1.1.1空间向量及其线性运算 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 高二数学 章节概述 平面向量的研究过程 章节概述 空间向量的概念及其运算 空间向量基本定理与空间向量的坐标表示 用空间向量解决立体几何问题 空间向量的定义及其表示 空间向量的线性运算和数量积运算 空间向量运算的定义及其几何意义 空间向量运算的运算律 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 用空间向量表示点、直线、平面等元素 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 章节概述 平面向量 及其应用 平面向量的基础概念(相等/相反/共线/零/单位向量) 平面向量的加/减/数乘/数量积运算及其坐标表示 平面向量基本定理、共线向量的充要条件及推论 平面向量在平面几何中的应用(向量的基底法和坐标法) 类比 推广 空间向量的基础概念(相等/相反/共线/零/单位向量) 空间向量的加/减/数乘/数量积运算及其坐标表示 空间向量基本定理、共面向量的充要条件及推论 空间向量在立体几何中的应用(向量的基底法和坐标法) 应用:解决平面或空间中的平行、垂直、距离、角度等问题 空间向量 学习目标 1、了解空间向量的相关概念,培养数学抽象核心素养 2、掌握空间向量线性运算法则和运算律,并能运用它们进行空间向量的运算,培养数学运算核心素养 3、理解并掌握共线向量定理与共面向量定理,培养直观想象与数学抽象核心素养 问题探究 联想用平面向量解决物理问题的方法,能否把平面向量推广到空间向量,从而利用空间向量研究滑翔运动呢? 在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力,例如绳索的拉力、风力、重力等。这些力在同一个平面内吗? 一、空间向量的概念 问题1 我们已经学习过平面向量的相关知识,你能类比平面向量,给出空间向量的定义和相关概念吗? 平面向量的概念 平面内,既有大小又有方向的量,称为平面向量,平面向量的大小叫做向量的长度或模,记作 或|a|. 空间向量的概念 空间中,既有大小又有方向的量,称为空间向量,空间向量的大小叫做向量的长度或模,记作 或|a|. 印刷体:a 手写体: 问题2 回顾一下,平面向量都有哪些表示方法?你可以类比平面向量的表示方法,给出空间向量的表示方法吗? 平面向量的表示法 空间向量的表示法 (1)有向线段 A (起点) B (终点) (2)字母 … (3)坐标表示:=(x,y) (1)有向线段 (2)字母 … (3)坐标表示:=(x,y,z) 二、空间向量的表示 问题3 在学习平面向量时,还学习了一些特殊的向量,你还记得有哪些吗 三、特殊的向量 平面向量 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 长度为0的向量,记作: 模长为1的向量. 模长相等,方向相同的向量。记: 模长相等,方向相反的向量。记: 方向相同或相反的向量叫做共线向量(平行向量), 记作: 零向量与任意向量共线。 空间向量 若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量, 记作: 规定:零向量与任意向量共线。 练习巩固 1:①若将空间中所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一点,则它们的终点构成一个圆; ②若空间向量满足||; ③若空间向量满足,,则 ④空间中任意两个单位向量必相等; ⑤零向量没有方向. 上述命题中假命题的是_. ①②④⑤ 2:下列说法中正确的是_. A、若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同 B、任一向量与它的相反向量不相等 C、四边形ABCD是平行四边形的充要条件的是 D、“模为0”是“一个向量的方向是任意的”的充要条件. CD 练习巩固 问题4 在学习完平面向量的相关概念以后,我们还研究了平面向量的线性运算,你能类比平面向量,研究空间向量的线性运算吗? 四、空间向量的线性运算 说明任意两个空间向量都可以平移到同一平面内,成为同一平面内的两向量. 这样就使得所有空间向量问题都可以转化成平面向量解决. 转化 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 四、空间向量的线性运算 1、加法运算: ①三角形法则: 首尾相接,尾首相连. ②平行四边形法则: 共起点,和为对角线 对于零向量与任意向量,我们规定: 推广:_. 模长: 反向 同向 对于非零向量,: 四、空间向量的线性运算 2、减法运算: 3、数乘运算: 当时,; 当时,; 当时, 转化为加法运算:减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 非零向量减法的三角形法则: 共起点连终点,指被减 模长: 同向 向 模长:; 四、空间向量的线性运算 问题5 空间向量与平面向量是否也有相同的运算律? 与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中 , ∈R): 交换律: 结合律: 分配律: 思考:你能证明这些运算律吗?证明结合律时,与证明平面向量的结合律有什么不同? 问题探究 如图,因为 所以, 证明空间向量的加法结合律: 问题探究 证明空间向量的加法结合律: A C D B C′ D′ B′ A′ 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,记 问题探究 A C D B C′ D′ B′ A′ 三个不共面的向量的和就是以这三个不共面的向量为邻边的平行六面体的对角线所在向量. 另外,利用向量加法的交换律和结合律,还可以得到: 有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变. 练习巩固 P5 T2 1:如图,E,F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB,CD的中点,化简下列表达式,并在图中标出化简结果? (1) (2) (3) (4) 练习巩固 P5 T4 2:如图,已知四面体ABCD,E,F分别是BC,CD的中点,化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量. (1) (2) (3) 五、共线向量与共面向量 问题5 对任意两个空间向量,如果 ( ∈R),有什么位置关系? 类似于平面向量共线的充要条件, 对于任意两个空间向量,(),//的充要条件是存在实数,使 空间共线向量定理 五、共线向量与共面向量 直线的方向向量 O l 我们把与向量 平行的非零向量称为直线l的 .这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 如图, O是直线l上一点,在直线l上取非零向量 , 则对于直线l上任意一点P, 存在实数 , 使得 . 方向向量 P 注意:(1)直线的方向向量一定是非零向量 (2)一条直线的所有方向向量都互相平行 五、共线向量与共面向量 共面向量 如果直线OA平行于平面 或在平面 内,那么称向量 平行于平面 . l O A 如图,如果表示向量 的有向线段 所在的直线OA与直线 l 平行或重合,那么称向量 平行于直线l. 平行于同一平面的向量,叫做共面向量(coplanarvectors). 五、共线向量与共面向量 空间任意两个向量是否可能异面? a b a b O A B b 结论:空间任意两个向量都可平移到同一个平面内,成为同一平面内的向量. 追问1 它们确定的平面是否唯一? 追问2 空间任意两个向量是共面的,那么空间任意三个向量呢? 既可能共面,也可能不共面 d b a c 五、共线向量与共面向量 问题探究 对平面内任意两个不共线向量,,由平面向量基本定理,平面内的任意一向量可以写成=x+y,其中(x,y)唯一确定. 对两个不共线的空间向量,,若=x+y,那么向量与向量有什么位置关系? C 反过来,向量与向量,有什么位置关系时,=x+y? 如果空间向量与两不共线向量,共面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则有 =x+y 问题6 那么什么情况下三个向量共面呢? 五、空间向量共面定理 证明:必要性是由平面向量基本定理得到的. 当,都为或部分为零向量时,充分性显然成立, 下面就与都不是零向量的情况进行证明: 因为分别与共线,所以都在确定的平面内,又因为是以为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,并且此平行四边形在确定的平面内,所以在确定的平面内.即与共面. 如果两个向量不共线,那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使. (该定理实际上就是平面向量基本定理) ①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使 ②P、A、B、C四点共面的充要条件是对空间任意一点O, O A C B P 五、空间向量共面定理 推论: 典例分析 例1:如图,已知平行四边形,过平面外一点作射线,,,,在四条射线上分别取点,,,,使.求证:,,,四点共面. A E H G F D C B O 四点共面 有公共起点的三个向量共面 证明: 由于四边形ABCD是平行四边形, ∴由向量共面的充要条件知,E, F, G, H四点共面. 1.下列说法正确的是( ) A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间中的任意三个向量都不共面 C.空间中的任意两个向量都共面 D.空间中的任意三个向量都共面 C 练习巩固 练习巩固 2. 已知向量不共面,且 试判断, ,是否共面. 3. 已知A,B,C三点不共线,对空间内任意一点O,若 ,则P,A,B,C四点( ). A.不共面 B.共面 C.不一定共面 D.无法判断 不共面 B 练习巩固 4. 如图,已知E,F,G,H,分别为四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA的中点,求证:E,F,G,H四点共面. 方法总结 证明空间三向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示为另两个向量的线性组合,即若,则向量共面. (2)若存在有序数组使得对于空间任一点,有,且成立,则四点共面. 课堂小结 一、空间向量(定义、表示、模、零/单位/相等/相反/共线/共面向量) 二、空间向量的线性运算及运算律 三、向量共线定理、向量共面定理 四、直线的方向向量 $$