2.5 直线与圆的位置关系 预习讲义 2025-2026学年 苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦直线与圆的位置关系核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种关系的定义、图形特征、圆心到直线距离d与半径r的数量关系及公共点情况。作为圆的对称性后续内容，为切线性质与判定奠定基础，通过概念解析、表格对比等学习支架助力理解。 本资料以数形结合思想为特色，通过表格对比三种位置关系的公共点个数、d与r关系等，培养学生几何直观的数学眼光。分层设计巩固练习，从基础选择到综合解答，强化推理意识与应用意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

2025-2026学年数学苏科版九年级上册 第2章 对称图形——圆 2.5 直线与圆的位置关系 （预习讲义） 学习目标 1. 了解直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。 2. 理解直线与圆的每种位置关系的含义及相应的图形特征。 3. 掌握直线与圆的位置关系的判定方法：通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定。 4. 能够根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，准确判断直线与圆的位置关系。 知识点梳理 1. 基本概念：圆心到直线的距离 · 从圆心向这条直线作垂线，圆心到垂足之间的线段的长度叫做圆心到直线的距离，通常用字母 d 表示。 2. 直线与圆的三种位置关系 · 位置关系一：相交 · 图形描述： 直线与圆有两个公共点。 · 定义： 直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。 · 公共点名称： 这两个公共点叫做交点。 · 直线名称： 这条直线叫做圆的割线。 · 数量关系： 圆心到直线的距离 d 小于圆的半径 r，即 d < r。 · 交点个数： 2 个。 · 位置关系二：相切 · 图形描述： 直线与圆有唯一公共点。 · 定义： 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。 · 公共点名称： 这个唯一的公共点叫做切点。 · 直线名称： 这条直线叫做圆的切线。 · 数量关系： 圆心到直线的距离 d 等于圆的半径 r，即 d = r。 · 交点个数： 1 个。 · 位置关系三：相离 · 图形描述： 直线与圆没有公共点。 · 定义： 直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 · 数量关系： 圆心到直线的距离 d 大于圆的半径 r，即 d > r。 · 交点个数： 0 个。 知识点总结 1. 直线与圆的位置关系由两个要素决定： · 直线与圆的公共点的个数。 · 圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系。 2. 三种位置关系的对比： 位置关系 公共点个数 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系 直线名称 公共点名称 相交 2 个 d < r 割线 交点 相切 1 个 d = r 切线 切点 相离 0 个 d > r 无 无 3. 核心数学思想： 数形结合思想（通过数量关系 d 与 r 的比较来判断图形位置关系，反之亦然）。 巩固练习 一、选择题 1．同一平面内，已知⊙O的半径r=2，点O到直线l的距离d=3，则⊙O与直线l的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆必与（　　） A．轴相交 B．轴相交 C．轴相切 D．轴相切 3．下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧； B．相等的圆周角所对的弧相等； C．三角形的内心到三角形三边的距离相等； D．垂直于半径的直线是圆的切线． 4．过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 5．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 6．如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（　　） A． B． C． D． 7．如图，两个同心圆的半径分别为和，弦与小圆相切于点，则（　　） A． B． C． D． 8．正三角形外接圆面积是 ，其内切圆面积是（　　） A． B． C． D． 9．下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 10．在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是　 　． 11．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝78°，则∠BOC＝　 　度． 12．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 　 　． 13．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=　 　. 14．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论①；②若点为的中点，则；③连接，，若，则；④．其中一定正确的是　 　．（填序号） 15．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D．若的半径为5，点A的坐标是．则点D的坐标是　 　． 16．如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则　 　 三、解答题 17．已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， （1）当半径为何值时，与直线相切； （2）当半径为何值时，与直线相切； （3）当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 18．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点，，，若，求的度数. 19．如图，等腰内接于，点是线段上异于，的一点．连接并延长交于点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 20．已知：如图，在中，，D是BC的中点．以BD为直径作，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E． （1）求证：AD是的切线； （2）若PC是的切线，，求PC的长． 参考答案 1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．D 8．D 9．C 10． 11．129 12．相切 13．40° 14．①②④ 15．（9，2）． 16．70 17．（1）当半径为3时，与直线相切 （2）当半径为2.4时，与直线相切 （3）当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 18．解：连接，，如图， ，， 是的内切圆，与，，分别相切于点，，， ，，， ， 19．（1）证明：连接，． ∵是等腰的外接圆，为的中点， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴是的切线． （2）解：设，则， ∴． ∵是直角三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． 解得：． ∴． ∴． 20．（1）证明：因为AB ＝ AC，D是BC的中点，所以AD⊥BD． 因为BD是⊙O直径，所以AD是⊙O的切线． （2）解：连接OP. ∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC， ∴BD ＝ DC＝4， OD＝OP ＝ 2． ∴OC ＝ 6. ∵PC是⊙O的切线，O为圆心， ∴． 在Rt△OPC中， 由勾股定理，得 OC2＝ OP2+ PC2 ∴PC2＝ OC2－OP2 ＝ 62－22 ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$