2.6应用一元二次方程第2课时教学设计2025-2026学年北师大版数学九年级上册

本文聚焦利用一元二次方程解决商品销售利润问题，涵盖价格调整对销量及总利润影响分析。承接前一课时几何面积建模思路，为二次函数解决利润最值奠基。通过实际问题引导学生建模求解，培养数学建模、数据分析能力，渗透用数学语言表达现实世界的素养。 本设计采用情境具象化、问题链引导等策略，特色鲜明。能帮助学生突破难点，提升解决实际问题能力；为教师提供清晰授课路径，高效备课；增强课堂互动性，凸显数学与生活紧密联系。

2.6应用一元二次方程第2课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是九年级上册第二章一元二次方程第六节第二课时，核心内容为利用一元二次方程解决商品销售中的利润问题，包括“单件利润与销售量关系”“总利润最值初步感知”两类典型题型，具体涉及价格调整（涨价/降价）对销售量、总利润的影响分析。 （二）教学内容解析 地位与作用：本节是一元二次方程解法的实际应用延伸，也是“数学建模”思想在经济生活中的具体体现。承接了前一课时“几何面积问题”的建模思路，又为后续二次函数解决利润最值问题奠定基础，是连接方程与函数的关键过渡内容。 核心要点：关键在于引导学生理解“总利润=单件利润×销售量”这一核心等量关系，难点是分析“价格变化”与“销售量变化”的反向关系（如单价涨1元，销量减5件），并将这种关系转化为含未知数的代数式，最终建立一元二次方程求解。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】理解题意，构建一元二次方程． 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1、 能根据商品销售中的利润关系，列出一元二次方程并求解；能检验方程的解是否符合实际销售情境。 2、通过经历“实际利润问题—分析数量关系—建立方程模型—求解检验”的过程，提升数学建模能力和数据分析能力。 3.、感受数学与经济生活的紧密联系，体会方程思想在解决实际问题中的价值，增强应用数学解决实际问题的意识。 （二）教学目标解析 1、知识目标拆解：基础目标是掌握“总利润=单件利润×销售量”的公式应用，能根据价格调整情况表示“单件利润”和“销售量”；进阶目标是通过解方程，找到符合实际的销售价格或销量，并理解解的多重性（如涨价和降价可能对应同一总利润）。 2、能力目标重点：突破“价格与销量的反向关系”分析难点，例如“单价每降2元，销量增10件”，需引导学生用未知数表示“降价次数”或“价格变化幅度”，进而推导销量和单件利润的表达式。 三、学生学情分析 已有基础：学生已掌握一元二次方程的四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），能解决简单的几何面积类应用题，且对“利润=售价-成本”的基本关系有生活认知。 存在难点： 难以理解“价格调整与销售量变化”的数量关系，例如“单价涨x元，销量减5x件”的推导逻辑易混淆。 容易忽略“总利润公式”的完整应用，仅关注单件利润或销售量单一变量，导致等量关系建立错误。 求解后未检验解的实际意义，如价格为负数、销量为负数等不合理情况。 认知特点：九年级学生具备一定的逻辑思维，但对经济问题中的抽象数量关系仍需借助具体例子辅助理解，且在复杂关系分析中易出现思路混乱。 基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】怎样找到等量关系，列出方程. 四、教学策略分析 1、情境具象化策略：通过创设“文具店销售笔记本”“服装店调价促销”等贴近学生生活的情境，用具体数字举例（如原价10元，成本6元，涨1元销量减3本），帮助学生直观理解价格与销量、利润的关系。 2、问题链引导策略：设计阶梯式问题，例如“涨价前单件利润是多少？”“涨价x元后，单件利润变为多少？”“销量会如何变化？”“总利润如何表示？”，引导学生逐步拆解问题，建立方程。 3、小组合作探究策略：将复杂题型（如“既涨价又改变成本”）交由小组讨论，通过分工分析“单件利润”和“销售量”两个变量，共同推导总利润表达式，突破个体思维局限。 4、错题对比策略：收集学生列方程时的典型错误（如销量变化方向搞反、总利润公式记错），通过对比正确与错误思路，强化对核心等量关系的理解。 五、教学过程分析 （一）复习引入 想一想：列方程解应用题的一般步骤是什么？ （1）审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系； （2）设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种； （3）根据题中的等量关系列方程； （4）求出所列方程的解； （5）“检验”，即验证是否符合题意； （6）回答题目中要解决的问题. 试一试： (1) 某企业五月份的利润是25万元，平均每月的增长率是20%，求预计七月份的利润将达到多少万元？ (2)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是_________元，销售利润 ______元. 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 探究一： 某公司1 月份的生产成本是400万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361万元. 假设该公司2，3 月每个月生产成本的下降率都相同. 求每个月生产成本的下降率. 解：设该公司每个月生产成本的下降率为x， 根据题意，得 400(1-x)2 ＝ 361. 解这个方程，得x1＝0.05， x2＝1.95>1(不合题意，舍去). 所以，每个月生产成本的下降率为5%. 某商场今年2月份的营业额为440万元，4月份的营业额达到633.6万元．求2月份到4月份营业额的月平均增长率． 解：设2月份到4月份营业额的月平均增长率为x， 根据题意，得 440(1＋x)2=633.6. 解得x1=0.2，x2= –2.2(不合题意，舍去)． 所以，3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%. 若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为： a(1±x)n=b (其中增长取“+”，降低取“–”). 例1：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元.调查发现，当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价应为多少元？ 在上述问题背景下，现商场想让每天的利润达到5000元，此时每台冰箱的定价应为多少元？ 等量关系：每台冰箱的利润×每天的销售数量=每天的总利润 回顾列方程解应用题的一般步骤：审设列解验答。请你根据分析完成后面的步骤 解：设每台冰箱降价x元 根据题意得 解得：x1=x2=150 2900－x=2900－150=2750 答：每台冰箱的定价应为2750元. 本题采用的是间接设法，设降价x元更易求解方程，模型更优。 归纳：解决这类销售问题的应用题，需在题中找到表示售价与销量，利润变化的关键句，分析题意，抽象出数学问题，找到等量关系，建立模型从而求解，经过检验，解决问题。 （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1、某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600 个.调查发现，售价在 40 元至 60 元范围内，这种台灯的售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 10 个.为了实现平均每月 10000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ 2、某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张赢利 0.3 元. 为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施.调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价 0.05 元，那么平均每天可多售出 200 张. 摊主要想平均每天赢利 180 元，每张贺年卡应降价多少元？ 3、某公司今年 10 月的营业额为 2500 万元，按计划第四季度的总营业额要达到 9100 万元，求该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率. 4、一个农业合作社以 64000 元的成本收获了某种农产品 80 t，目前可以以 1200 元/t 的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失 2t，且每星期需支付各种费用 1600 元，但同时每星期每吨的价格将上涨 200 元. 那么，储藏多少个星期后出售这批农产品可获利 122000 元？ 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$