第2章 一元二次方程（复习课件）数学湘教版九年级上册

单元复习课件 第2章 一元二次方程 湘教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.清晰梳理一元二次方程的核心概念，能准确判断方程是否为一元二次方程，并规范整理为一般形式； 3.掌握一元二次方程的实际应用模型，能从实际问题中抽象出等量关系，建立一元二次方程模型，求解并检验结果的实际意义，实现 “从生活到数学” 的转化 2.全面掌握一元二次方程的四种解法，明确每种解法的适用场景形式，因式分解法适用于能分解为两个一次因式乘积的方程），能根据方程特点选择最优解法，且保证解题过程的规范性与结果的准确性。 单元学习目标 一元二次方程 一元二次方程的有关概念 一元二次方程的应用 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式 *一元二次方程根与系数的关系 配方法 公式法 因式分解法 单元知识图谱 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是 ax2+bx +c=0 (a，b，c是已知数，a≠0) 对于一元二次方程ax2+bx +c=0 (a，b，c是已知数，a≠0) ，其中a， b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项. 考点串讲 一元二次方程ax2+ bx +c =0 (a≠0)的根的情况可由Δ = b2- 4ac来判断: 当Δ >0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为 当Δ =0时，原方程有两个相等的实数根，其根为 当Δ <0时，原方程没有实数根. 考点串讲 即 当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系: 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比. 韦达定理 考点串讲 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤： 实际问题 建立一元二次方程模型 解一元二次方程 一元二次方程的根 实际问题的解 分析数量关系 设未知数 检验 考点串讲 1.［2024贵州中考］一元二次方程 的解是( ) B A., B., C., D., 【解析】，，或，， ， 故选B. 考点一、 解一元二次方程 考点串讲 9 2.［2024青海中考］ （1）解一元二次方程： ； 【解】，，或 ， ， . （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长. 【解】当1是直角三角形的一直角边长，3是直角三角形的斜边长时， 第三边长为 ； 当1和3均是直角三角形的直角边长时，第三边长为 . 综上，第三边的长为或 . 本题中直角三角形的两边长是一直角边长和斜边长 还是两直角边长没有具体说明，故需分情况讨论. 考点一、 解一元二次方程 方法技巧 考点串讲 考点二、 一元二次方程根的判别式 3.［2024山东潍坊中考］已知关于的一元二次方程 ， 其中，满足 ，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( ) C A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 【解析】，， 原方程有两个不相等的实数根，故 选C. 考点串讲 11 一元二次方程的根与的关系： ①当 时，方程有两个不相等的实数根； ②当 时，方程有两个相等的实数根； ③当 时，方程无实数根.反之，也成立. 方法技巧 12 4.［2024黑龙江龙东地区中考］关于的一元二次方程 有 两个实数根，则 的取值范围是( ) D A. B. C.且 D.且 【解析】根据题意得 解得且 .故选D. 5.［2024湖南中考］若关于的一元二次方程 有两个相等的实数 根，则 的值为___. 2 【解析】由题意得，解得 ,故答案为2. 考点串讲 13 6.［2023浙江杭州中考］设一元二次方程 .在下面的四组条件中选 择其中一组， 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程. ，；，；，；， . 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分. 【解】 使这个方程有两个不相等的实数根，，即， 选② 或③均可.选②,则这个方程为，， ， . 选③，则这个方程为，,， . （选其中一个解方程即可） 考点串讲 14 考点三、 一元二次方程根与系数的关系 7.［2024四川泸州中考］已知，是一元二次方程 的两个实数 根，则 的值是____. 14 【解析】，是一元二次方程的两个实数根， ， ， ．故答案为14． 考点串讲 15 考点四、 一元二次方程的实际应用 8.［2024内蒙古通辽中考］如图，小程的爸爸用一段 长的 铁丝网围成一个一边靠墙墙长 的矩形鸭舍，其面积为 ，在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门（由其他材料制 成），则 长为( ) C A.或 B.或 C. D. 【解析】设长为，则的长为 .根据题意得 ，解得或 墙长， 应舍去， ,长为 ，故选C. 考点串讲 16 9.［2024重庆中考A卷］随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司 2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年平均增长率是 ______. 【解析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是.根据题意得 ， 解得，（不符合题意，舍去）， 该公司这两年缴税的 年平均增长率是.故答案为 . 考点串讲 17 题型一、直接开平方法解方程 1.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( ) A A. B. C. D. 2.［2025邵阳期中］若关于的一元二次方程 可以用直接开平方法 求解，则 的取值范围是_______. 3.解方程： （1） ； 解：，，, . （2） . 解：，，， ． 返回 题型剖析 题型二、配方法解方程 4.用配方法解方程 时，配方结果正确的是( ) B A. B. C. D. 5.用配方法解方程： . 解：移项,得 ， 配方,得 ， 即，所以 , 所以原方程的解为， ． 题型剖析 19 7.用公式法解关于的一元二次方程，得 ，则该一元二次方程是 _________________. 题型三、公式法解方程 6.用公式法解得某方程 的两个根互为相反数，则( ) A A. B. C. D. 8.解方程： . 解：，,, ， ， ，， ． 题型剖析 20 9.［2025长沙校级月考］关于的一元二次方程 的根是( ) D A. B. C.或 D.或 题型四、因式分解法解方程 10.利用因式分解法解方程： （1） ； 解：，， ， 或，, . （2） . 解：, , 或,, . 题型剖析 21 11.将 进行因式分解，我们可以按下面的方法解答. 解：①竖分二次项与常数项：， . ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于 多项式中的一次项）； 题型五、十字相乘法解方程 ③横向写出两因式： .我们把这种用十字相乘分解因 式的方法称为十字相乘法.例：解方程 . 解：将方程左边因式分解，得，所以 或， 即， .请用上述方法解答下列问题. （1）因式分解：______________， _____________. （2）解方程： . 解：方程左边因式分解，得 , 或,, . 题型剖析 22 12.用十字相乘法解下列方程： （1） ； 解：方程左边因式分解，得 , 或,, . （2） ； 解：方程左边因式分解，得 , 或,, . （3） . 解：方程左边因式分解，得 , ,,, . 题型剖析 23 13.［2025岳阳校级调研］关于的方程 ，则 的 值是( ) B A. B.1 C.或1 D.3或 题型六、换元法解方程 14.若，则 _______. 1或 15.［教材P42“习题2.2”第8题变式］ 利用换元法解下列方程： （1） ； 解：设，则原方程可化为 ， ，或 . 当时，，， ；当时， ，此方程无解， 原方程的解是， ． 题型剖析 24 （2） . 解：设，则原方程可化为 ， ,或 . 当时，，， ， 当时，，， ． 原方程的解是，，， ． 题型剖析 25 16.一元二次方程 的根的情况为( ) A A.无实数根 B.有两个不等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.不能判定 题型七、判断根的情况 17.下列一元二次方程有实数解的是( ) C A. B. C. D. 题型剖析 26 18.若关于的方程有两个相等的实数根，则 的值是( ) C A.36 B. C.9 D. 题型八、求参数值 19.［2024日照中考］已知，实数,是关于 的方程 的两个根，若，则 的值为( ) B A.1 B. C. D. 题型剖析 27 20.关于的一元二次方程无实数解，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型九、求参数取值范围 21.［2025怀化校级月考］已知关于的一元二次方程 有实数根. （1）求实数 的取值范围; 解： 一元二次方程 有实数根.，即, 解得 . （2）设方程的两个实数根分别为，，若 ，求 的值. 解： 方程的两个实数根分别为, ,,,且 . , ， ,解得,满足, 的值为3. 返回 题型剖析 28 22.［教材P48“习题2.4”第4题变式］ 设，是方程 的两个实数根， 则 的值为____. 10 返回 题型十、利用根与系数的关系求值 23.［2025长沙期中］已知关于的一元二次方程 有实数根. （1）求 的取值范围； 解： 关于的一元二次方程 有实数根，， 解得 . （2）若该方程的两个实数根分别为 ， ，且，求 的 值. 解： 方程的两个实数根分别为 ， ， ， . ， ， 解得，，， ． 返回 题型剖析 29 1.下列方程中一定是关于 的一元二次方程的是( ) D A. B. C. D. 2.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围 是( ) C A. B. C.且 D.且 针对训练 30 3.用配方法解方程 时，原方程应变形为( ) B A. B. C. D. 4.若是关于的方程的一个根，则 的值是( ) C A.2 026 B.2 025 C.2 023 D.2 022 5.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了有关“直田（矩形）面积与 其长、阔（宽）”的问题，今有一块矩形土地面积是1 575平方步，其宽与长的和为 80步，问宽和长各几步？若设长为 步，则下列方程符合题意的是( ) B A. B. C. D. 针对训练 31 6.若与互为相反数，则 的值为_ ____________. 或 7.［2025衡阳月考］已知某三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程 的根，则这个三角形的周长是____. 12 8.在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数 ，得到的解为 ，；小刚看错了常数项，得到的解为 ，。那么正确的 一元二次方程为_________________. 针对训练 32 9.用适当的方法解下列方程： （1） ; 解：移项,得 . 分解因式,得 . 所以或.所以， . （2） ； 解：分解因式,得 ， 所以或，所以， . 针对训练 33 10.已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根. （1）求 的取值范围； 解：因为关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 所以， ，所以且 . （2）当 时，用配方法解方程. 解：当时，原方程为 ， 移项,得.配方，得 ， 即.直接开平方，得 . 解得， . 针对训练 34 感谢聆听! $$