精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（日新班）

丰城九中2025-2026学年上学期日新高二入学考试试卷 2025.9.1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，解分式不等式求得集合，进而求解结论. 【详解】根据题意，原式，移项得，即， 所以，解得，即， 所以. 故选：B. 2. 已知复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的运算和几何意义计算可得结果. 【详解】， 由题意可得，得，故实数的取值范围为. 故选：C. 3. 已知，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率公式计算可得结果. 【详解】由，可得，则. 故选：C. 4. 已知四面体的顶点坐标为 、、、，则该四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用坐标法求出外接球的球心坐标，进而得到半径，再利用球的表面积公式直接求解. 【详解】设球心为 ，则满足：， 即， 解得：，所以半径， 因此该四面体外接球的表面积为. 故选：C. 5. 将个类节目和个类节目编制成节目单，则前个有类节目的不同排列方式有（ ） A. 144种 B. 432种 C. 576种 D. 720种 【答案】C 【解析】 【分析】分成前个节目有类节目分为有一个类节目和有两个类节目两种情况，先排前三个节目，再排后三个节目，两种情况相加即可求解. 【详解】前个节目有类节目分为有一个类节目和有两个类节目两种情况， 则共有：， 所以前个有类节目的不同排列方式有种. 故选：C． 6. 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示： 则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 7. 若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（ ） A. 2或3 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用计算即可. 【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A 8. 方程的所有正数解之和为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用二倍角余弦及已知可得，讨论，结合余弦型函数的性质求解，即可得. 【详解】由， 所以，则或， 当时，，， 所以，，此时不能成立； 当时，，， 所以，此时，即， 由，可得； 综上，所有正根的和为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的最大值为3 C. 函数在区间上有2个极值点 D. 函数在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据中的几何意义，结合图象，求得的解析式，再结合正弦函数的性质及导数的几何意义、直线的点斜式方程，逐项分析即可. 【详解】由图可知，，，即， 又有，因此，，即， 又有，因此，，综上，. 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，，，，故的最大值为2，B错误； 对于C，令，则，， 当时，，当时，，当时，（舍），当时，（舍）， 故函数在区间上有2个极值点，一个是，一个是，C正确； 对于D，，，斜率， 根据直线的点斜式方程，函数在点处的切线方程为，即，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】观察二项式展开式两边的次数可得，即可判断A；由赋值法，令得即可判断B；求出展开式中与的系数，结合得即可判断C；由赋值法，令求解即可判断D. 【详解】对于A，等式右边最高次数为7，故，A正确； 对于B，令，则，B正确； 对于C，的系数为 ，C错误； 对于D，令 则，D错误. 故选：AB. 11. 如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的正弦值为 B. 平面 C. 直线与是异面直线 D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用定义法作出异面直线所成的角，然后求解即可判断A，利用线面平行的判定定理即可判断B，利用平面的性质判断C，作出截面利用菱形的定义判断D. 【详解】对于A，如图所示， 取的中点，连接，因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 故或其补角即为异面直线与所成角， 设正方体的棱长为， 在中，，所以， 即异面直线与所成角的正弦值为，故A正确； 对于B，由选项A可知，，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图所示， 连接，因为，，所以，所以四点共面， 所以直线与直线共面，故C错误； 对于D，如图所示， 取的中点，连接，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，同理，所以， 所以四边形为平行四边形， 则过，，三点的平面截正方体所得的截面为四边形， 又，所以四边形为菱形，故D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件根据向量的加法的坐标运算公式，再由条件结合向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】因为，，所以， 因为，则，则， 解得. 故答案为：. 13. 已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用，即，化简即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】如图，设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，因为，所以． 故答案为： 14. 设且，记中较大的数为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用对数的运算性质得，，由题意有并应用对数运算、基本不等式求最小值. 【详解】，， ， 故，当且仅当时等号成立. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： 组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 （1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； （2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和均值． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 均值为【解析】 【分析】（1）由条件概率公式求解即可； （2）由题知，的可能取值为0，1，2，再由独立事件乘法公式求对应概率，写出分布列并计算均值. 【小问1详解】 记“任取1名学生，该学生获得一等奖”为事件， “任取1名学生，该学生来自高一”为事件， 由题意，获奖学生共有（人）， 则，，故． 【小问2详解】 由已知可得，的可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 ． 16. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，进而得到，根据角的范围即可求解； （2）由，求得，由得，由余弦定理得，即可求得的周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，可得，所以， 若，则，不合题意，故，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，可得，可得， 又因为，所以，由余弦定理， 可得，所以， 所以的周长为. 17. 如图，在直三棱柱中，,，为的中点. （1）证明:. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明； （2）利用空间向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 连接，， ∵，∴， ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 在矩形中，易知，则，即， ∵，平面，∴平面， 又∵平面，∴； 【小问2详解】 取的中点，连接，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ∵，，∴， ∵，∴为的中点， ∴，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，即 ，令，则，，故， 则直线与平面所成角的正弦值为. 18. 甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局． （1）若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率； （2）若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率； （3）判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 【答案】（1） （2） （3）第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大；说明见解析 【解析】 【分析】（1）根据规则有两种可能，一种是甲连胜两局，另一种是乙连胜两局，然后利用相互独立事件乘法原理来计算即可； （2）根据规则也是有两种可能，一种是乙先胜一局再由甲连胜两局，另一种是丙先胜一局再由甲连胜两局，然后利用相互独立事件乘法原理来计算即可； （3）根据规则也是有两种可能，一种是甲乙开局，甲连胜两局；或甲先胜第一局，再败一局，接下来乙胜一局，最后甲再胜一局；或甲第一局失败，第二局乙必须失败，第三局第四局甲必须连胜，另一种是甲丙开局，同理计算即可； 【小问1详解】 记甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件 记比赛两局结束为事件，则 所以 ． 则第一局由甲、乙对战，进行两局比赛，比赛结束的概率为． 【小问2详解】 记第一局由乙、丙对战且甲获胜为事件，则 所以 则第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率为； 【小问3详解】 由（2）可得第一局由乙丙对战，甲胜的概率为， 同理第一局由甲、乙对战，甲胜的概率为 ， 第一局由甲、丙对战，甲胜的概率为 ， 因为，所以第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大． 19. 已知椭圆过点，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求正实数的值； （3）椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3）. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而得解； （2）设椭圆上任一点为，则点到的距离，结合椭圆上点的横坐标范围与函数单调性即可得最值，从而得正实数的值； （3）将直线与椭圆联立消，设直线、的方程，结合韦达定理化简计算解出的轨迹方程，利用对称性即可求解的最小值． 【小问1详解】 由题意得椭圆过点，且短轴长为， 可得，解得， 可得椭圆的方程为； 【小问2详解】 设椭圆上任一点为，故，则， 则点到的距离为， 由于在椭圆上，所以， 令二次函数，其对称轴为， 而，当时，解得， 此时，解得或 （舍）， 当时，解得， 此时二次函数在上单调递减， 则当时，二次函数取得最小值， 此时， 解得或（舍）； 综上，或； 【小问3详解】 设点、， 直线与椭圆的方程联立消去整理得， 由， 且，所以， 由于在椭圆上，则， 所以，则， 易知、，则直线的方程为， 直线的方程为， 两式作商得 解得，故在定直线上， 由图可知，点、都在直线的上方，点关于直线的对称点为原点， 由对称性知，所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，即点的坐标为时等号成立， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025-2026学年上学期日新高二入学考试试卷 2025.9.1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 4. 已知四面体的顶点坐标为 、、、，则该四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 将个类节目和个类节目编制成节目单，则前个有类节目的不同排列方式有（ ） A. 144种 B. 432种 C. 576种 D. 720种 6. 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（ ） A. 2或3 B. 2 C. 3 D. 4 8. 方程的所有正数解之和为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的最大值为3 C. 函数在区间上有2个极值点 D. 函数在点处的切线方程为 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的正弦值为 B. 平面 C. 直线与是异面直线 D. 过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量，，若，则_________. 13. 已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______． 14. 设且，记中较大的数为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： 组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 （1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； （2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和均值． 16. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 如图，在直三棱柱中，,，为的中点. （1）证明:. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局． （1）若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率； （2）若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率； （3）判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大． 19. 已知椭圆过点，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求正实数的值； （3）椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $