精品解析：北京市第八中学2025-2026学年高三上学期开学练习数学试题

2025-2026学年度高三第一学期开学考练习题 年级：高三 科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B，再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】由题意可知，所以. 故选：B 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使函数表达式有意义，即，利用对数函数的单调性解不等式即可得答案. 【详解】由得， 因为函数是单调增函数，所以. 所以函数的定义域是. 故选：D. 3. 设a，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式性质判断ABC，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 4. 要得到的图象，只需将函数的图象上所有点的横坐标（ ） A. 缩小到原来的倍（纵坐标不变） B. 扩大到原来的10倍（纵坐标不变） C. 向左移动1个单位（纵坐标不变） D. 向右移动1个单位（纵坐标不变） 【答案】B 【解析】 【分析】由对数的运算及函数图象的变换可得解. 【详解】因为， 所以由函数图象的变换知，只需将函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍（纵坐标不变）， 故选：B 5. 已知是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设先求出等比数列的公比，再结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】由，，则， 因为是等比数列，所以公比为， 则. 故选：C. 6. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 7. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：，） A. 0.5 B. 0.7 C. 0.9 D. 1.1 【答案】A 【解析】 【分析】依据题给条件列出关于时间的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数即可. 【详解】设使得血氧饱和度达到，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，得到， 两边同时取自然对数得， ， 则， 则给氧时间至少还需要小时. 故选：A 8. 为等差数列的前项和，则“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造具体的等差数列反例，分别验证充分性和必要性是否成立，从而判断两个条件之间的关系. 【详解】充分性判断：设数列首项，公差， 则通项公式为，其前项和，显然数列为递减数列， 又，显然数列为递增数列， 所以“数列为递增数列”无法推出“数列为递增数列”，故充分性不成立. 必要性判断：设数列首项，公差， 则通项公式为，是一个常数列，其前项和，显然数列为递增数列， 又，也是一个常数列，显然不是递增数列， 所以“数列为递增数列”无法推出“数列为递增数列”， 故必要性不成立. 所以“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9. 已知函数，现有两点，，且，若A，B中点在曲线上，则可以为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由得到，再由若A，B中点在曲线上，得，解方程可得. 【详解】由，得，所以. 又A，B中点为在曲线上， 所以，即. ①当为偶数时，， 两边平方得，即， 即，解得或（舍去）； ②当为奇数时，， 两边平方得，即， 即，解得或（舍去）； 综合①②，得. 故选：C. 10. 已知中，，，且（）的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合几何图形求出，令，利用向量数量积的运算律，结合二次函数求出最小值. 【详解】延长至，使得，连接，点为所在平面内的点，连接， 则，令，则点在直线上， 由的最小值为，得， 当且仅当时取得最小值，则， 又是锐角，则，而，即为正三角形， 于是，，令，则， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若，则_________. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】先通过复数的除法运算求出，进而求出模即可. 【详解】由， 则， 所以. 故答案为：. 12. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理及基本不等式求出的范围，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围. 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即的最大值是． 故答案为： 13. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角差的余弦公式以及二倍角余弦公式变形即可得到答案． 【详解】移项得， 根据两角差的余弦公式可得， 再根据二倍角余弦公式，． 14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 15. 已知函数，，给出下列四个结论： ①当且仅当时，与的图象重合； ②当且仅当时，无极大值点； ③当在区间上单调递增时，； ④当时，与的图象有且仅有一个交点. 其中正确结论的序号是_________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由题知，，对于①，先用特殊值，求出，再检验即可判断；对于②，由函数无极大值点，即，解出不等式即可判断；对于③，根据单调区间确定参数即可；对于④，分情况解方程即可得出结论. 【详解】，， 对于①，若与的图象重合，则， 所以，即，解得， 当时，，，成立，故①正确； 对于②，，又无极大值点， 所以，解得，故②错误； 对于③，在区间上单调递增， 又在上单调递增， 所以，解得，故③正确； 对于④，时，令，即， 所以， 又，所以解为，即此时有一个交点， 或无解， 综上，时，与的图象有且仅有一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题（共6题，满分85分） 16. 在中，. （1）求； （2）若，并在条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：设CD为AB边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）选择条件，答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用差角的余弦公式求解. （2）选择条件①，利用余弦函数单调性，结合已知导出矛盾；选择条件②，利用余弦定理及三角形面积公式求解；选择条件③，利用直角三角形边角关系求出，再利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，解得，又， 所以. 【小问2详解】 选择条件①：，而，余弦函数在上单调递减， 则，，与矛盾，因此不存在. 选择条件②：，由（1）及余弦定理，， 得，解得，，经检验存在且唯一确定， 所以的面积. 选择条件③：CD为AB边上的高，且，则， 由（1）及余弦定理，， 得，解得，，经检验存在且唯一确定， 所以的面积. 17. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形BCFG为菱形，，平面平面BCFG，D为棱AB的中点，记平面ABC和平面AFG的交线为l. （1）证明：； （2）在线段CG（不含端点）上是否存在一点E，使得直线DE与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求E的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题意，可得平面，然后利用线面平行的性质可证得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，根据已知条件及线面角的向量公式列方程求解. 【小问1详解】 ∵四边形为菱形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面和平面的交线为， ∴. 【小问2详解】 取的中点，连接， ∵是边长为4的等边三角形，∴， ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，， 又为平面内两条相交直线， 所以平面， ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面， 又在平面内，所以， 所以两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 由， 令，则，， 假设在线段（不含端点）上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为． 设， 则， ∵平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值为， ∴， 整理得，解得或， 所以在线段 (不含端点)上存在点，当或时，直线与平面所成角的正弦值为． 18. 李华的爸爸想通过随机抽奖方式给李华发压岁钱.在一个不透明盒子中放有材质、大小相同的六个小球，其中三个小球上注标100元，两个小球上注标150元，一个小球上注标300元.李华从盒中随机摸出n个小球，摸出所有小球上所标注的金额总和为李华所获得的压岁钱（单位：元，后省略）.记随机变量X为李华在该规则下所得到的压岁钱. （1）若，求的概率； （2）若，求X的分布列及数学期望； （3）若，李华爸爸给李华提供了另一种抽奖方案：不放回摸两次，如果他第一次摸出的小球金额为100元，李华爸爸在他第二次摸球前在盒中加入一个材质、大小相同的标注300元的小球；如果他第一次摸出的金额不是100元，李华爸爸在他第二次摸球前从盒中拿走一个150元的小球.记随机变量Y为李华在该规则下所得到的压岁钱总和.直接写出与的大小关系. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）由古典概型的概率计算公式可计算出结果； （2）由古典概型的概率计算公式和数学期望的计算公式可得结果； （3）分别计算得到和的值从而判断大小. 【小问1详解】 当，. 【小问2详解】 当时，X的所有可能取值为200、250、300、400、450， ，，， ，， 所以X的分布列如下： 200 250 300 400 450 的数学期望为. 【小问3详解】 由题意，的可能取值为200、250、400、450， ，， ，， 所以，， ，. 19. 已知直线过椭圆C的中心坐标原点O，与平行的直线与C交于两点，且.当轴时，直线AB过C的一个焦点. （1）求C的方程； （2）点D、E满足，交于点G，直线交于点H，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，求出，即可得出椭圆方程. （2）当直线的斜率不存在时，求出点G和点H的坐标，求得；当直线的斜率存在时，利用相似比例得，设直线，与椭圆方程联立得，求出，点到直线的距离，代入面积公式得，利用换元法求得，从而求出面积的最大值. 【小问1详解】 由题意椭圆C的焦点在轴上，设为（）， 则由题意，即，解得， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，则直线为轴，易知， 因为，所以， 直线方程为，即，令得， 直线方程为，即，令得， 此时面积为； 当直线的斜率存在时，因为，所以为中点，， 因为，由相似三角形性质可得，所以，所以， 设直线， 由，消去得， 则，即， ，且，所以， 直线方程为，即，且， 点到直线的距离为， 所以， 令，则， 因为，所以，所以，所以， 所以， 因此，当时，面积取到最大值； 综上，面积的最大值为. 20. 已知函数定义域为，，曲线在处切线方程记为. （1）求的单调区间； （2）若，证明：除切点外曲线在直线上方； （3）是否存在a使得对任意且时，总成立，若存在，则求a的值；若不存在，则说明理由. 【答案】（1）单调递增区间为和；单调递减区间为； （2）证明见解析； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）令，利用导数求解即可； （2）求得，令，利用导数证明恒成立即可； （3）由题意可得在处取极大值0，结合的单调性，分别验证和即可. 【小问1详解】 令， 则， 令， 则有，解得， 所以当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 综上，单调递增区间为和；单调递减区间为； 【小问2详解】 由题意可得， 令， 则有， 又因为， 令，则有， 又因为，， 当时，，， 由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减； 令，得，解得或， 所以当时，；当时，；当时，； 又因为，， 所以当时，，，单调递减， 当时， 先单调递减再单调递增，且， 又因为，， 又因为， 所以当时，， 即，单调递增， 所以， 即， 所以除切点外曲线在直线上方； 【小问3详解】 因为对任意，总成立， 由（2）可得， ， 若总成立， 当时，则有，当时，则有， 则在上递减时符合题意， 即在上恒成立， 因为，所以在处取极大值也是最大值， 令，又， 所以， 由，即，解得， 由，即，解得， 所以在上递增，在上递减， 所以在处取极大值也是最大值， 所以时，此时在上恒成立， 则在上递减 可得当时，则有，当时，， 即符合题意, 所以. 21. 已知数列，其中，且.若数列满足，当时，或，则称数列为数列的“调节数列”.例如，数列的所有“调节数列”为；或者；或者；或者. （1）直接写出数列的所有“调节数列”； （2）若数列满足通项，将数列的“调节数列”中的递增数列记为，数列中的各项和为，求所有的和； （3）已知数列满足：，若数列的所有“调节数列”均为递增数列，求所有符合条件的数列的个数. 【答案】（1） （2） （3）所有符合条件的数列共有个 【解析】 【分析】（1）根据“调和数列”的定义，即可求解； （2）根据条件依次写出满足条件的，再根据分组转化法求和； （3）首先由数列为递增数列，则条件①，②，③都恒成立，再由④分析，得到的不同取法种数，即可求解符合条件的数列的个数. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，由题意共个数， 而共有项，则“调节数列”共有种情况 不妨设；则 ；则 依此类推；则 故 【小问3详解】 依题意，对任意， 有或或， 因为均为递增数列，所以，即同时满足： ①，②，③，④. 因为为递增数列，因此①和②恒成立. 又因为为整数数列，对于③，也恒成立. 对于④，一方面，由，得，即. 另一方面，， 所以， 即从第2项到第项是连续的正整数， 所以， 因此， 故共有种不同取值，即所有符合条件的数列共有个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高三第一学期开学考练习题 年级：高三 科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 设a，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 要得到的图象，只需将函数的图象上所有点的横坐标（ ） A. 缩小到原来的倍（纵坐标不变） B. 扩大到原来的10倍（纵坐标不变） C. 向左移动1个单位（纵坐标不变） D. 向右移动1个单位（纵坐标不变） 5. 已知是等比数列，为其前n项和，若，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 6. 已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ） （精确到0.1，参考数据：，） A. 0.5 B. 0.7 C. 0.9 D. 1.1 8. 为等差数列的前项和，则“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数，现有两点，，且，若A，B中点在曲线上，则可以为（ ） A. 0 B. C. D. 10. 已知中，，，且（）的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若，则_________. 12. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是______. 13. 已知，则_________． 14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 15. 已知函数，，给出下列四个结论： ①当且仅当时，与的图象重合； ②当且仅当时，无极大值点； ③当在区间上单调递增时，； ④当时，与的图象有且仅有一个交点. 其中正确结论的序号是_________. 三、解答题（共6题，满分85分） 16. 在中，. （1）求； （2）若，并在条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：设CD为AB边上的高，. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形BCFG为菱形，，平面平面BCFG，D为棱AB的中点，记平面ABC和平面AFG的交线为l. （1）证明：； （2）在线段CG（不含端点）上是否存在一点E，使得直线DE与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求E的位置；若不存在，请说明理由. 18. 李华的爸爸想通过随机抽奖方式给李华发压岁钱.在一个不透明盒子中放有材质、大小相同的六个小球，其中三个小球上注标100元，两个小球上注标150元，一个小球上注标300元.李华从盒中随机摸出n个小球，摸出所有小球上所标注的金额总和为李华所获得的压岁钱（单位：元，后省略）.记随机变量X为李华在该规则下所得到的压岁钱. （1）若，求的概率； （2）若，求X的分布列及数学期望； （3）若，李华爸爸给李华提供了另一种抽奖方案：不放回摸两次，如果他第一次摸出的小球金额为100元，李华爸爸在他第二次摸球前在盒中加入一个材质、大小相同的标注300元的小球；如果他第一次摸出的金额不是100元，李华爸爸在他第二次摸球前从盒中拿走一个150元的小球.记随机变量Y为李华在该规则下所得到的压岁钱总和.直接写出与的大小关系. 19. 已知直线过椭圆C的中心坐标原点O，与平行的直线与C交于两点，且.当轴时，直线AB过C的一个焦点. （1）求C的方程； （2）点D、E满足，交于点G，直线交于点H，求面积的最大值. 20. 已知函数定义域为，，曲线在处切线方程记为. （1）求的单调区间； （2）若，证明：除切点外曲线在直线上方； （3）是否存在a使得对任意且时，总成立，若存在，则求a的值；若不存在，则说明理由. 21. 已知数列，其中，且.若数列满足，当时，或，则称数列为数列的“调节数列”.例如，数列的所有“调节数列”为；或者；或者；或者. （1）直接写出数列的所有“调节数列”； （2）若数列满足通项，将数列的“调节数列”中的递增数列记为，数列中的各项和为，求所有的和； （3）已知数列满足：，若数列的所有“调节数列”均为递增数列，求所有符合条件的数列的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $