专题强化01：三角形题型归纳【十大题型】-2025-2026学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》讲与练高分突破（人教版2024）

专题强化01：三角形题型归纳 【题型归纳】 题型一：三角形的认识与分类 题型二：三角形的稳定性 题型三：三角形的三边关系 题型四：三角形的高 题型五：三角形的中线问题 题型六：三角形的角平分线问题 题型七：三角形重心问题 题型八：三角形内角和定理 题型九：三角形外角和性质 题型十：三角形的综合问题 【题型突破】 题型一：三角形的认识与分类 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东德州·期末）若的三个内角之比是，则是（   ） A．锐角三角形 B．各边不相等的直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25八年级上·山西大同·期中）下列命题正确的是（    ） A．有一个角是的三角形是等边三角形 B．三根小棒的长度分别是1、6、7，它们可以拼成一个三角形 C．一个三角形的三个内角的度数比是1:2:3，这个三角形是直角三角形 D．三角形的三条高线的交点在三角形的内部 题型二：三角形的稳定性 4．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东德州·期末）小明做了一个长方形框架，加上了如图所示的木条，他这样做的原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．角平分线上的点到角的两边的距离相等 C．三角形具有稳定性 D．两点之间线段最短 6．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）黔东南州黄平县有世界上唯一一处修建于三个不同历史时期的桥梁群——“重安三朝桥”．如图1，分别为清朝时期的铁索桥、民国时期的钢架桥和新中国时期的曲拱桥．处于中间的钢架桥，侧面有很多钢架结构，示意图如图2所示，其中蕴含的数学原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．四边形具有不稳定性 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 题型三：三角形的三边关系 7．（24-25八年级上·西藏山南·期末）以下列各组数据为边长，能构成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，4，8 C．3，7，10 D．10，4，5 8．（24-25七年级下·河北衡水·期末）为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知一等腰三角形的周长为，其中一边长．则三角形的腰长为（　　） A． B．或 C．或 D． 题型四：三角形的高 10．（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·全国·期末）下面四个图形中，线段是的高的是（　　） A．B．C．D． 题型五：三角形的中线问题 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 14．（24-25八年级上·西藏山南·期末）如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 15．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 题型六：三角形的角平分线问题 16．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，，则的周长为（　　） A．12.5 B．7.5 C．8 D．9.5 17．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，为的角平分线，为上一点（不与、重合），于点．若，，求的度数．    18．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，，求的度数． 题型七：三角形重心问题 19．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，点是的重心，连接并延长交于点．连接并延长交于点，则下列说法一定正确的是（   ） A．是的高 B．是的角平分线 C．是的中线 D．与的面积相等 20．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（    ） A．平分 B． C． D．的周长等于的周长 21．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交于D点、E点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八：三角形内角和定理 22．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数． 24．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角平分线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型九：三角形外角和性质 25．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 26．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在三角形中，点是上一点，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 27．（24-25八年级下·全国·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P． (1)试探索与的关系； (2)若，求的度数． 题型十：三角形的综合问题 28．（25-26八年级上·河北邯郸·开学考试）如图，已知在中，是高，是角平分线，是边中点，，． (1)求和的度数； (2)①若的面积为10，则的面积为______； ②若比的周长大3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答． 29．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）【动手探究】 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）： (1)若，则的度数为________． (2)若，则的度数为________． (3)由（2）猜想与的数量关系，并说明理由． (4)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 30．（25-26八年级上·河北邯郸·开学考试）如图1，已知，两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．为三条内角平分线的交点，连接． (1)如图2，当，求的度数； (2)①下列不随点位置的变化而变化的是______；（多选） A．        B．        C． ②在点的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连接并延长，与的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·河南郑州·三模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，，，，，则的度数是（） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，D为上一点，，E为上一点，，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．D为的中点 D．图中的对边是 7．（25-26八年级上·全国·课前预习）三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 8．（2025八年级上·全国·专题练习）若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 二、填空题 10．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为 ． 11．（25-26八年级上·吉林长春）如图，在中，于平分与交于点，则的大小为 度． 12．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ． 13．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，将一角折叠，若，则 ． 14．（25-26八年级上·四川绵阳）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，，，那么的度数是 15．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点，若，则的度数为 ． 三、解答题 16．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，中，D为边上一点，过D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 17．（25-26八年级上·全国·周测）如下图，D，E，F分别是三边延长线上的点，．求的度数． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 20．（25-26八年级上·全国）在中，是中的角平分线． (1)若是的高，且（如图1），求的度数； (2)若F是上一点，且，垂足为G（如图2），求证：； (3)若F是延长线上一点，且为垂足（如图3），（2）中结论是否依然成立？ 21．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知和，，，将按一定方式摆放，使的两条边分别经过点和点． (1)若将按如图1所示方式摆放，则 度； (2)若将按如图2所示方式摆放，求的度数； (3)在（2）中， （填“存在”或“不存在”）某一位置，同时使平分，平分． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化01：三角形题型归纳 【题型归纳】 题型一：三角形的认识与分类 题型二：三角形的稳定性 题型三：三角形的三边关系 题型四：三角形的高 题型五：三角形的中线问题 题型六：三角形的角平分线问题 题型七：三角形重心问题 题型八：三角形内角和定理 题型九：三角形外角和性质 题型十：三角形的综合问题 【题型突破】 题型一：三角形的认识与分类 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东德州·期末）若的三个内角之比是，则是（   ） A．锐角三角形 B．各边不相等的直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求出最大角的度数，进行判断即可． 【详解】解：由题意：， ∴的三个内角度数为，， ∴是等腰直角三角形， 故选：D． 3．（24-25八年级上·山西大同·期中）下列命题正确的是（    ） A．有一个角是的三角形是等边三角形 B．三根小棒的长度分别是1、6、7，它们可以拼成一个三角形 C．一个三角形的三个内角的度数比是1:2:3，这个三角形是直角三角形 D．三角形的三条高线的交点在三角形的内部 【答案】C 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形的性质，等边三角形的性质，三角形三边的关系，进行解答，即可． 【详解】解：A、有一个角是的三角形不一定是等边三角形，错误，不符合题意； B、三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，，，即三根小棒的长度分别是、、，它们不可以拼成一个三角形，错误，不符合题意； C、三角形的内角和为，三个内角的度数比是1:2:3，则三个角分别为：，，，是直角三角形，正确，符合题意； D、三角形的三条高线的交点不一定在三角形的内部，错误，不符合题意； 故选：C． 题型二：三角形的稳定性 4．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：根据三角形具有稳定性可知，使矩形镜框不易变形的是C． 故选：C． 5．（24-25八年级上·山东德州·期末）小明做了一个长方形框架，加上了如图所示的木条，他这样做的原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．角平分线上的点到角的两边的距离相等 C．三角形具有稳定性 D．两点之间线段最短 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性是解此题的关键． 【详解】解：长方形框架容易变形，加上了如图所示的木条，把它变成两个三角形，根据三角形的稳定性，此时长方形框架不变形了， 他这样做的原理是三角形具有稳定性， 故选：C． 6．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）黔东南州黄平县有世界上唯一一处修建于三个不同历史时期的桥梁群——“重安三朝桥”．如图1，分别为清朝时期的铁索桥、民国时期的钢架桥和新中国时期的曲拱桥．处于中间的钢架桥，侧面有很多钢架结构，示意图如图2所示，其中蕴含的数学原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．四边形具有不稳定性 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性质，根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：处于中间的钢架桥，侧面有很多钢架结构，其中蕴含的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：A． 题型三：三角形的三边关系 7．（24-25八年级上·西藏山南·期末）以下列各组数据为边长，能构成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．4，4，8 C．3，7，10 D．10，4，5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系逐项判断即可得解. 【详解】解：A、因为，，，所以3，4，5满足三边关系，故能构成三角形； B、因为，两边之和等于第三边，所以4，4，8不满足三边关系，故不能构成三角形； C、因为，两边之和等于第三边，所以3，7，10不满足三边关系，故不能构成三角形； D、因为，两边之和小于第三边，所以10，4，5不满足三边关系，故不能构成三角形． 故选：A ． 8．（24-25七年级下·河北衡水·期末）为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 9．（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知一等腰三角形的周长为，其中一边长．则三角形的腰长为（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系、二次根式运算等知识，根据等腰三角形的性质和三角形三边关系，分两种情况讨论已知边为底边或腰的情况，即可获得答案． 【详解】解：当已知边为底边时，底边长为，设腰长为， 则周长为：， 解得， 此时三边为、、， 验证三角形三边关系， 因此腰长为； 当已知边为腰时，腰长为，设底边长为， 则周长为，解得， 此时三边为、、， 验证三角形三边关系，，因此此情况不符合题意． 综上，该三角形的腰长为． 故选：D． 题型四：三角形的高 10．（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； B、图形中，能表示的边上的高，本选项符合题意； C、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； D、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意； 故选：B． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，于C，于D，于E，以下线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是关键．由三角形的高的定义容易得出结论． 【详解】解：由三角形的高的定义可知， 在中，于C， ∴是中边上的高， 故选：C． 12．（24-25八年级上·全国·期末）下面四个图形中，线段是的高的是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：B、C、D选项中线段不能表示任何边上的高， A选项中线段表示中边上的高． 故选：A． 题型五：三角形的中线问题 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质，根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点作，， 为的角平分线， ， ，， ， 为中点， ， 设，，则， ， ． 故选：B． 14．（24-25八年级上·西藏山南·期末）如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，且的面积是1， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 15．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 题型六：三角形的角平分线问题 16．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，，则的周长为（　　） A．12.5 B．7.5 C．8 D．9.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，两直线平行内错角相等，等角对等边等知识点，由已知条件推出，是解题的关键． 由三角形角平分线的定义可得，，由两直线平行内错角相等可得，，进而可得，，由等角对等边可得，，然后利用等量代换即可求出的周长． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故选：． 17．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，为的角平分线，为上一点（不与、重合），于点．若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形角平分线的定义，三角形外角性质，由得，即得，进而得到，再根据三角形角平分线的定义得，，最后根据三角形外角性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】．解：， ， ， ， ， ， 平分， ， 是的外角， ． 18．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线、外角等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）由三角形中线的概念可得，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案； （2）由三角形的高的概念可得，由三角形角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，于是得解． 【详解】（1）解：是的中线， ， ，， 与的周长差 ， 故答案为：； （2）解：， ， 是的角平分线，， ， ． 题型七：三角形重心问题 19．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，点是的重心，连接并延长交于点．连接并延长交于点，则下列说法一定正确的是（   ） A．是的高 B．是的角平分线 C．是的中线 D．与的面积相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的重心的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵三角形的重心是三角形三边中线的交点， ∴是的中线，是的中线，故ABC不符合题意； ∴， ∴与的面积相等，故D符合题意； 故选：D． 20．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（    ） A．平分 B． C． D．的周长等于的周长 【答案】C 【分析】本题考查三角形重心的定义．掌握三角形重心为三边中线的交点是解题关键．根据三角形重心的定义可知为中线，即可选择． 【详解】解：因为的重心为，点在线段上， 所以，故C符合题意； 不一定平分，不一定垂直，只有当时的周长等于的周长， 所以A、B、D都不符合题意． 故选C． 21．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交于D点、E点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是重心的概念，掌握重心的定义是解题关键，根据定义直接判断即可． 【详解】解：点F是的重心， 是的中线， ， 故选：A． 题型八：三角形内角和定理 22．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 23．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质；能熟练利用三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质进行求解是解题的关键． 由三角形内角和定理，直角三角形的特征得，再由即可求得；由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由三角形的外角性质得，． 24．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角平分线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）已知，平分，平分，根据角平分线的定义得到的度数，根据内错角相等，两直线平行，即可判断本问结论； （2）根据两直线平行，内错角相等，可得，即可得到的度数，从而求出的度数；已知、分别为、的角平分线，根据角平分线的定义可得的度数，结合三角形内角和即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵、分别为、的角平分线， ∴， ∴． 题型九：三角形外角和性质 25．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由平分得到，由三角形外角的性质得到， （2）证明是等边三角形，则，由三角形周长得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2）∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵与的周长分别为和， ∴， ∴， ∴． 26．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在三角形中，点是上一点，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由得到，结合，利用三角形内角和定理求出，由得到，再利用三角形外角的性质即可求出的度数； （2）设，根据等边对等角和三角形外角的性质表示出，再利用三角形内角和定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 27．（24-25八年级下·全国·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P． (1)试探索与的关系； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是关键， （1）先得出，根据角平分线定义得出，进而证明结论； （2）过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，证明，得出平分，即可求出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M， ∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上， 即平分， 由（1）得， ∴， ∴． 题型十：三角形的综合问题 28．（25-26八年级上·河北邯郸·开学考试）如图，已知在中，是高，是角平分线，是边中点，，． (1)求和的度数； (2)①若的面积为10，则的面积为______； ②若比的周长大3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答． 【答案】(1)； (2)①5；②能；；理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键． （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据外角性质求出结果即可；根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）①根据三角形的中线的概念得到，再根据的面积为10求出结果即可； ②根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：是的高， ， ， ， ∴， 是的角平分线，， ， ∴． （2）解：①是中点， ， ∵的面积为10， ∴； ②能，，理由如下： ∵，与的周长差为3， ， ， ， ， 29．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）【动手探究】 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）： (1)若，则的度数为________． (2)若，则的度数为________． (3)由（2）猜想与的数量关系，并说明理由． (4)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析； (4)存在，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的判定及直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （3）根据以及，进行计算即可得出结论； （4）分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别求得角度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解： ，理由如下： ∵， 又∵， ∴， ∴； （4）解：存在，，理由如下： 当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴； 当时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图： ∵， ∴， ∴； 当时，如图： ∵， ∴， ∴； 当时，延长，交的延长线于点，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．（25-26八年级上·河北邯郸·开学考试）如图1，已知，两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．为三条内角平分线的交点，连接． (1)如图2，当，求的度数； (2)①下列不随点位置的变化而变化的是______；（多选） A．        B．        C． ②在点的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连接并延长，与的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①A、B、C；②不变； (3)在中有一个角是另一个角的倍时，为或 【分析】（1）根据题意，则，；再根据，，求出的角度，最后根据，即可； （2）①根据邻补角，三角形内角和定理逐项进行判断即可； ②根据题意，则，，再根据三角形的内角和，，即可； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可． 【详解】（1）解：∵点为三条内角平分线交点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）解：①A．，即不随点位置的变化而变化，故A符合题意； B．，即不随点位置的变化而变化，故B符合题意； C． ， 即不随点位置的变化而变化，故C符合题意； ②不变，理由如下： ∵点为三条内角平分线交点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵点为三条内角平分线交点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的倍， ∴， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：（舍去）； ∴在中有一个角是另一个角的倍时，为或． 【点睛】本题考查三角形的内角和与外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济南·期中）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为度求出这个三角形最大的内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为， ∴这个三角形最大的内角度数为， ∴这个三角形是锐角三角形， 故选：A． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合角平分线的定义，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 又平分， ． 故选：B． 3．（2025·河南郑州·三模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，，，，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据平角的定义即可求出的度数，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 延长，交于点M，由，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出的度数，再利用三角形的外角性质可求出的度数，即可解答． 【详解】解：延长，交于点M，如图 ∴， ∴， ∴． 故选C． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，首先由垂直定义得到，利用角平分线求出，根据三角形内角和定理求得，即可根据，得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，平分， ∴ ∴ ∵， ∴． 故选C． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，D为上一点，，E为上一点，，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．D为的中点 D．图中的对边是 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线定义，在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线． 根据三角形的中线定义分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴是的中线，故选项A不符合题意； B、∵， ∴是的中线，故选项B不符合题意； C、∵， ∴D为的中点，故选项C不符合题意； D、在中，是的对边，故选项D符合题意； 故选：D． 7．（25-26八年级上·全国·课前预习）三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 【答案】A 【分析】根据三角形的分类情况可得答案． 此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握三角形的分类一种是按边分类，另一种按角分类． 【详解】解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：A． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：由三角形的三边关系得，，，， ∴，，， ∴原式， 故选：． 9．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角与外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． 利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算即可． 【详解】解：∵与的平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即； 同理：， ， …… ． 故选A． 二、填空题 10．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解： 故答案为： 11．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，于平分与交于点，则的大小为 度． 【答案】110 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义，求出的度数，垂直得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：110 12．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 连接，根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知阴影部分的面积是的面积的，依此可求解． 【详解】解：连接， 点D、E、F分别是线段、、的中点， ，，， ， ∴， 的面积为10， ， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，将一角折叠，若，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·四川绵阳）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，，，那么的度数是 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义．注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 由，，根据三角形外角的性质，可求得的度数，又由角平分线的定义，求得的度数，又由三角形外角的性质，求得的度数． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义以及平行线的性质．利用三角形的外角性质，可得出，由，利用“两直线平行，同位角相等”，可得出，，结合角平分线的定义，可得出，，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【详解】是的外角， ． ∵， ，． 平分，平分， ，， ． 又是的外角， ， 即， ． 故答案为：． 三、解答题 16．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，中，D为边上一点，过D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，，，等量代换可得，即可得解； （2）根据三角形的内角和求出，即得，根据对顶角相等得到，再根据三角形的外角定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．（25-26八年级上·全国·周测）如下图，D，E，F分别是三边延长线上的点，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，通过角度的和差关系与代数运算是解题的关键． 首先根据三角形外角的性质，建立等式关系，将的三个角分别用含有的关系式表达出来，再根据三角形内角和为，得到，代入含有的关系式，进行化简运算即可． 【详解】解：， ． ， ， ． 故的度数为： 18．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又∵， ∴ ， 即． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 20．（25-26八年级上·全国）在中，是中的角平分线． (1)若是的高，且（如图1），求的度数； (2)若F是上一点，且，垂足为G（如图2），求证：； (3)若F是延长线上一点，且为垂足（如图3），（2）中结论是否依然成立？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立．证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角定理，角平分线的有关计算，熟练掌握三角形内角和定理，外角定理是解题的关键． （1）先由三角形内角和定理求得，由角平分线得到，根据互余关系求解，再由即可求解； （2）由互余和三角形外角性质得到，，再由三角形内角和定理得到，然后代入化简即可； （3）同（2）解题思路即可求解． 【详解】（1）解：由题意得． 又是的角平分线， ． 又是的高， ． ． （2）证明：∵ ， ∵， 又， ． （3）解：成立，理由如下． 证明：同理，，， 又， ． 即． 21．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知和，，，将按一定方式摆放，使的两条边分别经过点和点． (1)若将按如图1所示方式摆放，则 度； (2)若将按如图2所示方式摆放，求的度数； (3)在（2）中， （填“存在”或“不存在”）某一位置，同时使平分，平分． 【答案】(1)240 (2) (3)不存在 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据三角形内角和为和已知条件，求出和的度数，再次利用三角形内角和定理求出，最后根据，代入进行计算即可； （2）先根据三角形内角和为和已知条件，求出和的度数，再次利用三角形内角和定理求出，最后根据，代入进行计算即可； （3）先根据已知条件，求出，假设、同时平分和，求出，根据三角形内角和定理进行解答判断即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：240． （2）解：，， ， ，， ， ， ， ． （3）解：， ， ， 若、同时平分和， 则， ，与三角形内角和定理相矛盾， 不能将摆放到某个位置时，使得、同时平分和， 故答案为：不存在． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$