专题06 等式性质与不等式性质8种常见考法归类讲义（50题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题06 等式性质与不等式性质8种常见考法归类（50题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 用不等式(组)表示不等关系 考点二 数（式）大小的比较 （一）作差法比较大小 （二）作商法比较大小 考点三 不等式的实际应用 考点四 由已知条件判断所给不等式是否正确 考点五 利用不等式的性质判断命题的真假 考点六 不等式的性质与充分、必要条件 考点七 利用不等式的性质证明简单的不等式 考点八 利用不等式的性质求范围 知识点1：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点2：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点3：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点4：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 策略方法 1、不等式a≤b的含义 a≤b的含义是a<b或a＝b.不是a<b与a＝b同时成立，该不等式才成立． 2、将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量． ②用适当的不等号连接． ③多个不等关系用不等式组表示． 3、利用不等式表示不等关系时的注意点 (1)比较大小的两个量必须具有相同的性质才可以用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．　 4、常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 5、比较两个实数的大小 基本方法有作差法、作商法、平方法，如下表： 作差法 作商法 平方法 依据 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b a>0，b>0，则>1 ⇔a>b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a<b a<0，b<0，则>1 ⇔a<b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a>b a2>b2，且a>0，b>0⇒a>b 注：（1）作差法比较两个实数大小的基本步骤图示如下： （2）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 （3）介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 6.不等式的实际应用 解决决策优化型应用题时，首先要确定制约决策优化的关键量是哪一个,然后再比较它们的大小即可．　 7.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 8.利用不等式性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． (3)注意正确的倒数法则，应该是a>b，ab>0⇒<，不能误认为是a>b⇒<，在应用时不能出错．　 9.不等式的性质与充分、必要条件 “利用不等式的性质比较大小” 与 “充分、必要条件” 的关联：前者是通过不等式性质（作差法、作商法等）确定两个量的大小关系，后者是判断这种大小关系与给定条件之间的逻辑推导关系。 10.利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 11.利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 考点一 用不等式(组)表示不等关系 1．（25-26高一·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据已知写出不等式即可. 【解析】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 2．（25-26高一·全国·课后作业）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 【答案】答案见解析 【分析】由题意列不等式组即可． 【解析】组建中型图书角x个，则组建小型图书角个， 由题意得 3．（2025·山西模拟预测）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【答案】D 【分析】分别设出各象限内横坐标、纵坐标分别为正数、负数时点的个数，根据题意列不等式，结合不等式性质求解即可. 【解析】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. 4．（2025高一·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 【答案】 【分析】根据题意列式即可. 【解析】由题意得，即. 故答案为：. 5．（2025高一·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【分析】根据题意可得，以及菜园面积，即可得不等关系. 【解析】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m， 则，菜园的另一条边长为． 可得菜园面积， 依题意有，即， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为. 考点二 数（式）大小的比较 （1） 作差法比较大小 6．（2025高一·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 【答案】 【分析】令，对进行化简后作差求解. 【解析】令，则，， ， 所以. 故答案为： 7．（25-26高一·全国·课后作业）（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小．若两式相除可以约去一些公共项，也可选用作商法比较． （2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小即可． 【解析】（1）方法一：作差法． ． 因为，所以，所以， 所以． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 所以． （2）方法一：作差法． ．因为且，所以． 又因为，所以，则 又因为，所以，即． 方法二：作商法． 因为，所以， 两式作商可得， 因为，由倒数法则可知， 又，所以由不等式的性质得， 则由同向可加性得知， 则，即． 8．（2025高一·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】作差法比较即可 【解析】（1）， 则. （2）， 则 9．（25-26高一·全国·单元测试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法可得出的大小关系． 【解析】因为，所以． 故选：C. 10．（2025高一·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【解析】因为， 所以. 故选：C. （2） 作商法比较大小 11．（2025高一·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【解析】∵，即. 又， . 故答案为：>. 12．（2025高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【解析】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 13．（2025高一·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【解析】， ， ， . 14．（2025高一·全国·课后作业）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【解析】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 15．（2025高二·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【解析】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 考点三 不等式的实际应用 16．（2025高三·河南洛阳·阶段练习）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 . 【答案】 【分析】根据已知条件列出不等式. 【解析】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本， 则提价后销售的总收入为万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： . 故答案为： 17．（2025高一·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，解出符合题意的组合即可. 【解析】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 故选：D 18．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元. 【答案】201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 【分析】设购买的商品的标价为元，根据题意列出不等式即可得到答案． 【解析】设购买的商品的标价为元，， 使用优惠券1时减免元；使用优惠券2时减免20元；使用优惠券3时减免元， 由题意，且，解得． 故答案为：201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 19．（2025高一·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 【答案】 【分析】根据已知条件列不等式，从而求得正确答案. 【解析】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为： 20．【多选】（2025高一·河北石家庄·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 【答案】ABD 【分析】设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节，根据题意列出、满足的约束条件，求出的取值范围，进而得出答案． 【解析】解：设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节， 则，则，解得， ，解得，所以，， 则或或，共种方案． 故选：ABD． 考点四 由已知条件判断所给不等式是否正确 21．【多选】（25-26高一·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，由不等式性质的同向可加性可判断；对于B，当时，不等式不成立；对于C，根据不等式性质同乘一个正数不等号方向不变；对于D，可举例判断. 【解析】由，得，则A符合题意； 当时，满足， 此时，则，B不符合题意； 由，得，C符合题意； 当时，满足， 此时，则，D不符合题意. 故选：AC. 22．【多选】（25-26高一·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用不等式性质及所给条件依次判断各项的正误. 【解析】因为，不等式两边同乘，不等号改变方向，所以， 又，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，所以， 由等价于，由题中条件无法得到此式， 例如取，则，C错误； 因为，所以，所以， 所以，又，所以，D正确． 故选：ABD 23．（25-26高一·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【解析】由，得，而， 所以，得，故，B错误； 因为，所以，所以，A错误； 由两边同时乘以，且，所以，C错误； 由两边同时乘以，且，得，D正确． 故选：D 24．（25-26高三·北京丰台·开学考试）设，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质可判断AB，利用作差法可判断D，利用举反例法可判断C. 【解析】对于A，由，两边同时乘以得：，故A正确； 对于B，由，两边同时加上可得：，故B正确； 对于D，由，可知，故D正确； 对于C，当时，不等式不成立，故C错误； 故选：C. 25．【多选】（25-26高一·全国·课前预习）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】应用不等式性质及特殊值法判断各项的正误. 【解析】取，则，A错误； 由题设，得，B正确； 由于,故, 则，C正确； 取，则，D错误． 故选：BC 考点五 利用不等式的性质判断命题的真假 26．（2025高一·江苏·专题练习）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【分析】对于A，当时即可判断，对于B，利用作差法即可判断，对于C，取即可判断，对于D，利用作差法即可判断. 【解析】 对于A，当时，，故A错误； 对于B：因为 ，则，所以，，所以，故B正确， 对于C，取，满足，显然不成立，故C错误； 对于D： ，因为，得，又，所以，所以，故D错误. 故选：B 27．（25-26高三·陕西西安·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【解析】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 28．（25-26高一·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【解析】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B 29．（25-26高一·全国·课后作业）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可求解. 【解析】加入克糖后糖水变甜了，即糖水的浓度增加了. 加糖之前，糖水的浓度为；加糖之后，糖水的浓度为，所以. 故选：A. 30．（2025高一·广东江门·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；作差推理判断D. 【解析】对于A，取，则，，此时，A错误； 对于B，取，则，，此时，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，由，得，， 因此，即，D正确. 故选：D 　 考点六 不等式的性质与充分、必要条件 31．（2025高二·上海杨浦·期末）已知、，则“”是“”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【解析】当时，满足，但， 所以由不能得到. 当时，由不等式的基本性质得， 所以由能推出. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 32．（2025高一·江西宜春·阶段练习）已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性. 【解析】若，又，所以，所以“”是“”的充分条件； 若，，，，满足，但是，所以“”不是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 33．（2025高二·江苏常州·期中）已知，；，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解析】若，，不妨取，，则不成立，即， 若，，由不等式的基本性质可得，，则成立，即， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 34．（2025高一·北京·期中）已知a，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件以及必要条件的定义，可得答案. 【解析】当时，由，则；由，则. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 35．（2025高一·上海·期中）若、、，则下列条件中，使“”成立的充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项分析判断； 【解析】选项A：可以推出，充要条件，选项错误； 选项B：解得，推不出，是“”成立的必要不充分条件，选项错误； 选项C：可以推导出，但是时不成立，是“”成立的充分非必要条件，选项正确； 选项D：,当时，不成立，选项错误； 故选：C. 考点七 利用不等式的性质证明简单的不等式 36．（25-26高一·全国·课后作业）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 【答案】糖水不等式，；证明见解析 【分析】根据题意分析加糖前后糖水浓度的变化即可得糖水不等式；根据糖水不等式，结合三角形三边关系可得，，，将以上不等式左、右两边分别相加即可证明. 【解析】根据糖在糖水中所占的比例变大，则糖水变甜，得到不等式，. 证明：因为为三角形的三边长，则有，，， 由糖水不等式可得，，， 将以上不等式左、右两边分别相加，得， 即. 37．（25-26高一·全国·课前预习）已知，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】应用不等式的性质得，利用同正相乘符号不变，即可证. 【解析】因为，所以， 所以，即， 因为，所以． 38．（2025高一·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【解析】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 39．（2025高一·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解析】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 40．（2025高一·北京西城·阶段练习）设，求证. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，得到，结合，得到，即可得证. 【解析】由， 因为，可得， 所以，即，所以. 考点八 利用不等式的性质求范围 41．（25-26高一·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得到，求得，得到，即可求解. 【解析】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 故选：B. 42．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【解析】因为， 所以，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则. 故答案为： 43．（25-26高一·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】先将用，表示出来，根据已知的与的取值范围，再利用不等式的性质求的取值范围. 【解析】设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 故选：. 44．（25-26高一·全国·单元测试）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，先求出的取值范围，再通过同向不等式相加得到的范围，再由正数的可乘方性即可得出结果. 【解析】由不等式可乘性得，由同向可加性得，由正数的可乘方性得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 45．（25-26高一·全国·单元测试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【解析】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 46．（25-26高一·全国·课前预习）已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先设出，求出，，再结合不等式的性质解出即可； 【解析】令，则解得， 故，由，得， 又，故，即． 故答案为： 47．（25-26高一·全国·课后作业）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得，再应用换元法，令分别求出最值，即可得范围. 【解析】，则， ，则， 令，， 则， ， 当时，当时均满足题意， . 故选：B 48．【多选】（2025高三·全国·专题练习）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由不等式的性质逐一验算各个选项即可求解. 【解析】记①，②，因为， 所以由①②得，A错误，B正确； 由①，②得，， 两式相加得，所以，C正确，D错误． 故选：BC. 49．（25-26高一·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ii）． 【分析】（1）应用不等式的性质及已知求目标式的范围； （2）（i）联立已知不等式即可求范围；（ii）法一：首先求得，再由不等式性质求范围；法二：应用换元法及法一的过程求范围. 【解析】（1）因为，所以，又，所以． 因为，所以． （2）（i），，两式相加得，解得， 所以的取值范围为． （ii）法一：令，所以， 所以则所以． 因为，，所以，， 所以． 法二：令则且 所以． 由得，， 所以，即. 50．【多选】（2025高一·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断. 【解析】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴， 即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，， 又， ∴，所以，D正确. 故选：ACD. $$【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题06 等式性质与不等式性质8种常见考法归类（50题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 用不等式(组)表示不等关系 考点二 数（式）大小的比较 （一）作差法比较大小 （二）作商法比较大小 考点三 不等式的实际应用 考点四 由已知条件判断所给不等式是否正确 考点五 利用不等式的性质判断命题的真假 考点六 不等式的性质与充分、必要条件 考点七 利用不等式的性质证明简单的不等式 考点八 利用不等式的性质求范围 知识点1：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点2：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点3：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点4：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 策略方法 1、不等式a≤b的含义 a≤b的含义是a<b或a＝b.不是a<b与a＝b同时成立，该不等式才成立． 2、将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量． ②用适当的不等号连接． ③多个不等关系用不等式组表示． 3、利用不等式表示不等关系时的注意点 (1)比较大小的两个量必须具有相同的性质才可以用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．　 4、常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 5、比较两个实数的大小 基本方法有作差法、作商法、平方法，如下表： 作差法 作商法 平方法 依据 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b a>0，b>0，则>1 ⇔a>b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a<b a<0，b<0，则>1 ⇔a<b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a>b a2>b2，且a>0，b>0⇒a>b 注：（1）作差法比较两个实数大小的基本步骤图示如下： （2）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 （3）介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 6.不等式的实际应用 解决决策优化型应用题时，首先要确定制约决策优化的关键量是哪一个,然后再比较它们的大小即可．　 7.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 8.利用不等式性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． (3)注意正确的倒数法则，应该是a>b，ab>0⇒<，不能误认为是a>b⇒<，在应用时不能出错．　 9.不等式的性质与充分、必要条件 “利用不等式的性质比较大小” 与 “充分、必要条件” 的关联：前者是通过不等式性质（作差法、作商法等）确定两个量的大小关系，后者是判断这种大小关系与给定条件之间的逻辑推导关系。 10.利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 11.利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 考点一 用不等式(组)表示不等关系 1．（25-26高一·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（25-26高一·全国·课后作业）为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来． 3．（2025·山西模拟预测）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 4．（2025高一·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 5．（2025高一·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 考点二 数（式）大小的比较 （1） 作差法比较大小 6．（2025高一·上海·专题练习）若，，则M、N的大小关系是M N 7．（25-26高一·全国·课后作业）（1）设，试比较与的大小． （2）已知且，试比较与的大小． 8．（2025高一·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 9．（25-26高一·全国·单元测试）若，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． （2） 作商法比较大小 11．（2025高一·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 12．（2025高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 13．（2025高一·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 14．（2025高一·全国·课后作业）若，求证：． 15．（2025高二·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 考点三 不等式的实际应用 16．（2025高三·河南洛阳·阶段练习）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 . 17．（2025高一·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 18．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元. 19．（2025高一·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 20．【多选】（2025高一·河北石家庄·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 考点四 由已知条件判断所给不等式是否正确 21．【多选】（25-26高一·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 22．【多选】（25-26高一·全国·课前预习）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高一·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高三·北京丰台·开学考试）设，则下列选项中不正确的是（    ） A． B． C． D． 25．【多选】（25-26高一·全国·课前预习）已知实数满足，则（   ） A． B． C． D． 考点五 利用不等式的性质判断命题的真假 26．（2025高一·江苏·专题练习）若、、为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 27．（25-26高三·陕西西安·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 28．（25-26高一·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 29．（25-26高一·全国·课后作业）糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（2025高一·广东江门·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 　 考点六 不等式的性质与充分、必要条件 31．（2025高二·上海杨浦·期末）已知、，则“”是“”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 32．（2025高一·江西宜春·阶段练习）已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 33．（2025高二·江苏常州·期中）已知，；，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 34．（2025高一·北京·期中）已知a，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 35．（2025高一·上海·期中）若、、，则下列条件中，使“”成立的充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 考点七 利用不等式的性质证明简单的不等式 36．（25-26高一·全国·课后作业）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.并利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. 37．（25-26高一·全国·课前预习）已知，证明：． 38．（2025高一·全国·课前预习）已知，求证：． 39．（2025高一·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 40．（2025高一·北京西城·阶段练习）设，求证. 考点八 利用不等式的性质求范围 41．（25-26高一·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（25-26高一·全国·课后作业）已知，，则的取值范围是 . 43．（25-26高一·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 44．（25-26高一·全国·单元测试）已知，则的取值范围是 . 45．（25-26高一·全国·单元测试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26高一·全国·课前预习）已知，，则的取值范围为 ． 47．（25-26高一·全国·课后作业）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．【多选】（2025高三·全国·专题练习）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 49．（25-26高一·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 50．【多选】（2025高一·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 $$