1.2.1有理数的概念讲义　2025—2026学年人教版数学七年级上册

第1章 有理数 第二节 有理数的概念 01体系构建·思维可视 2 02核心突破·靶向攻坚 1 知识点1有理数的概念 3 【易错提醒】 3 例题 3 知识点2有理数的分类 5 【易错提醒】 5 例题 5 知识点3 “0”的意义 7 【易错提醒】 7 例题 7 知识点4 带“非”字的有理数 7 【易错提醒】 8 例题 9 03拓展培优 10 04课堂检测 13 知识思维导图 课程学习目标 概念理解： 1.能准确阐述有理数的定义，明确 “整数和分数统称有理数”。 2.能结合实例说明有理数的范畴，避免将 “有理数仅包含整数”“分数不属于有理数” 等认知误区。 分类掌握： 1.清晰掌握有理数的分类体系。 2.知道 “有理数按定义可分为整数和分数，整数又分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数”。 3.能准确判断任意给定数，所属的有理数类别，且能列举出不同类别下的至少 3 个实例。 特殊数认知： 1.深化对 0 和特殊小数的认知，明确 0 是有理数且属于整数，不是正数也不是负数。 2.理解有限小数和无限循环小数可转化为分数，能准确区分有理数与非有理数。 简单应用： 1.能根据有理数的分类标准，对一组数进行分类整理。 2.能结合生活情境（如温度、收支、海拔）举例说明不同类别有理数的实际意义。 【新知学习】 知识点1：有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数。 整数包括正整数、0、负整数，这些数没有分数或小数部分；​ 分数包括正分数、负分数，这些数可表示为两个整数的比值（分母不为 0）。​ 【易错提醒】 有限小数（如 0.7、-1.25）和无限循环小数（如），都能转化为分数（如 0.7=、 =），因此都属于分数，进而属于有理数。 例题1：（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数中，不是有理数的是（    ） A． B． C．0.1010010001… D．0 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查有理数，解题关键在于掌握定义. 根据有理数的定义，判断各选项是否为有理数。 【详解】有理数包括整数、有限小数和无限循环小数。 A： 是整数，属于有理数。 B： 是无限循环小数，可表示为分数，属于有理数。 C： 的小数部分无循环节，是无限不循环小数，属于无理数。 D：是整数，属于有理数。 综上，只有选项C不是有理数。 故选：C. 【变式训练1】（2025七年级上）在，，，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有 个． 【答案】5 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键． 根据有理数的分类分析即可，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，零和负整数；分数分为正分数和负分数． 有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：在（每相邻两个1之间依次多一个0）中， 是有理数，共有5个． 故答案为：5． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东肇庆）下列各数，，0，π，0.0123中，有理数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的定义解答即可，掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：在，，0，π，0.0123中，有理数有，，0，0.0123，共4个， 故选：A． 【变式训练3】（25-26七年级上）（1）与0之间有负数吗？0与1之间呢？如果有，请举例；如果没有，请说明理由． （2）与之间有负整数吗？与2之间有哪些整数？ （3）有比还大的负整数吗？ （4）写出3个小于并且大于的数． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解（4）见详解． 【知识点】正负数的定义、有理数的定义 【分析】本题主要是考查有理数的大小的比较和有理数的分类，认真掌握有理数比较大小的方法及负数、整数、负整数的定义与特点，负数：任何正数前加上负号都等于负数，负数比零，正数小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）正数负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，据此解答即可； （2）据负数、整数、负整数的定义与特点回答； （3）据负数、整数、负整数的定义与特点回答； （4）几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，据此解答即可 【详解】解：（1）与0之间有负数，如；0与1之间没有负数，原因是负数小于0； （2）和之间有负整数；与2之间有整数，0，1； （3）没有比大的负整数； （4）例如，． 知识点二：有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 【易错提醒】 有限小数、无限循环小数必须归为分数，如属于正分数，不可单独归为 “小数类”； 例题1：（25-26七年级上·全国·课后作业）下列选项中，所填的数正确的是（    ） A．正数集合： B．负数集合： C．分数集合： D．整数集合： 【答案】A 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键．根据有理数的分类方法进行逐一判断即可． 【详解】解：A、2，1，5，都是正数，故此选项符合题意； B、0不是负数，故此选项不符合题意； C、5是整数，故此选项不符合题意； D、是分数，不是整数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式训练1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．3.14不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．有理数分为正有理数、0和负有理数 【答案】D 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类以及正数和负数，解题的关键是掌握有理数的分类以及0的意义．根据有理数的分类以及正数和负数逐一分析解答即可． 【详解】解：A、3.14是分数，故本选项不符合题意； B、0不带“”号，但不是正数，故本选项不符合题意； C、0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故本选项不符合题意； D、有理数分为正有理数、0和负有理数，说法正确，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·）把下列各数填入相应的集合中： ，3，0，，，，1． 正数集合：{      …}； 负数集合：{      …}； 整数集合：{      …}； 分数集合：{      …}； 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：正数集合：； 负数集合：； 整数集合：； 分数集合：． 【变式训练3】（25-26七年级上·全国）分别写出一个符合下列条件的有理数： （1）是负数但不是整数： ． （2）是整数但不是负数： ． （3）既不是整数也不是负数： ． （4）是分数但不是负数： ． 【答案】 （答案不唯一） 2（答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 【知识点】正负数的定义、有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数，正数和负数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据有理数的相关定义解答各题即可． 【详解】（1）是负数但不是整数：． 故答案为：； （2）是整数但不是负数：． 故答案为：2； （3）既不是整数也不是负数：． 故答案为：； （4）是分数但不是负数：． 故答案为：． 知识点03 “0”的意义 0 是整数的特殊成员，不属于分数，这是按定义分类的关键区分点。 【易错提醒】 1.“0 是正有理数”（错，0 独立） 2.“小数不是有理数”（错，有限小数、无限循环小数是分数，属于有理数） 3.“负有理数就是负整数”（错，负有理数含负整数和负分数） 例题1：（24-25黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式训练1】（25-26七年级上）下列对的描述中，错误的是（    ） A．是偶数 B．是自然数 C．既可以是正数，也可以是负数 D．不是正数 【答案】C 【知识点】0的意义 【分析】本题考查对有理数的理解和应用，熟练掌握的性质是解题的关键. 【详解】解：1选项A：偶数是能被整除的整数。除以余数为，因此是偶数，正确，不符合题意. 选项B：自然数包括和正整数，因此是自然数，正确，不符合题意. 选项C：正数是大于的数，负数是小于的数，既不是正数也不是负数.因此“既可以是正数，也可以是负数”的说法错误，符合题意. 选项D：既不是正数也不是负数，因此“不是正数”正确，不符合题意. 故答案为：C 【变式训练2】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）0既不是 ，也不是 ． 【答案】 正数 负数 【知识点】0的意义 【分析】本题主要考查了0的意义，0既不是正数，也不是负数，据此可得答案． 【详解】解；0既不是正数，也不是负数， 故答案为：正数，负数． 知识点04 带“非”字的有理数 核心概念 1：非正数（“非”=“不”，即 “不是正数的有理数”） 核心概念 2：非负数（“非”=“不”，即 “不是负数的有理数”） 核心概念 3：非整数（“非”=“不”，即 “不是整数的有理数”） 核心概念 4：非分数（“非”=“不”，即 “不是分数的有理数”） 【易错提醒】 1.忽略 “0 属于非分数”（如认为 “非分数只有正整数和负整数”，漏掉 0）。 2.混淆 “非整数” 与 “非正整数”（如认为 “非整数就是不是正整数的数”，误将负整数、0 归入非整数）。 例题1：（24-25七年级上·浙江金华）将下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，20%，，，2024． 自然数：{        }； 分数：{        }； 有理数：{        }； 非负数：{        }． 【答案】见解析 【知识点】有理数的定义、有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】此题考查有理数的分类，自然数定义，根据各定义依次判断解答即可． 【详解】解：自然数：{ 0， 2024 }； 分数：{ ，， }； 有理数：{ ，，0，，，20%，，2024．}； 非负数：{ ，0，，，20%，，2024． }． 【变式训练1】（24-25七年级上·山西阳泉）把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，，，，， 整数集合：{                      } 有理数集合：{                    } 非负数集合：{                    } 非负整数集合：{                  } 【答案】，，；，，，，，，，，；，，，，，，；，， 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数，分数，非负数以及非负整数的定义进行分类即可．解题的关键是掌握：整数与分数统称为有理数；整数包括正整数、零、负整数；非负数包括正数和零；非负整数包括正整数和零． 【详解】解：整数集合：{，，        } 有理数集合：{，，，，，，，，} 非负数集合：{，，，，，，} 非负整数集合：{，，       }． 故答案为：，，；，，，，，，，，；，，，，，，；，，． 【变式训练2】（23-24七年级上·山西太原）在，，3.14，0，，，、，中，属于非负整数的有 ． 【答案】，0， 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】根据有理数的概念，不小于0的整数就是非负整数． 【详解】解：，，，，，， ，是负数，，3.14，0，是非负数，，不是有理数， 故答案为：，0，． 【点睛】此题考查了有理数分类的应用，关键是准确理解非负整数． 【拓展培优】 一、知识深化：直击定义本质，突破认知误区 1. 有理数定义的本质解读（从 “比” 的角度理解） 有理数的核心定义是 “整数和分数的统称”，可进一步延伸到 “能表示为两个整数之比（，其中p、q为整数且q≠0）的数”，这是判断一个数是否为有理数的本质依据。 实例验证： 正整数 3 可表示为，负整数 - 5 可表示为-，有限小数 0.25 可表示为，无限循环小数可表示为—— 这些数均符合 “两个整数之比” 的形式，因此都是有理数； 而无限不循环小数（如 π≈3.1415926…）无法写成 “整数之比”，故不属于有理数。 2. 分类的 “交叉细化”：突破单一维度 在基础分类（按定义、按正负）之上，新增 **“交叉分类”** 视角，明确 “同时满足两个属性的有理数类别”，深化分类逻辑： 核心交叉类别及实例： 交叉属性 包含范围 实例 既是正数又是整数 正整数 2、10、2025 既是非负数又是分数 正分数（含正有限 / 无限循环小数） 、0.6、 既是非正数又是整数 0 + 负整数 0、-3、-15 既是非负整数又是非正整数 仅 0（唯一重叠部分） 0 判断训练： 给定数 “-3.5、0、、7、-2”，能准确说出 “是既是正数又是分数的有理数”“-2 是既是非正数又是整数的有理数”，避免因单一分类思维忽略属性叠加。 二、培优核心与易错点强化 1. 核心能力聚焦： 从 “能判断单一有理数类别” 提升到 “能结合定义本质、数轴位置、实际情境、抽象符号” 理解有理数，形成 “定义→分类→应用→推理” 的完整思维链。 1. 高频易错点再强化： ①0 的归属：在 “非正整数（0 + 负整数）”“非负分数（仅正分数，不含 0）”“非有理数（无 0）” 等类别中反复明确，避免漏 0 或误归； ②小数的分类：强调 “有限小数、无限循环小数是分数，属于有理数”，与 “无限不循环小数（如 π）不是有理数” 严格区分； ③交叉类别的判断：如 “非负整数≠正整数”（含 0）、“非正分数≠负分数”（无 0，因 0 是整数），通过对比举例避免混淆。 通过以上拓展，既贴合七年级上册的知识范围，又能帮助学生突破基础认知，从 “被动记忆概念” 转向 “主动理解与应用概念”，为后续有理数的大小比较、运算及代数学习奠定扎实基础。 【典例1】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号里 ，，，，1，，0，，，，π， (1)有理数集合：{                              } (2)分数集合：{                                } (3)负数集合：{                                } (4)非负数集合：{                              } 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查有理数的分类；注意整数、0、正数之间的区别：0是整数但不是正数．根据有理数的定义及其分类可得． 【详解】（1）解：有理数集合：{，，，，1，，0，，，，}； （2）解：分数集合：{，，，，，}； （3）解：负数集合：{，，，}； （4）解：非负数集合：{，1，，0，，，π，}． 【典例2】 （24-25七年级上·福建福州·阶段练习）在数，，，，中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的定义，掌握整数和分数统称有理数是解题的关键． 根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在数，，，，中，有理数有、、、，共4个． 故选：D． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．在数中，不是正数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】根据非正数的概念先找出不是正数的数，再计算个数即可． 【详解】解：不是正数即是负数和0， 故不是正数，共4个， 故选：C． 2．（2022七年级·江苏·专题练习）在0，，0.3，2π，﹣23%，2021这六个数中，非正数有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．0 【答案】A 【知识点】有理数的分类 【分析】根据有理数的分类方法，可得：非正数包括负数和0，据此判断出0，，0.3，2π，-23%，2021这六个数中，非正数即可求解． 【详解】解：0，，0.3，2π，﹣23%，2021这六个数中，非正数有2个： 0，﹣23%，故A正确． 故选：A． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）祖冲之，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家．他是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，这一研究发现比西方早了1100多年，他将圆周率的分数近似值称为密率，称为约率．请判断：约率是（   ） A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无限不循环小数 【答案】A 【知识点】有理数的定义 【分析】本题主要考查有理数的定义，利用有理数的定义，有理数包括整数和分数，故是有理数． 【详解】解：∵是分数， ∴是有理数， 故选：A． 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，求解即可． 【详解】解：在，，，，，中， 有理数有：，，，，，共个； 故选：B． 5．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）在数，，，，中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的定义，掌握整数和分数统称有理数是解题的关键． 根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：在数，，，，中，有理数有、、、，共4个． 故选：D． 6．（20-21六年级下·上海杨浦·期末）下列说法正确的是（    ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．是正数 C．正数又可称为非负数 D．有理数中有绝对值最小的数 【答案】D 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】根据有理数的性质判断求解． 【详解】解：A选项：有理数包括正有理数、负有理数和0，故A错误，不符合题意； B选项：是非负数，故B错误，不符合题意； C选项：正数和0可称为非负数，故C错误，不符合题意； D选项：有理数中有绝对值最小的数， 故D正确,符合题意； 故选D． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【知识点】正负数的定义、0的意义 【分析】考查了正数与负数，根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：①正数前加上一个负号就是负数，说法正确； ②不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数； ③只有带“＋”号的数才是正数，说法错误，例如5是正数，但没有带“＋”号； ④0既不是正数也不是负数，说法正确． 综上所述可得：说法正确的有①④，共计2个． 故选：B． 二、填空题 8．（22-23七年级上·全国·课后作业）把下列各数填在相应的集合里： 1，，，0.5，，，，0，2014，20%， 正数集合：    负数集合： 整数集合：   正分数集合： 有理数集合： 【答案】 ，，，，，； ，，，； ，，，，； ，，； ，，，，，，，，，． 【知识点】有理数的分类 【分析】根据有理数的分类进行解答的即可得解． 【详解】解：正数集合：；负数集合：； 整数集合：； 正分数集合：； 有理数集合：． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握各类数的概念、界定范围是解题的关键． 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列语句： ①不带“”号的数都是正数； ②一个正数的前面加上负号就是负数； ③数7没有符号； ④不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数． 其中错误的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【知识点】正负数的定义、有理数的分类 【分析】本题主要考查了正负数的认识，有理数的分类，注意数7的符号为“”，不是没有符号；0不是正数，也不是负数．本题易因对正数、负数的认识不正确而出错．根据正、负数的定义，以及有理数的分类逐项进行判断即可． 【详解】解：①不带“”号的数不一定都是正数，例如0，前面没有“”，但0不是正数，故原说法错误； ②一个正数的前面加上负号就是负数，正确； ③数7前面的符号为“”，故原说法错误； ④0不是正数，也不是负数，因此不是正数的数不一定是负数，不是负数的数不一定是正数，故原说法错误． 综上分析可知：其中错误的有①③④． 故答案为：①③④． 10．（21-22七年级上·全国·课后作业）数0和正数统称非 数；由此，0和负数也统称 数． 【答案】 负 非正 【知识点】有理数的分类 【分析】根据有理数的分类即可得出答案； 【详解】解：数0和正数统称非负数，0和负数也统称非正数； 故答案为：负，非正 11．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{    …}； 正数集：{    …}； 负分数集：{    …}； 负数集：{    …}； 非负整数集：{    …}； 分数集：{    …}． 【答案】，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握正整数、正数，负分数、负数、非负整数、和分数的定义与特点是解题的关键． 直接利用有理数的相关概念分析得出答案，特别注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是正数． 【详解】解：正整数集：{，，}； 正数集：{，，，，，}； 负分数集：{，，，，}； 负数集：{，，，，，，}； 非负整数集：{，，，}； 分数集：{，，，，，，，} 故答案为：，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 12．（22-23七年级上·山东济宁·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内（少答、多答、错答均不得分）： ①﹣13；②0.1；③﹣2.23；④+27；⑤0；⑥，⑦﹣15%；⑧，⑨． 整数集{ …}；非负数集{ …}；分数集{ …}． 【答案】 ①﹣13，④+27，⑤0 ②0.1，④+27，⑤0，⑨ ②0.1，③﹣2.23，⑥﹣，⑦﹣15%，⑧﹣，⑨ 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】根据有理数的分类判断即可． 【详解】解：整数集{①﹣13，④+27，⑤0…}； 非负数集{②0.1，④+27，⑤0，⑨…}； 分数集{②0.1，③﹣2.23，⑥﹣，⑦﹣15%，⑧﹣，⑨…}． 故答案为：①﹣13，④+27，⑤0；②0.1，④+27，⑤0，⑨；②0.1，③﹣2.23，⑥﹣，⑦﹣15%，⑧﹣，⑨． 【点睛】本题考查了有理数的分类，正确掌握有理数的分类标准是解题的关键，有理数可以分为整数和分数，有理数也可以分为正有理数、0和负有理数． 三、解答题 13．（21-22七年级上·全国·课后作业）下列各数中，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？哪些是正数？哪些是负数？ ． 【答案】正整数：7；负整数：；正分数：；负分数：；正数：；负数： 【知识点】有理数的分类 【分析】根据有理数由正有理数、负有理数和0；整数和分数统称有理数，即可求解． 【详解】解：正整数：7；负整数：；正分数：；负分数：；正数：；负数：． 【点睛】本题考查了对有理数、正数、负数等知识点的理解和运用，熟练掌握有理数由正有理数、负有理数和0；整数和分数统称有理数是解题的关键． 14．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）把下列各有理数填入相应的集合里： ，，，，，，，，． 整数集合：{                       }； 负数集合：{                       }； 非负整数集合：{                   }； 分数集合：{                       }； 正有理数集合：{                   }； 非负数集合：{                     }． 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数的分类．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据正数、负数、整数、正整数、负整数、正分数、负分数的定义解答即可． 【详解】解：整数集合：{，，，，}； 负数集合：{，，}； 非负整数集合：{，，，}； 分数集合：{，，，，，}； 正有理数集合：{，，，，，，}； 非负数集合：{，，，，，，，}． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，将3，0，，，，填入下面所给的圈中． (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． （1）根据有理数的分类解答即可； （2）根据有理数的分类解答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 第二节 有理数的概念 01体系构建·思维可视 2 02核心突破·靶向攻坚 1 知识点1有理数的概念 3 【易错提醒】 3 例题 3 知识点2有理数的分类 5 【易错提醒】 5 例题 5 知识点3 “0”的意义 7 【易错提醒】 7 例题 7 知识点4 带“非”字的有理数 7 【易错提醒】 8 例题 9 03拓展培优 10 04课堂检测 13 知识思维导图 课程学习目标 概念理解： 1.能准确阐述有理数的定义，明确 “整数和分数统称有理数”。 2.能结合实例说明有理数的范畴，避免将 “有理数仅包含整数”“分数不属于有理数” 等认知误区。 分类掌握： 1.清晰掌握有理数的分类体系。 2.知道 “有理数按定义可分为整数和分数，整数又分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数”。 3.能准确判断任意给定数，所属的有理数类别，且能列举出不同类别下的至少 3 个实例。 特殊数认知： 1.深化对 0 和特殊小数的认知，明确 0 是有理数且属于整数，不是正数也不是负数。 2.理解有限小数和无限循环小数可转化为分数，能准确区分有理数与非有理数。 简单应用： 1.能根据有理数的分类标准，对一组数进行分类整理。 2.能结合生活情境（如温度、收支、海拔）举例说明不同类别有理数的实际意义。 【新知学习】 知识点1：有理数的概念 概 念：整数和分数统称 。 整数包括 、 、 ，这些数没有分数或小数部分；​ 分数包括 、 ，这些数可表示为两个整数的比值（分母不为 0）。​ 【易错提醒】 有限小数（如 0.7、-1.25）和无限循环小数（如），都能转化为分数（如 0.7=、 =），因此都属于分数，进而属于有理数。 例题1：（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数中，不是有理数的是（    ） A． B． C．0.1010010001… D．0 【变式训练1】（2025七年级上）在，，，，，（每相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数共有 个． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东肇庆）下列各数，，0，π，0.0123中，有理数的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练3】（25-26七年级上）（1）与0之间有负数吗？0与1之间呢？如果有，请举例；如果没有，请说明理由． （2）与之间有负整数吗？与2之间有哪些整数？ （3）有比还大的负整数吗？ （4）写出3个小于并且大于的数． 知识点二：有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正整数 正整数 有理数 正分数 0 零 有理数 负整数 负整数 正分数 负分数 负分数 【易错提醒】 有限小数、无限循环小数必须归为分数，如属于正分数，不可单独归为 “小数类”； 例题1：（25-26七年级上·全国·课后作业）下列选项中，所填的数正确的是（    ） A．正数集合： B．负数集合： C．分数集合： D．整数集合： 【变式训练1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．3.14不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．有理数分为正有理数、0和负有理数 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·）把下列各数填入相应的集合中： ，3，0，，，，1． 正数集合：{      …}； 负数集合：{      …}； 整数集合：{      …}； 分数集合：{      …}； 【变式训练3】（25-26七年级上·全国）分别写出一个符合下列条件的有理数： （1）是负数但不是整数： ． （2）是整数但不是负数： ． （3）既不是整数也不是负数： ． （4）是分数但不是负数： ． 知识点03 “0”的意义 0 是整数的特殊成员，不属于 ，这是按定义分类的关键区分点。 【易错提醒】 1.“0 是正有理数”（错，0 独立） 2.“小数不是有理数”（错，有限小数、无限循环小数是分数，属于有理数） 3.“负有理数就是负整数”（错，负有理数含负整数和负分数） 例题1：（24-25黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【变式训练1】（25-26七年级上）下列对的描述中，错误的是（    ） A．是偶数 B．是自然数 C．既可以是正数，也可以是负数 D．不是正数 【变式训练2】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）0既不是 ，也不是 ． 知识点04 带“非”字的有理数 核心概念 1：非正数（“非”=“不”，即 “不是正数的有理数”） 核心概念 2：非负数（“非”=“不”，即 “不是负数的有理数”） 核心概念 3：非整数（“非”=“不”，即 “不是整数的有理数”） 核心概念 4：非分数（“非”=“不”，即 “不是分数的有理数”） 【易错提醒】 1.忽略 “0 属于非分数”（如认为 “非分数只有正整数和负整数”，漏掉 0）。 2.混淆 “非整数” 与 “非正整数”（如认为 “非整数就是不是正整数的数”，误将负整数、0 归入非整数）。 例题1：（24-25七年级上·浙江金华）将下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，20%，，，2024． 自然数：{        }； 分数：{        }； 有理数：{        }； 非负数：{        }． 【变式训练1】（24-25七年级上·山西阳泉）把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，，，，， 整数集合：{                      } 有理数集合：{                    } 非负数集合：{                    } 非负整数集合：{                  } 【变式训练2】（23-24七年级上·山西太原）在，，3.14，0，，，、，中，属于非负整数的有 ． 【拓展培优】 一、知识深化：直击定义本质，突破认知误区 1. 有理数定义的本质解读（从 “比” 的角度理解） 有理数的核心定义是 “整数和分数的统称”，可进一步延伸到 “能表示为两个整数之比（，其中p、q为整数且q≠0）的数”，这是判断一个数是否为有理数的本质依据。 实例验证： 正整数 3 可表示为，负整数 - 5 可表示为-，有限小数 0.25 可表示为，无限循环小数可表示为—— 这些数均符合 “两个整数之比” 的形式，因此都是有理数； 而无限不循环小数（如 π≈3.1415926…）无法写成 “整数之比”，故不属于有理数。 2. 分类的 “交叉细化”：突破单一维度 在基础分类（按定义、按正负）之上，新增 **“交叉分类”** 视角，明确 “同时满足两个属性的有理数类别”，深化分类逻辑： 核心交叉类别及实例： 交叉属性 包含范围 实例 既是正数又是整数 正整数 2、10、2025 既是非负数又是分数 正分数（含正有限 / 无限循环小数） 、0.6、 既是非正数又是整数 0 + 负整数 0、-3、-15 既是非负整数又是非正整数 仅 0（唯一重叠部分） 0 判断训练： 给定数 “-3.5、0、、7、-2”，能准确说出 “是既是正数又是分数的有理数”“-2 是既是非正数又是整数的有理数”，避免因单一分类思维忽略属性叠加。 二、培优核心与易错点强化 1. 核心能力聚焦： 从 “能判断单一有理数类别” 提升到 “能结合定义本质、数轴位置、实际情境、抽象符号” 理解有理数，形成 “定义→分类→应用→推理” 的完整思维链。 1. 高频易错点再强化： ①0 的归属：在 “非正整数（0 + 负整数）”“非负分数（仅正分数，不含 0）”“非有理数（无 0）” 等类别中反复明确，避免漏 0 或误归； ②小数的分类：强调 “有限小数、无限循环小数是分数，属于有理数”，与 “无限不循环小数（如 π）不是有理数” 严格区分； ③交叉类别的判断：如 “非负整数≠正整数”（含 0）、“非正分数≠负分数”（无 0，因 0 是整数），通过对比举例避免混淆。 通过以上拓展，既贴合七年级上册的知识范围，又能帮助学生突破基础认知，从 “被动记忆概念” 转向 “主动理解与应用概念”，为后续有理数的大小比较、运算及代数学习奠定扎实基础。 【典例1】（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）把下列各数分别填入相应的大括号里 ，，，，1，，0，，，，π， (1)有理数集合：{                              } (2)分数集合：{                                } (3)负数集合：{                                } (4)非负数集合：{                              } 【典例2】 （24-25七年级上·福建福州·阶段练习）在数，，，，中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．在数中，不是正数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2022七年级·江苏·专题练习）在0，，0.3，2π，﹣23%，2021这六个数中，非正数有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．0 3．（2024七年级上·全国·专题练习）祖冲之，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家．他是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，这一研究发现比西方早了1100多年，他将圆周率的分数近似值称为密率，称为约率．请判断：约率是（   ） A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无限不循环小数 4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）在数，，，，中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（20-21六年级下·上海杨浦·期末）下列说法正确的是（    ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．是正数 C．正数又可称为非负数 D．有理数中有绝对值最小的数 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题 8．（22-23七年级上·全国·课后作业）把下列各数填在相应的集合里： 1，，，0.5，，，，0，2014，20%， 正数集合：    负数集合： 整数集合：   正分数集合： 有理数集合： 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列语句： ①不带“”号的数都是正数； ②一个正数的前面加上负号就是负数； ③数7没有符号； ④不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数． 其中错误的有 ．（填序号） 10．（21-22七年级上·全国·课后作业）数0和正数统称非 数；由此，0和负数也统称 数． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{    …}； 正数集：{    …}； 负分数集：{    …}； 负数集：{    …}； 非负整数集：{    …}； 分数集：{    …}． 12．（22-23七年级上·山东济宁·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内（少答、多答、错答均不得分）： ①﹣13；②0.1；③﹣2.23；④+27；⑤0；⑥，⑦﹣15%；⑧，⑨． 整数集{ …}；非负数集{ …}；分数集{ …}． 三、解答题 13．（21-22七年级上·全国·课后作业）下列各数中，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是正分数？哪些是负分数？哪些是正数？哪些是负数？ ． 14．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）把下列各有理数填入相应的集合里： ，，，，，，，，． 整数集合：{                       }； 负数集合：{                       }； 非负整数集合：{                   }； 分数集合：{                       }； 正有理数集合：{                   }； 非负数集合：{                     }． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，将3，0，，，，填入下面所给的圈中． (1) (2) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$