《第三单元 函数的概念与性质、指数函数与对数函数》测试卷——备战2026高考数学阶段检测卷

《第三单元 函数的概念与性质、指数函数与对数函数》测试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是(    ) A. B. C. D. 2.函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 3.设，，，则的大小关系是    A. B. C. D. 4.若函数，在上的最大值为4，则a的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减.已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为，其中是激光器输出的单脉冲能量，是水下潜艇接收到的光脉冲能量， S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积单位：，光斑面积与卫星高度有关若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减满足单位：当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为，则此时大小约为  参考数据： A. B. C. D. 6.已知函数满足关于直线对称，且，当时，，则的值为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7.已知正实数a，b满足：，，则的值是    A. e B. C. 3 D. 8.已知函数若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是    A. 函数有2个零点 B. 当时， C. 不等式的解集是 D. ，都有 10.已知函数 ，则下列说法正确的是      A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在定义域上单调递增 D. 若实数a，b满足，则 11.若定义在上的函数同时满足：①②对，成立;③对，，，成立;则称为“正方和谐函数”.下列说法正确的是     A. ，是“正方和谐函数” B. 若为“正方和谐函数”，则 C. 若为“正方和谐函数”，则在上是增函数 D. 若为“正方和谐函数”，则对，成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数的定义域是，则函数的定义域是          . 13.已知函数是定义在R上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为          . 14.若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数a，则称在A上具有M性质．设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，都有成立，则a的取值范围为          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增． 求函数的解析式； 若，求x的取值范围； 若实数a，R满足，求的最小值． 16.本小题15分 已知函数是定义在上的奇函数，且 确定函数的解析式； 用定义证明在上是增函数； 解不等式： 17.本小题15分 近日，DeepSeek火爆出圈，其本质在于技术创新和产业影响，它通过高效的算法和工程技术，显著降低了AI模型的训练成本，同时也代表着我国在AI技术方面的迅速发展和进步．相关数学建模小组通过对某AI软件的研究发现：当该程序利用后台的算法处理数据量为单位：字节的数据时，处理时间单位：秒满足关系式其中，均为常数已知当时，；当时， 求，的值； 若该程序利用后台算法处理一份数据量的数据，求所需的处理时间； 若将中的数据分为两份，数据量分别为和，其中，，，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值． 18.本小题17分 若对定义在D上的函数，，存在m，n，使得恒成立，则的图象关于点对称.已知函数，且 证明：函数的图象是中心对称图形； 求的值; 当时，求在上的最小值. 19.本小题17分 定义：若函数满足，，为常数，且，则称为上的“k倍型线性函数”. 判断是否为上的“2倍型线性函数”，并说明理由; 若为上的“3倍型线性函数”，求a的取值范围; 若是定义域为的偶函数，且为定义域上的“2倍型线性函数”，证明：，， 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性及奇偶性，属于基础题. 根据函数的单调性及奇偶性逐项判断即可. 【解答】 解：因为在定义域上是偶函数，在上单调递减，所以A不符合题意; 因为是偶函数，在上不单调递增，所以B不符合题意; 因为在定义域上是偶函数，且在上单调递增，所以C符合题意; 因为 是奇函数，所以D不符合题意. 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数图象的作法与应用，函数的奇偶性，考查识图的能力，属于一般题. 先由函数的奇偶性排除A，B，再判断函数值，即可得出结论． 【解答】 解：由题意，的定义域为，关于原点对称， 且， 函数是奇函数， 函数的图象关于原点对称，排除A，B； 当时，，，，排除 故选 3.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题. 通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【解答】 解：因为函数在R上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以 故选 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，是基本知识的考查． 利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可． 【解答】 解：函数， 时，函数是增函数； 函数是增函数， 因为，，所以a的取值范围为： 故选： 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了对数运算的实际应用，属于基础题. 【解答】 解：因为，所以， 因此， 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的周期，属于中档题． 根据题意，分析可得为偶函数且其周期为4，则有，结合函数的解析式计算可得答案． 【解答】 解：根据题意，函数满足关于直线对称，则为偶函数， 函数满足，则有， 即函数是周期为4的周期函数， 则， 又由当时，，则， 故， 故选： 7.【答案】B  【解析】解：由a  ， 即， 即，可得， 由，可得， 令， 则，， 易知，在上单调递增， 故在上单调递增， 故，所以 故选： 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了由函数零点个数求解参数的范围，解题的关键是正确理解题意并能灵活利用函数的图象，属于较难题． 先作出函数的图象，结合图象可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【解答】 解：作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则解得， 故， 故选： 9.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查奇函数、函数零点以及函数值域，属于一般题. 选项A：，根据奇函数性质可得，三个零点；选项B：取，则，所以即可求解；选项C：对x进行分类讨论，解不等式即可；选项D：求出值域，进行判断即可. 【解答】 解：因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以对于A，，，，因此有三个零点；故A错误； 对于B，取，则，所以；故B正确； 对于C，不等式， 当时，，解得， 当时，无解， 所以的解集是  ，故C正确； 对于D，当时，， 由是定义在上的奇函数，所以的值域为， 所以，，都有，，故D正确. 故选 10.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查了对数函数的单调性与最值问题，涉及函数的对称性与复合函数的单调性，也考查了利用函数的单调性解不等式，属于较难题. 利用函数解析式，求解可得可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断 【解答】 解：因为，即，则， 所以函数的定义域为， 所以，故A正确； 对于B选项，又因为 ，所以函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C选项，对于函数，该函数的定义域为， ， 即，所以函数为奇函数， 当时，内层函数，，故为减函数，外层函数为增函数， 所以函数在上为减函数，故函数在上也为减函数， 因为函数在上连续，故函数在上为减函数， 故函数在上为减函数，故C不正确； 对于D选项，因为实数a，b满足， 则，可得，即，故D正确. 11.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查函数新定义问题，属于难题. 根据定义判断A；取，判断B；根据函数单调性定义判断C；分三种情况判断 【解答】 解：对于A，函数，，显然满足条件①② 对，，， 函数在区间上是“正方和谐函数”，故A正确； 对于B，因为为“正方和谐函数”， 则取，得，即， 又由，得，故B正确; 对于C，因为，则， 所以， 故有故C错误; 对于D，由C可得函数的最大值为 ①当时， ②当时，，， 类似C中结论， 当时，， 假设当时，有成立，其中，2， 那么当时，， 故对于任意时，有成立，其中，2， 故对成立， ③当时， 所以，若为“正方和谐函数”，则对，成立， 故D正确. 12.【答案】  【解析】解：由函数的定义域是，可得，解得， 再由，解得或， 综上，可得函数的定义域为 故答案为： 13.【答案】  【解析】解：因为函数是定义在R上的奇函数，在上单调递减，且， 则在递减，且， 则当或时，；当或时，， 因为， 则当时，，则，解得 当时，，则，解得 综上，不等式的解集为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了复合函数的增减性问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以及结合复合函数单调性“同增异减”法则判断，从而求解. 根据题意，由条件可得在区间上单调递增，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性即可求解. 【解答】 解：由得， 由题意知在区间上单调递增. ①时，在区间上单调递增，符合题意； ②时，在区间上单调递增， 若在区间上单调递增，则，即对恒成立， 所以成立，故，即； ③时，对恒成立，此时， 函数由，复合而成，在上单调递增且， 而函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若在上单调递增，则，即 综合①②③可知a的取值范围为 故答案为： 15.【答案】解：幂函数是偶函数，且在上单调递增， ，且 为正偶数， ，，故 ，，， 即，求得 故x的取值范围为 若实数a，满足，，即， 则 ，当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为  【解析】本题主要考查幂函数的定义和性质，解一元二次不等式，基本不等式的应用，属于中档题． 由题意利用幂函数的定义和性质，求得m、k的值，可得函数的解析式． 由题意可得，，两边平方，解一元二次不等式，求得x的范围． 由题意可得，利用基本不等式求得的最小值． 16.【答案】解：在上为奇函数，且 有，解得，， 此时为奇函数， 故； 证明：任取， 则 而，且，即， ，即，故在上是增函数. 解：，又在上是增函数 ，解得 不等式的解集为   【解析】本题考查了利用函数奇偶性求解析式，结合奇函数中的性质，要注意验证；应用定义法证明单调性，注意先假设自变量大小关系再确定函数值的大小关系：函数值随自变量的增大而增大为增函数，反之为减函数；最后利用函数的奇偶性和单调性求解集 由为奇函数且求得参数值，即可得到的解析式； 根据定义法取，利用作差法即得证； 利用的增减性和奇偶性，列不等式求解即可 17.【答案】解：由题意得， 故， 两式相减可得， 故， 故 由可知， 当时，， 故所需的处理时间为秒. ， 当且仅当时取等号， 故所需的总处理时间的最小值为秒.  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：证明：的定义域为， 设， 因为，， 所以， 所以函数的图象关于点对称， 故函数的图象是中心对称图形； 解：由可知，，都有成立， 又，所以 ； ，，且， ， 因为， 所以， 又， 所以， 则， 因为， 所以，即， 所以在上单调递增， 故在上的最小值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：不是上的“2倍型线性函数”， 理由如下：假设是上的“2倍型线性函数”， 则，，， 不妨令，则，即， 取，，则，， 因为，所以， 与矛盾，从而假设不成立， 故不是上的“2倍型线性函数”； 因为为上的“3倍型线性函数”， 所以，，， 整理得， 当时，上式显然成立， 当时，上式等价于， 则， 由，，得， 从而， 综上所述，a的取值范围为； 证明：因为是定义域为的偶函数， 所以， 又是定义域上的“2倍型线性函数”， 所以，，， 当时，显然成立， 当时，不妨设， 由，，可得； 若则由， 可得； 若 因为是偶函数，所以， 则 综上所述，  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第20页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$