、东港草莓、盖州苹果、朝阳大枣等．某果园今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市20天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第天时，日销售量（单位：）与之间的函数关系式为草莓单价（单位：元）与之间的函数关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)设日销售额为元，当时，求的最大值． 变式7-1．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）是时间x（天）的一次函数，其关系如下表： 时间x（天） 1 2 4 10 36 … 日销量m（件） 94 92 88 76 24 … 根据市场规律，未来40天内，前20天每天的价格（元/件）与时间x（天）的函数关系式为且x为整数，后20天每天的价格（元/件）与时间x（天）的函数关系式为且x为整数． (1)求日销售量m（件）与x（天）之间的关系式； (2)未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ 变式7-2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）在乡村振兴活动中，某电商正在热销一种当地特色商品，其成本为50元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为80元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用400元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中，且x为整数）． (1)求y与x的函数关系式： (2)当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 类型八、增长率问题 例8．（2015·山东临沂·一模）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率； (2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？ 变式8-1．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 变式8-2．（21-22九年级上·全国·课后作业）某种产品现在的年产量是，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 变式8-3．（2021·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设． （1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率； （2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？ 类型九、抛物线轨迹——抛球问题 例9．（2025·河南·模拟预测）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系． (1)求小球飞行时的高度． (2)小球的飞行高度能否达到？请说明理由． 变式9-1．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 变式9-2．（2025·湖北武汉·模拟预测）某校将举行“迎五四青年节”投篮比赛，为取得好成绩，小明在课余时间进行了大量投篮练习．如图1，将篮球从点掷出，篮球在处落到地面，篮球的运动路线可看作是抛物线的一部分．为研究这个过程，小明以水平地面为轴建立如图的平面直角坐标系，点与轴的水平距离为，且距离水平地面（轴）为，点与轴的水平距离为，抛物线与轴交于点． (1)请直接写出：①抛物线的解析式为 ； ②求抛物线的顶点坐标为 (2)比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以点为中心放置一个高为，直径为的圆柱形球筐，其截面为矩形，若抛物线恒过、两点（落地点会发生变化）． ①求出解析式中与之间满足的关系式； ②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围． 变式9-3．（2025·陕西咸阳·二模）乒乓球项目在我国体育中占据着举足轻重的地位，被称为中国的“国球”．某乒乓球训练基地用乒乓球发球器对运动员进行训练，已知球台长约为，中间处球网的高度约为．现有一台乒乓球发球器，乒乓球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线的一部分，从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线的一部分．乒乓球第一次接触台面在球网左侧，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．以球台所在直线为轴，发球器所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图是发球器（为发球口）其中一次发射的乒乓球的运动轨迹．已知：所在直线为，，乒乓球在段运动的最高点距乒乓球台面的距离． (1)求点的坐标； (2)当乒乓球运动到点正上方时，求乒乓球距点的距离． 类型十、抛物线轨迹——喷水问题 例10．（2025·江西宜春·模拟预测）秋水广场，位于江西省南昌市红谷滩新区的赣江之滨，紧邻行政中心广场是一座集休闲、娱乐，观光于一体的大型城市公共空间．它因紧邻赣江，设计巧妙地融入了水元素，尤其是其拥有的亚洲最大的音乐喷泉群（图1）而闻名遐迩，成为南昌市标志性的旅游景点之一． 某一个泉眼从点O向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，在泉眼中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离泉眼中心，如图2，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求水管的长度， (2)若在第一象限的泉眼中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与之间的水平距离， ②现计划降低水管高度，使落水点恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少？ 变式10-1．（2025·贵州遵义·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度 （3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长． 变式10-2．（2025·陕西咸阳·二模）某小区花园里安装了一个喷泉，在地面上垂直安装了一根高为的喷水管，由喷头A喷出的抛物线型水柱在与喷水管的水平距离为处达到最高，此时水柱与地面距离为．小区管理人员为提升喷泉的视觉效果，计划对该喷泉装置进行改造．如图，在水柱方向与喷水管距离的C处对应安装一个垂直于地面的落水回喷台，水柱从回喷台中心B处落入，再从B处向喷水管方向回喷抛物线型水柱，其中抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，且在距离地面处达到最高，线段表示地面，以，所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标； (2)若小区管理人员计划在地面上修建一个以O为圆心，半径为的圆形水池．请判断抛物线型水柱是否会落入该圆形水池内，并说明理由． 类型十一、变速直线运动问题 例11．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 变式11-1．（24-25九年级上·广东·期末）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据： 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：观察分析 （1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点A的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 变式11-2．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）某科研单位为保障某种型号的无人机能安全投产，随机选择一架该种型号的无人机进行测试，测试该无人机在跑道上着陆后滑行的情况，收集到的数据如下表． 滑行时间t/s 0 1 2 3 4 … 滑行速度/（m/s） 30 28 26 24 22 … 滑行距离/m 0 29 56 81 104 … 已知该无人机在跑道上着陆后的滑行速度与滑行时间之间满足一次函数关系，滑行距离与滑行时间之间满足二次函数关系． (1)直接写出关于的函数表达式________________和关于的函数表达式_________________（不需要写出自变量范围） (2)求该无人机着陆滑行中，最后5秒滑行的距离是多少米？ (3)若该无人机在跑道上开始滑行时，发现前方处有另外一架无人机以 （）的速度匀速同向滑行，要保证被测试的无人机无法追上前方的无人机，请直接写出的范围______________． 变式11-3．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）汽车在行驶的过程中，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新能源汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过）进行测试，测得部分数据如表： 车速 0 20 40 60 80 100 刹车距离 0 6 14 24 36 50 (1)刹车距离与车速之间满足二次函数关系，求出刹车距离与车速之间的函数关系； (2)该车进入测试路段，若该路段行车的最高限速为，要求该型新能源汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距至少为多少米？ (3)在某路段上，若该型汽车的刹车距离不超过50米，直接写出车速的控制范围_________． 类型十二、其他问题 例12．（2024·贵州·模拟预测）如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，嘉琪在枯水期测得河道宽度米．河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为米．以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系． 解决如下问题： (1)求河道轮廓的函数解析式，并求此时最大水深为多少米？ (2)在丰水期，测得水面到的距离为米． ①求此时水面截痕的长； ②嘉琪乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点E处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小球飞行轨迹的形状保持不变，要想让小球飞到河岸（即点A右侧）上，求嘉琪的小船至少要向右划行多少米？ 变式12-1．（2025·陕西西安·模拟预测）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系；把锅纵断面的抛物线记为把锅盖纵断面的抛物线记为为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同），为锅深，锅盖高． (1)求抛物线的解析式； (2)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 变式12-2．（2025·河北石家庄·三模）生活情境：一天放学后，妈妈带淇淇到面馆吃面，爱思考的淇淇仔细观察盛面汤的碗，发现汤碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽，与碗底宽AB平行．当碗中装满面汤时，面汤的最大深度．以为原点，水平线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)求图2中抛物线的解析式； (2)喝掉部分面汤后，汤的表面（后面简称“汤面”）下降了至处，求此时汤面的长； (3)将面汤碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，直接写出此时汤面的长． 变式12-3．（2025·陕西西安·模拟预测）西安乐华城是集休闲、娱乐、观光于一体的大型主题乐园．立环过山车“白龙飞天”是其经典项目之一．过山车的一部分轨道，可以近似的看成两段抛物线，在平面直角坐标系中，其图象如图所示，其中轨道抛物线的顶点到的距离，抛物线与轴交于点，（轨道厚度忽略不计）． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在轨道距离地面处有两个点和（点在点的左侧，当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了至点，又进入下坡段至最低点，已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长． 1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在相距的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高的小妹距较近的那棵树时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 m． 2．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）用总长的木板制作矩形置物架（图中外框和内部三条分割线的长度和为）．已知四边形是正方形，四边形、、是矩形，．为了便于放置物品，的长不小于，设的长为． (1)若矩形的面积为，求x的值． (2)若矩形的面积为，求S最大时，x的值． 4．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物，此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”毛绒玩具，进价为25元，经市场调查发现，销售这种毛绒玩具，每天的销售量y（件）是每件的售价x（元）（且x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如表所示： 每件的售价x（元） … 36 37 38 … 每天的销售量y（件） … 78 76 74 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式． (2)求出每天销售的总利润w（元）与x之间的函数关系式． (3)请你分析该商店销售这种毛绒玩具，能否实现投入总成本最少且获利最大． 5．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）请根据以下实际生活素材，完成项目式学习任务． 制定加工方案 生产背景 背景 某教具厂安排名工人加工一批教具，有“”“”两种样式． 因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“”教具件，或“”教具件， 要求全厂每天加工“”教具至少件 背景 每天加工的教具都能销售出去，扣除各种成本，教具厂的获利情况为：“”教具：元/件；“”教具：当每天加工件时，每件获利元；如果每天多加工件，那么平均每件获利将减少元． 信息整理 现安排名工人加工“”教具，名工人加工“”教具，列表如下： 教具种类 加工人数 (人) 每人每天加工量(件) 平均每件获利 (元) 探究任务 任务 探寻变量关系 求之间的数量关系． 任务 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式． 任务 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）小博周末随家人采摘草莓，小博发现种植草莓的大棚使用钢结构骨架，它的横截面可以近似看作由矩形和抛物线构成，小博通过采摘园主获得了大棚的部分信息，并绘制了图象． 如图，大棚横截面下方是矩形，顶部是抛物线．取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E．若以O点为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．E点为抛物线的顶点且，，．请你解决下列问题： (1)求抛物线的解析式，并写出自变量取值范围； (2)小博观察到顶棚内部采用另一种轻质材料制作的直角三角形支架进行加固．如图，若点G在横梁段的中点处，，垂足为点G，和关于成轴对称．一个横梁上需要两个这样的直角三角形，所需这种轻质材料总长是的和．若一个大棚有15个横梁，不考虑材料损耗，请你计算，制作这样的支架，一共需要多长这种轻质材料？ 7．（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 8．（2025·江西南昌·模拟预测）某课外科技活动小组研制了一种航模飞行器，通过实验，童威收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化数据如下表： 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …… 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …… 飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …… 探究发现： （1）x与t、y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述，直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） 问题解决： 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机，根据上面的深究发现解决下列问题 （2）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离 （3）在安全线上设置回收区域，，．若飞机落到内（不包括端点M、N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围. 9．（2025·湖北·模拟预测）某科技展览馆在周末开放时，统计了参观者到达展览馆检票口的情况，如果把参观者到达检票口的累计人数（为整数，单位：人）和时间（为整数，单位：分钟）的数据点标记到坐标系中，用光滑的曲线连接数据点，可近似看作的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为，．若展览馆入口处有一个自动检票机，每分钟可处理张票． (1)求与之间的函数解析式； (2)展览馆入口处排队等待检票的参观者人数最多时有多少人？ (3)检票开始后的第分钟开始，为了减少排队等候时间，展览馆在入口处临时开放了一个自动检票机，若新自动检票机每分钟可处理张票，则新机器投入使用多长时间后，展览馆检票处不再出现排队等待的情况（直接写出结果）． 10．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求水管的长度； (2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少m? 11．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，是正方形的对角线，，边在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为，连接、，并过点作，垂足为，连接、设长为． (1)请判断线段在平移过程中，四边形是什么四边形，并说明理由； (2)在平移变换的过程中，当，求的面积与的函数关系式； (3)是否存在一个的值，使点在线段的垂直平分线上？ 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）请根据所提供的信息，完成探究任务． 制定建设方案 信息 设计部：如图，一个边长为的正方形花坛由块全等的小正方形组成，对每个小正方形进行统一的建设， 在小正方形中，点、、分别在、、上，且，在、两个区域上种植不同的花卉，五边形内铺设地砖，并在地砖上以正方形的中心为圆心、半径为的范围内建一个雕塑． 信息 工程部：在、两个区域上种植的花卉每平方米种植成本分别是元、元，铺设地砖的成本每平方米是元，每个雕塑费用为元． 信息 市场部：（1）投标方根据设计部与工程部提供信息自行设计方案，中标价的利润率为；（2）甲、乙、丙三家公司参与投标，他们的投标价分别为元、元、元． 任务 建立数学模型 设长为，用含有的代数式表示大正方形花坛种花卉的总成本为______，铺设地砖的总成本为______，大正方形花坛建设的总成本为______；直接写出的取值范围为______． 任务 确定实施方案 你认为哪一家公司可以中标，并说明这家公司的实施方案即求的长． 13．（2023·陕西·中考真题）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$