4.2.1指数函数的概念（课件）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

人教版2019高一数学（必修一）第四章 指数函数与对数函数 4.2指数函数 4.2.1指数函数的概念 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结 课堂练习（含课本练习） 01 学习目标 目录/CONTENTS 学习目标 1.了解指数函数的概念. 2.会画出指数函数图象(重点). 3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域(重点、难点). 情景导入 对于幂ax(a>0)，我们已经把指数x的范围拓展到了实数． 上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究， 进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其 他类型的基本初等函数． 新知探究 时间/年 A地景区 B地景区 人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1244 126 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 问题1 A，B两地景区自2001年起实行不同的门票改革措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．左表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 为了有利于观察规律，根据表，分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年 游客人次的图象 观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律． 为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来， (2)我们发现，用“增加量”不能刻画B地景区人次的变化规律。能不能换一个量来刻画？例如用“增长率”，即从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否发现什么规律? 我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的。能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？例如用“增长率”？ 从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数． 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率． 增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量． 探究 (3)能否求出两地景区游客人次随时间(经过的年数)变化的函数解析式，并根据解析式说明两地景区游客人次的变化情况? 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的1.111倍； 2年后，游客人次是2001年的1.112倍； 3年后，游客人次是2001年的1.113倍； …… x年后，游客人次是2001年的1.11x倍． 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那y=1.11x(x∈[0,+∞)) ① 这是一个函数，其中指数x是自变量． 问题2　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 指数函数的定义： 一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R. 课本例题 例1 已知指数函数f（x）=（a＞0，且a≠1），f（3）=π，求f（0），f（1），f（-3）的值 例2 (1)在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况． 解：(1)设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)， 则f(x)=1150×(10x+600)，g(x)=1000×278×1.11x． 利用计算工具可得， 当x=0时，f(0)－g(0)=412000． 当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)． 结合右图可知： 当x＜10.22时，f(x)>g(x)， 当x＞10.22时，f(x)<g(x)． 当x＝14时，f(14)－g(14)≈347303． 这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然f(x)>g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f(x)=g(x)， 这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)<g(x)，游客 给B地带来的收入超过了A地；由于g(x)增长得越来越快，在2015 年，B地的收入已经比A地多347303万元了． （2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 所以，生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30% （2）设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h（x），如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么h（x）= 课本练习 1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（　　） 【解析】由指数函数的增长速度及定义，可知C正确． C 17 3.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍?(可以使用计算工具) 解：设初始蓝藻数量为a，经过x天后的数量为 y=a 代入x=30，计算得增长倍数为 利用计算工具计算≈6.13 因此蓝藻数量变为原来的约6.13倍 题型分类讲解 1.［广东广州2025高一期中］下列是指数函数的是( ) D A. B. C. D. 题型1 指数函数的概念 解析 根据指数函数的特征：系数为1，底数满足且 ，自变量在指数位置可知，A，B， C不是指数函数，D是指数函数.故选D. 特别注意（1）函数且叫做指数函数；（2）形如,且 , 且 的函数叫做指数型函数. 2.［湖南部分高中2025高一联考］“”是“ 为指数函数”的( ) C A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当时， 是指数函数； 若是底数为的指数函数，则，且，解得 ， 故“”是“ 为指数函数”的充分不必要条件.故选C. 3.［吉林长春外国语2024高一期中］函数 是指数函数，则有( ) B A.或 B. C. D.且 解析 由指数函数的概念,得且,解得 .故选B. 4.［辽宁五校2025高一期末联考］已知函数则 ( ) B A.2 B.3 C.5 D.33 解析 函数则，所以 .故选B. 5.［河北邯郸八校2024高一期中联考］已知关于的不等式的解集为 ，函数 且为指数函数，则 ( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 解析 不等式的解集为,,即 . 又为指数函数, ,,且 , .故选A. 20 6.［山东枣庄2024高一期末］已知指数函数的图象经过点，则 __. 解析 设,且,由于其图象经过点,所以 , 解得或（舍去）,因此,故 . 7.已知函数，，且， . （1）求和 的函数解析式； 【解】由于,所以,所以, . （2）设，判断 的奇偶性，并加以证明. [答案] , 是偶函数,证明如下： 的定义域为,,所以 是偶函数. 21 8.［安徽淮北一中2025高一期末］衣柜里的樟脑丸随着时间会挥发，使得体积缩小，刚放进的新 丸体积为，经过天后，体积与天数的关系式为 .（=2.718 28···）已知新丸经过25天 后，体积变为 ，则新丸经过75天后，体积变为( ) C A. B. C. D. 题型2 生活中的指数函数模型 解析 设和时的体积分别为,，则，即 . 当时， .故选C. 22 9.一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件所占内存都不同程 度地加大，造成磁盘空间的严重浪费.这种病毒开机时占据内存 ，每3分钟后病毒所占内存是 原来的2倍.记分钟后病毒所占内存为 . （1）求关于 的函数解析式； 【解】因为这种病毒开机时占据内存,每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍,所以 分钟后病 毒所占内存为 . （2）如果病毒占据内存不超过 ，计算机能够正常使用，求 本次开机计算机能正常使用的时长. [答案] 因为病毒占据内存不超过时,计算机能够正常使用,所以有,解得 . 所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟. 23 课堂小结 (1)指数函数的概念： 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量， 定义域是 (2)指数函数需要注意的几个点： ①指数函数的定义域是实数集； ②自变量是指数，且指数位置只能有这一项； ③底数只能有一项，且其系数必须为1； ④底数的范围是且. (3)幂函数与指数函数的区别 $$