精品解析：浙江省名校协作体2025-2026学年高三上学期开学联考数学试卷

2025学年第一学期浙江省名校协作体试题 高三年级数学学科 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：D. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数运算法则求出，再根据复数模的公式求解即可. 【详解】由，则， 所以. 故选：B. 3. 已知11位同学的身高（单位：cm）分别是167，172，172，175，178，178，182，185，186，188，190，则这组数据的第80百分位数是（ ） A. 185 B. 185.5 C. 186 D. 186.5 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】因为，所以第80百分位数是从小到大第9个，所以为186. 故选：C. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】按第一个括号内的数分类，再利用二项式定理的通项公式求解. 【详解】的展开式通项为， 当第一个括号取1，第二个括号取含项时，展开式中的系数为； 当第一个括号取，第二个括号取含项时，展开式中的系数为， 故展开式中的系数为. 故选：A 5. 已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标表示和向量模的公式以及投影向量的公式进行求解即可. 【详解】因向量，所以. 所以向量在向量上的投影向量为： . 所以，解得. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系和和角的余弦公式得到方程组，联立求出，，再由差角的余弦公式得到答案. 【详解】因为，则（1）， 由，可得，所以（2）， 将（1）代入上式，，即， 代入（2），可得， 故. 故选：B 7. 已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（ ）项. A. 2026 B. 2027 C. 4048 D. 4049 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得，，，等差数列为递增数列，进而得到，，进而结合单调性分析求解即可. 【详解】由， 则，，， 因此等差数列为递增数列， 而， ， 则时，，，即； 当时，，要使最小，则， 此时，数列为递增数列， 则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大， 因此，当时，最小. 故选：A. 8. 已知函数，则区间（ ）上一定存在极值点. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意可设，，进而结合极值点的定义分和两种情况讨论求解即可. 详解】由，，则， 要使存在极值点，则一定有两个变号零点， 可设，，则 当时，函数开口向上，且， 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在极值点. 同理，当时，函数开口向下，且， 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，而取值不确定， 所以在上不一定存在极值点. 综上所述，函数在一定存在极值点. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 在上存在个零点 D. 点是图像的一个对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据求正弦函数的最小正周期；根据三角函数的单调性及周期性判断单调性、零点问题. 【详解】函数的最小正周期，故A选项正确. 函数单调递增时，，. 解得，取时，即是的单调增区间， 而，故在区间上单调递增.故B选项正确. 函数的零点，. 解得，只有当或时，即或时，在区间内， 所以在上存在个零点.故C选项错误. 图像的对称中心，即函数的零点.， 所以点是图像一个对称中心.故D选项正确. 故选：ABD 10. 已知双曲线分别为其左、右焦点，为坐标原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于4个不同点，从左到右依次为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据双曲线方程得到渐近线方程为，，设都在轴上方，对于A，结合图象分析即可求解判断；对于B，设直线的方程为，联立方程组求得，，，计算可得中点即为中点，进而求解判断即可；对于C，结合图形关系求解判断即可；对于D，由可得，进而列方程求得，进而结合弦长公式求解判断即可. 【详解】由双曲线，则， 则双曲线的渐近线方程为，且， 如图，不妨设都在轴上方. 对于A，由图可知，当直线趋近于轴时，此时最小， 但此时直线与两条渐近线交于原点，不满足题意，则，故A正确； 对于B，设直线的方程为， 联立，得， 则， 且， 则， 则，，即中点为， 联立，解得，，即， 联立，解得，，即， 则中点为，即为， 所以中点即为中点，设为，则， 所以，故B正确； 对于C，因为渐近线方程为，则， 由于，，所以，， 则，故C错误； 对于D，由B知，为中点， 若，则，则， 即，解得（负值舍去），则， 则，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，现有两种碎片各若干个，且两种碎片均由等大小的正三角形按图示拼凑而成.若一个大正三角形恰好分割成个碎片和个碎片，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列求和公式求出大三角形中可能拆成的小三角形总个数，并分析得到，对四个选项一一分析，并作出示意图，即可得到答案. 【详解】根据题意作图： 由图观察可知，一个大正三角形可以拆成：个小正三角形， 要想一个大正三角形恰好分割成个碎片和个碎片，显然需满足. 观察得到碎片中有2个小正三角形，碎片中有3个小正三角形， 若一个大正三角形恰好分割成个碎片和个碎片，则共有个小正三角形. 当时，，则只能是，故为. 每一排的小三角形个数均为奇数，由正三角形的对称性可知： 每增加一排则至少增加1个碎片， ∴， 对于A选项，时，，即，满足条件，A选项正确； 如图 对于B选项，时，，不是完全平方数，B选项排除； 对于C选项，时，，，如图满足条件，C选项正确； 对于D选项，时，，，不满足条件，D选项错误； 故选：AC. 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 抛物线的焦点坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程求出焦参数，然后写出焦点坐标． 【详解】抛物线中，∴焦点坐标为． 故答案为：. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查焦点坐标，属于基础题． 13. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该正四棱台外接球的表面积为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱台和正四棱锥的几何图形性质，确定外接球的球心位置，利用勾股定理可求解外接球的半径，即可计算外接球的表面积. 【详解】如图，将正四棱台补形为正四棱锥， 因为四棱台的上下底面边长分别为2、4， 所以分别为的中点， 所以， 作正四棱锥的高，垂足为，则为正方形的中心， 连接交于点，连接交于点， 则， 设该正四棱台外接球的球心为，半径为， 根据对称性可知，在上， 在中，， 即，即，① 在中，， 即，即，② 联立①②解得，， 所以该正四棱台外接球的表面积为， 故答案为：. 14. 已知且，若对于任意的，都有，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，求出数列是等比数列来写出通项公式，再利用的通项公式求出，通过观察的特点，即，设，将用表示，设，求出是的二次函数，又在前后震荡，通过的对称轴在左右两侧的讨论得到不成立，从而得到的对称轴就是，建立的方程，再求的值，从而得到的值. 【详解】， ， ， ， ， 是等比数列，公比，首项为， ， ， ， ， ， 设，则 ， ， ， 设， ， 的对称轴为， 又在前后震荡， 若对称轴在的左侧，则会总存在一个， 使得，，等在对称轴的右侧且在附近左右摆动， 就不满足对于任意的，都有成立， 对称轴在的左侧不成立； 若对称轴在的右侧，则会总存在一个， 使得，，等在对称轴的左侧且在附近左右摆动， 就不满足对于任意的，都有成立， 对称轴在的右侧不成立； 对称轴只能是， 即，解得， ， . 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某商场推出购物抽奖活动，盒子里放有10个相同小球，其中4个红球，6个蓝球，顾客从盒中不放回地抽取3个球，若恰好抽到3个红球为一等奖，奖金为100元，恰好抽到2个红球为二等奖，奖金为50元，其余不设奖. （1）在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下，则该次抽奖获得二等奖概率是多少？ （2）求抽奖一次获得奖金的期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合条件概率知识求解即可； （2）设抽奖一次获得奖金为，由题意可得的取值为，进而求出对应的概率值，再结合数学期望的公式求解即可. 【小问1详解】 在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下， 要使该次抽奖获得二等奖，则抽取的第3个球一定为红球， 而此时总共有8个球，其中有3个红球，5个蓝球， 因此，在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下，该次抽奖获得二等奖概率是. 【小问2详解】 设抽奖一次获得奖金为，则的取值为， 所以，， 则， 则. 16. 如图，已知直角梯形绕旋转得到四边形，其中. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由由题意可得平面平面，，进而得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 由题意，平面平面，，， 因为平面平面，且平面， 所以平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 所以， 由图可知，二面角为锐二面角， 则二面角的余弦值为. 17. 在中，分别是角所对的边，且满足. （1）求的大小； （2）点是边上一点，且满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合条件：，由于在中，,代入化简即可求解； （2）在和中，由正弦定理可得：，，结合条件化简可得，由于在中，,代入化简可得,结合的范围，求出的值，从而求得角，由正弦定理可得即可求解. 【小问1详解】 因为,由正弦定理可得：.所以, 由于在中，, 所以,化简得：, 由于，则不为0，则 由于，所以 【小问2详解】 由于,则, 在中，由正弦定理可得： 在中，由正弦定理可得： 所以,由于满足， 所以， 由于在中，, 所以,即， 所以，所以, 由于，则， 所以则或,解得或， 当时，，所以， 当时，,不满足. 综上，. 18. 已知椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N. ①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）； ②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程即可求解； （2）①设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理化简求解即可； ②计算可得，设，可得，结合化简得到，设直线，进而得到直线过定点，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①设直线的方程为， 且，，即， 联立，得， 则，即， 且， 则 ， 即点横坐标为. 由①知，，， 则，即， 设，与①同理可得， 则 ， 则， 设直线， 则， 则， 又，则， 则直线， 所以直线过定点， 则为中点时，则， ，则， 因此，存在定点，使得为定值. 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若存在实数b，使得函数有三个不同的零点. ①求a的取值范围； ②若成等差数列，求证：. 【答案】（1）； （2）①；②证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，令，求出函数递减区间； （2）①变形得到，故有3个不同的正根，令，则需有两个极值点，则需有两个不同的变号零点，令，求导，得到其单调性，结合函数走势，得到，得到答案； ②，，两式相加得，结合成等差数列， 变形得到，利用对数平均不等式和基本不等式得到，所以，由①知，，故，证毕. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 令得， 故的单调递减区间为； 【小问2详解】 ①，即，故， 有三个不同的零点，故有3个不同的正根， 令，定义域为，则需有两个极值点， 则需有两个不同的变号零点， 令，则， 令得， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，，故当时，， 又时，， 故要想有两个不同的变号零点，需满足， 此时存在实数b，使得有3个不同的正根， a的取值范围为； ②，即，， 两式相加得， 即， 成等差数列，故，故， ， 故，即， 又，故， 故，即， ， 下面推导对数平均不等式，，， 只需证，即证， 令，只需证， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增，又，故，证毕， ，又，故等号取不到， 所以，即， 所以，由①知，， 故，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期浙江省名校协作体试题 高三年级数学学科 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A B. C. D. 3. 已知11位同学的身高（单位：cm）分别是167，172，172，175，178，178，182，185，186，188，190，则这组数据的第80百分位数是（ ） A. 185 B. 185.5 C. 186 D. 186.5 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 30 5. 已知向量.若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A B. C. 1 D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列前项和满足：，则数列的最小项是第（ ）项. A. 2026 B. 2027 C. 4048 D. 4049 8. 已知函数，则在区间（ ）上一定存在极值点. A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 在上存在个零点 D. 点是图像的一个对称中心 10. 已知双曲线分别为其左、右焦点，为坐标原点，过作直线与双曲线两支和两条渐近线交于4个不同点，从左到右依次为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，现有两种碎片各若干个，且两种碎片均由等大小的正三角形按图示拼凑而成.若一个大正三角形恰好分割成个碎片和个碎片，则可以是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 抛物线的焦点坐标为_______________． 13. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该正四棱台外接球的表面积为________________. 14. 已知且，若对于任意的，都有，则________________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某商场推出购物抽奖活动，盒子里放有10个相同小球，其中4个红球，6个蓝球，顾客从盒中不放回地抽取3个球，若恰好抽到3个红球一等奖，奖金为100元，恰好抽到2个红球为二等奖，奖金为50元，其余不设奖. （1）在抽取的前两个球为1个红球1个蓝球的条件下，则该次抽奖获得二等奖概率是多少？ （2）求抽奖一次获得奖金的期望. 16. 如图，已知直角梯形绕旋转得到四边形，其中. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 17. 在中，分别是角所对的边，且满足. （1）求的大小； （2）点是边上一点，且满足，求的值. 18. 已知椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N. ①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）； ②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）若，求函数单调递减区间； （2）若存在实数b，使得函数有三个不同的零点. ①求a的取值范围； ②若成等差数列，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $