精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2025-2026学年高一上学期开学测试数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一上期开学测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各对象可以组成集合的是（　　） A. 与1非常接近的全体实数 B. 新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C. 高一年级视力比较好的同学 D. 高中学生中的游泳高手 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确； 故选：D. 3. 如图，在矩形中，，动点沿折线从点开始运动到点．设运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别列出不同路程下对应的面积表达式，根据函数图象性质可得结论. 【详解】根据题意可知，当动点沿从点开始运动到点的过程中，即； 此时始终是以为底边，为高的三角形，面积为； 因此其图象是一条水平的线段； 当动点沿从点运动到点的过程中，即； 此时始终是以为底边，为高的三角形，且； 所以面积为； 此时其图象是一条有下降趋势的线段； 故选：D 4. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为 A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可； 【详解】设，是的两个实数根， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴或， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键 5. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或， 当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． 综上所述，． 故选：C． 6. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将条件化为关于的方程，求解即可. 【详解】由题设，. 故选：B 7. 如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形与性质求得，再解直角三角形求得. 【详解】连接，因为是直径，所以， 因为，所以， 而，所以， 因为，所以， 而，所以， 所以，所以， 在中，，所以，所以， 因为， 所以，所以， 所以，在中，. 故选：C 8. 抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴求得，根据二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】抛物线的对称轴为直线，所以. 则关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根， 整理得，而， 所以. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说出错误的是（ ） A. 若，，则的最小值为1 B. C. 集合，，则 D. 空集 【答案】BCD 【解析】 【分析】若，，则的最小值为0，的最小值为1，可判断A；可判断B；由题意可证得，可判断C；由空集的定义可判断D. 【详解】对于A，若，，则的最小值为0，的最小值为1， 的最小值为1，所以A正确； 对于B，，所以B不正确； 对于C，， ， 所以，所以C不正确； 对于D，空集是指不包含任何集合的子集，空集是任何集合的子集， 是指包含元素，所以，所以D不正确. 故选：BCD. 10. （多选）下列四个命题中正确的是（ ） A. 方程的解集为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 由实数所组成的集合最多含2个元素 D. 中含有3个元素 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，解方程求解集即可；对于B，解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C，化简，得在，中，当时，，当时，，当时，，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性判断元素个数即可；对于D，结合6的因数并对讨论即可. 【详解】对于A，由二次根式和绝对值的非负性可得方程的解为解集为，故A错误； 对于B，由得，所以整数解组成的集合为，故B正确； 对于C，由于，且在，，中， 当时，，当时，，当时，， 三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故C正确； 对于D，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以集合含有4个元素，故D错误， 故选：BC． 11. 已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为或 D. 不等式恒成立，则的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，确定的关系，可逐项进行判断. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为或， 所以，所以，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，所以不等式可化为， 所以或，故C错误； 因为不等式的解集为或，所以不等式恒成立，可转化为：不等式的解集为或. 所以，所以（），无最小值.故D错误. 故选：AB 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合或，，且，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合两集合端点值间的关系列关于的不等式组，求解不等式组得答案． 【详解】或，，且， ，解得：． 故答案为：． 13. 已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】由|a|<1，得－1<a<1， ∴1＋a>0,1－a>0， ∴0<1－a2≤1， ∴， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题. 14. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，.若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】先求点坐标，再求点坐标，利用反比例函数的性质求即可. 【详解】因为中，，，. 所以， 设， 则，. 即点坐标为：. 又为中点，所以点坐标为：. 又点在反比例函数的图象上， 所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知，，求的值； （3）已知，，求：． 【答案】（1）1 （2）3 （3）7 【解析】 【分析】（1）利用特殊角的正弦值、绝对值的概念、分母有理化、指数幂的运算及根式运算求解即可； （2）对平方并化简，即可得出结论； （3）先求出，通过化简即可得出结论． 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 ， ， 又，， ， ． 【小问3详解】 ，， ， 原式． 16. 已知方程 (k为常数). （1）求证：该方程恒有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实根为 ，求 的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况. （2）利用韦达定理，结合，可求的最小值. 【小问1详解】 因为 . 所以方程恒有两个不相等的实数根. 【小问2详解】 设该方程的两个实根为 ， 则，， 所以. 所以的最小值为1，当且仅当时取等号. 17. 扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克：若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计.） 【答案】（1）元 （2）当每千克的平均销售价为元时，利润最大，最大利润是元. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得这种水果今年每千克的平均批发价. （2）先求得利润的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案. 【小问1详解】 设这种水果今年每千克的平均批发价为元， 则去年的批发价为元， 今年的批发销售总额为万元， 所以， 整理得， 解得或（舍去）， 所以这种水果今年每千克的平均批发价为元. 【小问2详解】 设每千克的平均售价为元，由（1）得平均批发价是元， 则， 二次函数开口向下，所以当元时，取最大值元， 所以当每千克的平均销售价为元时，利润最大，最大利润是元. 18. 已知集合． （1）当集合A变为时，写出A的所有非空真子集； （2）若，求实数m的取值范围； （3）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出集合后，结合非空真子集定义即可得； （2）由题意可得，分及讨论即可得； （3）结合题意分及讨论即可得. 【小问1详解】 ， 则A的所有非空真子集有：； 【小问2详解】 由，则， 当时，即，解得； 当时，即有，解得； 综上所述：； 【小问3详解】 若当时，符合要求，即，解得； 当时，则有或， 不等式组无解，不等式组解得； 综上所述，或. 19. （1）求下列关于x的不等式或不等式组的解集. （ⅰ） （ⅱ） （2）求二次函数在区间上的最大值. 【答案】（1）（ⅰ）;（ⅱ） （2）且. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）转化为一元二次不等式求解即可； （ⅱ）分别求解两个不等式，再求交集即可； （2）化简二次函数，求得对称轴的方程，根据和分类讨论，即可求解. 【详解】（1）（ⅰ）等价于，解得， 的解集为； （ⅱ）由可得，由可得， 综上可得，所以原不等式组的解集为. （2）由题意，二次函数， 可得对称轴为， ①当时，因为区间的中点值为， （a）当时，即时，此时； （b）当时，即时， 此时； ②当时，可得 （a）当时，即时， 此时； （b）当时，即时， 此时， 综上所述，可得且 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一上期开学测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各对象可以组成集合的是（　　） A. 与1非常接近的全体实数 B. 新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C. 高一年级视力比较好的同学 D. 高中学生中的游泳高手 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，，动点沿折线从点开始运动到点．设运动的路程为，的面积为，那么与之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为 A. B. C. 或 D. 或 5. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 6. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 8. 抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说出错误的是（ ） A. 若，，则的最小值为1 B. C. 集合，，则 D. 空集 10. （多选）下列四个命题中正确的是（ ） A. 方程的解集为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 由实数所组成的集合最多含2个元素 D. 中含有3个元素 11. 已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. C. 不等式的解集为或 D. 不等式恒成立，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合或，，且，则实数的取值范围是______ 13. 已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________. 14. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，.若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）已知，，求的值； （3）已知，，求：． 16. 已知方程 (k为常数). （1）求证：该方程恒有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实根为 ，求 的最小值. 17. 扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克：若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计.） 18. 已知集合． （1）当集合A变为时，写出A的所有非空真子集； （2）若，求实数m的取值范围； （3）若，求实数m的取值范围． 19. （1）求下列关于x的不等式或不等式组的解集. （ⅰ） （ⅱ） （2）求二次函数在区间上的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $