专题04 充分条件与必要条件8种常见考法归类讲义（90题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题04 充分条件与必要条件8种常见考法归类（90题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 （二）判断命题的真假 考点二 充分、必要条件的判断 （一）充分条件的判断 （二）必要条件的判断 考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件 考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 （一）根据充分条件求参数的取值范围 （二）根据必要条件求参数的取值范围 考点五 充分、必要、充要条件的判断 （一）充分不必要条件的判断 （二）必要不充分条件的判断 （三）充要必要条件的判断 （四）既不充分也不必要条件的判断 考点六 探索命题为真的一个充要条件 （一）探求命题为真的一个充要不必要条件 （二）探求命题为真的一个必要不充分条件 （三）探求命题为真的一个充要条件 考点七 充要条件的应用 （一）依据充分不必要条件求参数 （二）依据必要不充分条件求参数 （三）依据充要条件求参数 考点八 充要条件的证明 知识点1：命题的定义与表示 (1)命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点3：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 知识点5：充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 策略方法 1.判断一个语句是否为命题：​ 首先，明确命题的定义：能判断真假的陈述句。这是判断的核心依据，需同时满足“陈述句”和“可判断真假”两个条件。​ 其次，对语句类型进行分析。祈使句（如“请起立”）、疑问句（如“你是高一的学生吗？”）、感叹句等非陈述句，直接判定为非命题。​ 然后，针对陈述句，进一步判断其是否能确定真假。若语句所表述的内容有明确的真假属性（如“三角形的内角和是180°”为真，“空集是任何集合的真子集”为假），则是命题；若无法判断真假（如未明确变量取值的“x＞2”），则不是命题。​ 最后，结合具体语句逐一验证，严格按照上述标准进行判定，确保不遗漏关键条件。 2.判断命题的真假解题策略：​ 首先，先确定语句是否为命题（依据“能判断真假的陈述句”标准），非命题无需讨论真假。​ 其次，对于确定为命题的语句，分情况判断：​ 事实性命题：依据公认事实（如“空集是任何集合的子集”为真，“一个数不是正数就是负数”因存在0为假）。​数学定义/定理相关命题：结合定义、定理验证（如“正方形既是矩形又是菱形”符合定义为真）。含变量的命题：若为全称量词命题，需验证所有情况；若为存在量词命题，举一例成立即可（如“∃x，x²=2”为真）。复合判断命题：通过举反例（如“若xy是有理数，则x，y都是有理数”，反例为假）或推理证明真假。​ 最后，对复杂命题可采用反证法（如假设“a，b都≤1”推导矛盾，证明“a+b>2则至少一个>1”为真），确保判断逻辑严谨。 3、符号“⇔”的含义 “⇔”表示“等价”,如“与等价”指的是“如果，那么”，同时有“如果，那么”，或者说“从推出”，同时可“从推出”. 4、对充分条件与必要条件的理解 (1)对“推出”的正确理解 对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． 5、充分条件、必要条件的判断方法 注：（1）充分条件的判断方法 ①判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． ②除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 必要条件的判断方法 ①判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． ②也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 6.探求命题成立的充分、必要条件解题策略​ 首先，明确充分条件和必要条件的定义：若p能推出q，则p是q的充分条件；若q能推出p，则p是q的必要条件。​ 其次，对于“探求q成立的充分条件p”：需找到一个p，使得p⇒q成立。可通过分析q成立的条件，选取其真子集范围内的条件（如q为x>1，p可为x>2，因x>2⇒x>1）。​ 对于“探求q成立的必要条件p”：需找到一个p，使得q⇒p成立。可从q成立的条件出发，推导其必然满足的更宽泛的条件（如q为x>2，p可为x>1，因x>2⇒x>1）。​ 最后，结合具体问题（如方程有实根、不等式成立等），先求出命题成立的充要条件，再根据充分、必要条件与充要条件的包含关系（充分条件是充要条件的子集，必要条件是充要条件的母集）筛选答案，必要时通过举反例验证逻辑关系。​ 7.充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． (3)关键点：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值． 8.对充要条件的理解 (1)p是q的充要条件还有以下相同意义的说法：①当且仅当p成立时，q成立；②要使q成立，必须且只需p成立． (2)对充要条件的词义表达要熟悉．如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反之亦成立”等． (3)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，也就是说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 9.条件关系判定的常用结论 10.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别 (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 11.探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 12.应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 13.充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 注:充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 14.p是q的充要条件的证明 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 考点一 命题的概念与真假判断 （1） 命题的概念 1．（2025高一·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 2．（2025高一·上海月考）判断下列语句是否为命题： (1)有的正方形是三角形； (2)任意一个三角形的内角和都为； (3)1是自然数吗？ (4)； (5)，且. 3．（25-26高一·全国月考）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 4．（2025高一·上海·单元测试）下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ）． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 5．（2025高一·上海·随堂练习）判断下列语句是否为命题，并在相应的括号内填入“是”或“否”. （1）正方形是四边形.( ) （2）任意一个三角形的内角和都是.( ) （3）1是自然数吗？( ) （二）判断命题的真假 6．（25-26高一·湖南长沙月考）给出以下四个命题：①一组对边平行的四边形是梯形；②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26高一·全国·课前预习）定义：已知集合满足，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．则下列说法：①若，则对于加法“+”封闭；②若，则对于减法“”封闭；③若，则对于乘法“”封闭中正确的个数是 ． 8．（2025高一·广东汕尾·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．【多选】（2025高一·山西晋城·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．， B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．若n为整数，则是偶数 D．若，则 10．（2025高一·广东·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．集合与集合是相同的集合 C．任意一个三角形，它的内角和大于或等于 D．所有的素数都是奇数 考点二 充分、必要条件的判断 （1） 充分条件的判断 11．（25-26高一·全国月考）下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 12．【多选】（2025高一·山西大同月考）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 13．（2025高一·全国月考）是一元二次方程存在实数根的 （充分/必要）条件． 14．【多选】（2025高一·全国月考）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是（    ） A．若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半 B．若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，则这两个图形关于这点中心对称 C．若圆内一条直径平分另一条直径，则这两条直径互相垂直 D．若平面内有不在同一条直线上的三个点，则这三个点确定一个圆 15．（2025高一·全国月考）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． （2） 必要条件的判断 16．（2025高一·全国月考）指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 17．（2025高一·全国月考）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 18．（2025高一·江苏月考）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc． 19．（2025高一·江苏月考）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 20．（2025高一·贵州六盘水·期中）一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件 21．【多选】（2025高一·河北衡水·期中）的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 22．（2025高一·重庆渝北月考）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．【多选】（2025高一·广东中山月考）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 24．（2025高一·福建泉州月考）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 25．（2025高一·江苏·假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 （1） 根据充分条件求参数的取值范围 26．（2025高一·上海月考）设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 27．（2025高一·四川绵阳月考）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 28．（2025高一·全国月考）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 29．（2025高一·福建福州月考）已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 30．（2025高一·江苏无锡月考）设集合． (1)求集合M，并写出集合的所有真子集； (2)若是的充分条件．求实数a的取值范围． （二）根据必要条件求参数的取值范围 31．【多选】（2025高一·安徽蚌埠月考）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 32．（2025高一·河北石家庄月考）设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 33．（2025高一·山西晋城·期中）已知集合. (1)当时，求①，②； (2)若集合为非空集合，且“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 34．（2025高一·江西抚州月考）在①；②“”是“”的必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 问题：已知集合， (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围. 35．（2025高一·上海浦东新月考）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 考点五 充分、必要、充要条件的判断 （1） 充分不必要条件的判断 36．（25-26高一·云南玉溪月考）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 37．（25-26高一·全国·期中）设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．（25-26高一·全国·课前预习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的序号有 ． ①若均为非零实数，则是有理数； ②若四边形的对角线互相垂直，则四边形是菱形； ③若是等边三角形，则是锐角三角形； ④若，则． 39．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 40．（25-26高一·江苏月考）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （二）必要不充分条件的判断 41．（2025高三·全国月考）已知命题：两个三角形对应两边成比例，：两个三角形相似，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（25-26高一·广西月考）“”是“互为邻补角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 43．（25-26高三·广东深圳月考）某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 44．（2025高三·福建泉州月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 45．（2025高一·四川广安·期中）设，，则是的（　  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （三）充要必要条件的判断 46．（2025高三·全国月考）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 47．（2025高三·上海月考）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 48．（2025高三·甘肃武威月考）“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 49．（2025高一·湖南娄底月考）设是两个集合，则“且”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 50．（2025高一·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （四）既不充分也不必要条件的判断 51．（2025高一·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 52．（2025·辽宁模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 53．（2025·重庆模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 54．（2025高一·安徽·期中）设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 55．（2025高一·安徽·期中）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点六 探求命题为真的一个充要条件 （1） 探求命题为真的一个充要不必要条件 56．（2025高一·全国月考）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 57．（25-26高三·安徽月考）“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 58．（2025高一·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 59．（2025·河南模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 60．（2025高一·广东惠州月考）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． （2） 探求命题为真的一个必要不充分条件 61．（2025高二·福建福州月考）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 62．（2025高一·福建厦门月考）已知，，则p的一个必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 63．（2025高一·内蒙古鄂尔多斯月考）的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 64．（2025·天津和平模拟预测）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 65．（2025高一·江西新余·期中）若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． （三）探求命题为真的一个充要条件 66．（2025高一·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 67．（2025高一·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 68．（2025高一·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 69．（2025高一·广东广州月考）“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 70．（2025高一·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 考点七 充要条件的应用 （1） 依据充分不必要条件求参数 71．（2025高二·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 72．（2025·吉林延边模拟预测）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 73．（2025高一·山东泰安月考）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 74．（2025高一·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 75．（2025高一·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2） 依据必要不充分条件求参数 76．（2025高一·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 77．（25-26高一·全国月考）命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 78．（2025高二·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 79．（2025高一·广东佛山月考）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 80．（2025高一·湖北黄石月考）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. （3） 依据充要条件求参数 81．（2025高一·全国月考）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 82．（2025高一·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 83．（2025高一·广东东莞月考）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 84．（2025高一·全国月考）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 85．（2025高一·湖南郴州月考）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 考点八 充要条件的证明 86．（2025高一·广东深圳月考）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 87．（2025高二·福建福州月考）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 88．（2025高一·全国月考）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 89．（2025高一·全国月考）求方程至少有一个负根的充要条件. 90．（2025高一·安徽六安月考）求证：四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分. $$2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题04 充分条件与必要条件8种常见考法归类（90题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 （二）判断命题的真假 考点二 充分、必要条件的判断 （一）充分条件的判断 （二）必要条件的判断 考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件 考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 （一）根据充分条件求参数的取值范围 （二）根据必要条件求参数的取值范围 考点五 充分、必要、充要条件的判断 （一）充分不必要条件的判断 （二）必要不充分条件的判断 （三）充要必要条件的判断 （四）既不充分也不必要条件的判断 考点六 探索命题为真的一个充要条件 （一）探求命题为真的一个充要不必要条件 （二）探求命题为真的一个必要不充分条件 （三）探求命题为真的一个充要条件 考点七 充要条件的应用 （一）依据充分不必要条件求参数 （二）依据必要不充分条件求参数 （三）依据充要条件求参数 考点八 充要条件的证明 知识点1：命题的定义与表示 (1)命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点3：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 知识点5：充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 策略方法 1.判断一个语句是否为命题：​ 首先，明确命题的定义：能判断真假的陈述句。这是判断的核心依据，需同时满足“陈述句”和“可判断真假”两个条件。​ 其次，对语句类型进行分析。祈使句（如“请起立”）、疑问句（如“你是高一的学生吗？”）、感叹句等非陈述句，直接判定为非命题。​ 然后，针对陈述句，进一步判断其是否能确定真假。若语句所表述的内容有明确的真假属性（如“三角形的内角和是180°”为真，“空集是任何集合的真子集”为假），则是命题；若无法判断真假（如未明确变量取值的“x＞2”），则不是命题。​ 最后，结合具体语句逐一验证，严格按照上述标准进行判定，确保不遗漏关键条件。 2.判断命题的真假解题策略：​ 首先，先确定语句是否为命题（依据“能判断真假的陈述句”标准），非命题无需讨论真假。​ 其次，对于确定为命题的语句，分情况判断：​ 事实性命题：依据公认事实（如“空集是任何集合的子集”为真，“一个数不是正数就是负数”因存在0为假）。​数学定义/定理相关命题：结合定义、定理验证（如“正方形既是矩形又是菱形”符合定义为真）。含变量的命题：若为全称量词命题，需验证所有情况；若为存在量词命题，举一例成立即可（如“∃x，x²=2”为真）。复合判断命题：通过举反例（如“若xy是有理数，则x，y都是有理数”，反例为假）或推理证明真假。​ 最后，对复杂命题可采用反证法（如假设“a，b都≤1”推导矛盾，证明“a+b>2则至少一个>1”为真），确保判断逻辑严谨。 3、符号“⇔”的含义 “⇔”表示“等价”,如“与等价”指的是“如果，那么”，同时有“如果，那么”，或者说“从推出”，同时可“从推出”. 4、对充分条件与必要条件的理解 (1)对“推出”的正确理解 对于命题p：∠A＝30°，q：sin A＝.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． 5、充分条件、必要条件的判断方法 注：（1）充分条件的判断方法 ①判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． ②除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 必要条件的判断方法 ①判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． ②也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 6.探求命题成立的充分、必要条件解题策略​ 首先，明确充分条件和必要条件的定义：若p能推出q，则p是q的充分条件；若q能推出p，则p是q的必要条件。​ 其次，对于“探求q成立的充分条件p”：需找到一个p，使得p⇒q成立。可通过分析q成立的条件，选取其真子集范围内的条件（如q为x>1，p可为x>2，因x>2⇒x>1）。​ 对于“探求q成立的必要条件p”：需找到一个p，使得q⇒p成立。可从q成立的条件出发，推导其必然满足的更宽泛的条件（如q为x>2，p可为x>1，因x>2⇒x>1）。​ 最后，结合具体问题（如方程有实根、不等式成立等），先求出命题成立的充要条件，再根据充分、必要条件与充要条件的包含关系（充分条件是充要条件的子集，必要条件是充要条件的母集）筛选答案，必要时通过举反例验证逻辑关系。​ 7.充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． (3)关键点：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值． 8.对充要条件的理解 (1)p是q的充要条件还有以下相同意义的说法：①当且仅当p成立时，q成立；②要使q成立，必须且只需p成立． (2)对充要条件的词义表达要熟悉．如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“反之亦成立”等． (3)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，也就是说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 9.条件关系判定的常用结论 10.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别 (1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． (2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 11.探求充要条件一般有两种方法 (1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明． (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证． 12.应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 13.充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 注:充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 14.p是q的充要条件的证明 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 考点一 命题的概念与真假判断 （1） 命题的概念 1．（2025高一·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【答案】B 【分析】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果. 【解析】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 2．（2025高一·上海月考）判断下列语句是否为命题： (1)有的正方形是三角形； (2)任意一个三角形的内角和都为； (3)1是自然数吗？ (4)； (5)，且. 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)是 (5)是 【分析】利用命题的定义即可得解. 【解析】（1）因为可判断真假的陈述句为命题， 而“有的正方形是三角形”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （2）“任意一个三角形的内角和都为”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （3）“1是自然数吗？”是疑问句，故不为命题. （4）“”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （5）“，且”可判断真假，也为陈述句，故为命题. 3．（25-26高一·全国月考）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】由命题的定义判断各个选项即可. 【解析】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 故选:D． 4．（2025高一·上海·单元测试）下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ）． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】A 【分析】根据实数的分类可判断①为真命题，根据空集的性质可判断②为真命题，根据实数的运算可判断③为真命题，通过举例可得④为真命题. 【解析】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确； 因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确； 因为，故③正确； 取，则是整数，故④正确. 故选：A. 5．（2025高一·上海·随堂练习）判断下列语句是否为命题，并在相应的括号内填入“是”或“否”. （1）正方形是四边形.( ) （2）任意一个三角形的内角和都是.( ) （3）1是自然数吗？( ) 【答案】 是 是 否 【分析】根据命题的定义判断语句是否为命题. 【解析】（1）"正方形是四边形"是陈述句且可判断真假，即为命题； （2）任意一个三角形的内角和都是是陈述句且可判断真假，即为命题； （3）1是自然数吗？不是陈述句，不为命题. 故答案为：是，是，否 （二）判断命题的真假 6．（25-26高一·湖南长沙月考）给出以下四个命题：①一组对边平行的四边形是梯形；②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据梯形的概念、菱形、正方形及平行四边形的判定，逐个判断，即可得出结论． 【解析】对于①，一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，故①错误； 对于②，由于平行四边形中两组对角相等，一条对角线平分一个内角，则也要平分另一个角，再根据等角对等边，得到平行四边形的一组邻边相等，故有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故②正确； 对于③，由于矩形的两条对角线相等且平分，对角线互相垂直，则两条对角线的一半与边成等腰直角三角形，故是正方形，故③正确； 对于④，等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但不是平行四边形，故④错误. 综上，真命题有2个. 故选：B. 7．（25-26高一·全国·课前预习）定义：已知集合满足，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．则下列说法：①若，则对于加法“+”封闭；②若，则对于减法“”封闭；③若，则对于乘法“”封闭中正确的个数是 ． 【答案】3 【分析】根据运算新定义，结合加减乘运算的性质判断各项的正误. 【解析】任意两个自然数相加必是自然数，所以对于加法“+”封闭，①正确； 任意两个实数相减必是实数，所以对于减法“”封闭，②正确； 任意两个有理数相乘必是有理数，所以对于乘法“”封闭，③正确， 则说法正确的个数有3个. 故答案为：3 8．（2025高一·广东汕尾·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】由倒数定义易判断A正确；通过举反例即可逐一排除B，C，D项. 【解析】对于A，由可知均不为0，故，即A正确； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C， 由，若取，则没有意义，故C错误； 对于D，由，若取，则，故D错误. 故选：A. 9．【多选】（2025高一·山西晋城·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．， B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．若n为整数，则是偶数 D．若，则 【答案】AC 【分析】举例判断A，根据菱形定义判断B，根据整数性质判断C，因式分解判断D. 【解析】对于A，当时，，所以，为真命题. 对于B，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，为假命题. 对于C，，相邻两个整数必有一个奇数，一个偶数，乘积为偶数，为真命题. 对于D，若，则，所以或，假命题. 故选：AC 10．（2025高一·广东·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．集合与集合是相同的集合 C．任意一个三角形，它的内角和大于或等于 D．所有的素数都是奇数 【答案】C 【分析】举反例可说明选项A错误；化简两集合可得选项B错误；根据“或”命题真假的判断可知选项C正确；2是素数但不是奇数可得选项D错误. 【解析】A.当时，，选项A错误. B.，，，选项B错误. C.任意一个三角形，它的内角和等于，选项C正确. D.是素数，但不是奇数，选项D错误. 故选：C. 考点二 充分、必要条件的判断 （1） 充分条件的判断 11．（25-26高一·全国月考）下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】C 【分析】根据菱形、矩形、平行四边形的性质特征，结合充分条件的定义及正方形的性质判断命题间的关系. 【解析】根据正方形的判定及菱形、矩形、平行四边形的性质，知A，B，D中描述的四边形均为正方形，是“四边形是正方形”的充分条件， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C不是“四边形是正方形”的充分条件. 故选：C 12．【多选】（2025高一·山西大同月考）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 【答案】ABD 【分析】根据充分条件的概念逐项判断即可. 【解析】在中，由大角对大边知，，所以是的充分条件，故A正确； 由，故是的充分条件，故B正确； 由，所以不是的充分条件，故C错误. ，故是的充分条件，故D正确. 故选：ABD 13．（2025高一·全国月考）是一元二次方程存在实数根的 （充分/必要）条件． 【答案】充分 【分析】结合一元二次方程存在实数根的条件，再根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【解析】若一元二次方程存在实数根，则， 即，解得或， 所以若，则一元二次方程一定存在实数根，若一元二次方程存在实数根，则不一定等于2； 所以，“”是“一元二次方程存在实数根”的充分条件． 故答案为：充分 14．【多选】（2025高一·全国月考）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是（    ） A．若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半 B．若两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，则这两个图形关于这点中心对称 C．若圆内一条直径平分另一条直径，则这两条直径互相垂直 D．若平面内有不在同一条直线上的三个点，则这三个点确定一个圆 【答案】AD 【分析】根据图形的性质，结合充分条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，若一个三角形为直角三角形，则这个三角形的外接圆半径为斜边的一半， 即，所以是的充分条件，所以A正确； 对于B中，根据中心对称的性质可得，线段被该点总是平分时， 这两个图形才关于这点中心对称，即，所以B错误； 对于 C中，若圆内一条直径平分另一条直径，此时这两条直径不一定互相垂直， 即，所以C错误； 对于D中，根据圆的作法可得，若平面内有不在同一条直线上的三个点， 则这三个点确定一个圆，即，D正确． 故选：AD. 15．（2025高一·全国月考）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分条件； (2)p是q的充分条件； (3)p不是q的充分条件． 【分析】（1）（2）（3）利用充分条件的定义，逐一判断各个命题. 【解析】（1）在中，，所以p是q的充分条件． （2）由于，所以p是q的充分条件． （3）方法一  由，所以p不是q的充分条件． 方法二  设集合，，则真包含于，所以p不是q的充分条件． （2） 必要条件的判断 16．（2025高一·全国月考）指出下列哪些命题中p是q的必要条件． （1）在中，p：，q：； （2）已知x，，p：，q：． 【答案】（1）（2）命题中p是q的必要条件． 【分析】（1）（2）根据必要条件的定义分析判断即可. 【解析】（1）在中，由大角对大边知，， 所以p是q的必要条件． （2）由，故p是q的必要条件． 故（1）（2）命题中p是q的必要条件． 17．（2025高一·全国月考）下列所给的各组p，q中，q是否是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：，q：； (3)p：，q：. 【答案】(1)q是p的必要条件 (2)q是p的必要条件 (3)q不是p的必要条件 【分析】根据必要条件的定义判断即可. 【解析】（1）因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． （2）由，可得， 所以，所以q是p的必要条件． （3）当时，推不出， 故，所以q不是p的必要条件. 18．（2025高一·江苏月考）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 (4)不是 【分析】根据必要条件的概念可对各个小问进行分析、运算即可判断即可. 【解析】（1）∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，即q⇒p． ∴p是q的必要条件． （2）四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，如，等腰梯形，即qp． ∴p不是q的必要条件． （3）∵A∩B＝A⇒A⊆B，即q⇒p， ∴p是q的必要条件． （4）∵c的正负不确定，∴不能由ac＞bc推出a>b，即qp， ∴p不是q的必要条件． 19．（2025高一·江苏月考）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 【分析】根据必要条件得定义即可判断（1）（2）（3）． 【解析】（1）由，则成立，所以p是q的必要条件． （2）由，则不成立，所以p不是q的必要条件． （3）由是无理数是无理数，则成立，所以p是q的必要条件． 20．（2025高一·贵州六盘水·期中）一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 【答案】且 【分析】根据题意，由一次函数的意义，即可得到结果. 【解析】由一次函数可知，，图像过一，三象限，过二，四象限， 且，一次函数图像交于轴正半轴，，一次函数图像交于轴负半轴，，一次函数图像过原点，所以一次函数的图像不过第一象限的充分条件是，取且即可. 故答案为：且 考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件 21．【多选】（2025高一·河北衡水·期中）的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】逐个分析或者举出反例即可. 【解析】对于A：当时，满足，此时， 所以不是的充分条件； 对于B：，则，所以， 所以是的充分条件； 对于C：当时，满足，此时， 所以不是的充分条件； 对于D：，则，所以，即， 所以是的充分条件， 故选：BD 22．（2025高一·重庆渝北月考）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解. 【解析】由题意可得， 所以且，解得， 故选：C 23．【多选】（2025高一·广东中山月考）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【解析】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 24．（2025高一·福建泉州月考）使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断． 【解析】， 因此只有B是其必要条件． 故选：B． 25．（2025高一·江苏·假期作业）可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件． 【解析】因为关于的一元二次方程有实数解， 所以， 解得，而可以推出， 所以可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件， 故选：A． 考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 （1） 根据充分条件求参数的取值范围 26．（2025高一·上海月考）设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件转化为，即可根据集合间的关系求解. 【解析】设. 因为是的充分条件，所以， 所以. 故答案为：. 27．（2025高一·四川绵阳月考）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【解析】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 28．（2025高一·全国月考）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【解析】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 29．（2025高一·福建福州月考）已知全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的并集和补集运算法则运算即可； （2）由题可知此时，再分和讨论即可. 【解析】（1），故，， 或. （2）若“”是“”的充分条件，则， 当时，， 当时，，解得， 综上，. 30．（2025高一·江苏无锡月考）设集合． (1)求集合M，并写出集合的所有真子集； (2)若是的充分条件．求实数a的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用交集的定义求解，再写出所有真子集. （2）根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解. 【解析】（1）由，得， 则，所以的所有真子集为. （2）由是的充分条件，得， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以实数a的取值范围是. （二）根据必要条件求参数的取值范围 31．【多选】（2025高一·安徽蚌埠月考）已知命题，要使为的必要条件，则的取值可以为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】根据为的必要条件，求出，判断各选项即可. 【解析】由为的必要条件，可得， . 故选：AB. 32．（2025高一·河北石家庄月考）设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【解析】因为p是q的必要条件， 所以， 所以， 则实数m的取值范围是， 故答案为： 33．（2025高一·山西晋城·期中）已知集合. (1)当时，求①，②； (2)若集合为非空集合，且“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)①；②{或}； (2). 【分析】（1）利用交集、补集、并集的概念运算即可； （2）根据必要条件的概念转化集合间的基本关系，计算参数即可. 【解析】（1）当时，， ， 而{或}，则{或}； （2）由“”是“”的必要条件，知， ，解得. 实数的取值范围. 34．（2025高一·江西抚州月考）在①；②“”是“”的必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答. 问题：已知集合， (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）把代入，利用补集、交集的定义求解即得. （2）选①②③，可得，再利用集合的包含关系求出的范围. 【解析】（1）当时，，由，得或， 所以或. （2）选①，，则， 当，即时，，满足，因此； 当时，，解得，于是， 所以实数的取值范围是. 选②，“”是“”的必要条件，则， 当，即时，，满足，因此； 当时，，解得，于是， 所以实数的取值范围是. 选③，，得， 当，即时，，满足，因此； 当时，，解得，于是， 所以实数的取值范围是. 35．（2025高一·上海浦东新月考）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且，代入方程解得参数值，验证后得出结论. （2）找到集合的关系，得到集合的可能情况，代入验证即可得出结论. 【解析】（1）化简得，所以或， 所以， 因为，所以且， 所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意； 故. （2）若是的必要条件，则且， 所以或或或或或， ①由（1）可知，当时，； ②当时，，解得或， 显然不成立； 当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去； 综上所述： 考点五 充分、必要、充要条件的判断 （1） 充分不必要条件的判断 36．（25-26高一·云南玉溪月考）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分、必要性定义，结合条件间的推出关系，即可得. 【解析】当，则，充分性成立， 当，则，可得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 37．（25-26高一·全国·期中）设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解析】a，，由，得，，则，因此充分性成立； 由，得，又，则，因此必要性不成立 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 38．（25-26高一·全国·课前预习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分不必要条件的序号有 ． ①若均为非零实数，则是有理数； ②若四边形的对角线互相垂直，则四边形是菱形； ③若是等边三角形，则是锐角三角形； ④若，则． 【答案】③④ 【分析】利用充分条件的定义或者反例逐一验证即可. 【解析】①：当时，是无理数，因此不是的充分条件； ②：当四边形对角线互相垂直但不互相平分时，四边形不是菱形，因此不是的充分条件； ③：等边三角形一定是锐角三角形，充分性成立；但锐角三角形不一定是等边三角形，必要性不成立．因此是的充分不必要条件； ④：当时，可知，充分性成立；当时，也可能均小于0，必要性不成立，因此是的充分不必要条件． 故答案为：③④ 39．（25-26高一·全国·课前预习）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及集合的包含关系即可求解. 【解析】当时，，满足，充分性成立； 当时，或，必要性不成立，即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 40．（25-26高一·江苏月考）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知定义依次判断充分性和必要性即可. 【解析】由得：，又，，充分性成立； 当时，若，，则，必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. （二）必要不充分条件的判断 41．（2025高三·全国月考）已知命题：两个三角形对应两边成比例，：两个三角形相似，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由相似三角形的性质和判定，结合充分性、必要性的判断，得到答案. 【解析】由相似三角形的性质定理可知，若两个三角形相似，则两个三角形对应两边成比例，必要性成立； 由相似三角形的判定定理可知，若两个三角形对应两边成比例且夹角相等， 或两个三角形对应三边成比例，则两个三角形相似，充分性不成立； 故是的必要不充分条件． 故选：B. 42．（25-26高一·广西月考）“”是“互为邻补角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【解析】由，推不出互为邻补角； 由互为邻补角，得， 则“”是“互为邻补角”的必要不充分条件. 故选：B. 43．（25-26高三·广东深圳月考）某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据评选规则，由充分条件、必要条件的概念判断即可. 【解析】根据评选规则：若同学甲是市级三好学生，则同学甲必须是校级三好学生， 但是同学甲是校级三好学生不一定能评上市级三好学生， 所以“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的必要不充分条件. 故选：B 44．（2025高三·福建泉州月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的概念进行判断. 【解析】由，得或， 由，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 45．（2025高一·四川广安·期中）设，，则是的（　  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式可化简命题，然后可得答案. 【解析】，当时，可得，但当， 不一定能得到，则是的必要不充分条件. 故选：B （三）充要必要条件的判断 46．（2025高三·全国月考）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意即可得到答案. 【解析】由题意，“其身正，不令而行”，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；“其身不正，虽令不从”，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件．综上可知，“身正”是“令行”的充要条件. 故选：C． 47．（2025高三·上海月考）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【解析】由，可得，所以“”是“”的充分条件， 由，可得，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 48．（2025高三·甘肃武威月考）“一元二次方程有实数根”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的判断结合一元二次方程的根的情况可判断. 【解析】若一元二次方程有实数根，则； 当时，为一元二次方程，且时，有两个实数根. 故选：C. 49．（2025高一·湖南娄底月考）设是两个集合，则“且”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即得. 【解析】因“且”“” “”， 故“且”是“”的充要条件. 故选：A 50．（2025高一·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【解析】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. （四）既不充分也不必要条件的判断 51．（2025高一·广东湛江·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义结合举反例说明. 【解析】当，，时，满足，此时，即不能推出； 当，，时，满足，此时，即不能推出. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 52．（2025·辽宁模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举反例和可得出. 【解析】若，则满足，但不满足，故无法得到； 若，则满足，但不满足，故无法得到， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 53．（2025·重庆模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，则A是D的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可. 【解析】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件， 则， 则A是D的既不充分也不必要条件. 故选：D. 54．（2025高一·安徽·期中）设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】以为条件，判断方程是否有两个负实根；以方程有两个负实根为条件，判断是否成立，即可得出正确答案. 【解析】方程的判别式，当时，的符号可正可负，即由推不出方程有两个负实根． 反之，若方程有两个负实根，则，且，因此．由不能推出． 所以“”是“方程有两个负实根”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 55．（2025高一·安徽·期中）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据“”与“”互相推出的情况判断属于何种条件. 【解析】当时，取，，但， 所以不能推出； 当时，取，，但， 所以不能推出， 所以是的既不充分也不必要条件， 故选：D. 考点六 探求命题为真的一个充要条件 （1） 探求命题为真的一个充要不必要条件 56．（2025高一·全国月考）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【解析】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 57．（25-26高三·安徽月考）“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【解析】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意． 故选：C 58．（2025高一·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的判定可得 【解析】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C 59．（2025·河南模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案. 【解析】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 60．（2025高一·广东惠州月考）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式化简p，再根据充分不必要条件的定义即可得解. 【解析】由，得， 所以是成立的一个充分不必要条件. 故选：B. （2） 探求命题为真的一个必要不充分条件 61．（2025高二·福建福州月考）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次方程判别式以及两根的符号，结合韦达定理列不等式求出a的取值范围,再根据充分、必要条件的定义可得答案 【解析】设两个不等负实数根分别为， 则需满足， 解得，即， 所以是方程有两个不相等负根的充要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件， 故选：B. 62．（2025高一·福建厦门月考）已知，，则p的一个必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程有解的条件及其必要不充分条件的定义即可求解. 【解析】，，则，解得， 选项,,则是的充要条件， 选项B,,则是的充分不必要条件， 选项C,，则是的必要不充分条件， 选项D,,则是的充分不必要条件. 故选：C 63．（2025高一·内蒙古鄂尔多斯月考）的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据必要不充分条件的定义转化为对应集合的关系进行求解即可． 【解析】的一个必要不充分条件对应集合设为,则， 则满足条件， 故选：C． 64．（2025·天津和平模拟预测）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则，由此判断即可得到本题的答案． 【解析】不等式等价于， 使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集， 由此对照各项，可知只有A项符合题意． 故选：A． 65．（2025高一·江西新余·期中）若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的一个必要不充分条件是指由能推出的条件，但反之不能推出. 【解析】设的一个必要不充分条件为，则且， 故只有B选项成立. 故选：B （三）探求命题为真的一个充要条件 66．（2025高一·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【解析】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 67．（2025高一·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【解析】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 68．（2025高一·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【解析】由题知，，解得. 故选：A 69．（2025高一·广东广州月考）“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判别式即可求解. 【解析】若有两个不相等的实数根，则， 故方程至多有一个实数解时，， 故“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是：， 故选：A 70．（2025高一·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解析】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 考点七 充要条件的应用 （1） 依据充分不必要条件求参数 71．（2025高二·湖北武汉·期末）已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分不必要条件可得集合的包含关系，即可得到答案. 【解析】根据题意，或， 是的充分不必要条件， 所以且， 则. 故选：D 72．（2025·吉林延边模拟预测）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围. 【解析】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 73．（2025高一·山东泰安月考）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【解析】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 74．（2025高一·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【解析】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D 75．（2025高一·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【解析】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于， 可得. 故选：D （2） 依据必要不充分条件求参数 76．（2025高一·广东江门·期中）若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个命题的关系，得到两集合的包含关系，列不等式求解即可. 【解析】依题意知：，， 因为是的必要不充分条件， 所以⫋，所以，解得. 故选：C 77．（25-26高一·全国月考）命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合必要不充分条件的定义求出，即得的取值可能是1. 【解析】由是的必要不充分条件，得， 则由命题“是的必要不充分条件”是假命题，得， 所以的取值可能是1． 故选：A. 78．（2025高二·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由逻辑用语可得集合的包含关系，再分情况建立方程，根据集合元素的特征验根，可得答案. 【解析】由题意可得，令，解得，则，不符合题意； 令，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，. 综上可得：. 故选：D. 79．（2025高一·广东佛山月考）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【解析】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 80．（2025高一·湖北黄石月考）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分别求出，，再根据集合的交集运算即可； （2）由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可． 【解析】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． （3） 依据充要条件求参数 81．（2025高一·全国月考）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【解析】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 82．（2025高一·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【解析】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 83．（2025高一·广东东莞月考）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【解析】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 84．（2025高一·全国月考）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【解析】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 85．（2025高一·湖南郴州月考）设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. 【解析】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 考点八 充要条件的证明 86．（2025高一·广东深圳月考）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【分析】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【解析】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 87．（2025高二·福建福州月考）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】由题意得，代入方程，因式分解可得方程有一个根为1，可证充分性；把代入方程，可得，可证必要性. 【解析】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 88．（2025高一·全国月考）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】先证明充分性，再证明必要性即可． 【解析】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 89．（2025高一·全国月考）求方程至少有一个负根的充要条件. 【答案】且 【分析】利用充要条件的定义以及根与系数的关系即可求解. 【解析】必要性：设，为方程的两根. ∵，∴， ∴方程至少有一个负根应满足： 当正负根各有一个时，则，即，解得. 当有两个负根时，则 解得， 充分性：当且， 当时，，此时两根均为负； 当时，，此时方程正负根各有一个, 综上所述，方程至少有一个负根的充要条件是且. 90．（2025高一·安徽六安月考）求证：四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分. 【答案】证明见解析 【分析】证充分性：：由对角线与互相平分得是平行四边形；证必要性：由四边形是平行四边形得由对角线与互相平分. 【解析】设对角线与的交点为.充分性：由对角线与互相平分得，又，所以，所以，，，所以四边形是平行四边形；必要性：由四边形是平行四边形得，，，所以所以，四边形的对角线与互相平分； 所以四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分. $$