精品解析：湖南省岳阳市颐华高级中学（平江）2025-2026学年高二上学期入学考试数学试题

2025年高二上学期入学测试数学学科 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法和除法运算化简，最后结合虚部的概念即可. 【详解】，故z的虚部为. 故选：A 2. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，判断奇偶性，再单调性的定义判断函数的单调性，进而求解不等式. 【详解】由，解得，即函数的定义域为， 由，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，函数， 由于函数在上单调递增， 且，则， 对于任意的、，且，即， 所以，，所以，，即, 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由，则， 解得，即不等式的解集为. 故选：A. 3. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式与和角公式化简所求式得，构造分母，分子分母同除以，化弦为切，代入即得. 【详解】由 . 故选：A. 4. 已知向量满足，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由可求解； 【详解】因为， ， 所以，， 故选：C. 5. 已知的面积等于1，且，则的外接圆的半径R的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理、三角形面积公式，结合二倍角公式、基本不等式、对钩函数的单调性可以求出对的角的正弦值的取值范围，最后利用正弦定理进行求解即可. 【详解】设三个内角所对的边分别为，所以， 由余弦定理可知：， 而（当且仅当时取等号），所以有， 又因为的面积等于1，所以有， 因此由得到： ， 因为，所以，因此， 由正弦定理可知： ， 令 因为函数在上单调递减，所以当时，也单调递减， 故函数的最小值为：， 所以R的最小值为. 故选：B 【点睛】本题考查了求三角形外接圆半径的最小值，考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了对钩函数单调性的应用，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力. 6. 若的第百分位数是则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】的第百分位数是 则，所以. 故选：D 7. 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，计算判断A，B，D；分析事件与所含事件判断C作答. 【详解】依题意，，，而，A不正确； ，，B不正确； 事件是含有1个白球与含有两个白球的两个互斥事件和，事件是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件和， 事件是必然事件，因此，C正确； 因，，则，即D不正确. 故选：C 8. 在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得. 【详解】中，由余弦定理得， 且的面积为， 由，得，化简得， 又，，所以， 化简得，解得，或（不合题意，舍去） 所以， 所以， 由，且，， 解得， 所以，所以，所以， 设，其中， 所以， 当且仅当时，即时取最小值， 令， 由对勾函数可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以． 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则的最小值为5 C. 若，则的最大值为 D. 若，则的最小值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】将化为，利用基本不等式即可判断A;利用“1”，将变为，再利用基本不等式即可判断B;将变形后利用基本不等式即可判断C;利用基本不等式由可得到，解不等式即可判断D. 【详解】对于A,由，可得, 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以等号不成立，所以函数的最小值不是3，所以A不正确; 对于B，由于 ， 故， 当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为5，故B正确， 对于C，由于，故 ， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为 ，所以C正确； 对于D，由，可得 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，即 ， 解得 ，即 ，所以的最大值为1，所以D不正确 故选： 【点睛】关键点点睛：利用均值不等式求函数或代数式的最值时，要注意均值不等式使用的条件即：一正二定三相等，关键点就是一定要验证等号是否能够取得. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由复合函数单调性即可判断；对于B，直接可得，由此即可判断；对于C，由题意得结合的范围即可判断；对于D，根据，，得到，进一步列出不等式组即可求解. 【详解】对于A，当时，若，则， 由于在上单调递增，故在上单调递增；故A正确； 对于B，若，且，则当且仅当，故B正确； 对于C，若的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象所对应的函数表达式为：， 若的图象关于轴对称，则， 注意到， 所以当且仅当时，的最小值为4，故C错误； 对于D，，，得到， 若在上恰有4个零点， 则当且仅当，解得，即的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：正弦型函数的零点问题，关键在于利用的范围求得，进而结合正弦函数的图象特征求得的取值范围. 11. 已知点为所在平面内一点，则（ ） A. 若，则 B. 若，且，则为等边三角形 C. 若，，则 D. 若，且，则的面积是面积的 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用向量的线性质运算，可得，即可求解；对于B，利用数量积的定义及数量积的运算，可得，从而得到，再利用可得，即可求解；对于C，根据条件可得，，进而有M为的垂心，即可求解；对于D，根据条件，可得，令，从而可得Q点在直线BC上，再利用比值，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以， 所以，故选项A错误， 对于选项B，因为， 所以，又，在区间上单调递减，则， 又，则，所以为等边三角形，故选项B正确， 对于选项C，若，，则，， 故点M为的垂心，所以，则，故选项C正确， 对选项D，由于  ，而  ，所以  ，其中  ， 不妨设  ，则Q点在直线BC上， 由于  与  同底，而高线之比等于 MQ 与 AQ 的比，即比值为， 所以  的面积是  面积的 ，故选项D正确， 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换将目标式化为角的函数关系，再求的取值范围，根据函数值域即可求得结果． 【详解】因为，则，， 又， 故由正弦定理可得： ， 又为锐角三角形，故可得， 解得，则， 由于，在上单调递增， 当当， 故， 即． 故答案为：． 13. 如图所示的图形是由六个直角边均为1和的直角三角形组成的，则该图形绕直线l旋转一周得到的几何体的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形，外面的六边形的边长为，旋转得到的几何体是两个同底的圆台，再根据圆台的体积公式求解，内部的六边形边长为1，旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥.再根据圆柱，圆锥的体积公式求解，然后外部的减内部的体积即为所求. 【详解】根据题意，直角三角形斜边为，又直角短边长度为， 所以直线与上下两个直角三角形斜边的交点均为中点，即直线左右平分此图形， 由题意可知此图外面的六边形边长为， 如图： 作，， ，可得， 所以， 由圆台定义可得：该图形绕直线l旋转一周得到的几何体是两个同底的圆台， 上底半径为，下底半径为，高为 ， 所以旋转得到的几何体的体积为， 又内部的六边形边长为1， 作，， 所以， 所以旋转得到的几何体是一个圆柱，两个与圆柱同底的圆锥， 圆锥的底面半径为，高为，圆柱的底面半径为，高为1， 内部的六边形旋转得到的几何体的体积为， 所以几何体的体积为. 故答案为： 14. 已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据四棱柱的性质可得点的轨迹是以为轴的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线，分析点在各平面的轨迹，计算轨迹长度可得结果. 【详解】∵，直线与所成的角为， ∴直线与所成的角为， ∴点的轨迹是以为轴（其中为顶点），母线与轴所成角为的圆锥的侧面与四棱柱的表面的交线． 如图，在线段和上分别取点，使得，连接， ∵在四棱柱中，底面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴，故， ∴点在四边形与四边形上的运动轨迹为线段和，且. 当在四边形上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 故点在四边形上运动的轨迹长度为， 综上得，点的轨迹长度为． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的值； （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出； （2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围. 【小问1详解】 ，由正弦定理得：， 即， 由余弦定理得：， 因为， 所以； 【小问2详解】 锐角中，，， 由正弦定理得：， 故， 则 ， 因为锐角中，， 则，， 解得：， 故，， 则， 故， 所以三角形周长的取值范围是. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 16. 象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表： 第一轮 甲－乙 丙－丁 第二轮 甲－丙 乙－丁 第三轮 甲－丁 乙－丙 规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立. （1）求丁同学的总分为5分的概率； （2）已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式即可求解； （2）利用相互独立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解. 【小问1详解】 丁同学总分为5分，则丁同学三轮比赛结果为一胜两平， 记第轮比赛丁同学胜、平的事件分别为，，丁同学三轮比赛结果为一胜两平的事件为M，则， 即丁同学的总分为5分的概率为. 【小问2详解】 由于丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，则在第二、三轮比赛中，丁同学对战乙、甲同学均获胜，故丁同学的总分为7分，且同丁同学比赛后，甲、乙、丙三人分别获得0分，0分、1分，若甲同学获得奖励，则甲最终排名为第二名. ① 若第一、二轮比赛中甲同学均获胜，则第三轮比赛中无论乙、丙两位同学比赛结果如何，甲同学的总分为6分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率. ②若第一轮比赛中甲同学获胜，第二轮比赛中甲、丙2名同学平局，第三轮比赛中乙、丙2名同学平局或乙同学获胜，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概 率. ③若第一轮比赛中甲、乙2名同学平局，第二轮比赛中甲同学获胜，第三轮比赛中当乙、丙2名同学平局时，甲同学的总分为4分，排第二名，可以获得奖励，此时的概率； 第三轮比赛中当乙，丙同学没有产生平局时，甲同学与第三轮比赛乙、丙中的胜者的总分均为4分，需要进行抽签来确定排名，当甲同学抽签获胜时甲同学排第二名，可以获得奖励，此时的概率. 综上，甲同学能获得奖励的概率. 17. 如图，在三棱锥中，底面，平面平面. （1）求证：； （2）若，，是的中点，、分别在线段、上移动. ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值． 【答案】（1）证明如下： 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，，因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以. （2）①； ②. 【解析】 【分析】（1）过点在平面内作，垂足为点，利用面面垂直的性质可得出平面，推导出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）①由（1）知为与平面所成角，计算出的长，即可求出的正切值，即为所求； ②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点，推导出平面，设，求出，利用勾股定理可得出关于的表达式，结合二次函数的基本性质可求出取最小值时对应的的值，求出、的值，利用二面角的定义可知二面角的平面角为，求出其正切值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面， 所以为在平面的射影，为与平面所成角， 在中，， 在直角中，， 所以与平面所成角的正切值为. ②过在平面内作的垂线，垂足为，过作，交于点， 因为平面，平面，所以， 又因为，、平面，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 设，，且，则，所以，， 所以，，， 因为平面，平面，所以，， 因为为的中点，则，所以，， 所以，， 所以，， 在直角中，，其中， 因为二次函数在上单调递增， 当时，，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，故二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 因为，所以，即为的中点，所以，， ，故二面角的正切值为. 18. 已知函数，． （1）若函数为奇函数，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设，讨论方程的根的个数． 【答案】（1） （2） （3） 当或时，方程无根； 当时，方程有一个根； 当时，方程有两个根． 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性定义即可求得参数； （2）利用分离参变量思想，即可求得参数范围； （3）把方程的解构造成函数的零点，再换元，得到二次函数，利用分类讨论可求得零点个数. 【小问1详解】 为奇函数，且定义域为，， 即，也即，． 【小问2详解】 恒成立，即： 恒成立， 所以， 又，， 在上恒成立， 又，，即的取值范围是． 【小问3详解】 ， 设， 令，则，当且仅当取到等号， ， 设且， 令，得， 令，则在，上单调递减， ， 当或时，与无交点，无零点，无零点，方程无根； 当时，，或（舍， 只有一个解， 只有一个零点，方程有一个根； 当时，在上有零点， 先证在上单调递增， 任取且，所以 ， ，， ，在上单调递增， 又为偶函数，在上单调递减， 有两个互为相反数的根， 此时有2个零点，方程有两个根． 综上，当或时，方程无根； 当时，方程有一个根； 当时，方程有两个根． 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； （2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意，，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； ②利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （2）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【小问1详解】 ① 由可得，，则， 即； ②依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因与的夹角为，则由可得，，解得，. 【小问2详解】 依题意，设， 因是的中点，则， 是的中点，则， 故 因，， 则， 在中，由余弦定理，，即，代入上式可得， ， 由正弦定理，，设，则， 于是 ，其中， 则. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的仿射坐标系中的向量的运算，属于难题. 解决第（2）题的关键在于，设出的坐标，，求得的表达式，运用正弦定理，三角恒等变换化成正弦型函数是解决该题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高二上学期入学测试数学学科 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知的面积等于1，且，则的外接圆的半径R的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若的第百分位数是则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，事件“取出的2球中至少有一个黄球”，事件“取出的2球至少有一个白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则的最小值为5 C. 若，则的最大值为 D. 若，则的最小值为1 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 若，且，则函数的最小正周期为 C. 若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D. 若在上恰有4个零点，则的取值范围为 11. 已知点为所在平面内一点，则（ ） A. 若，则 B. 若，且，则为等边三角形 C. 若，，则 D. 若，且，则的面积是面积的 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是______． 13. 如图所示的图形是由六个直角边均为1和的直角三角形组成的，则该图形绕直线l旋转一周得到的几何体的体积为_________. 14. 已知四棱柱中，底面是边长为的菱形且，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的值； （2）若，求的周长的取值范围． 16. 象棋作为中华民族的传统文化瑰宝，是一项集科学竞技，文化于一体的智力运动，可以帮助培养思维能力，判断能力和决策能力.近年来，象棋也继围棋国际象棋之后，成为第三个进入普通高校运动训练专业招生项目的棋类项目.某校象棋社团组织了一场象棋对抗赛，参与比赛的40名同学分为10组，每组共4名同学进行单循环比赛.已知甲、乙丙丁4名同学所在小组的赛程如表： 第一轮 甲－乙 丙－丁 第二轮 甲－丙 乙－丁 第三轮 甲－丁 乙－丙 规定；每场比赛获胜的同学得3分.输的同学不得分，平局的2名同学均得1分，三轮比赛结束后以总分排名，每组总分排名前两位的同学可以获得奖励.若出现总分相同的情况，则以抽签的方式确定排名（抽签的胜者排在负者前面），且抽签时每人胜利的概率均为，假设甲、乙、丙3名同学水平相当，彼此间胜负平的概率均为，丁同学的水平较弱.面对任意一名同学时自己胜，负，平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立. （1）求丁同学的总分为5分的概率； （2）已知三轮比赛中丁同学获得两胜一平，且第一轮比赛中丙、丁2名同学是平局，求甲同学能获得奖励的概率. 17. 如图，在三棱锥中，底面，平面平面. （1）求证：； （2）若，，是的中点，、分别在线段、上移动. ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度取最小值时二面角平面角的正切值． 18. 已知函数，． （1）若函数为奇函数，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设，讨论方程的根的个数． 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； （2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $