第1章 一元二次方程基础过关测试卷-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

第1章 一元二次方程基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 2．方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟记一元二次方程一般式的概念．将化为一般形式即可求解． 【详解】解：将化为一般形式为：， 由此可知：，，． 故选：C． 3．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义．将已知根代入方程中，即可得到一个关于未知系数的方程，进而求解得出系数的值．这是利用方程根的定义求解参数的基本方法． 将已知根代入方程，求出m的值． 【详解】解：因为方程的一个根是1， 所以将代入方程可得： ，解得 故选：C． 4．一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 5．关于的方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有1个实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据题意求出，再判断根的情况即可. 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴这个一元二次方程有两个相等的实数根. 故选：B. 6．为报答社会，某企业每年都会向乡村小学捐款，2021年该企业捐款的数额为172万元，2023年该企业捐款数额为185万元，设2021年到2023年该企业捐款数额的年平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设2021年到2023年该企业捐款数额的年平均增长率为x，根据2021年该企业捐款的数额为172万元，2023年该企业捐款数额为185万元，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设2021年到2023年该企业捐款数额的年平均增长率为x，根据题意得： ， 故选：B． 7．若方程的两根为， 则 的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．对于方程 ，若其两根为 和 ，则 ． 【详解】解题目中方程为 ，对应系数 ，，． 根据根与系数的关系，两根的积为： 故选A． 8．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 9．若是方程的根，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，由m是方程的根，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 11．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴，， 故选：D． 12．若是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，正确掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．把代入得到，继而得到，再代入求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．方程的解是 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化为，再利用平方根的意义即可求解． 【详解】解： 或， ∴或， 故答案为0或4． 14．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入方程即可求解，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得， 故答案为：. 15．方程化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式进行变形即可． 【详解】解：方程化成一般形式是． 故答案为． 16．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 设该小组共有人，则每人需送出张贺卡，根据共送贺卡72张，即可得出． 【详解】解：设该小组共有人，则每人需送出张贺卡， 依题意得：． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）用适合的方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，； （2）解：， ， ∴或， 解得：，． 18．（9分）用配方法解方程：． 解：整理，得_____， 移项，得_____， 二次项系数化为1，得_____， 配方，得_____，即（_____）_____， 开方，得_____， _____，_____． 【答案】，，，，，，，， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 按照配方法解一元二次方程的一般步骤补全整个计算过程即可． 【详解】解：用配方法解一元二次方程如下： ， 整理，得：， 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 即：， 开方，得：， 解得：，， 故答案为：，，，，，，，，． 19．（7分）传承闽都文脉，汇聚城市艺文，三坊七巷已成为福州的烫金名片，漫步坊巷，体验古老和新生并存的福州城．三坊七巷景区在2019年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年国庆长假期间，将接待游客达28.8万人次．求三坊七巷景区2019至2021年国庆长假期间接待游客人次的平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键． 设平均增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义做出有取舍即可． 【详解】解：设平均增长率为，由题意得： ， 解得：，（舍去） 答：三坊七巷景区2019至2021年国庆长假期间接待游客人次的平均增长率是． 20．（8分）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可证明结论； （2）把代入原方程求出m的值，进而可得到原方程，再解原方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵为方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 21．（8分）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为． (1)用含有x的代数式表示平行于墙长一边使用的篱笆的长度； (2)求x的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意即可得出结论； （2）由花圃面积为，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：设与墙垂直的一边长为， 则平行于墙长一边使用的篱笆的长度为，即； （2）解：根据题意得：， 即， 判别式， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，， 答：x的值为8． 22．（10分）已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟知解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由根与系数的关系得到，，再根据代值计算即可； （2）由，可得出无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根． ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∵， ∴． 23．（10分）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【答案】(1)，； (2)是等腰三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键． （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出即可； （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出，根据等腰三角形的概念解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：是等腰三角形，理由， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 24．（12分）某商场将进货价为元的台灯以元售出，月份销售个，月份和月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，月份的销售量达到个，设月份和月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求月份和月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从月份起，在月份销售量的基础上，商场决定降价促销经调查发现，售价在元至元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加个若商场要想使月份销售这种台灯获利元，则这种台灯售价应定为多少元？ 【答案】(1)月份和月份两个月的销售量月平均增长率为 (2)这种台灯售价应定为元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），先设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，得到形如的方程，求出解可得答案； 对于（2），设这种台灯售价应定为元，根据单件利润乘以销售量等于总利润得出方程，求出解，再根据要求得出符合题意的答案. 【详解】（1）解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，舍去， 答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为； （2）解：设这种台灯售价应定为元， 根据题意，得， 解得，， 售价在元至元范围内， ， 答：这种台灯售价应定为元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 2．方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 5．关于的方程根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有1个实数根 6．为报答社会，某企业每年都会向乡村小学捐款，2021年该企业捐款的数额为172万元，2023年该企业捐款数额为185万元，设2021年到2023年该企业捐款数额的年平均增长率为x，则可列方程（   ） A． B． C． D． 7．若方程的两根为， 则 的值为（   ） A． B．2 C． D． 8．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 9．若是方程的根，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 10．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 11．方程的根是（   ） A． B． C． D． 12．若是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．方程的解是 ． 14．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为 ． 15．方程化成一般形式是 ． 16．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）用适合的方法解下列方程： (1)； (2) 18．（9分）用配方法解方程：． 解：整理，得_____， 移项，得_____， 二次项系数化为1，得_____， 配方，得_____，即（_____）_____， 开方，得_____， _____，_____． 19．（7分）传承闽都文脉，汇聚城市艺文，三坊七巷已成为福州的烫金名片，漫步坊巷，体验古老和新生并存的福州城．三坊七巷景区在2019年国庆长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年国庆长假期间，将接待游客达28.8万人次．求三坊七巷景区2019至2021年国庆长假期间接待游客人次的平均增长率． 20．（8分）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 21．（8分）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为． (1)用含有x的代数式表示平行于墙长一边使用的篱笆的长度； (2)求x的值． 22．（10分）已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 23．（10分）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 24．（12分）某商场将进货价为元的台灯以元售出，月份销售个，月份和月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，月份的销售量达到个，设月份和月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求月份和月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从月份起，在月份销售量的基础上，商场决定降价促销经调查发现，售价在元至元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加个若商场要想使月份销售这种台灯获利元，则这种台灯售价应定为多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$