2.6一元二次方程的应用同步练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2.6一元二次方程的应用 一、选择题 1．为了迎接校庆，初三年级组织乒乓球比赛，赛制为单循环形式（每两个选手之间都必须赛一场），全年级共进行了28场比赛，这次参赛的选手有（　　） A．7位 B．8位 C．9位 D．10位 2．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 3．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，长方形花圃面积为，它的一边利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是．处开一门，宽度为．设的长度是，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，一张长方形纸板长40cm，宽30cm，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），剩余的部分可折成一个有盖的长方体纸盒，若纸盒底面ABCD的面积等于300，设剪掉的小正方形边长为x cm，则根据题意可得方程（　　） A． B． C． D． 6．若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（　　） A．16 B．17 C．±16 D．±17 7．在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（　　） A．x（x﹣1）＝190 B．x（x﹣1）＝380 C．x（x﹣1）＝95 D．（x﹣1）2＝380 8．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15 C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15 9．如图，在 中， ，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 ，点Q的速度为 ，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当 的面积为 时，则点P运动的时间是（　　） A． B． 或 C． D． 10．原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），若设彩纸的宽度为xcm，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 11．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（　　） A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（80﹣x）+x2=7644 C．（80﹣x）(100-x)=7644 D．100x+80x=356 12．我省2014年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2016年的快递业务量达到4.5亿件．设2015年与2016年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．1.4（1+x）=4.5 B．1.4（1+2x）=4.5 C．1.4（1+x）2=4.5 D．1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5 13．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　） A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45 二、填空题 14．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，则所围矩形猪舍的长为　 　宽为 　 　时面积为96． 15．在一次同学聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了份礼物，则参加聚会的同学的人数是　 　. 16．在2020年太原五中秋季运动会上，某班参加圆周接力的同学每两人握一次手，共握手190次，设参加圆周接力的人数为x，则可列方程为　 　. 17．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．那么运动 　 　秒时，它们相距． 18．在小海的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了90个红包，设这个微信群共有x个人，则可列出方程为　 　。 三、解答题 19．北韩麻花产自陕西省武功县北韩村，是陕西省武功县的地方特产，源于明代洪武年间，至今有600多年历史．某批发超市销售一种北韩麻花，进价为每箱30元，当售价为每箱40元时，每天可以销售48箱，为尽快减少库存，超市决定降价销售，经调查发现，如果每箱麻花每降低1元，每天可多售出8箱．如果超市销售北韩麻花每天要想获得504元的利润，每箱售价应降低多少元？ 20．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行道的宽度为多少米？ 21．如图，在矩形ABCD中，，．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）．那么当t为何值时，的面积等于8？ 22．如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是，则道路的宽应设计为多少m? 23．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长32m，另外三面用68m长的篱笆围成，其中一边开有一扇2m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 24．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手6次，有多少人参加聚会？（列一元二次方程，解应用题） 25．如图，△ABC中,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经几秒钟，使△PBQ的面积等于8cm2？ 四、综合题 26．某校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度为12米．另三边用总长为26米的木板材料围成．车棚形状如图1中的矩形．为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门． （1）求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时与的长分别为多少米？ （2）如图2，在（1）的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内纵向、横向各修建2条、1条等宽的小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米 27．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动.当点Q到达点B时，点P同时停止运动. （1）运动几秒时，△PCQ的面积为8 cm2? （2）△PCQ的面积能否等于△ABC面积的一半?若能，求出运动时间；若不能，请说明理由. 28．据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了．假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首．古镇附近某宾馆有50间房供游客居住．当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用． （1）求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率； （2）为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为9450元． 29．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000， （1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 30．【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题． 【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ▲ ）=4； 第二步：利用四个面积可用表示为 ▲ 的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步： 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数 ▲ ， ▲ ，求得方程的一个正根为 ▲ ． 答案 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】A10．【答案】A 11．【答案】C 12．【答案】C 13．【答案】A 14．【答案】12m；8m15．【答案】2016．【答案】17．【答案】9或1218．【答案】x(x-1)=90 19．【答案】解：设每箱售价应降低x元，根据题意， 得， 整理，得，解得x1=1，x2=3． ∵要尽快减少库存，∴x=3． 答：如果超市销售北韩麻花每天要想获得504元的利润，每箱售价应降低3元． 20．【答案】解：设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），根据题意得： （18-3x）（6-2x）=60， 整理得，（x-1）（x-8）=0． 解得：（不合题意，舍去）． 即：人行道的宽度是1米． 21．【答案】解：当运动时间为ts时，，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：当t为2s或4s时，的面积等于8． 22．【答案】解：如图，把两条垂直的小路通过平移得到如下图形， 设小路的宽应为x米，则空白部分长方形的长为m，宽为m， 则 整理得： 解得：，， 经检验：不符合题意， ∴， 答：小路的宽应为1米． 23．【答案】解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为（68+2﹣2x）m． 根据题意，得： x（68+2﹣2x）＝600． 整理，得x2﹣35x+300＝0， 解得x1＝15，x2＝20． 当x＝15时，70﹣2x＝40＞32，不符合题意舍去； 当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m． 24．【答案】解：设有x人参加聚会，根据题意得： 整理得 解得 （舍） 则有4人参加聚会． 故答案为：4 25．【答案】解：设移动时间为t秒，则BQ＝2t，AP＝t，PB＝6−t， 依题意，得S△PBQ＝ ×PB×BQ＝ ×（6−t）×2t＝−t2＋6t， 当S△PBQ＝8时，−t2＋6t＝8，解得t1＝2，t2＝4， ∴经2秒或4秒钟，△PBQ的面积等于8cm2. 26．【答案】（1）解：设AB为x米（x＞0），则AD为米，根据题意得： 由题意得，解得 ∴当x＝8时，S有最大值， ∴AB＝8， （2）解：设小路宽为m米，根据题意得： 解得（舍），m＝1 答：最大面积为96平方米，此时AD＝12米，AB＝8米．小路的宽为1米． 27．【答案】（1）解：设 后，可使 的面积为 ． 由题意得， ， ， ， ， 整理得： ， 解得： ， ， 所以P、Q同时出发，2s或4s后可使 的面积为 ． （2）解：由题意得： ， ， ， ，该方程无实数解， 所以，不存在使得 的面积等于 的面积的一半的时刻 28．【答案】（1）解：设年平均增长率为x， 由题意可得：， 解得：，（舍）， ∴年平均增长率为； （2）解：设房价定为y元， 由题意可得：， 解得：或， ∵尽可能让游客享受更低的单价， ∴， 即房价定为230元时，宾馆当天的利润为9450元． 29．【答案】（1）解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：3000（1-x）2=2430， 解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率是10% （2）解：假设下调a个50元，依题意得：5000=（400-50a）（8+4a）． 解得a=3． 所以下调150元，因此定价为2850元 30．【答案】解：【类比迁移】：第一步：x+3；第二步：x(x+3)； 如图： 第三步： 图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， 表示边长， ，即； 【拓展应用】2；3；x=1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$