2.6 应用一元二次方程 导学案 -2023--2024学年北师大版数学九年级上册

2.6 应用一元二次方程 第1课时 一元二次方程的应用（1）——行程、动点等问题 新课导学 知识点 用一元二次方程解决行程、动点等问题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）； 设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）； 列（根据题目中的等量关系列出方程）； 解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答（写出答案，切忌答非所问）. 【例1】 如图，东西方向上有，两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从地出发向正南方向前进，那么最快经过（ A ）小时，甲、乙两人相距6千米. A. B. C. 1.5 D. [解析]设最快经过 小时，甲、乙两人相距6千米，根据题意可得，千米，千米，，，解得 最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6千米. 对点训练1 《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是      . [解析]设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了 步，甲斜向北偏东方向走了 步，依题意得，整理得，解得，（不合题意，舍去），，即甲走的步数是，故答案为． 【例2】 （根据九年级北师大版教材P53第2题改编）如图，在中， ，，，点，同时由，两点出发分别沿，方向向点，匀速移动（一个点到达终点时另一个点也停止运动），点，的速度分别是和，经过几秒的面积是面积的？ 解：设经过 后 的面积为 面积的，根据题意，得. 整理，得，解得，. 答：经过2秒或4秒，的面积是 面积的． 对点训练2 [2023·佛山期中]如图，在矩形中，，．点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果点，同时出发，用表示移动的时间，那么当为何值时，的面积等于？ 解：当运动时间为 时， ,， 依题意得 , 整理得，解得,. 当 为2或4时,的面积等于. 课堂通关 第一关 过基础 1. 如图，一块长，宽的矩形菜地，现要在中间铺设同样宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为.设石子路的宽度为，则下面所列方程正确的是（ B ）. A. B. C. D. 2. [2022·深圳期末]如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则所列方程是      . 3. 九年级（3）班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2 070张，如果设九年级（3）班有个学生，则可列方程为（ B ）. A. B. C. D. 4. [2023·佛山期中]参加夏季篮球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场．设参加比赛的球队有支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ C ）. A. B. C. D. 第二关 过能力 5. 两个连续整数的积为240，则这两个整数为  ，或15，16  . [解析]设较小的整数为．根据题意，得，解得，，则 或，故答案为，或15，16. 6. 如图，在中， ，，点从点开始沿向以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果，分别从点，同时出发，  2或4  秒后的面积等于. [解析]设 秒后 的面积等于，由题意得，解得，，故答案为2或4. 第三关 过思维 7. 如图，在中， ，，，点从点出发以的速度沿边向点移动，点从点出发以的速度沿边向点移动，当点运动到点时，两点同时停止运动． （1） 如果，分别从点，同时出发，那么运动几秒时，的面积等于？ 解：由题意得，，， . 的面积为，则， 整理，得，解得，. 答：如果，分别从点，同时出发，那么运动1秒或3秒时，的面积等于. （2） 如果，分别从点，同时出发，的面积能否等于？说明理由． [答案] 如果,分别从点,同时出发，的面积不能等于，理由： 若 的面积为，则,整理，得， 由，可知这个方程无解． 答：，分别从点，同时出发，的面积不能等于. 第2课时 一元二次方程的应用（2）——销售、增长率等问题 新课导学 知识点1 用一元二次方程解决销售、增长率等问题 单件利润售价-进价（或成本） 总利润单件利润×销售量 利润率 涨价销售 1.（涨价后的售价-进价） （涨价前的销售量-减少的销售量）总利润 2.（涨价前的售价上涨价格-进价） （涨价前的销售量-减少的销售量）总利润 降价销售 1.（降价后的售价-进价） （降价前的销售量增加的销售量）总利润 2.（降价前的售价-下降价格-进价） （降价前的销售量增加的销售量）总利润 【例1】 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（ B ）. A. 12元 B. 10元 C. 11元 D. 9元 [解析]设应降价 元，根据题意，得，解得 或 要尽快减少库存， 舍去. 对点训练1 [2022·深圳期末]某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条．商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙．若想要商店每天盈利1 200元，每条连衣裙应降价（ D ）. A. 5元 B. 5元或10元 C. 20元 D. 10元或20元 [解析]设每条连衣裙降价 元，则每天售出 条，依题意得，整理得，解得，. 【例2】 某批发店将进价为 4 元的小商品按 5 元卖出时，可卖出 500 件，已知这种商品每件涨价1元，其销售量就减少 10 件．若要赚得 4 100 元利润，设每件涨价元，则满足方程      . 对点训练2 某商店准备购进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每上涨1元，销售量减少10个，商店若准备获利2 000元，定价为多少元？若设涨价元，可列方程为      . 知识点2 增长率与降低率 列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率（降低率），以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. （1）增长率问题： 平均增长率公式为（为起始量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量）. （2）降低率问题： 平均降低率公式为（为起始量，为平均降低率，为降低次数，为降低后的量）. 【例3】 某学校2018年投入教育经费25万元，2020年投入教育经费36万元．设2019，2020年平均每年的增长率为，那么满足的方程是      . 对点训练3 某旅游基地成人票价经过连续两次涨价，销售单价由原来50元涨到98元，设平均每次涨价的百分比为，根据题意可列方程为      . 【例4】 某种药剂原售价为16元，经过两次降价，现在每瓶售价为4元，则平均每次降价的百分率为      ． [解析]设平均每次降价的百分率为，由题意得，解得，（不符合题意，舍去），故平均每次降价的百分率为． 对点训练4 [2023·佛山校考]某型号的手机原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为648元，则每次降价的百分率是      ． [解析]设每次降价的百分率为，依题意，得，解得，（不符合题意，舍去）故答案为． 课堂通关 第一关 过基础 1. 某商品原价为 200 元，连续两次平均降价的百分率为,连续两次降价后售价为 148 元，下面所列方程正确的是 （ B ）. A. B. C. D. 2. 某商品的利润为每件10元时，能卖出500件，已知该商品每涨价1元，其销售量就减少10件，为了赚8 000元利润，设涨价为元，应列方程为      . 3. 某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6 000元，则每千克应该涨价（ D ）. A. 15元或20元 B. 10元或15元 C. 10元或20元 D. 5元或10元 4. 某葡萄种植基地2019年种植“早黑宝”100亩，到2021年“早黑宝”的种植面积达到225亩．该基地这两年“早黑宝”种植面积的年均增长率为      . 第二关 过能力 5. 某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销量可增加20千克．水果店想要尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2 090元，则该店应降价  9  元出售这种进口水果． [解析]设这种进口水果每千克应降价 元，根据题意得，解得（不合题意，舍去），.故答案是9. 6. 某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套.应市场变化，调整第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．若商店预计要在这两个月的代销中获利4 160元，则第二个月每套销售应定价  50或60  元． [解析]设第二个月每套销售定价为 元,则销售量为 元，由题意，得，解得,.故答案为50元或60元. 第三关 过思维 7. 为满足市场需求，中百超市在中秋节前夕购进价格为6元/个的月饼，根据市场预测，该品牌月饼每个售价8元时，每天能出售1 000个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个.为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌月饼的售价不能超过进价的．该品牌月饼定价为多少元时，该超市每天的销售利润为3 200元． 解：设该品牌月饼定价为 元， 依题意得， 整理得， 解得，. 又 该品牌月饼的售价不能超过进价的， ，. 答：该品牌月饼定价为10元时，该超市每天的销售利润为3 200元． 8. 随着人民生活水平的不断提高，某市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2021年底拥有家庭轿车64辆，2023年底家庭轿车的拥有量达到100辆，若该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率相同． （1） 求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率； 解：设该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率为，则， 解得 或（不合题意，舍去）． 答：该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率是. （2） 该小区到2024年底家庭轿车拥有量将达到多少辆？ [答案] 该小区到2024年底家庭轿车拥有量为（辆）. 答：该小区到2024年底家庭轿车拥有量将达到125辆． 学科网（北京）股份有限公司 $$