4.2.2指数函数的图象和性质（课件）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

人教版2019高一数学（必修一）第四章 指数函数与对数函数 4.2指数函数 4.2.2指数函数的图象和性质 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.理解指数函数的概念和意义，会画指数函数的图像。 2.探索并理解指数函数的单调性和特殊点。 3.理解指数函数的图像与性质，能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题。 情景导入 请同学们回顾一下指数函数的概念？ 下面我们类比研究幂函数性质的过程与方法，进一步研究指数函数.华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，下面我们尝试画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质. x y -2 -1.5 0.35 -1 -0.5 0.71 0 0.5 1.41 1 1.5 2.83 2 1 x y o 1 2 3 -1 -2 -3 0.25 0.5 1 2 4 为了得到指数函数y=(a>0，且a≠1)的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察. 1 x y o 1 2 3 -1 -2 -3 新知探究 画出函数y=的图象，并与函数y=的图象进行比较，它们有什么关系? 能否利用函数y=y=的图象，画出函数y=的图象? 探究 因为y==，点 (x，y) 与点(一x，y)关于 y轴对称，所以函数y=图象上任意一点P(x，y)关于y轴的对称点P(-x，y)都在函数y=的图象上，反之亦然. 由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数y=的图象，画出 y= 的图象 选取底数a(a>0，且a≠1)的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象。观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性?由此你能概括出指数函数 y=(a>0，且a≠1)的值域和性质吗? 探究 如图（1），选取底数a的若干值，用信息技术画图，发现指数函数y=的图象按底数a的取值，可分为0<a<1和a>1两种类型.因此，指数函数的性质也可以分0<a<l和a>1两种情况进行研究. x O y y=3x y=2x 图（1） a的范围 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 值域 定点 单调性 函数值 若x>0, 则y>1 若x<0, 则0<y<1 若x>0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1 R (0,＋∞) (0,1) 增函数 减函数 O x y 1 O x y 1 一般地，指数函数的图象和性质如表所示. 课本例题 【例3】比较下列各题中两个值的大小.   【解】（1）函数 是增函数，且2.5＜3，则1.72.5＜1.73   （2）函数 是减函数，且 ，则       （3） 分析:对于(1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较;对于(3)，和不能看作某一个指数函数的两个函数值。可以利用函数y=和y=的单调性，以及“x=0时，y=1”这条性质把它们联系起来. 由例3可以看到，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系. 【例4】如图，某城市人口呈指数增长． （１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （２）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期． （2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系． 解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年． （２）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人． 课本练习 2、比较下列各题中两个值的大小： 解：（1） （2）＞ （3）∵＞=1 又∵＜=1 ∴＞ 3.人体内的癌细胞初期增加和很缓慢，但到了晚期就急剧增加，试画一幅能反映体内癌细胞数量随时间的变化图。 解: 假设体内的最初的癌细胞数量为k，每过时间t0，1个癌细胞分裂成两个。 则经过时间t，体内癌细胞数量y为 其大致图象如右 题型分类讲解 1.［黑龙江绥化2025高一月考］已知两个指数函数， 的部分图象 如图所示，则( ) D A. B. C. D. 题型1 指数函数的图象 解析 由题图可知函数，均单调递增，则， . 当时，，得，所以 .故选D. 不同底数的指数函数图象的规律 若,,,,,, 均大于0且不等于1）的图象如图所示, 则 . 简记规律：在第一象限,按照逆时针方向观察,对应的指数函数的底数逐渐增大. 规律方法 2.［福建龙岩2024高一期中联考］已知函数 的图象过原点，且无限接近直 线，但又不与该直线相交，则 ( ) C A. B. C.1 D. 解析 因为函数 的图象过原点,所以 ,又因为图象无限 接近直线 ,但又不与该直线相交,所以直线 是图象的一条渐近线,所以,所以 . 故选C. 3.［江苏盐城2025高一期末］函数 的图象恒过的点为__________. 解析 对于函数，令，解得 ，此时 ，所以函数的图象恒过的点为 . 15 4.［湖北武汉2024高一期中］函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. 题型2 指数函数的性质 解析 函数 的定义域 满足解得且 . 5.当时，函数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 解析 因为指数函数在区间上单调递增,所以 ,于是 ,即,所以的取值范围是 .故选C. 16 6.［河南豫东名校2025高一期末联考］已知函数 则不等式 的解集为( ) B A. B. C. D. 解析 当时， ， 则在 时无解； 当时，在 上单调递增， 当时，，则的解集为 ； 当时， ， 则在 时恒成立. 综上，不等式的解集为 .故选B. 17 7.［云南昆明一中2025高一月考］设为实数，若关于的方程有实数解，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 解析 因为，所以 ， 令，则 ， 要使方程有实数解只需直线与 的图象有交点即可. 设，当时，单调递增，所以 ， 则，即 ， 故的取值范围是 .故选C. 8.函数在区间内不单调，则实数 的取值范围是______. 解析 令,则.因为在区间内不单调,所以 在区 间内不单调.又因为在上单调递减,在 上单调递增,所以 ,解得 . 18 9.［江西上饶2025高一月考］已知函数 为奇函数. （1）求 的值； 【解】由题意可得 ， 所以 ，因为，所以 . 经验证当时， 为奇函数. （2）解不等式 ； [答案] 不等式等价于，则 ，化简得 ， 所以，所以 ，所以原不等式的解集为 . （3）求 的值域. [答案] 令，则，整理得 ，即 . 又，所以，解得或 ，所以的值域为 . 19 10.函数 的值域为( ) D A. B. C. D. 易错点1 忽略指数函数的值域而致错 解析 ,.又,.令,则 , ,,即函数的值域是 .故选D. 易错警示由于指数函数,且的值域为 ,因此计算与指数函数有关的函数 值域时不要忘记这一隐含条件.在本题中,若忘记该条件,则会得到 ,从而误选C. 20 11.若函数，且在上的最大值与最小值的差为，则实数 的值为( ) D A. B. C.或2 D.或 易错点2 忽略对指数函数的底数的分类讨论而致错 解析 当时,在上单调递减,所以,解得或 （舍去）； 当时,在上单调递增,所以,解得或 （舍去）. 综上所述,或 .故选D. 多种解法 考虑到且在上一定单调,故一定在区间 的端点处取得最值, 故,又,解得或 ,经检验均满足题意,故选D. 21 12.已知函数,且在上恒有，则实数 的取值范围是________ ______. 解析 当时,在上单调递增.因为函数在上恒有,所以 , 所以,所以 . 当时,在上单调递减.因为函数在上恒有,所以 , 所以,即,所以 . 综上所述,实数的取值范围是 . 易错警示 由于指数函数的单调性根据底数与1的大小关系判断,因此涉及含参数的指数函数的单调 性问题时,要根据底数与1的大小关系分类讨论. 22 13.函数 的值域为( ) B A. B. C. D. 易错点3 忽略复合函数中函数的性质而致错 解析 设,则,所以在上单调递增,所以 ,所以函 数的值域为 ,故选B. 14.［广东深圳外国语2025月考］设函数在区间上单调递减，则实数 的取值 范围是( ) D A. B. C. D. 解析 因为函数在上单调递增，而函数在区间 上单调递减，则函数 在区间 上单调递减，因此，解得，所以实数的取 值范围是 .故选D. 易错警示 对于形如,且 的函数的单调性的判断,常用复合函数法.复合函数的 单调性:当时,函数与函数的单调性相同;当时,函数 与函 数 的单调性相反. 23 15.（多选）［黑龙江牡丹江2025高一月考］已知函数 ，则( ) AC A.函数的图象关于原点对称 B.函数的图象关于 轴对称 C.函数的值域为 D.函数 是减函数 解析 的定义域为，，则 ，所以为奇函数， 的图象关于原点对称,A正确，B错误；，因为, 所以,所以 ，所以,故的值域为 ,C正确； 设,则 ,因为 ，所以,,，所以,即 ， 所以函数 是增函数，故D错误.故选 . 24 16.已知不等式的解集为集合，函数, . （1）求集合 ； 【解】由,得,即,即 , 解得,故集合 . （2）求函数 的值域. [答案] ,令,则 可化为 . ,,而函数的图象的对称轴为直线 , 在区间上单调递减,在区间上单调递增.故在, 上的最大值为 ,最小值为,故函数的值域为 . 易错警示 形如 的函数的性质问题,可利用换元法转化为二次函数的性质问题,注意换元后新元的取值范围. 25 课堂小结 a>1 0<a<1 图 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性： (4)单调性： (5)奇偶性： (5)奇偶性： R (0,+∞) (0,1) 增函数 减函数 非奇非偶 非奇非偶 (6)当x>0时，y>1. 当x<0时，0<y<1. (6)当x>o时，0<y<1, 　当x<0时，y>1. x y o 1 x y o 1 指数函数图象与性质 2、指数比较大小的方法； ①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的）。或画图像直接描点观察法。 ②、搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。 【答案】　图象如图所示： 两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称． $$