精品解析：山东省夏津第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

2025-2026学年度高二开学考数学试题 考试范围：立体几何 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】若，，，则或m，l异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误． 故选：C． 2. 已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 3. 在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，得该几何体为以1为底面半径，高为的圆锥，即可求解． 【详解】在直角中，斜边，直角边， 得， 若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体为以1为底面半径，高为的圆锥， 则该几何体的体积为：， 故选：A 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C 5. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若向量，满足，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的； 把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误； 对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行， 所以当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D. 6. 在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 7. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. 1或 B. 2或 C. 1或 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的坐标运算法则结合条件即得. 【详解】，， ，解得或. 故选：A 8. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 二、多选题 9. （多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算逐一计算可判断其正误. 【详解】对于A，， 结果不一定为零向量，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算、数量积、模的坐标表示计算，依次判断选项即可. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，直接得到各点的坐标，即可判断. 【详解】因为在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，， ，F是棱的中点，， 所以，，，， 所以A，D正确，B，C错误. 故选：AD 12. 在直线l上，则直线l的一个方向向量为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出向量的坐标即可. 【详解】由在直线l上，得直线l的一个方向向量为. 故答案为： 13. 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使___________. 【答案】 【解析】 【分析】略 【详解】略 14. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，设外接球的半径为，则，然后结合圆台的性质求出母线长，从而可求出圆台的侧面积，进而可求出圆台的侧面积与球的表面积之比. 【详解】如图，设圆台的外接球半径为，则由题意可得， 过点作于点，则， 所以， 因为， 所以， 所以圆台的侧面积, 因为球的表面积为， 所以圆台的侧面积与球的表面积之比为 . 故答案为： 四、解答题 15. 已知． （1）求向量的坐标； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由空间向量的坐标运算直接求解； （2）分别求出，的坐标，由平行可得，再由向量相等的条件求解即可. 【小问1详解】 由，得． 【小问2详解】 由（1）知， 所以，， 又，则， 即， 所以， 则． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点，求证：直线平面． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理判定. 【详解】取的中点，连接． 因为为的中点，所以且， 因为底面为正方形，为中点，所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以直线平面． 17. 如图，已知正方体的棱长为1，和分别是和的中点. （1）求的值； （2）求证：； （3）求直线和所成角的大小. 【答案】（1） （2） 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以，则， 所以， 所以 （3） 【解析】 【分析】由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得； 计算即可证明； 根据向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 由题知： 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）， 设直线和MN所成角为， 又 ， ， 则， 所以和所成的角为 18. 如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出，两点的坐标； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的几何性质，求得相关线段的长度，结合空间直角坐标系，可得答案； （2）求得两异面直线的方向向量，利用线线夹角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 在菱形中，，则， 易知与为等边三角形，则， 在等边中，为的中点，则，， 在中，， 所以，. 【小问2详解】 由，，，， 则，， 所以，，， 设异面直线与的夹角为， . 19. 如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，. （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可证平面，结合题中条件及面面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知：平面平面，根据面面平行的性质定理即可证明； （3）由题可知点是的中点，结合可得点是的中点.根据题中条件，在平面内，利用平面向量基本定理和共线向量基本定理即可求解. 【小问1详解】 ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，平面，平面， ∴平面平面. 【小问2详解】 由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. 【小问3详解】 ∵，∴点是的中点. ∵，∴，∴点是的中点，. ∵，且三棱锥各棱长均为1，∴， ∴，，，. ∵点在上，∴，解得. ∵，∴. ∴， . 由（2）知：，∴，∴，使得， 即. 由平面向量基本定理可得，解得. 综上所述，的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二开学考数学试题 考试范围：立体几何 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 已知α，β为两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 2. 已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若，，则 C. 若向量，满足，则 D. 若，，则 6. 在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. 1或 B. 2或 C. 1或 D. 2或 8. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 二、多选题 9. （多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 12. 在直线l上，则直线l的一个方向向量为_________. 13. 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使___________. 14. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为________． 四、解答题 15. 已知． （1）求向量的坐标； （2）若，求的值． 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点，求证：直线平面． 17. 如图，已知正方体的棱长为1，和分别是和的中点. （1）求的值； （2）求证：； （3）求直线和所成角的大小. 18. 如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出，两点的坐标； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 19. 如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，. （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $