专题04 事件概率重难点题型汇编（八大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题04 事件概率重难点题型汇编 【题型01 事件类型】...........................................................................................................1 【题型02 可能性大小】.......................................................................................................2 【题型03 概率的意义】........................................................................................................3 .【题型04 几何概率】...........................................................................................................4 【题型05 概率公式】...........................................................................................................6 【题型06 频率估计概率】....................................................................................................7 【题型07 用列举法或树状图求概率】..................................................................................8 【题型08游戏的公平性】.....................................................................................................11 【题型01 事件类型】 1．下列事件中，属于必然事件的是（　） A．竹篮打水 B．水涨船高 C．百步穿杨 D．守株待兔 2．据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒之魔童闹海》总票房突破154亿元超过《星球大战：原力觉醒》，登顶全球电影票房榜第5名，则（    ） A．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，选择全面调查 B．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，可以只对学生统计 C．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件 D．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不可能事件 3．下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．任意画一个四边形，其内角和是 B．两张扑克牌，张是方块，张是黑桃，从中随机抽取张扑克牌是红桃 C．掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有到的点数，向上一面的点数小于 D．拨打一个电话号码，电话正被占线中 4．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．④从箱子里摸出1个球再放回，这样连续摸了3次都是红球，则第4次再摸出一个球，摸到白球的可能性更大．以上四种说法中正确的说法是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①②④ 5．下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．任意掷一枚硬币，正面朝上 B．若、是实数．则 C．两数相乘，积为正数 D．运动员投篮时，连续两次投进篮筐 【题型02 可能性大小】 1．投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．下图转盘中红、蓝各占一半．雯雯和周周做“配紫色”游戏，每人转动两次，若指针所在区域是一红一蓝，则配成紫色（落在分界线上重转）．雯雯第一次转出了蓝色，当雯雯第二次转动转盘时，下列说法正确的是（   ）    A．一定转出红色 B．一定转出蓝色 C．转到红色比蓝色的可能性大 D．转出红色和蓝色的可能性一样大 3．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字，，，所示区域内可能性最大的是（   ） A．号 B．号 C．号 D．号 4．投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 【题型03 概率的意义】 1．以下说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯概率为 C．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 D．张东做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 2．小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（    ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 3．“某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（   ） A．很有可能中一等奖 B．张奖券中一定有一张是一等奖 C．可能中一等奖，但可能性不是很大 D．个顾客中一定有一人中一等奖 4．下列说法正确的是（    ）． A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用全面调查方法； B．天气预报说“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间在下雨； C．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，则他第6次抛这枚硬币必定正面朝上； D．“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件． 5．某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷次，都是反面朝上，则抛掷第次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【题型04 几何概率】 1．小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1的概率是（    ） A． B． C． D． 3．向如图的正方形区域内扔沙包（区域中每一个小正方形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小正方形形是等可能的，扔沙包一次，击中阴影区域的概率等于 ． 4．如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，指针落在偶数的概率是 ． 5．如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 ． 6．如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，A转盘白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为和，B转盘被分成面积相等的两个黑白扇形，转动A，B转盘各一次，两次指针都落在黑色区域的概率为 ． 7．小球在如图所示的地板上自由地滚动，随机地停留在某块方砖上，最终停在白色区域上的概率是 ．    8．“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ．    【题型05 概率公式】 1．某商场在五一期间推出促销活动，活动期间内，凡是购物即可参与抽奖．不透明的盒子里装有12张质地、大小完全相同的纸片，其中2张纸片写有奖品为“扫地机器人一台”，4张纸片写有奖品为“餐具一套”，6张纸片写有奖品为“纸巾一袋”．从盒中任意摸出1张纸片，摸出奖品为“扫地机器人一台”的概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图是5张背面都相同的扑克牌，将其打乱顺序，背面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，抽到的花色可能性最大的是（   ） A．♦ B．♠ C．♥ D．♣ 3．从一串字母“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为 ． 4．一个袋子中有2个白球和5个黑球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是 ． 5．之江实验九年级各班老师精心为同学们制作了“考神附体”，“之江必胜”两类鼓励性卡片，某班的抽奖箱中准备了“考神附体”20张，“之江必胜”30张，每张卡片抽中的概率相等且抽出后不放回，若前面30位同学已抽出“之江必胜”18张，则第31位抽奖的小江抽中“之江必胜”的概率是 ． 6．如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为 ． 7．将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是 ． 【题型06 频率估计概率】 1．如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 2．如图，某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（    ） A．从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 3．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率                                    请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有 个． 4．一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的红蓝两种小球共60个，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，经过多次摸球，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，由此可以推断袋中有 个红球． 5．如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（精确到0.001） 6．一个不透明的盒子中装有20颗蓝色幸运星、若干颗红色幸运星和10颗黄色幸运星，每个幸运星除颜色外其他完全相同．每次把盒子里的幸运星摇匀后随机摸出一颗，记下颜色后再放回盒子里，通过大量重复试验后发现，摸到红色幸运星的频率稳定在0.4，则盒子里红色幸运星颗数约为 颗． 7．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【题型07 用列举法或树状图求概率】 1．有两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，5；乙袋中有3个球，分别标有数字1，3，4．这6个球除所标数字以外其他都一样．从甲、乙两袋中各随机摸出1个球，摸出的两个球上数字之和是6的概率是（    ） A． B． C． D． 2．用分别写有数字4，5，6的三张卡片任意摆出一个三位数，这个三位数是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、绿、蓝四种颜色，固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不计，重转）的颜色，则两指针指向的颜色能配成紫色（红色和蓝色在一起配成紫色）的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 5．“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，他们出相同手势的概率为 ． 6．某校开设了内容丰富的社团活动，大受同学们的欢迎． (1)若小丽和小红在“．快乐农场”、“．鲁班传人”、“．花式编织”这三个社团中各随机选择1个，求她们选到相同社团的概率．（社团名称可用，，表示） (2)小亮参加了“快乐农场”社团，准备种植一批油麦菜，他经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 100 200 300 600 800 1200 发芽种子数量（粒） 93 185 283 569 761 1139 种子发芽率（精确到0.001） 0.930 0.925 0.943 0.948 0.951 0.949 ①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到0.01）． ②社团成员在农场播种2000粒该批种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 7．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸、莲莲图案的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．现将这三张卡片放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用列表或画树状图的方法，求两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的概率． 8．为了了解学生对围棋、象棋、军棋、跳棋、五子棋五项活动的喜爱情况，学校随机调查了一些学生，已知每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题． (1)本次被调查的学生有 名，请补全条形统计图． (2)求扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数． (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生围棋比赛，请用列表法或画树状图法求甲同学和乙同学同时被选中的概率． 9．某校开展找寻校园的项目式主题学习．某组为了解学生对这五项活动的喜爱情况（足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五项球类社团活动），随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一项），并根据调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)__________，__________，并补全条形统计图． (2)若全校有2000名学生，求该校约有多少名学生喜爱打乒乓球． (3)现从喜欢羽毛球运动的甲、乙、丙、丁4人中，随机选取2名参加训练，请用列表法或画树状图法求同时选中甲的概率． (4)某调查小组关注到校园垃圾分类问题，为积极相应，现将垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a、b、c并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A、B、C，若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，三类垃圾都投放正确的概率是多少？ 【题型08游戏的公平性】 1．在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 2．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率； (2)若取出的两张卡片上的数字和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 3．某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．      (1)用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 4．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 事件概率重难点题型汇编 【题型01 事件类型】...........................................................................................................1 【题型02 可能性大小】.......................................................................................................4 【题型03 概率的意义】........................................................................................................5 .【题型04 几何概率】...........................................................................................................8 【题型05 概率公式】...........................................................................................................13 【题型06 频率估计概率】....................................................................................................16 【题型07 用列举法或树状图求概率】..................................................................................20 【题型08游戏的公平性】.....................................................................................................29 【题型01 事件类型】 1．下列事件中，属于必然事件的是（　） A．竹篮打水 B．水涨船高 C．百步穿杨 D．守株待兔 【答案】B 【分析】本题主要考查事件的分类，必然事件指在一定条件下必然会发生的事件，根据各选项描述的现象，结合物理常识和逻辑判断，逐一分析是否为必然事件． 【详解】解：选项A：“竹篮打水”因竹篮有缝隙无法存水，属于不可能事件； 选项B：“水涨船高”中，船浮于水面，水位上升时船体必然随之上浮，符合浮力原理，是必然事件； 选项C：“百步穿杨”依赖射箭者的技巧和偶然性，属于随机事件； 选项D：“守株待兔”是极小概率事件，属于不可能事件或随机事件； 综上，只有B是必然事件， 故选：B． 2．据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒之魔童闹海》总票房突破154亿元超过《星球大战：原力觉醒》，登顶全球电影票房榜第5名，则（    ） A．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，选择全面调查 B．想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，可以只对学生统计 C．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件 D．随机抽一个学生，看过《哪吒》是不可能事件 【答案】C 【分析】本题考查了抽样调查与全面调查、不确定事件，不可能事件，如果调查对象广，耗时多，应选择抽样调查；再结合随机抽一个学生，其看过《哪吒》是随机事件，进行分析，即可作答． 【详解】解：A、想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，选择抽样调查，故该选项不符合题意； B、想要调查全萧山有多少人看过《哪吒》，不可以只对学生统计，故该选项不符合题意； C、随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件，故该选项符合题意； D、随机抽一个学生，看过《哪吒》是不确定事件，不是不可能事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．下列事件中，属于随机事件的是（    ） A．任意画一个四边形，其内角和是 B．两张扑克牌，张是方块，张是黑桃，从中随机抽取张扑克牌是红桃 C．掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有到的点数，向上一面的点数小于 D．拨打一个电话号码，电话正被占线中 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是事件的分类，解题关键是熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对选项进行逐一分析即可． 【详解】解：选项，任意画一个四边形，其内角和是是必然事件，不符合题意，选项错误； 选项，两张扑克牌，张是方块，张是黑桃，从中随机抽取张扑克牌是红桃是不可能事件，不符合题意，选项错误； 选项，掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有到的点数，向上一面的点数小于是必然事件，不符合题意，选项错误； 选项，拨打一个电话号码，电话正被占线中是随机事件，符合题意，选项正确． 故选：． 4．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．④从箱子里摸出1个球再放回，这样连续摸了3次都是红球，则第4次再摸出一个球，摸到白球的可能性更大．以上四种说法中正确的说法是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类和事件的可能性大小，正确的理解题意是解题的关键．由不可能事件与必然事件的定义即可判断①和②，由事件发生的可能性大小即可判断③④． 【详解】解：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件，说法正确； ②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，说法正确； ③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球，说法正确； ④从箱子里摸出1个球再放回，这样连续摸了3次都是红球，则第4次再摸出一个球，摸到红球的可能性更大，说法错误； ∴正确的为①②③， 故选：A． 5．下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．任意掷一枚硬币，正面朝上 B．若、是实数．则 C．两数相乘，积为正数 D．运动员投篮时，连续两次投进篮筐 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意； B、若a、b是实数．则，是必然事件，故B符合题意； C、两数相乘，积为正数，是随机事件，故C不符合题意； D、运动员投篮时，连续两次投进篮筐，是随机事件，故D不符合题意； 故选：B． 【题型02 可能性大小】 1．投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，投掷第5次硬币正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了可能性的大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可解答． 【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上， ∵每一次投掷硬币都是一个独立事件，其结果不受前面投掷结果的影响， ∴投掷第5次硬币正面朝上、反面向上的可能性相同，即投掷第5次硬币正面朝上的概率是． 故选：A． 2．下图转盘中红、蓝各占一半．雯雯和周周做“配紫色”游戏，每人转动两次，若指针所在区域是一红一蓝，则配成紫色（落在分界线上重转）．雯雯第一次转出了蓝色，当雯雯第二次转动转盘时，下列说法正确的是（   ）    A．一定转出红色 B．一定转出蓝色 C．转到红色比蓝色的可能性大 D．转出红色和蓝色的可能性一样大 【答案】D 【分析】本题待查了随机事件，熟练掌握事件可能性大小，是解题的关键． 根据转到红蓝的可能性一样大，逐一判断，即得． 【详解】A.可能转出红色，故A选项不正确； B.可能转出蓝色，故B选项不正确； C.转到红色不比蓝色的可能性大，故C选项不正确； D.转出红色和蓝色的可能性一样大，故D选项正确； 故选：D 3．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字，，，所示区域内可能性最大的是（   ） A．号 B．号 C．号 D．号 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小．比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角为， ∴数字3对应扇形圆心角度数最大， ∴指针落在数字，，，所示区域内可能性最大的是3号， 故选：C． 4．投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可求解． 【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是． 故选：B． 【题型03 概率的意义】 1．以下说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有5张中奖 B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯概率为 C．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 D．张东做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】C 【分析】此题主要考查了概率的意义、平行四边形的性质，正确理解概率的意义是解题关键．直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：A、某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，选项A说法错误，不符合题意； B、由于路口交通信号灯不确定，故经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯概率不一定为，选项B说法错误，不符合题意； C、∵任意平行四边形是中心对称图形， ∴“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项C说法正确，符合题意； D、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D错误，不符合题意． 2．小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（    ） A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大 C．两者的可能性相同 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是概率的意义，正确理解概率的意义和概率的计算公式是解题的关键．根据概率的意义和概率的计算公式计算即可． 【详解】解：由于硬币质地均匀， 所以小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同，都是． 故选:C． 3．“某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为”这句话指的是（   ） A．很有可能中一等奖 B．张奖券中一定有一张是一等奖 C．可能中一等奖，但可能性不是很大 D．个顾客中一定有一人中一等奖 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义：表示事件发生的可能性大小，理解概率的意义是关键；根据概率的意义去分析判断即可． 【详解】解：一等奖中奖概率为，说明中一等奖的可能性为，显然这个可能性很小，并不意味着一定中奖；故选项C正确，其它选项错误； 故选：C． 4．下列说法正确的是（    ）． A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用全面调查方法； B．天气预报说“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间在下雨； C．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，则他第6次抛这枚硬币必定正面朝上； D．“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件． 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义、全面调查与抽样调查、随机事件、概率公式．根据概率的意义、全面调查与抽样调查的定义、随机事件的定义进行解题即可． 【详解】解：A、为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查方法，故该项不正确，不符合题意； B、天气预报说“明天的降水概率为80%”，意味着明天有的概率下雨，故该项不正确，不符合题意； C、某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币5次，结果都是正面朝上，则他第6次抛掷这枚硬币不一定正面朝上，故该项不正确，不符合题意； D、“买中奖率为的奖券100张，中奖”是随机事件，故该项正确，符合题意； 故选：D． 5．某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷次，都是反面朝上，则抛掷第次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义，根据抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是，即可得到第次出现正面朝上的概率．解题的关键是正确把握概率的定义：对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是， ∴抛掷第次出现正面朝上的概率是． 故选：B． 【题型04 几何概率】 1．小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故选：C． 2．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了概率公式，正确理解几何概率的求法是解题关键． 直接利用数字1所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案． 【详解】解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，指针落在数字1所示区域内的概率是， 故选：B． 3．向如图的正方形区域内扔沙包（区域中每一个小正方形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小正方形形是等可能的，扔沙包一次，击中阴影区域的概率等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率的计算，求出阴影部分的面积与大正方形的面积的比值即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵阴影部分的面积与大正方形的面积的比值是， ∴扔沙包一次，击中阴影区域的概率等于， 故答案为：． 4．如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，指针落在偶数的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率的计算公式，正确理解概率的计算公式是解题的关键．根据题意，共有5种等可能结果，其中指针落在偶数有2和4两种等可能性结果，运用公式计算，即得答案． 【详解】在如图所示的均匀圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，让转盘自由转动一次，共有5种等可能结果，其中指针落在偶数有2和4两种等可能性结果，所以指针落在偶数的概率是． 故答案为：． 5．如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，确定阴影部分占整体的份数成为解题的关键． 先作辅助线把正方形分成若干等份以及阴影部分的份数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：如图：作辅助线可将正方形分成16等份，其中阴影部分占6份，则投掷在阴影区域的概率是． 故答案为：． 6．如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，A转盘白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为和，B转盘被分成面积相等的两个黑白扇形，转动A，B转盘各一次，两次指针都落在黑色区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率的求法，把A图黑色扇形等分成两份，再画树状图求解概率即可． 【详解】解：如图，把A图黑色扇形等分成两份， 画树状图如下： ∴所有的等可能的情况数有6种，两次指针都落在黑色区域的情况数有2种， ∴两次指针都落在黑色区域的概率为； 故答案为：． 7．小球在如图所示的地板上自由地滚动，随机地停留在某块方砖上，最终停在白色区域上的概率是 ．    【答案】 【分析】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：停留在白砖上的概率=白砖的块数与方砖总块数之比．先求出方砖总块数，确定白色区域的方砖块数，根据概率公式即可得出结论． 【详解】解：方砖共块，白色区域的方砖相当于块， ∴停在白色区域上的概率是． 故答案为：． 8．“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．根据七巧板对应图形的面积，计算出和平鸽头部（阴影部分）与正方形面积比，结合简单概率公式求解即可得到结论．熟练掌握几何概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示：    设阴影部分的等腰直角三角形的直角边为，则由七巧板的特征可知，， 在等腰中，， ，，则阴影部分的面积是七巧板面积的 ，故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是， 故答案为：． 【题型05 概率公式】 1．某商场在五一期间推出促销活动，活动期间内，凡是购物即可参与抽奖．不透明的盒子里装有12张质地、大小完全相同的纸片，其中2张纸片写有奖品为“扫地机器人一台”，4张纸片写有奖品为“餐具一套”，6张纸片写有奖品为“纸巾一袋”．从盒中任意摸出1张纸片，摸出奖品为“扫地机器人一台”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是明确古典概型概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”，并准确找出总纸片数和写有“扫地机器人一台”的纸片数． 确定盒子里纸片的总数量，即总情况数；找出写有奖品为“扫地机器人一台”的纸片数量，即所求情况数；根据古典概型概率公式，用所求情况数除以总情况数得到摸出该奖品的概率． 【详解】解：已知盒子里装有12张质地、大小完全相同的纸片，即总情况数为12． 其中写有奖品为“扫地机器人一台”的纸片有2张，即所求情况数为2． 可得摸出奖品为“扫地机器人一台”的概率是． 故选：B． 2．如图是5张背面都相同的扑克牌，将其打乱顺序，背面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，抽到的花色可能性最大的是（   ） A．♦ B．♠ C．♥ D．♣ 【答案】D 【分析】本题考查了可能性的大小，根据各花色的数量以及总的数量分别求出各自的概率，进而判断即可． 【详解】解：根据题意可知一共有5张扑克牌，其中♦有1张，♠有1张，♥有1张，♣有2张， 则抽到♦的概率为：，抽到♠的概率为：，抽到♥的概率为：，抽到♣的概率为：， 故抽到的花色可能性最大的是♣， 故选：D 3．从一串字母“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查概率公式，由题意知，共有种等可能的结果，其中抽中字母的结果有种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽中字母的结果有种， 抽中字母的概率为． 故答案为：． 4．一个袋子中有2个白球和5个黑球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率公式，根据概率公式直接得出结论即可，熟知概率等于所求情况数除以总情况数是解题的关键． 【详解】解：∵袋子里装有2个白球和5个黑球，共个球， ∴随机从中摸出一个球，摸到黑球的概率是， 故答案为：． 5．之江实验九年级各班老师精心为同学们制作了“考神附体”，“之江必胜”两类鼓励性卡片，某班的抽奖箱中准备了“考神附体”20张，“之江必胜”30张，每张卡片抽中的概率相等且抽出后不放回，若前面30位同学已抽出“之江必胜”18张，则第31位抽奖的小江抽中“之江必胜”的概率是 ． 【答案】 【分析】先算出剩余“之江必胜”卡片数量和剩余总卡片数量，再根据概率公式计算第31位同学抽中“之江必胜”的概率．本题主要考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式（其中是事件包含的基本事件个数，是基本事件总数 ）是解题的关键． 【详解】解：前面位同学抽出张“之江必胜”后，剩余“之江必胜”数量为张，剩余总卡片数量为张． ∴第位同学抽中“之江必胜”的概率． 故答案为：． 6．如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为 ． 【答案】 【分析】根据简单概率公式计算概率即可． 本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：一共有5种等可能性，其中从东面出口出来的可能性有3种， 故从东面出口出来的概率为． 故答案为：． 7．将、、、写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，一次函数、二次函数和反比例函数的性质．利用一次函数、二次函数和反比例函数的性质求得y随x的增大而减小的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：，，则y随x的增大而增大， ，，则y随x的增大而减小， ，，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ，，图象在一三象限，在每个象限，y随x的增大而减小， ∴恰好抽到y随x的增大而减小的情况只有一种， ∴任意抽取一张，恰好抽到y随x的增大而减小的概率是． 故答案为：． 【题型06 频率估计概率】 1．如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：B． 2．如图，某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（    ） A．从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 B．抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C．掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D．一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 【答案】C 【分析】本题考查了频率估算概率，理解图示，掌握概率的计算是关键． 根据图示信息，根据频率估算概率，概率的计算进行判定即可． 【详解】解：根据题意，大量试验中，频数稳定在之间， A、从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》的概率为，不符合题意； B、抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上的概率是，不符合题意； C、掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数的概率是，符合题意； D、一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球，不符合题意； 故选：C ． 3．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率                                    请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有 个． 【答案】9600 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握用频率估计概率． 用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可． 【详解】解：根据表格可知，合格头盔的频率逐渐稳定在， 估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有（个）， 故答案为：9600． 4．一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的红蓝两种小球共60个，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，经过多次摸球，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，由此可以推断袋中有 个红球． 【答案】42 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握实验次数较大时，事件发生的频率等于事件发生的概率是解题的关键． 根据概率公式计算解题． 【详解】解：红球的个数为 (个) 故答案为：42． 5．如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（精确到0.001） 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数足够大，频率趋于稳定，此时可以频率来表示概率．用频率估计概率作答即可． 【详解】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是， 故答案为：． 6．一个不透明的盒子中装有20颗蓝色幸运星、若干颗红色幸运星和10颗黄色幸运星，每个幸运星除颜色外其他完全相同．每次把盒子里的幸运星摇匀后随机摸出一颗，记下颜色后再放回盒子里，通过大量重复试验后发现，摸到红色幸运星的频率稳定在0.4，则盒子里红色幸运星颗数约为 颗． 【答案】20 【分析】本题考查了利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 设盒子中红色幸运星有x颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.4左右”列出关于x的方程，解之可得盒子中红色幸运星的颗数． 【详解】解：设盒中红色幸运星有x颗， 根据题意，得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 即盒子里红色幸运星颗数约为20颗． 故答案为：20． 7．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【答案】(1)0.58，118； (2) (3)个 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率频数样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.58，118； （2）解：由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是0.6． 故答案为：0.6； （3）解：(个)， 答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球． 【题型07 用列举法或树状图求概率】 1．有两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，5；乙袋中有3个球，分别标有数字1，3，4．这6个球除所标数字以外其他都一样．从甲、乙两袋中各随机摸出1个球，摸出的两个球上数字之和是6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及摸出的两个球上数字之和是6的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 和 1 3 4 0 1 3 4 2 3 5 6 5 6 8 9 共有9种等可能的结果，其中摸出的两个球上数字之和是6的结果共2种， ∴摸出的两个球上数字之和是6的概率为． 故选：B． 2．用分别写有数字4，5，6的三张卡片任意摆出一个三位数，这个三位数是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图可得出所有等可能的结果数以及这个三位数是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的结果，其中这个三位数是奇数的结果有：465，645，共2种， ∴这个三位数是奇数的概率是． 故选：C． 3．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、绿、蓝四种颜色，固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，不计，重转）的颜色，则两指针指向的颜色能配成紫色（红色和蓝色在一起配成紫色）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表或画树状图求概率，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及两指针指向的颜色能配成紫色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 绿 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，绿） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，绿） （黄，蓝） 绿 （绿，红） （绿，黄） （绿，绿） （绿，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，绿） （蓝，蓝） 共有16种等可能的结果，其中两指针指向的颜色能配成紫色的结果有：（红，蓝），（蓝，红），共2种， ∴两指针指向的颜色能配成紫色的概率为． 故选：B． 4．如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： ∴能让灯泡发光的概率， 故答案为：． 5．“石头、剪刀、布”是一种广为流传的小游戏，规则是两人每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀．小方和小袁比赛一局，他们出相同手势的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及他们出相同手势的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 共有9种等可能的结果，其中他们出相同手势的结果有3种， ∴他们出相同手势的概率为． 故答案为：． 6．某校开设了内容丰富的社团活动，大受同学们的欢迎． (1)若小丽和小红在“．快乐农场”、“．鲁班传人”、“．花式编织”这三个社团中各随机选择1个，求她们选到相同社团的概率．（社团名称可用，，表示） (2)小亮参加了“快乐农场”社团，准备种植一批油麦菜，他经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表： 实验种子数量（粒） 100 200 300 600 800 1200 发芽种子数量（粒） 93 185 283 569 761 1139 种子发芽率（精确到0.001） 0.930 0.925 0.943 0.948 0.951 0.949 ①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到0.01）． ②社团成员在农场播种2000粒该批种子，估计大约能有多少粒种子发芽？ 【答案】(1) (2)①；②大约能有粒种子发芽 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，用频率估计概率，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． （2）①当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近，由此即可得解；②用2000乘以①中得到的发芽率即可得解． 【详解】（1）解：画树状图为： 共有种等可能出现的结果，其中她们选到相同社团的情况有种， 故她们选到相同社团的概率为； （2）解：①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为； ②（粒）， 故大约能有粒种子发芽． 7．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸、莲莲图案的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．现将这三张卡片放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用列表或画树状图的方法，求两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将这三张卡片分别记为A，B，C， 列表如下： 第一次第二次 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的结果共5种， ∴两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的概率为． 8．为了了解学生对围棋、象棋、军棋、跳棋、五子棋五项活动的喜爱情况，学校随机调查了一些学生，已知每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题． (1)本次被调查的学生有 名，请补全条形统计图． (2)求扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数． (3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生围棋比赛，请用列表法或画树状图法求甲同学和乙同学同时被选中的概率． 【答案】(1)100，图见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． （1）用选择“围棋”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“象棋”的人数，再补全条形统计图即可． （2）用选择“五子棋”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以即可． （3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：调查的学生人数为（名）． “象棋”的人数为（名）． 补全条形统计图如下： 故答案为：100； （2）解：“五子棋”对应的扇形的圆心角度数为． （3）解：画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率为． 9．某校开展找寻校园的项目式主题学习．某组为了解学生对这五项活动的喜爱情况（足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五项球类社团活动），随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一项），并根据调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)__________，__________，并补全条形统计图． (2)若全校有2000名学生，求该校约有多少名学生喜爱打乒乓球． (3)现从喜欢羽毛球运动的甲、乙、丙、丁4人中，随机选取2名参加训练，请用列表法或画树状图法求同时选中甲的概率． (4)某调查小组关注到校园垃圾分类问题，为积极相应，现将垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a、b、c并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A、B、C，若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，三类垃圾都投放正确的概率是多少？ 【答案】(1)100，5；补全条形统计图见解析 (2)全校2000名学生中约有400名学生喜爱打乒乓球； (3) (4) 【分析】（1）从两个统计图可知，样本中，喜欢“篮球”的有30人，占被调查人数的，根据频率=频数÷总数即可求出被调查的人数，即m的值，进而求出样本中，喜欢“排球”的学生人数所占的百分比，确定n的值，求出样本中学生喜欢“足球”的人数即可补全条形统计图； （2）样本估计总体，求出样本中喜欢“乒乓球”的学生所占的百分比，估计总体中喜欢的学生所占的百分比，由频率=频数÷总数即可求出答案； （3）画树状图法，列举出所有等可能出现的结果，根据概率的定义进行计算即可； （4）列举出将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，所有等可能出现的结果，根据概率的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：（名）， ，即， 被调查的学生中，喜欢“足球”的人数为（名）， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：100，5； （2）解：（名）， 答：全校2000名学生中约有400名学生喜爱打乒乓球； （3）解：从喜欢羽毛球运动的甲、乙、丙、丁4人中，随机选取2名所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中同时选中甲的有6种， 所以同时选中甲的概率为； （4）解：将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中三类垃圾都投放正确的只有1种， 所以将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，三类垃圾都投放正确的概率为． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图，样本估计总体以及列表法与树状图法，掌握频率=频数÷总数以及列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键． 【题型08游戏的公平性】 1．在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标 (1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标． (2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由． 【答案】(1)图见解析，，，，，，，，，，，， (2)公平，理由见解析 【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算． （1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可； （2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解． 【详解】（1）解：画树状图为：    共12种等可能的结果， 点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，． （2）解：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足， 小明胜的概率为：，小红胜的概率为：， 这个游戏公平． 2．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率； (2)若取出的两张卡片上的数字和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平；理由见解析 【分析】本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率 ． （1）依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率； （2）根据（1）中树状图，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图得：    由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字都为奇数的结果有4种， 则取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率是； （2）不公平；理由： 取出的两张卡片上的数字和为奇数的有4种，数字和为偶数的有5种， 则取出的两张卡片上的数字数字和为奇数的概率是，和为偶数的概率是， ∵， 因此，这个游戏不公平． 3．某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．      (1)用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到转出的两个数字之积为奇数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出王老师获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中转出的两个数字之积为奇数的结果数有4种， ∴余老师获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平，理由如下： 由（1）可知，转出的两个数字之积为偶数的结果数有8种， ∴王老师获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平． 4．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对双方公平 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$