第11章 整式的乘除（复习课件）数学华东师大版2024八年级上册

单元复习课件 第11章 整式的乘除 华师大版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.了解正整数幂的运算法则，并会运用它们进行计算；了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式乘法运算；了解单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，并能进行简单的整式除法运算。 3.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，从中体会事物之间可以互相转换的辩证思想。会用提取公因式、公式法进行因式分解。 2.会由整式的乘法推导出乘法公式，了解两个乘法公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。 单元学习目标 单元知识图谱 4 1．幂的运算法则 法则名称 文字表示 式子表示 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数 ，指数 . am•an＝　 .　(m、n 为正整数) 幂的乘方 幂的乘方,底数 ，指数 . (am)n＝ .(m、n 为正整数) 积的乘方 积的乘方，等于把积的每个因式分别 ，再把所得的幂 . (ab)n＝ .(n 为正整数) am＋n amn anbn　 不变 相乘 相加 不变 相乘 乘方 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数 ，指数 . am÷an＝ . (a ≠ 0，m、n 为正整数，且 m＞n) 相同点 运算中的 不变，只对 运算 不同点 （1）同底数幂相乘是指数 .（2）幂的乘方是指数 . （3）积的乘方是每个因式分别 .（4）同底数幂相除是指数 . 不变 相减 底数 指数 相加 乘方 相减 am－n 相乘 考点串讲 2．整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的　 　、　 分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个　 　. 单项式与多项式相乘，用　 　 和　 　 的每一项分别相乘，再把所得的积　 　 . 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的　 　与另一个多项式的　 　相乘，再把所得的积　 　. 系数 相同字母的幂 因式 单项式 多项式 相加 每一项 每一项 相加 考点串讲 3．乘法公式 公式名称 两数和乘以这两数的差 两数和(差)的平方 文字表示 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 两数和(差)的平方，等于这两数的　 加上(减去)　 　的 2 倍 式子表示 (a＋b)(a－b)＝ . (a±b)2＝ .　　 平方和 这两数积 a2－b2 a2 ± 2ab ＋ b2 结构特点 ①左边是两个　　项式相乘这两个二项式中有一项　 　，另一项　 . ②右边是　　项式，是乘式中两项的　 　 ，即相同项的平方与相反项的平方的差. ①左边是一个　　项式的和(或差)的　 　；②右边是　　项式，是左边二项式中两项的 　 ，再 (或减去)它们　　的 2 倍. 二 完全相同 互为相反数 二 平方差 二 平方 三 平方和 加上 积 考点串讲 4．整式的除法 (1)单项式除以单项式 单项式相除，把　 　、　 　分别相除作为商的 　 ，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个　 　. 系数 同底数幂 因式 因式 (2)多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个　 ，再把所得的商　 　. 单项式 相加 考点串讲 5．因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的　　的形式，叫做多项式的因式分解． 因式分解的过程和　 　的过程正好相反． 6．用提公因式法分解因式 公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的　 ；字母取多项式各项　 　的字母；各字母指数取次数最　　的． 积 整式乘法 最大公约数 相同 低 一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到 　外面，将多项式写成　 的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 括号 因式乘积 考点串讲 7．用公式法分解因式 把　 　反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．这两个公式是： (1)逆用平方差公式 ＝　 　； (2)逆用两数和(差)的平方公式 ＝ . 乘法公式 a2 - b2 (a+b)(a-b) a2±2ab＋b2 (a±b)2 8．因式分解的步骤 (1)如果多项式的各项有公因式，那么先　 　； (2)在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用　 　公式分解因式；三项式可以尝试运用　 　公式分解因式； (3)分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能 　为止． 提取公因式 平方差 两数和(差)的平方 再分解 考点串讲 考点一、幂的运算 1.［2024山西中考］下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 A 与 不是同类项，不能合并 × B × C × D √ 题型剖析 2.［2024河北中考］若, 是正整数，且满足 ,则与 的关系正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意得，， .故选A. 考点一、幂的运算 考点串讲 12 3.［2023陕西中考］计算： ( ) B A. B. C. D. 【解析】 ．故选B. 考点二、整式的乘法 4.［2023四川泸州中考］下列运算正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】A选项，原式不能合并，不符合题意；B选项，原式 ，符合题意；C 选项，原式不能合并，不符合题意；D选项，原式 ，不符合题意．故选B. 考点串讲 13 5.［2024四川成都中考］下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 A 错误 B ， 不是同类项，不能合并 错误 C 错误 D 正确 考点三、乘法公式 6.［2024四川乐山中考］已知，，则 ____. 29 【解析】，， ，故 答案为29. 考点串讲 14 7.［2023江苏宿迁中考］若实数满足 ，则 ________． 【解析】,，，故答案为 ． 8.［2024甘肃武威中考］先化简，再求值： ， 其中， . 【解】 ， 当，时，原式 . 考点三、乘法公式 考点串讲 15 9.［2024广西中考］如果，，那么 的值为 ( ) D A.0 B.1 C.4 D.9 【解析】， ， ，故选D. 考点四、因式分解 10.［2024山东淄博中考］若多项式 能用完全平方公式因式分解， 则 的值是_____. 【解析】 多项式 能用完全平方公式因式分解， ，则，解得 ， 故答案为 . 考点串讲 16 11.（1）［2024北京中考］分解因式： _______________. 【解析】，故答案为 . （2）［2024内蒙古通辽中考］分解因式： ___________. 【解析】 ，故答案为 . （3）［2024山东威海中考］因式分解： _________. 【解析】原式 ，故答案为 . 考点四、因式分解 考点串讲 17 12. ［2024福建中考］已知实数，，，，满足，． （1）试说明： 为非负数； 【解】，，， ，则 ，，是实数， ， 为非负数． （2）若，，均为奇数，， 是否可以都为整数？说明你的理由． 【解】，不可以都为整数．理由如下：若， 都为整数，其可能情况如下： ，都为奇数；，为整数，且其中至少有一个为偶数.①当， 都为奇 数时，必为偶数.， 为奇数， 必为偶数，这与为奇数矛盾.②当， 为整数，且其中至少有一个 为偶数时，必为偶数.，为奇数， 必为偶数，这 与为奇数矛盾.综上所述，， 不可以都为整数． 考点四、因式分解 考点串讲 18 1.［2025江苏常州期中］计算： （1） ； 【解】 . （2） ； 【解】 . 题型一、利用乘法公式进行简便运算 （3） ； 【解】 . （4） . 【解】 . 题型剖析 19 2.［2025河南商丘质检］在学完平方差公式后，小滨出示了一串呈“数字” 链的计算题： . 小梅根据算式的特点，结合平方差公式，发现：只要在算式最前面添上一个“引 线”——数字1，就可用平方差公式，像点鞭炮一样依次“点燃”整个“数字”链. （1）请根据小梅的思路，求出上述算式的值. 【解】原式 . （2）计算： . 【解】原式 . 题型一、利用乘法公式进行简便运算 题型剖析 20 3.［2024浙江宁波期末，］已知，， ，的值都是1或，设 是 这2 002个数的两两乘积之和．(参考公式： （1）求 的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件； 【解】由题意可得 ， ., 当或时， 取得最大值2 003 001；当，， ，中有1 001个1，个时， 取得最小值 . 题型二、复杂乘法公式的应用 （2）求 的最小正值，并指出能达到最小正值的条件． 【解】 大于2 002的最小完全平方数为，且 必为 偶数， 当或 时，即当这2 002个数中有1 024个1， 978个，或有1 024个，个1时，取得最小正值 ． 题型剖析 21 4.［2024湖南长沙浏阳期末］将完全平方公式 进行适当 地变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求 的值． 解：，，即．又 ， ． 题型三、乘法公式与面积间的转化 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求 的值； 【解】， ，即 ，，即 . （2）若，，求 的值； 【解】，，即 ， . 题型剖析 22 5.［2024北京东城区校级期中］阅读材料：我们已经学习过完全平方公式 ．对于多项式 ，虽然不能写成某个代数式的 平方形式，但是可以写成，即一个含 的代数式的 平方与另一个数的和的形式．更一般的，对于二次项系数不为1的二次三项式 ，它总是可以化为 的形式，我们把这种代数式的 恒等变形叫做配方．例如： ， 这就是一个配方的过程．根据以上内容回答下列问题： （1）将代数式 配方； 【解】 . 题型四、 配方法求值 （2）已知，那么 的值为 _______________________________________________________________________ ， ， ，，，解得， ， ．故答案为． _______________________________________________________________________ _________________________________ ． 题型剖析 23 1.［2025年1月福州期末］下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 2.［2025年1月福州期末］下列将多项式 因式分解正确的是( ) D A. B. C. D. 针对训练 24 3.［2025年1月福州期末］长方形的面积是 ，若一边长为 ，则另一 边长为( ) A A. B. C. D. 4.［2025·漳州月考］若，则 , 的值是( ) C A.， B.， C.， D.， 针对训练 25 5.下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项， ，故此选项错误；B选项， ，故此选项错误；C选项， ，故此选项正确；D选项， ，故此选项错误.故选C. 针对训练 26 6.［2025河南新乡期末］观察如图所示的两个多项式相乘的运算过程，根据你发 现的规律分析，若，则， 的值可能分别是( ) A A.， B.，7 C.2， D.2，7 【解析】根据题意，知，，，的值可能分别是， ， 故选A. 针对训练 27 7.［2024·厦门期末］分解因式： _________. 8.［2024·漳州期中］若多项式 可以写成一个多项式的平方的 形式，则 ________. 9或 9.［2025年1月莆田期末］计算 的结果是___. 1 10.先化简，再求值： ，其中 ， . 解：原式 . 当，时，原式 . 针对训练 28 11.［2025湖南衡阳雁峰区校级调研］ （1）已知，，求 的值； 【解】，， 原式 . （2）若，，求 的值. 【解】， ， ， ， ，，，， 原式 . 针对训练 29 12.［2025陕西榆林期末］分解因式 时该式只有两项，且属于平方和，要使 （1） ； 【解】原式 . 用公式可以添一项，随即将此项减去，即可得 . 根据以上方法，把下列各式因式分解： （2） . 【解】原式 . 针对训练 30 幂的运算法则 整式的乘法 整式的除法 乘法公式 （平方差、完全平方公式） 特殊 形式 相反变形 因式分解 （提公因式、公式法） 相反变形 互逆运算 课堂总结 $$