1.1.3直线的方程课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

第一章 直线与圆 1.1.3 课时1 直线方程的点斜式 32999 1.掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，并会用它们求直线的方程； 2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系；（重点） 3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题． 学习目标 32999 情境：2024年7月30日在巴黎奥运会射击项目中的男子飞碟多向决赛中，齐迎夺得男子飞碟多向银牌，刷新了中国男子飞碟射击选手在奥运赛场的最佳战绩. 运动员在该项目训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向. 若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求. 问题1：观察图片中选手的姿势，回答下列问题. （1）托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？ （2）试从数学角度分析子弹是否会命中目标？ 情景导入 32999 直线 l 经过点P0 (x0，y0)，且斜率为k，设 P (x，y)是直线 l 上不同于点P0的任意一点，则有 ； 即 y - y0 = k (x - x0). 给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，那么在平面直角坐标系中，给定一个点 P0 (x0，y0) 和斜率 k (或倾斜角)，也就能唯一确定一条直线. 即直线上任意一点的坐标 (x，y) 与给定的点 P0的坐标 (x0，y0) 和斜率 k 之间的关系是完全确定的. 问题2：结合上述描述，说说这个关系该如何表示呢？ 知识梳理 32999 一、直线的点斜式方程 方程 y - y0 = k (x - x0) 由直线上一个定点 (x0，y0) 及该直线的斜率 k 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 知识梳理 32999 x y O l P0 (x0，y0) P (x，y) （1）当倾斜角为 0°时，k = 0， 代入点斜式的 y - y0 = 0，即 y = y0； （2）当倾斜角为 90°时，没有斜率，不能用点斜式表示，直线上每个点横坐标都为 x0，即 x = x0 . 问题3：已知直线 l 经过点 (x0， y0). （1）当直线 l 的倾斜角为 0°时，直线 l 的方程是什么？ （2）当直线 l 的倾斜角为 90°时，直线 l 的方程如何表示？ x y O l P0 (x0，y0) P (x，y) 问题探究 32999 例1：直线 l 经过点 P0 (-2，3)，且倾斜角 α = 45°，求直线 l 的点斜式方程，并画出直线 l. 解：直线 l 经过点 P0 (-2，3)，斜率 k = tan45°= 1， 代入点斜式方程得 y - 3 = x + 2； 画图时，再找出直线 l 上的另一个点 P1 (x1，y1)， 如取x1 = -1，则 y1 = 4，得点 P1 的坐标为 (-1，4)， 过 P0，P1 的直线即为所求，如图所示. 典例分析 32999 练习1：写出下列直线的点斜式方程： （1）经过点 A(3，-1)，斜率是；（2）经过点 B(-，2)，倾斜角是30 （3）经过点 C(0，3)，倾斜角是0；（4）经过点 D(-4，-2)，倾斜角是. 当堂检测 32999 练习2：完成下列填空. （1）已知直线的点斜式方程是 y - 2 = x - 1，那么此直线的斜率是____，倾斜角是_____； （2）已知直线的点斜式方程是 y + 2 = (x + 1)，那么此直线的斜率是____，倾斜角是______； 1 45° 60° 当堂检测 32999 我们把直线 l 与 y 轴的交点 (0，b) 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距，这样，方程 y = kx + b 由直线的斜率 k 与它在 y 轴上的截距 b 确定； 我们把方程 y = kx + b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 二、直线的斜截式方程 问题4：若已知直线经过点 P0 (0，b)，斜率为 k，此时直线方程如何表示？ 将点 P0 (0，b) 和斜率 k 代入点斜式方程，得 y - b = k(x - 0)，即 y = kx + b. 知识梳理 32999 思考1：直线的斜截式方程中的截距是一段距离吗？ 思考2：一次函数解析式 y = kx + b 与直线的斜截式方程 y = kx + b 有何区别? 截距不是距离；截距可正，可负，可为零，而距离只能是零或正数. 一次函数中 x 的系数 k ≠ 0，否则就是常函数 y = b；而直线的斜截式方程 y = kx + b 的 k 可以为 0. 思考3：如何从直线方程的角度认识一次函数 y = kx + b ？ k 是直线的斜率，b 是直线在 y 轴上的截距 问题探究 32999 归纳总结：对于直线 l1：y = k1 x + b1，l2：y = k2 x + b2； （1）l1∥l2 ⇔ k1 = k2，且 b1 ≠ b2；（2）l1∥l2 ⇔ k1·k2 = -1. 例2：已知直线 l1：y = k1 x + b1，l2：y = k2 x + b2，求满足下列要求的条件. （1） l1∥l2；（2） l1⊥l2 解：（1）若 l1∥l2，则 k1 = k2，此时 l1，l2与 y 轴的交点不同，即 b1 ≠ b2； 反之，若 k1 = k2，且 b1 ≠ b2，则 l1∥l2； （2）若 l1⊥l2，则 k1·k2 = -1；反之，若 k1·k2 = -1，则 l1⊥l2 . 典例分析 32999 练习3：写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率是，在y轴上的截距是-2；（2）斜率是-2，在y轴上的截距是4. y = - 2x + 4 练习4：判断下列各对直线是否平行或垂直： （1）（2） 平行 垂直 当堂检测 32999 直线的方程 点斜式 斜截式 y – y0 = k (x – x0) y = kx + b；( 斜率 k，截距 b ) 斜率存在 回顾：结合本课所学知识，构建思维导图. 课堂总结 32999 $$第一章 直线与圆 1.1.3 课时3 直线方程的一般式 32999 1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化. 3.能运用直线的一般式方程解决有关问题. 学习目标 32999 想一想：前面学习的直线方程中有几个变量? 这些方程的共同特征是什么? 直线的方程 一点及斜率 直线上两点 点斜式 斜截式 两点式 截距式 情景导入 32999 问题1：四种表示直线的方程，它们有怎样的区别与联系？ 联系： 直线上任意点的几何特征 直线的代数表示：直线上点的横纵坐标x，y的关系 区别：应用条件不同；表达形式不同； 问题探究 32999 问题2：在平面直角坐标系中的任意一条直线l是否都能用关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 表示？ (A，B不同时为0) 直线l 斜率存在 斜率不存在 点斜式、斜截式方程 两点式、截距式方程 按方程形式“凑” (A，B不同时为0) 问题探究 32999 二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A，B不同时为0) 直线 平面直角坐标系 每一组解 (x，y) 点的坐标 (x，y) 关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0（其中A，B不同时为 0）叫做直线 l 的一般式方程，简称一般式 . 直线的一般方程： 知识梳理 32999 问题3：在方程 Ax + By + C = 0 中，A、B、C 为何值时，可表示如下直线： （1）平行于x轴？（2）平行于y轴？（3）与x轴重合？（4）与y轴重合？ （1）平行于 x 轴：A = 0、B ≠ 0、C ≠ 0； y O x 平行于 x 轴 → 斜率为 0，在 y 轴截距不为 0 → A = 0、B ≠ 0 → → → A = 0、B ≠ 0、C ≠ 0. （2）平行于 y 轴：A ≠ 0、B = 0、C ≠ 0； y O x 平行于 y 轴 → 斜率不存在，在 x 轴截距不为 0 → B = 0、A ≠ 0 → Ax + C = 0 → → A ≠ 0、B = 0、C ≠ 0. 问题探究 32999 问题3：在方程 Ax + By + C = 0 中，A、B、C 为何值时，可表示如下直线： （3）与x轴重合？（4）与y轴重合？ （3）与 x 轴重合：A = 0、B ≠ 0、C = 0； y O x 与 x 轴重合 → 斜率为 0，在 y 轴截距为 0 → A = 0、B ≠ 0 → → y = 0 → A = 0、B ≠ 0、C = 0. （2）与 y 轴重合：A ≠ 0、B = 0、C = 0； y O x 与 y 轴重合 → 斜率不存在，在 x 轴截距为 0 → B = 0、A ≠ 0 → Ax + C = 0 → x = 0 → A ≠ 0、B = 0、C = 0. 问题探究 32999 问题4：试着总结直线的五种形式方程间有什么关系以及各自的适用范围. 斜率存在 与坐标轴垂直，过原点 与坐标轴垂直 问题探究 32999 例1：已知直线经过点 A (6，-4) ，斜率为 ，求直线的点斜式、一般式方程. 解：经过点 A (6，-4)，斜率为 的直线的点斜式方程为： ， 整理得：-3(y + 4) = 4(x - 6)，化为一般式得：4x + 3y - 12 = 0 . 分析：直线上：已知一点 + 斜率 → 点斜式方程 → 一般式方程. 典例分析 32999 例2：把直线 l 的一般式方程 x - 2y + 6 = 0 化为斜截式，求出直线 l 的斜率以及它在 x 轴与 y 轴上的截距，并画出图形. 解：把直线 l 的一般式方程化为斜截式： . 因此，直线 l 的斜率 ，它在 y 轴上的截距是 3； 在直线 l 的方程 x - 2y + 6 = 0 中，令 y = 0，得 x = -6， 即直线在 x 轴上的截距是-6； 则直线 l 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A (6，0)，B (0，3)， 过 A，B 两点作直线，就得直线 l (如图). 典例分析 32999 1．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式： (1)经过点，斜率是； (2)经过点平行于轴； (3)经过点，； (4)在轴、 轴的截距分别是，-3. 当堂检测 32999 回顾：本节课你学到了哪些知识与方法？ 课堂总结 32999 $$第一章 直线与圆 1.1.3 课时2 直线方程的两点式 32999 1.掌握直线的两点式方程和截距式方程，以及各自的适用条件； 2.会选择适当的方程形式求直线方程； 3.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题. 学习目标 32999 回顾1：请写出直线的点斜式和斜截式方程. y - y0 = k(x - x0)； y = kx + b. 解：由已知可得 ，将点 A 代入直线， 所以直线 l 的方程为 y - 3 = x - 1，即 y = x + 2. 回顾2：已知直线 l 过 A (1，3) 和 B (2，4)，求直线 l 的方程. 思考：已知直线的两点坐标，除了点斜式，还有其他方法能写出方程吗？ 求斜率：点斜式写方程 情景导入 32999 当 x1 ≠ x2 时，斜率为 任取P1，P2中的一点，如取点 P1 (x1，y1) ， 由点斜式方程得 当 y1 ≠ y2 时，上式可写为 已知直线 l 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (其中x1 ≠ x2，y1 ≠ y2)，因为两点确定一条直线，所以直线 l 是唯一确定的. 即：对于直线 l 上的任意一点 P (x，y)，它的坐标与点 P1，P2 的坐标之间具有唯一确定的关系. 问题1：试着根据上述描述，总结出这一关系的表达式. 问题探究 32999 直线的两点式方程 直线 l 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (其中x1 ≠ x2，y1 ≠ y2)，则： 叫做直线的两点式方程，简称两点式. 注意：当 x1 = x2 或 y1 = y2 时，直线 P1P2 没有两点式方程 （1）当 x1 = x2 时，直线 PP1 垂直于 x 轴，直线方程为 x - x1 = 0，即 x = x1；（2）当 y1 = y2 时，直线 PP1 垂直于 y 轴，直线方程为 y - y1 = 0，即 y = y1. 知识梳理 32999 练一练 1：求经过下列两点的直线的两点式方程. （1）P1 (2，1)，P2 (0， - 3)； （2）A (0，5)，B (5，0). 当堂检测 32999 例1：如图，已知直线 l 与 x 轴的交点 A (a，0)，与 y 轴的交点为 B (0，b)，其中a ≠ 0，b ≠ 0，求直线 l 的方程. l x y O B A 解：将两点 A (a，0)，B (0，b) 的坐标代入两点式 ， 即 （截距式）. 典例分析 32999 直线的截距式方程 直线 l 经过两点 P1 (a，0)，P2 (0，b) (其中a ≠ 0，b ≠ 0)，则方程 叫做直线的截距式方程，简称截距式（其中 a 为横截距，b为纵截距）. 注意：截距不是距离. 思考：截距式不适用于哪些直线？ 以下三类直线没有截距式方程： ① 过原点的直线；② 斜率为0的直线；③ 斜率不存在的直线. 知识梳理 32999 例2：已知△ABC 的三个顶点 A ( - 5，0)，B (3， - 3)，C (0，2)，求边 BC 所在直线的方程，以及这条边上的中线 AM 所在直线的方程. 解：过B(3， - 3)，C(0，2)两点式方程为： 整理得 5x + 3y - 6 = 0，即边BC 所在直线的方程. 设 BC 的中点为M，则 M 的坐标为 ，即 过 A ( - 5，0)，M 的直线方程为 整理得 x + 13y + 5 = 0，即BC 边上的中线 AM 所在直线的方程. 典例分析 32999 练一练 2：在 ∆ABC 中，已知 A (5， - 2)，B (7，3)，且边 AC 的中点 M 在 y 轴上，边 BC 的中点 N 在 x 轴上. 求：（1）求点 C 的坐标；（2）求直线 MN 的方程. 解：（1）设点C (x，y)，由题意得 ，，则 x = - 5，y = - 3； 故所求点 C 的坐标是 ( -5，-3) （2）由题意得，AC 的中点 M (0，- )，BC的中点 N (1，0)， 所以直线 MN 的方程是 ，即 5x - 2y - 5 = 0. 当堂检测 32999 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 直线方程的四种形式： 一点P(x0，y0)和斜率k y – y0 = k (x – x0) 不垂直于x轴的直线 斜率k，纵截距b y = kx +b 不垂直于x轴的直线 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 不垂直于 x 轴、y 轴的直线 横截距 a 和纵截距 b 不垂直于 x 轴、y 轴，不过原点的直线 课堂总结 32999 $$