第6讲 利用空间向量研究距离问题【知识梳理+题型总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026高二数学上学期常考题型归纳 【第6讲：利用空间向量研究距离问题】 【知识梳理】 一、空间两点间的距离 1.核心公式 设两点，，向量，则距离。 2.关键要点 基于向量模长计算，本质是将两点距离转化为空间向量的坐标运算，是其他距离问题的基础。 二、点到直线的距离 1.向量法原理与公式 设直线方向向量为，上一点，空间点，则距离。 核心逻辑：先求在上的投影长度，再通过勾股定理求垂线段长度。 三、点到平面的距离 1.法向量法公式 设平面法向量为，内一点，空间点，则距离。 核心逻辑：在法向量上的投影长度即为点到平面的垂线段长度。 四、其他距离问题 1.异面直线间的距离 转化法：取异面直线、，过作平面且使，则上任意一点到平面的距离即为异面直线、间的距离（可套用点到平面距离公式）。 向量积直接公式：设异面直线的方向向量为，直线的方向向量为，在上取点，在上取点（即为两直线上任意两点构成的向量），则距离。 注：为向量与的向量积（叉积），其方向垂直于和所确定的平面，模长为（为与的夹角）。 2.直线与平面间的距离（线面平行） 直线上任意一点到平面的距离即为线面距离，直接套用点到平面距离公式。 3.平行平面间的距离 其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离即为面面距离，套用点到平面距离公式。 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：点到直线的距离】 【例题】1．（23-24高二上·山西运城·期中）已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（    ）. A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 2．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法即可求解. 【详解】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长为h， 则， ， 由于点在线段上，设，则， 故， 设点到直线的距离为d，则 ， 当时，取最小值，则d的最小值为， 故答案为： 【针对训练】3．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 4．（25-26高二上·全国·课后作业）在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】解：在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.   因为点是棱的中点，所以.设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·全国·随堂练习）如图，在直三棱柱中，， ，为AB的中点，点在线段上，点在线段上，求线段EF长的最小值． 【答案】 【分析】构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并设，得，根据EF的长最小满足，应用向量垂直的坐标表示可得，最后由向量模长的坐标表示和二次函数性质求最值. 【详解】依题意，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，则，， 设，，则， 设，，则． 若线段EF的长最小，则必满足，则，可得，即， 因此，， 当且仅当时等号成立，所以线段EF长的最小值为． 【解题策略】 一、核心前提 已知空间中定点（求距离的点）和直线，需通过建立坐标系、确定向量，套用向量法公式求解距离。 二、具体解题步骤 步骤1：建立空间直角坐标系 根据几何体的几何特征（如线面垂直、对称关系等），选取合适的原点、坐标轴，建立空间直角坐标系。 常见建系思路：以线面垂直的直线为轴，互相垂直的两条直线为、轴（如正方体以顶点为原点，棱为坐标轴）。 步骤2：确定关键坐标与向量 1.求点的坐标：写出定点的坐标；在直线上任意选取一点（便于计算的点，如端点、中点），写出其坐标。 2.求向量坐标： 向量：由指向，坐标为； 直线的方向向量：在直线上再取一点，则（或直接根据直线方向确定）。 步骤3：计算核心量化值 1.求：根据向量模长的平方公式计算，即（避免开方，简化运算）。 2.求：向量数量积运算，即。 3.求：方向向量模长的平方，即。 步骤4：代入公式计算距离 将上述结果代入点到直线距离公式： 简化技巧：先计算分子，再除以后开方，减少中间开方步骤。 【考点二：点到平面的距离】 【例题】1．（2025高二·全国·专题练习）已知正四棱柱，，，点为中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】法1，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离；法2，利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】法1，在正四棱柱中，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图：   ， 则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 则点到平面的距离. 法2，在正四棱柱中，连接，， 由点为中点，得，则， ，由平面，得， 设点到平面的距离为，则， 由，得，解得， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 2．（25-26高二上·全国·课前预习）在棱长为1的正方体中，E，P分别为棱，的中点，则点E到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，写出需要的点的坐标，求出向量和平面的法向量为，利用公式即可求出答案． 【详解】以D为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，故， 取，则，，则， 故点E到平面的距离为． 故选：C． 【针对训练】1．（25-26高二上·全国·课前预习）已知平面外一点，平面内一点，平面的一个法向量，则点A到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】求出，根据点到平面距离的向量公式进行求解即可. 【详解】， 故点A到平面的距离为. 故答案为： 2．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 【分析】（1）连接BD，，先根据正方形的性质、直四棱柱的性质及线面垂直的判定可证明平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）根据题意建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量为，再根据向量的加法求出，进而根据点F到平面的距离为即可求出λ的值． 【详解】（1）连接BD，， 因为，底面ABCD为矩形， 所以底面ABCD为正方形，所以， 在直四棱柱中，底面ABCD，则， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以． （2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 则，，, 设平面的法向量为， 则 令，得, 由，， 所以， 所以点F到平面的距离， 解得或． 3．（25-26高二·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）根据面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，设，结合点到直线距离公式列方程求． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接．     为棱的中点，． ， 四边形是平行四边形，． 又平面平面平面． （2）． 平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则． 为棱的中点，． ①，设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是． 设，则． 由①知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是，解得． 在中，． 【解题策略】 一、适用场景与核心原理 当已知空间中某定点和确定平面时，利用空间向量求解点到平面的距离，核心是通过平面法向量将距离转化为“定点与平面内任一点构成的向量在法向量上的投影长度”。 二、分步操作指南 第一步：构建空间直角坐标系 1.建系依据：根据几何体的垂直关系（如线面垂直、面面垂直）或对称特征确定原点和坐标轴。 优先选择：以“线面垂直的直线”为某一坐标轴（通常为轴），以该直线与平面的交点为原点；若平面为直角三角形或矩形，可将其直角顶点作为原点，直角边作为、轴。 2.标注坐标：在坐标系中明确各顶点的位置，为后续求向量坐标奠定基础。 第二步：提取关键坐标与向量 1.确定三点坐标： 定点：直接写出其坐标； 平面内点：任选不共线的三点、、（建议选棱的端点、中点等坐标易读的点），分别记录、、。 2.计算向量坐标： 平面内向量：，（需确保两向量不共线，否则更换平面内点）； 目标向量：（连接平面内点与定点）。 第三步：求解平面的法向量 法向量是垂直于平面的非零向量，求解流程如下： 1.设法向量：设（为待求参数）； 2.列方程组：利用“法向量与平面内向量垂直，数量积为0”，列方程： 代入向量坐标后，得到关于的二元一次方程组（因三个未知数两个方程，解不唯一）； 3.赋值求解：为简化计算，给其中一个参数赋值（如令、或，避免赋值为0导致法向量为零向量），代入方程组求出另外两个参数，确定法向量的具体坐标。 易错提示：若赋值后出现参数为分数，可将法向量各分量同乘分母化为整数，不影响最终距离结果（法向量方向不影响投影长度）。 第四步：代入公式计算距离 1.计算两个核心值： 数量积：（直接代入坐标运算更简便）； 法向量模长：； 2.套用距离公式：点到平面的距离为投影长度的绝对值，公式为： 逻辑说明：绝对值保证距离为非负数，除以法向量模长是为了得到“单位法向量方向上的投影长度”，即垂线段的实际长度。 【考点三：异面直线的距离】 【例题】1．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 2．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，把异面直线的距离问题转化为点到直线的距离求解，利用向量来求解点到直线的距离，利用二次函数的性质求解最小值，即可得到答案． 【详解】解：因为平面，，， 故以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 因为，，， 则，，，， 所以， 设，， ， 距离， 因为， 故 所以异面直线与之间的距离， 故选：A． 【针对训练】3．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】求出公垂线的一个方向向量，然后计算即得． 【详解】由已知， 是公垂线的一个方向向量， 则，取，得， 又， 所以异面直线与之间的距离为， 故选：A． 4．（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）分别为异面直线上的点，若且，则称为异面直线的公垂线段，其长定义为两异面直线间的距离，则在边长为1的正方体中，与的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，建立空间坐标系，求出异面直线与的公垂线的方向向量为，根据求解即可. 【详解】解：以为坐标原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，如图所示：    设为异面直线与的公垂线段， 则， 所以 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则有，则有， 取，则 则异面直线与的距离. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在立体几何中，涉及求空间角和距离问题时，利用空间向量求解更简单些. 5．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 【答案】 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用，可求出两点的坐标，从而可求出答案. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设，， 所以,， 因为MN是异面直线AC与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以，， 所以点M是线段上靠近点的一个三等分点， 点N是线段上靠近点的一个三等分点， 且异面直线与间的距离为.    故答案为：. 【解题策略】 一、适用场景与核心原理 针对空间中不相交也不平行的两条异面直线、，利用空间向量求解距离的核心逻辑有两种：一是转化法（将异面直线距离转化为点到平面距离），二是向量积直接法（利用异面直线方向向量与连接向量的向量积求解），可根据题目条件选择合适方法。 二、方法一：转化法（高频使用，易操作） 核心思路 过异面直线中的一条直线作与另一条直线平行的平面，另一条直线上任意一点到该平面的距离，即为两条异面直线的距离。 具体步骤 步骤1：建立空间直角坐标系 根据几何体的垂直关系（如线面垂直、面面垂直）或对称特征确定原点和坐标轴，构建坐标系，标注各顶点坐标。 步骤2：确定异面直线的关键元素 1.明确直线：确定异面直线、的位置，在上取点、，得方向向量；在上取点、，得方向向量。 2.取目标点：选取上一点（如点）作为“求距离的点”，后续需求该点到平面的距离。 步骤3：构造平行于且过的平面 1.平面过直线且平行于，故平面内包含向量（直线的方向向量）和（直线的方向向量，因平面与平行）。 2.选取平面内不共线的三点（如、及过作方向的点），或直接用、及向量、确定平面。 步骤4：求平面的法向量 1.设，根据、列方程组：。 2.赋值求解方程组，确定法向量的坐标（同点到平面距离中求法向量的操作）。 步骤5：计算点到平面的距离 1.求向量（平面内点指向点的向量）。 2.代入点到平面距离公式：，所得结果即为异面直线、的距离。 三、方法二：向量积直接法（公式法，适用于坐标清晰的场景） 核心思路 利用异面直线的方向向量、及两直线上任意两点构成的连接向量，通过向量积计算公垂线段的长度。 具体步骤 步骤1：建立空间直角坐标系 同转化法步骤1，构建坐标系并标注各点坐标。 步骤2：确定三个关键向量 1.直线的方向向量（如，、在上）。 2.直线的方向向量（如，、在上）。 3.连接向量（在上，在上）。 步骤3：计算方向向量的向量积 1.若，，则向量积为： 2.计算向量积的模长。 步骤4：代入公式计算距离 直接套用异面直线距离公式： 逻辑说明：的方向与异面直线的公垂线方向平行，公式本质是求在公垂线方向上的投影长度。 四、两种方法对比与选择 方法 优势 适用场景 关键难点 转化法 思路直观，依赖已学的点到平面距离知识 几何体易构造平行平面的场景 准确构造平行于直线的平面 向量积直接法 公式直接，一步到位 坐标易求、向量积计算不复杂的场景 向量积的行列式运算 【考点四：直线到平面，平面到平面的距离】 【例题】1．（25-26高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 【答案】 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 2．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 【针对训练】1．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系后利用向量法求点到面，面与面的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，， 所以，.    设，则，. 故到直线的距离，故A错误. ， 平面的一个法向量， 则点到平面的距离，故B正确. ，，. 设平面的法向量为， 则，所以 令，得，，所以. 所以点到平面的距离.   ，所以， 又因平面，平面， 所以平面，同理平面， 所以平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面间的距离为，故C正确. 因为，所以， 又，则， 所以点到的距离，故D错. 故选：BC 2．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      3．（2022高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【详解】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 【解题策略】 一、前置说明：适用前提 无论是直线到平面的距离，还是平面到平面的距离，均需满足平行关系： 直线到平面距离：直线与平面必须平行（线面平行）； 平面到平面距离：两个平面必须平行（面面平行）。 两者的核心解题逻辑一致——转化为点到平面的距离，再利用空间向量求解。 二、第一部分：直线到平面的距离（线面平行） 核心原理 若直线平面，则直线上任意一点到平面的距离都相等，该距离即为直线与平面的距离。 具体解题步骤 步骤1：建立空间直角坐标系 根据几何体的垂直特征（如线面垂直、面面垂直）确定原点和坐标轴，构建坐标系，标注各顶点坐标。 示例：长方体中以顶点为原点，三条棱为、、轴。 步骤2：验证线面平行（可选，若题目未明确给出） 1.求直线的方向向量（在上取两点、，）； 2.求平面的法向量（方法同“点到平面距离”中求法向量）； 3.若（方向向量与法向量垂直），且直线上一点不在平面内，则。 步骤3：选取直线上的点与平面内的点 1.在直线上任意取一点（优先选坐标易读的端点、中点），记录坐标； 2.在平面内任意取一点，记录坐标，计算向量。 步骤4：求平面的法向量 1.设，在平面内取不共线两点、，得向量、； 2.列方程组，赋值求解得法向量。 步骤5：代入点到平面距离公式计算 直线到平面的距离，即点到平面的距离： 三、第二部分：平面到平面的距离（面面平行） 核心原理 若平面平面，则平面内任意一点到平面的距离都相等，该距离即为平面与平面的距离。 具体解题步骤 步骤1：建立空间直角坐标系 同“直线到平面距离”步骤1，根据几何体特征构建坐标系并标注坐标。 步骤2：验证面面平行（可选，若题目未明确给出） 1.分别求平面的法向量和平面的法向量； 2.若（两法向量共线，即存在实数使），且两平面无公共点，则。 步骤3：选取两平面内的点 1.在平面内任意取一点（优先选易求坐标的点），记录坐标； 2.在平面内任意取一点，记录坐标，计算向量。 步骤4：求平面的法向量 同“直线到平面距离”步骤4，通过平面内的不共线向量列方程组，求解法向量。 步骤5：代入点到平面距离公式计算 平面到平面的距离，即点到平面的距离： 四、关键对比与易错点总结 1.两种距离的共性与差异 类型 核心转化目标 选取点的要求 计算公式 直线到平面 直线上一点→平面 点在直线上，不在平面内 同点到平面距离公式 平面到平面 一个平面内一点→另一个平面 点在其中一个平面内，不在另一个平面内 同点到平面距离公式 2.易错点提示 1.未验证平行关系：若直线与平面不平行、平面与平面不平行，则不存在“距离”概念，需先确认平行再计算； 2.点的选取错误：选取的点若在目标平面内，会导致距离为0，需确保点在“直线/平面”上且不在“目标平面”内； 3.法向量求解错误：法向量需垂直于平面内的两条不共线向量，赋值时避免出现零向量，否则影响模长计算。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二下·广东·期中）在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B． C．平面的一个法向量为 D．点到平面的距离为 8．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知三棱锥中，，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是上靠近点的四等分点，设，，，下列说法正确的是（   ） A．是平面的一个法向量 B． C．直线与直线所成角为 D．点到平面的距离为 三、填空题 9．（24-25高二下·福建宁德·期中）已知空间中的三点，，，则点到直线AB的距离为 . 10．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 ． 四、解答题 11．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 12．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A B C ABD AC ACD 1．A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得， 由点E在棱BC上，且，得，的重心， 则，，，， 所以点G到直线AE的距离. 故选：A 2．D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 3．A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 4．B 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 5．C 【分析】连接，设，连接，证明平面，再以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】连接，设，连接， 由，得，所以， 因为底面是菱形，所以， 又因为，且，在平面内， 所以平面， 在中，，，所以， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则有，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：C. 6．ABD 【分析】根据向量数量积、模、异面直线的夹角、点到直线的距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； ，B正确； 设异面直线与所成角为，则，C错误； 到直线的距离为，D正确． 故选：ABD 7．AC 【分析】写出点的坐标可判断A选项，利用空间向量的坐标运算可判断B选项，利用求平面法向量的方法求解可判断C，利用空间点到平面的距离的向量解法可求D. 【详解】由题意得，，故A正确； ，所以，，故B不正确； 由题意得，，，， 所以，， 设是平面的法向量，则, 令，则，，则，故C正确 ，则点到平面的距离为，故D不正确. 故选：AC 8．ACD 【分析】A选项，由于是空间的一组基底，设平面的一个法向量，利用即可求解；B选项，用基底表示，计算是否成立；C选项，用基底表示，根据夹角公式求解；D选项，结合A求出的法向量，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】 由题知，，，， A选项，显然是空间的一组基底， 故可设平面的一个法向量，于是， 即，即, 取，则，于是是平面的一个法向量， A选项正确； B选项， ，， 于是， 即不成立，B选项错误； C选项，，，则， 由于，，则是等边三角形，则， 于是，则向量的夹角是， 则直线与直线所成角为，C选项正确； D选项，根据点到平面的距离公式，点到平面的距离为， 而， ， 于是点到平面的距离为，D选项正确. 故选：ACD 9． 【分析】根据空间中点到直线距离的求法计算即可. 【详解】因为空间中的三点，，，所以，， 所以，， 点到直线AB的距离为． 故答案为：. 10．/ 【分析】由题意可计算出该正四棱锥底面边长及高，建立适当空间直角坐标系后可表示出的方向向量及的坐标，即可表示的方向向量，要使线段的长度最小，则为的公垂线，通过空间向量计算即可得解. 【详解】设该正四棱锥底面边长为，高为， 则由题意可得，解得， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、， 则，， 则可设，，，， 则， 要使线段的长度最小，则为的公垂线， 即有， 解得，符合题意， 此时，则. 即线段长度的最小值. 故答案为：. 11．(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 12．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，证明，从而可得，利用空间点到直线的距离公式求出直线到直线的距离； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解． 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，．    由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ， 则直线到直线的距离为． （2）设平面的法向量为， 由（1）可知，，， 则即 令，则，所以． 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026高二数学上学期常考题型归纳 【第6讲：利用空间向量研究距离问题】 【知识梳理】 一、空间两点间的距离 1.核心公式 设两点，，向量，则距离。 2.关键要点 基于向量模长计算，本质是将两点距离转化为空间向量的坐标运算，是其他距离问题的基础。 二、点到直线的距离 1.向量法原理与公式 设直线方向向量为，上一点，空间点，则距离。 核心逻辑：先求在上的投影长度，再通过勾股定理求垂线段长度。 三、点到平面的距离 1.法向量法公式 设平面法向量为，内一点，空间点，则距离。 核心逻辑：在法向量上的投影长度即为点到平面的垂线段长度。 四、其他距离问题 1.异面直线间的距离 转化法：取异面直线、，过作平面且使，则上任意一点到平面的距离即为异面直线、间的距离（可套用点到平面距离公式）。 向量积直接公式：设异面直线的方向向量为，直线的方向向量为，在上取点，在上取点（即为两直线上任意两点构成的向量），则距离。 注：为向量与的向量积（叉积），其方向垂直于和所确定的平面，模长为（为与的夹角）。 2.直线与平面间的距离（线面平行） 直线上任意一点到平面的距离即为线面距离，直接套用点到平面距离公式。 3.平行平面间的距离 其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离即为面面距离，套用点到平面距离公式。 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：点到直线的距离】 【例题】1．（23-24高二上·山西运城·期中）已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（    ）. A．4 B． C． D． 2．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为 . 【针对训练】3．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为 ． 5．（25-26高二上·全国·随堂练习）如图，在直三棱柱中，， ，为AB的中点，点在线段上，点在线段上，求线段EF长的最小值． 【解题策略】 一、核心前提 已知空间中定点（求距离的点）和直线，需通过建立坐标系、确定向量，套用向量法公式求解距离。 二、具体解题步骤 步骤1：建立空间直角坐标系 根据几何体的几何特征（如线面垂直、对称关系等），选取合适的原点、坐标轴，建立空间直角坐标系。 常见建系思路：以线面垂直的直线为轴，互相垂直的两条直线为、轴（如正方体以顶点为原点，棱为坐标轴）。 步骤2：确定关键坐标与向量 1.求点的坐标：写出定点的坐标；在直线上任意选取一点（便于计算的点，如端点、中点），写出其坐标。 2.求向量坐标： 向量：由指向，坐标为； 直线的方向向量：在直线上再取一点，则（或直接根据直线方向确定）。 步骤3：计算核心量化值 1.求：根据向量模长的平方公式计算，即（避免开方，简化运算）。 2.求：向量数量积运算，即。 3.求：方向向量模长的平方，即。 步骤4：代入公式计算距离 将上述结果代入点到直线距离公式： 简化技巧：先计算分子，再除以后开方，减少中间开方步骤。 【考点二：点到平面的距离】 【例题】1．（2025高二·全国·专题练习）已知正四棱柱，，，点为中点，则点到平面的距离为 ． 2．（25-26高二上·全国·课前预习）在棱长为1的正方体中，E，P分别为棱，的中点，则点E到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】1．（25-26高二上·全国·课前预习）已知平面外一点，平面内一点，平面的一个法向量，则点A到平面的距离为 . 2．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． (1)若，证明：． (2)设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 3．（25-26高二·全国·假期作业）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【解题策略】 一、适用场景与核心原理 当已知空间中某定点和确定平面时，利用空间向量求解点到平面的距离，核心是通过平面法向量将距离转化为“定点与平面内任一点构成的向量在法向量上的投影长度”。 二、分步操作指南 第一步：构建空间直角坐标系 1.建系依据：根据几何体的垂直关系（如线面垂直、面面垂直）或对称特征确定原点和坐标轴。 优先选择：以“线面垂直的直线”为某一坐标轴（通常为轴），以该直线与平面的交点为原点；若平面为直角三角形或矩形，可将其直角顶点作为原点，直角边作为、轴。 2.标注坐标：在坐标系中明确各顶点的位置，为后续求向量坐标奠定基础。 第二步：提取关键坐标与向量 1.确定三点坐标： 定点：直接写出其坐标； 平面内点：任选不共线的三点、、（建议选棱的端点、中点等坐标易读的点），分别记录、、。 2.计算向量坐标： 平面内向量：，（需确保两向量不共线，否则更换平面内点）； 目标向量：（连接平面内点与定点）。 第三步：求解平面的法向量 法向量是垂直于平面的非零向量，求解流程如下： 1.设法向量：设（为待求参数）； 2.列方程组：利用“法向量与平面内向量垂直，数量积为0”，列方程： 代入向量坐标后，得到关于的二元一次方程组（因三个未知数两个方程，解不唯一）； 3.赋值求解：为简化计算，给其中一个参数赋值（如令、或，避免赋值为0导致法向量为零向量），代入方程组求出另外两个参数，确定法向量的具体坐标。 易错提示：若赋值后出现参数为分数，可将法向量各分量同乘分母化为整数，不影响最终距离结果（法向量方向不影响投影长度）。 第四步：代入公式计算距离 1.计算两个核心值： 数量积：（直接代入坐标运算更简便）； 法向量模长：； 2.套用距离公式：点到平面的距离为投影长度的绝对值，公式为： 逻辑说明：绝对值保证距离为非负数，除以法向量模长是为了得到“单位法向量方向上的投影长度”，即垂线段的实际长度。 【考点三：异面直线的距离】 【例题】1．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）在四棱锥中，平面，，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】3．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，则异面直线与之间的距离是（   ） A． B． C． D．2 4．（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）分别为异面直线上的点，若且，则称为异面直线的公垂线段，其长定义为两异面直线间的距离，则在边长为1的正方体中，与的距离是（  ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 【解题策略】 一、适用场景与核心原理 针对空间中不相交也不平行的两条异面直线、，利用空间向量求解距离的核心逻辑有两种：一是转化法（将异面直线距离转化为点到平面距离），二是向量积直接法（利用异面直线方向向量与连接向量的向量积求解），可根据题目条件选择合适方法。 二、方法一：转化法（高频使用，易操作） 核心思路 过异面直线中的一条直线作与另一条直线平行的平面，另一条直线上任意一点到该平面的距离，即为两条异面直线的距离。 具体步骤 步骤1：建立空间直角坐标系 根据几何体的垂直关系（如线面垂直、面面垂直）或对称特征确定原点和坐标轴，构建坐标系，标注各顶点坐标。 步骤2：确定异面直线的关键元素 1.明确直线：确定异面直线、的位置，在上取点、，得方向向量；在上取点、，得方向向量。 2.取目标点：选取上一点（如点）作为“求距离的点”，后续需求该点到平面的距离。 步骤3：构造平行于且过的平面 1.平面过直线且平行于，故平面内包含向量（直线的方向向量）和（直线的方向向量，因平面与平行）。 2.选取平面内不共线的三点（如、及过作方向的点），或直接用、及向量、确定平面。 步骤4：求平面的法向量 1.设，根据、列方程组：。 2.赋值求解方程组，确定法向量的坐标（同点到平面距离中求法向量的操作）。 步骤5：计算点到平面的距离 1.求向量（平面内点指向点的向量）。 2.代入点到平面距离公式：，所得结果即为异面直线、的距离。 三、方法二：向量积直接法（公式法，适用于坐标清晰的场景） 核心思路 利用异面直线的方向向量、及两直线上任意两点构成的连接向量，通过向量积计算公垂线段的长度。 具体步骤 步骤1：建立空间直角坐标系 同转化法步骤1，构建坐标系并标注各点坐标。 步骤2：确定三个关键向量 1.直线的方向向量（如，、在上）。 2.直线的方向向量（如，、在上）。 3.连接向量（在上，在上）。 步骤3：计算方向向量的向量积 1.若，，则向量积为： 2.计算向量积的模长。 步骤4：代入公式计算距离 直接套用异面直线距离公式： 逻辑说明：的方向与异面直线的公垂线方向平行，公式本质是求在公垂线方向上的投影长度。 四、两种方法对比与选择 方法 优势 适用场景 关键难点 转化法 思路直观，依赖已学的点到平面距离知识 几何体易构造平行平面的场景 准确构造平行于直线的平面 向量积直接法 公式直接，一步到位 坐标易求、向量积计算不复杂的场景 向量积的行列式运算 【考点四：直线到平面，平面到平面的距离】 【例题】1．（25-26高二上·全国·单元测试）空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为 . 2．（24-25高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】1．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 2．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 3．（2022高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【解题策略】 一、前置说明：适用前提 无论是直线到平面的距离，还是平面到平面的距离，均需满足平行关系： 直线到平面距离：直线与平面必须平行（线面平行）； 平面到平面距离：两个平面必须平行（面面平行）。 两者的核心解题逻辑一致——转化为点到平面的距离，再利用空间向量求解。 二、第一部分：直线到平面的距离（线面平行） 核心原理 若直线平面，则直线上任意一点到平面的距离都相等，该距离即为直线与平面的距离。 具体解题步骤 步骤1：建立空间直角坐标系 根据几何体的垂直特征（如线面垂直、面面垂直）确定原点和坐标轴，构建坐标系，标注各顶点坐标。 示例：长方体中以顶点为原点，三条棱为、、轴。 步骤2：验证线面平行（可选，若题目未明确给出） 1.求直线的方向向量（在上取两点、，）； 2.求平面的法向量（方法同“点到平面距离”中求法向量）； 3.若（方向向量与法向量垂直），且直线上一点不在平面内，则。 步骤3：选取直线上的点与平面内的点 1.在直线上任意取一点（优先选坐标易读的端点、中点），记录坐标； 2.在平面内任意取一点，记录坐标，计算向量。 步骤4：求平面的法向量 1.设，在平面内取不共线两点、，得向量、； 2.列方程组，赋值求解得法向量。 步骤5：代入点到平面距离公式计算 直线到平面的距离，即点到平面的距离： 三、第二部分：平面到平面的距离（面面平行） 核心原理 若平面平面，则平面内任意一点到平面的距离都相等，该距离即为平面与平面的距离。 具体解题步骤 步骤1：建立空间直角坐标系 同“直线到平面距离”步骤1，根据几何体特征构建坐标系并标注坐标。 步骤2：验证面面平行（可选，若题目未明确给出） 1.分别求平面的法向量和平面的法向量； 2.若（两法向量共线，即存在实数使），且两平面无公共点，则。 步骤3：选取两平面内的点 1.在平面内任意取一点（优先选易求坐标的点），记录坐标； 2.在平面内任意取一点，记录坐标，计算向量。 步骤4：求平面的法向量 同“直线到平面距离”步骤4，通过平面内的不共线向量列方程组，求解法向量。 步骤5：代入点到平面距离公式计算 平面到平面的距离，即点到平面的距离： 四、关键对比与易错点总结 1.两种距离的共性与差异 类型 核心转化目标 选取点的要求 计算公式 直线到平面 直线上一点→平面 点在直线上，不在平面内 同点到平面距离公式 平面到平面 一个平面内一点→另一个平面 点在其中一个平面内，不在另一个平面内 同点到平面距离公式 2.易错点提示 1.未验证平行关系：若直线与平面不平行、平面与平面不平行，则不存在“距离”概念，需先确认平行再计算； 2.点的选取错误：选取的点若在目标平面内，会导致距离为0，需确保点在“直线/平面”上且不在“目标平面”内； 3.法向量求解错误：法向量需垂直于平面内的两条不共线向量，赋值时避免出现零向量，否则影响模长计算。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二下·广东·期中）在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知四棱台的上、下底面均为正方形，底面，，，是底面的中心，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．点的坐标为 B． C．平面的一个法向量为 D．点到平面的距离为 8．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知三棱锥中，，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是上靠近点的四等分点，设，，，下列说法正确的是（   ） A．是平面的一个法向量 B． C．直线与直线所成角为 D．点到平面的距离为 三、填空题 9．（24-25高二下·福建宁德·期中）已知空间中的三点，，，则点到直线AB的距离为 . 10．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知正四棱柱的体积为4，侧面积为8，动点分别在线段上，则线段长度的最小值是 ． 四、解答题 11．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 12．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$