13.1三角形的概念 同步课堂讲义2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

13.1三角形的概念 讲解目录 【知识点1】三角形 1 【知识点2】等边三角形的性质 1 【知识点3】等腰三角形的性质 2 【题型1】三角形的个数 2 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 5 【题型3】三角形的概念 7 【题型4】三角形的分类 9 知识讲解 【知识点1】三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 【知识点2】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【知识点3】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质      ①等腰三角形的两腰相等      ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】      ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 题型专练 【题型1】三角形的个数 【典型例题】若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有　　 A.2对 B.3对 C.4对 D.6对 【答案】B 【解析】以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对． 【举一反三1】如图，图中三角形的个数为（　　） A.2 B.18 C.19 D.20 【答案】D 【解析】解：线段AB与点C组成5×（5﹣1）÷2＝10个三角形，线段DE与点C组成5×（5﹣1）÷2＝10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D． 【举一反三2】如图所示的图形中，三角形有（　　）    A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【解析】解：图中的三角形有： ，共有5个． 【举一反三3】如图中三角形的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】图中的三角形有△ABD，△ABC，△BCD，共有3个． 【举一反三4】小兔在个三角形内，则的值为        ． 【答案】 【解析】解：如图，所有的三角形为△ABC，△ABD，△ACE，△ACD，△ECD，共5个． 其中除小兔不能落在△ABD和△ACE内，其他均可， 即小兔落在个三角形内． 【举一反三5】过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． （1）其中以AB为一边可以画出__________个三角形； （2）其中以C为顶点可以画出 __________个三角形． 【答案】解：（1）如图，以AB为一边的三角形有△ABC，△ABD，△ABE，共3个. （2）如图，以点C为顶点的三角形有△ABC，△BEC，△BCD，△ACE，△ACD，△CDE，共6个． 【举一反三6】观察以下图形，回答问题： （1）图②有　  　个三角形；图③有　  　个三角形；图④有　  　个三角形；…猜测第七个图形中共有　   　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　       　个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1； 图③有5个三角形，5＝2×3﹣1； 图④有7个三角形，7＝2×4﹣1； ∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形． 故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）． 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 【典型例题】如图所示，∠B和∠ADC的夹边是（　　） A.BD B.DC C.BC D.AD 【答案】A 【解析】解：在△ABD中∠B和∠ADC的夹边是BD， 故选A． 【举一反三1】在△ABE中，边所对的角是（   ） A.∠ADB B.∠AEB C.∠ACB D.∠AEC 【答案】B 【解析】解：在△ABE中，边所对的角是∠AEB． 【举一反三2】如图，下列说法错误的是（     ） A.，，是△的内角 B. 是与相邻的角 C.是△ABC的一个内角 D.的三条边分别是 ，， 【答案】C 【解析】解：A项，，，是△的内角，原说法正确，不符合题意； B项， 是与相邻的角，原说法正确，不符合题意； C项，不是△ABC的一个内角，原说法错误，符合题意； D项，的三条边分别是 ，，，原说法正确，不符合题意． 【举一反三3】（1）用符号表示图中所有三角形； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是△，△，△中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】解：（1）图中的三角形有△，△，△，△，△，△，共6个. （2）以为边的三角形有△，△，△. （3）分别是△，△，△中，，边的对角. （4）是△，△，△的内角，是△，△的内角． 【举一反三4】如图所示，图中有　   　个三角形，其中以AB为边的三角形为　　，含∠OCB的三角形为　　，在△BOC中，OC的对角是　　，∠OCB的对边是　　． 【答案】8；△ABC，△ABD，△ABO；△OCB，△ACB；∠OBC；OB． 【解析】解：图中有8个三角形，其中以AB为边的三角形为△ABC，△ABD，△ABO，含∠OCB的三角形为△OCB，△ACB，在△BOC中，OC的对角是∠OBC，∠OCB的对边是OB， 故答案为：8；△ABC，△ABD，△ABO；△OCB，△ACB；∠OBC；OB． 【举一反三5】如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)写出图中以为边的三角形. (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 【答案】解：（1）以为边的三角形有个，△，△，△，△． （2）除外，以点为顶点的三角形还有△、△． 【举一反三6】如图所示， (1)写出△的三个内角； (2)含边的三角形有哪些？ 【答案】解：（1）在△中， 它的三个内角是. （2）含边的三角形有△△△． 【题型3】三角形的概念 【典型例题】（　　）叫做三角形. A.连接任意三点组成的图形 B.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形 C.由三条线段组成的图形 D.以上说法均不对 【答案】B 【解析】解：三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 【举一反三1】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：三角形是由三条首尾相连的线段组成的图形． 故选：C． 【举一反三2】一位同学用三根木棒两两相交拼成如图形，其中符合三角形概念的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形， 故选：D． 【举一反三3】下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由题意得，只有A选项中的图形是三角形． 【举一反三4】一位同学用三根木棒两两相交拼成如图形，其中符合三角形概念的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形， 故选：D． 【举一反三5】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：三角形是由三条首尾相连的线段组成的图形． 故选：C． 【举一反三6】如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是　   　；在△ACD中，∠C所对的边是　    　． 【答案】AB；AD 【解析】解：在△ABC中，∠C所对的边是AB；在△ACD中，∠C所对的边是AD， 故答案为：AB；AD． 【举一反三7】如图，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形， （1）其中以AB为一边可以画出　   　个三角形； （2）其中以C为顶点可以画出　     　个三角形． 【答案】（1）3；（2）6． 【解析】解：（1）其中以AB为一边可以画出3个三角形为：△ABE，△ABD，△ABC； （2）其中以C为顶点可以画出6个三角形为：△ABC，△BCD，△BCE，△ADC，△DEC，△ACE． 故答案为：（1）3；（2）6． 【题型4】三角形的分类 【典型例题】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 【举一反三1】若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（　　） A.M表示等边三角形 B.M表示锐角三角形 C.P表示等腰三角形 D.N表示三边都不相等的三角形 【答案】C 【解析】三角形根据边分类如下： ， 由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形． 故选：C． 【举一反三2】在中，如果，那么是（    ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 【答案】B 【解析】∵， ∴是钝角， ∴是钝角三角形． 【举一反三3】下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是           ．（请填写序号） 【答案】②④ 【解析】解：①因为等边三角形是特殊的等腰三角形，应归类于等腰三角形，故原说法错误； ②等边三角形是特殊的等腰三角形，原说法正确； ③三角形按角分类可分为钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形，故原说法错误； ④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，该说法正确． 综上所述，说法正确的有②④． 【举一反三4】小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　           　．（只需填上一个即可） 【答案】AB=BC或AC=BC 【解析】根据腰底相等的等腰三角形是等边三角形， 故答案为：AB=BC或AC=BC（答案不唯一）． 【举一反三5】观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的圈内． 【答案】解：如图所示： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1三角形的概念 讲解目录 【知识点1】三角形 1 【知识点2】等边三角形的性质 1 【知识点3】等腰三角形的性质 2 【题型1】三角形的个数 2 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 4 【题型3】三角形的概念 5 【题型4】三角形的分类 7 知识讲解 【知识点1】三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 【知识点2】等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【知识点3】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质      ①等腰三角形的两腰相等      ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】      ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 题型专练 【题型1】三角形的个数 【典型例题】若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有　　 A.2对 B.3对 C.4对 D.6对 【举一反三1】如图，图中三角形的个数为（　　） A.2 B.18 C.19 D.20 【举一反三2】如图所示的图形中，三角形有（　　）    A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【举一反三3】如图中三角形的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三4】小兔在个三角形内，则的值为        ． 【举一反三5】过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形． （1）其中以AB为一边可以画出__________个三角形； （2）其中以C为顶点可以画出 __________个三角形． 【举一反三6】观察以下图形，回答问题： （1）图②有　  　个三角形；图③有　  　个三角形；图④有　  　个三角形；…猜测第七个图形中共有　   　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　       　个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【题型2】三角形的顶点、边和角的概念 【典型例题】如图所示，∠B和∠ADC的夹边是（　　） A.BD B.DC C.BC D.AD 【举一反三1】在△ABE中，边所对的角是（   ） A.∠ADB B.∠AEB C.∠ACB D.∠AEC 【举一反三2】如图，下列说法错误的是（     ） A.，，是△的内角 B. 是与相邻的角 C.是△ABC的一个内角 D.的三条边分别是 ，， 【举一反三3】（1）用符号表示图中所有三角形； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是△，△，△中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【举一反三4】如图所示，图中有　   　个三角形，其中以AB为边的三角形为　　，含∠OCB的三角形为　　，在△BOC中，OC的对角是　　，∠OCB的对边是　　． 【举一反三5】如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)写出图中以为边的三角形. (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 【举一反三6】如图所示， (1)写出△的三个内角； (2)含边的三角形有哪些？ 【题型3】三角形的概念 【典型例题】（　　）叫做三角形. A.连接任意三点组成的图形 B.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形 C.由三条线段组成的图形 D.以上说法均不对 【举一反三1】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】一位同学用三根木棒两两相交拼成如图形，其中符合三角形概念的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三4】一位同学用三根木棒两两相交拼成如图形，其中符合三角形概念的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三5】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三6】如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是　   　；在△ACD中，∠C所对的边是　    　． 【举一反三7】如图，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形， （1）其中以AB为一边可以画出　   　个三角形； （2）其中以C为顶点可以画出　     　个三角形． 【题型4】三角形的分类 【典型例题】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（　　） A.M表示等边三角形 B.M表示锐角三角形 C.P表示等腰三角形 D.N表示三边都不相等的三角形 【举一反三2】在中，如果，那么是（    ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 【举一反三3】下列说法：①三角形按边分类可分为三边不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；②等边三角形是特殊的等腰三角形；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形；④有两边相等的三角形一定是等腰三角形，其中正确的是           ．（请填写序号） 【举一反三4】小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　           　．（只需填上一个即可） 【举一反三5】观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的圈内． 学科网（北京）股份有限公司 $$