九年级数学上学期第一次月考·拔尖卷（沪科版，举一反三）

九年级数学上学期第一次月考·拔尖卷 【沪科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：二次函数与反比例函数~相似形 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，与四边形的面积的比是（    ）    A． B． C． D． 2．（3分）（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25八年级下·浙江舟山·期末）已知点都在反比例函数的图像上，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（3分）如图，当反比例函数的图象将矩形的内部（不含边界）的横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（3分）将抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线，若任意一条与轴垂直的直线与的交点中，至少有一个不在轴下方，则实数的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 6．（3分）（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在中，，，，点，分别在边上，且，平分的面积，则的长为（　　） A．5 B．2 C．4.8 D．2 8．（3分）（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连结．若的面积为8，则k的值为（   ） A．4 B．1.5 C．3 D．6 9．（3分）如图，中，，点D是AB的中点，连接CD，过点B作，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，下列结论正确地是（） A． B． C．AB D． 10．（3分）（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；⑤关于的不等式 的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，已知点，，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件反比例函数的表达式 ． 12．（3分）（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 13．（3分）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么 ． 14．（3分）（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为． （1）点的坐标为 （用含字母的代数式表示）； （2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为 ． 15．（3分）（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ． 16．（3分）（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取的中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 18．（6分）（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的坐标． 19．（8分）函数与的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线分别与两个函数图象交于点Q，R，连接． (1)用t表示的长度，并判断随着t的值逐渐增大，长度的变化情况． (2)当t从小到大变化时，的面积是否发生变化？请说明理由． (3)当时，的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为多少时，的周长最小？最小周长是多少？如果不发生变化，请说明理由． 20．（8分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 21．（10分）（24-25九年级上·广东揭阳·期末）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”．下图中点A、B、C均为格点，请仅用无刻度的直尺按要求作图，不写作法，保留必要的作图痕迹． (1)在图1中，画出以B为顶点，为腰的等腰三角形； (2)在图2中，在线段上找一个点P，使； (3)在图3中，是格点三角形，找出一个格点D，连接，使平分． 22．（10分）（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． (1)求a，b，k的值； (2)如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； (4)如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（12分）（24-25九年级上·全国·期末）（1）夜晚，小明在路灯下散步．已知小明身高米，路灯的灯柱高米． ①如图1，若小明在相距10米的两路灯之间行走（不含两端），他前后的两个影子长分别为米，米，试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围？ ②有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图2，若小明在灯柱前，朝着影子的方向（如图箭头），以米/秒的速度匀速行走，试求他影子的顶端R在地面上移动的速度． （2）我们知道，函数图象能直观地刻画因变量与自变量之间的变化关系．相信，大家都听说过龟兔赛跑的故事吧．现有一新版龟兔赛跑的故事：由于兔子上次比赛过后不服气，于是单挑乌龟再来另一场比赛，不过这次路线由乌龟确定…比赛开始，在同一起点出发，按照规定路线，兔子飞驰而出，极速奔跑，直至跑到一条小河边，遥望着河对岸的终点，兔子呆坐在那里，一时不知怎么办．过了许久，乌龟一路跚跚而来，跳入河中，以比在陆地上更快的速度游到对岸，抵达终点，再次获胜．根据新版龟兔赛跑的故事情节，请在同一坐标系内（如图3），画出乌龟、兔子离开终点的距离s与出发时间t的函数图象示意图．（实线表示乌龟，虚线表示兔子） 24．（12分）（2025·贵州遵义·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度 （3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上学期第一次月考·拔尖卷 【沪科版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，与四边形的面积的比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握三角形的判定和相似三角形的性质是解题的关键．先利用比例性质得出，结合，判定，再利用相似三角形的性质得出，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（3分）（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 3．（3分）（24-25八年级下·浙江舟山·期末）已知点都在反比例函数的图像上，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数的图像与性质是解题的关键．根据反比例函数图像上点的坐标特征研究反比例函数的性质，结合解一元一次不等式即可判断． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，则， 若，则，解得：，则； 若，则，解得：，则； 综上，若，则或，故A选项错误，不符合题意； 若，则，故B选项正确，符合题意； 若，则，故D选项错误，不符合题意； 若，则， 若，则，解得：，则； 若，则，解得：，则无解； 综上，若，则，故C选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．（3分）如图，当反比例函数的图象将矩形的内部（不含边界）的横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像，整数点的问题，解题的关键是要找到临界状态． 先找出矩形内部整数点共8个，然后找到两个临界位置，求出对应的比例系数k，即可求出取值范围． 【详解】解：矩形内的整数点有， ∴当反比例函数图像经过点时，此时， 当反比例函数图像经过点时，此时， ∴时，图像下方有点，图像上方有， 故选：D． 5．（3分）将抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线，若任意一条与轴垂直的直线与的交点中，至少有一个不在轴下方，则实数的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移问题，解一元二次不等式等知识点，解题的关键是利用数形结合的思想找出临界位置． 先求出平移后的抛物线解析式，联立求出交点坐标，再根据交点的位置进行分析即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度， 则， 即， 联立， 解得：， ∴两个抛物线的交点记为， 如图，当点在轴下方时，不符合题意； 只有当交点在轴上或在轴上方时，符合题意，如图： ∴， 解得：， ∴实数的最大值为， 故选：C． 6．（3分）（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平行线分线段成比例定理，可得．再由矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作于点F，交于点E． 由已知可得，，， ， ， ∵， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． 故选A． 7．（3分）如图，在中，，，，点，分别在边上，且，平分的面积，则的长为（　　） A．5 B．2 C．4.8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于F，根据已知求出的面积，进而求出，证明，根据相似三角形的性质求出，进而求出，然后在中根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过D作于F， ∵，，， ∴， ∵平分的面积， ∴， 又 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 8．（3分）（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连结．若的面积为8，则k的值为（   ） A．4 B．1.5 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出和的长度是解决本题的关键． 过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∵底边轴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 9．（3分）如图，中，，点D是AB的中点，连接CD，过点B作，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，下列结论正确地是（） A． B． C．AB D． 【答案】B 【分析】A选项：由△AFG≌△AFD可得FG=FD＞FE，可确定结论A错误； B选项：由△ABG≌△BCD，△AFG≌△AFD，可确定结论B正确； C选项：由△AFG≌△AFD可得AG=AB=BC，进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论C错误； D选项：因为F为AC的三等分点，所以S△ABF=S△ABC，又S△BDF=S△ABF，所以S△ABC=6S△BDF，由此确定结论D错误． 【详解】如图： ∵BG⊥CD ∴∠1+∠3=90。， 在Rt△ABC，∠1+∠4=90。 ∴∠3=∠4， 在△ABG与△BCD中， ∵∠3=∠4，AB=BC，∠BAG=∠CBD， ∴△ABG≌△BCD(ASA) ， ∵点D是AB的中点， ∴AD=BD ∴ 在△AFG与△AFD中 ∵AG=AD，∠FAG=∠FAD=45。， AF=AF， ∴ 故结论B正确 ∴ 在中， ∴， 故结论A错误． 设，则． ∵AG∥BC ∴ ∴CF=2AF ， 故结论C错误， ∵AF=AC， ∴S△ABF=S△ABC， 又点D是AB的中点 ∴S△ABF=S△ABC ∴， ∴S△ABC=6S△BDF 故结论D错误． 故答案为：B 【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度.对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用. 10．（3分）（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；⑤关于的不等式 的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程 的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式 的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，已知点，，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件反比例函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．先分别求得反比例函数图像分别过点A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可得出反比例函数的表达式． 【详解】解：当反比例函数图像过点，则， 当反比例函数图像过点，则， ∴的取值范围为， ∴可以取4， ∴符合条件反比例函数的表达式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（3分）（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一段抛物线：记为图象，它与x轴交于两点O、；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；将图象绕点旋转得到图象，交x轴于点；…如此进行下去，若点在某段抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，发现图象的变化特点； 根据题意和图象可以发现每4个单位长度的图象为一个循环，然后即可计算出点中m的值． 【详解】解：， ∴图象的顶点坐标为， ∴点和图象的顶点间的一半，横坐标为， 把代入，解得：， 作的直线平行轴，如图： ， ∴， 由图象可得， 每4个单位长度的图象为一个循环， ∵，， ∴点与图象的点中的纵坐标是相等的， ∴， 故答案为：． 13．（3分）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么 ． 【答案】 【分析】根据平分，得到，再结合图形可以确定如果与相似，可能有或者两种情况，分类得到相似比代值求解即可得到结论． 【详解】解：已知四边形中，平分， ， 如果与相似，则有或者两种情况， ①当时，， ，， ，即，解得或（舍去）； ②当时，，， ，即是等腰三角形， ， ，， ，即，解得或（舍去）； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用相似求线段长，熟练掌握相似的性质，准确把握对与相似的表示进行分类讨论是解决问题的关键． 14．（3分）（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）在平面直角坐标系中，关于的二次函数的顶点为． （1）点的坐标为 （用含字母的代数式表示）； （2）若将抛物线先向下平移6个单位，再向左平移2个单位得到新的二次函数，若，则该抛物线顶点纵坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的平移及二次函数的最值，掌握二次函数的顶点式和增减性是解本题的关键． （1）化成顶点式即可求得； （2）原二次函数图象顶点坐标纵坐标为，根据平移方式得出新的函数关系式，最后结合的取值范围求出该抛物线顶点纵坐标的最小值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴顶点的坐标为． 故答案为：； （2）原抛物线顶点纵坐标为， 将原抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，则有： ， 此函数图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值，为， 即该抛物线顶点纵坐标的最小值为， 故答案为：． 15．（3分）（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作延长线于点，延长，交于点，通过证明，得出，，设，再证明，再证明，得出，设，则，，，利用，求出，（负值舍），则可求出，，再利用，得，即可求解． 【详解】解：过点作延长线于点，延长，交于点， ，，， ∴， ∴，， 设， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ，（负值舍）， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（3分）（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取的中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是正确作辅助线，掌握相关知识的灵活运用． 连接交于E，，可推出，，从而得出当B、Q、E共线时，最小，作于H，设，则，，利用勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质求出，由即可得解． 【详解】解：如图，连接交于E， ∵于D， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵Q是的中点， ∴是定值，当B、Q、E共线时，最小，即的周长最小， 作于H，设， ∵， ∴， ∵Q是的中点，，， ， ∴， 在中，， ∵的周长最小值为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 18．（6分）（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，，则，当，时，，求出；当时，，求出；当，时，，，求出． 【详解】（1）解：将点、代入得：， 解得：， ∴． （2）解：当时，， ∴， 设与轴交于点，过点作于点，    平分，， ∴，， ∴， ∴ ， ， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 抛物线的对称轴为直线， ∴． （3）解：设直线的解析式为， 当时，解得：或， ∴，， ∴， 当，时，， 解得：或（舍）， ∴； 当时，， 解得或（舍， ∴； 当，时，， ∴， 解得：或舍， ∴， ∴； 综上所述：点坐标为或． 19．（8分）函数与的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线分别与两个函数图象交于点Q，R，连接． (1)用t表示的长度，并判断随着t的值逐渐增大，长度的变化情况． (2)当t从小到大变化时，的面积是否发生变化？请说明理由． (3)当时，的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为多少时，的周长最小？最小周长是多少？如果不发生变化，请说明理由． 【答案】(1)，当时，随t的增大而减小 (2)不发生变化，理由见解析 (3)发生变化，， 【分析】（1）由于和的横坐标都是，则利用反比例函数图象上点的坐标特征可表示出它们的坐标，然后利用它们的纵坐标之差即可表示出的长度，然后根据反比例函数的性质讨论增减性； （2）根据三角形面积公式易得，于是可判断的面积不发生变化 （3）当时，易得，，则，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图，则点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，易得点坐标为；然后根据两点之间线段最短可判断此时的周长最小，接着根据勾股定理计算出，从而可得到的周长的最小值． 【详解】（1）解：把代入得，则； 把代入得，则， ∴，当时，RQ随t的增大而减小． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： ∵， ∴的面积不发生变化． （3）解：的周长发生变化．当时，，，则． 作点R关于y轴的对称点M，连接，与y轴的交点即为所求点P．如图， 则M点的坐标为．设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为，当时，． ∴点P的坐标为． ∵， ∴． ∴此时的周长最小． 在中，∵，， ∴． ∴． ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征和性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形的面积；运用两点之间线段最短解决三角形周长的最小值问题． 20．（8分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)；； (3)；；； 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）过点作轴交于点，连接，，设出，则，求出的长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． 【详解】（1）解：把，分别代入可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得： ∴ 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； （2）过点作轴交于点，连接，如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， ∴ ∴当时，最大面积为， 把代入可得：； （3）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为抛物线上一动点，设；点在轴上，设， ∵， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或，与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， 综上所述的坐标为：；；；． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图像性质，坐标轴点的特征，三角形面积最值的求法，平行四边形的性质，熟悉掌握几何的构造是解题的关键． 21．（10分）（24-25九年级上·广东揭阳·期末）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”．下图中点A、B、C均为格点，请仅用无刻度的直尺按要求作图，不写作法，保留必要的作图痕迹． (1)在图1中，画出以B为顶点，为腰的等腰三角形； (2)在图2中，在线段上找一个点P，使； (3)在图3中，是格点三角形，找出一个格点D，连接，使平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题是四边形综合题，考查作图一应用与设计作图等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求的长，即，同理得，结合等腰三角形的判定：画图即可； （2）与（1）同理得，取格点E，格点F，连接，交于点P，结合网格，，所以，，即，则点P为所求点． （3）在的延长线上取格点E，使，结合等腰三角形的性质，再取的中点D，运用三线合一，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：以B为顶点，为腰的等腰三角形如图所示： （2）解：在线段上找一个点P，使，如图所示： （3）解：平分，如图所示： 22．（10分）（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． (1)求a，b，k的值； (2)如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； (4)如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，以及一次函数解析式，即可得到a，b，k的值； （2）根据（1）中一次函数解析式求出点C的坐标，进而得到，再设点D的坐标为，根据建立等式求解，即可解题； （3）将点D向右平移一个单位，得到，连接，，证得四边形为平行四边形，，进而得到，根据为定长，要的值最小，即的值最小，又当三点共线时，的值最小，再结合勾股定理求解，即可解题； （4）根据以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，分情况①当为边时；②当为边，为对角线时；连接交于点，③当为边，为对角线时；结合菱形的性质和判定，以及勾股定理进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为， ，即， 点B的横坐标为5， ，即点B的坐标为， ， 解得， 综上，，，； （2）解：由（1）知，一次函数为， 当时，，解得， 点C的坐标为，即， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点D是第二象限内反比例函数上一动点， 设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （3）解：将点D向右平移一个单位，得到 ，连接，， ， ，且， 四边形为平行四边形， ， ， 为定长，要的值最小，即的值最小， 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为； （4）解：存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， 点D的坐标为，点C的坐标为， ， ①当为边时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ，， 或， ②当为边，为对角线时；连接交于点， 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， ； ③当为边，为对角线时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， 设， ，， ，解得， ， ； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及一次函数解析式，一次函数与反比例函数几何综合，线段和最值，平行四边形性质和判定，菱形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于利用分类讨论的思想方法解决问题． 23．（12分）（24-25九年级上·全国·期末）（1）夜晚，小明在路灯下散步．已知小明身高米，路灯的灯柱高米． ①如图1，若小明在相距10米的两路灯之间行走（不含两端），他前后的两个影子长分别为米，米，试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围？ ②有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图2，若小明在灯柱前，朝着影子的方向（如图箭头），以米/秒的速度匀速行走，试求他影子的顶端R在地面上移动的速度． （2）我们知道，函数图象能直观地刻画因变量与自变量之间的变化关系．相信，大家都听说过龟兔赛跑的故事吧．现有一新版龟兔赛跑的故事：由于兔子上次比赛过后不服气，于是单挑乌龟再来另一场比赛，不过这次路线由乌龟确定…比赛开始，在同一起点出发，按照规定路线，兔子飞驰而出，极速奔跑，直至跑到一条小河边，遥望着河对岸的终点，兔子呆坐在那里，一时不知怎么办．过了许久，乌龟一路跚跚而来，跳入河中，以比在陆地上更快的速度游到对岸，抵达终点，再次获胜．根据新版龟兔赛跑的故事情节，请在同一坐标系内（如图3），画出乌龟、兔子离开终点的距离s与出发时间t的函数图象示意图．（实线表示乌龟，虚线表示兔子） 【答案】（1）①（）；②米/秒；（2）图见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，画函数图象，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键 （1）①根据题意利用相似三角形的判定和性质即可求解； ②设运动时间为t秒，点E运动到点，点R运动到点，过点作，根据相似三角形的判定得出，，再利用其性质求解即可； （2）结合题意，大致画出相应的函数图象即可 【详解】解：（1）根据题意得：， ∴． ∴． ①∴． ∴，． 同理，．      ∵ ∴ ∴ ∵当接近时，影长接近0； 当接近时，影长接近5 ∴； ②如图，设运动时间为t秒，点E运动到点，点R运动到点，过点作， 则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴米/秒 （2）如图3所示即为所求． 24．（12分）（2025·贵州遵义·模拟预测）【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究 项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，． （1）试确定点A所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度 （3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长． 【答案】（1）；（2）无人机应该下降的高度为；（3） 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷水口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值， 再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式； （2）以无人机控制中心为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒水覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机摄像头距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， ∴所在抛物线表达式为 ∵无人机高度为， ∴点P的纵坐标为， 把代入中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$