2.4 圆周角 （预习讲义）2025-2026学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦圆周角核心知识点，从定义（顶点在圆上且两边交圆）出发，对比圆心角明确区别，进而梳理圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角一半）及推论（同弧等弧圆周角相等、直径对直角），渗透转化与分类讨论思想，构建从概念到应用的学习支架。 资料以“观察—猜想—验证—归纳”为主线，如定理证明分圆心在角的一边、内部、外部三种情况，培养分类讨论思维与空间观念。巩固练习结合圆内接四边形、直径应用等实例，提升推理能力与应用意识，课中辅助教师引导探究，课后帮助学生强化知识、查漏补缺。

2025-2026学年数学苏科版九年级上册 第二章 对称图形——圆 2.4 圆周角 （预习讲义） 学习目标 1. 理解圆周角的概念，能准确识别一个角是否为圆周角。 2. 掌握圆周角定理及其推论，并能运用它们进行简单的几何推理和计算。 3. 经历圆周角定理的探索过程，体会“观察——猜想——验证——归纳”的数学思想方法，发展推理能力。 知识点梳理 1. 圆周角的定义 · 定义： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 · 特征： · 角的顶点在圆上。 · 角的两边都与圆相交（即角的两边都是圆的弦）。 · 注意： 圆周角与圆心角的区别在于顶点的位置，圆周角顶点在圆上，圆心角顶点在圆心。 2. 圆周角定理 · 定理内容： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 · 图形语言描述： 如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB，则∠ACB = 二分之一 ∠AOB。 · 理解要点： · 该定理揭示了同一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系。 · “一条弧”是连接圆周角和圆心角的纽带，必须是同一条弧所对的。 · 定理证明思路提示（预习了解）： 圆心与圆周角的位置关系有三种情况： （1）圆心在圆周角的一边上； （2）圆心在圆周角的内部； （3）圆心在圆周角的外部。 通常先证明第一种特殊情况，再通过添加辅助线（如作直径）将后两种情况转化为第一种情况来证明。 3. 圆周角定理的推论 · 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等。 · 图形语言描述： 如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角有∠ACB、∠ADB、∠AEB等，则∠ACB = ∠ADB = ∠AEB。 · 推广： 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也相等。 · 推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 · 图形语言描述： 如图，在⊙O中，AB是直径，则它所对的圆周角∠ACB = 90°；反之，若圆周角∠ACB = 90°，则它所对的弦AB是⊙O的直径。 知识点总结 · 核心概念： 圆周角的定义（顶点在圆上，两边都和圆相交）。 · 核心定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 · 重要推论： 1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 2. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）；90°的圆周角所对的弦是直径。 · 思想方法： 转化思想（将圆周角与圆心角联系，将复杂图形转化为基本图形），分类讨论思想（证明圆周角定理时对圆心与圆周角位置关系的讨论）。 巩固练习 一、选择题 1．如图，四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，是的弦，，，则的直径等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OC的中垂线交弧AC于点E，连结AE、EC、CB，则下列结论错误的是（　　） A．∠AEC =135° B．∠BCE=105 C．=2 D．EC=2EA 4．如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（　　） A． B． C． D． 5．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，线段是的直径，点是上一点，设，．若，，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．若四边形为内接四边形，，则　 　°． 8．如图，是的直径，点、在上，，则　 　度． 9．如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则　 　． 10．如图，是的内接三角形，若，则　 　． 11．如图，四边形内接于，若，则　 　 12．如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上点，于点E，于点H，连结．若，则四边形的面积为　 　． 13．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；② ；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有　 　（填序号）． 三、解答题 14．如图，四边形内接于，，连接，若，求的度数． 15．如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直目标。下列要求的角，保留作图痕迹． （1）请在图中作一个的圆周角，记为． （2）请在图中作一个的圆心角，记为． （3）请在图中作一个的圆周角，记为． 16．如图，为直径，C为圆上一点，连接，． （1）尺规作图：作的中点D，交于E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，在（1）的条件下，连接，求的长． 17．如图，在半圆O中，直径，点C在上，连接，弦平分，连接． （1）求证：； （2）连接．若，求的长． 参考答案 1．B 2．C 3．D 4．D 5．A 6．A 7．或 8．120 9．140° 10． 11．110° 12． 13．①②④ 14． 15．（1）解：如图，即为所求， （2）解：如上图，即为所求； （3）解：如上图，即为所求． 16．（1）解：如图，点即为所求作． （2）解：设交与， ∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， . 17．（1）证明：∵平分，∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$