整式的因式分解及其简单应用-2025-2026学年初升高衔接课件

2025-2026学年高中数学高一上学期 初升高衔接系列 普通高中数学课件系列 代数学基础系列第一课 （整式的因式分解及其简单应用） 普通高中数学课件系列 制作时间（2025-09-01） 制作人：罗 志（罗三俨） 目录 CONTENTS 主题三、十字相乘法 3 主题二、乘法公式 2 1 主题四、分组分解法 4 主题一、因式分解 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解 ．它是整式乘法的逆过程． 因式分解的定义： 例如 与 的乘积形式． 是将多项式 转化为两个整式 因式分解的一般步骤: 1.先看多项式有无公因式，有则先提公因式. 2.无公因式时，二项式考虑平方差公式，三项式尝试完全平方公式或十字相乘法． 3.四项或四项以上多项式，常用分组分解法． 4.若上述方法均不能对多项式因式分解，考虑添项拆项法． 5.持续分解，直到每个因式都不能再分解，且结果为几个整式的积的形式 ． 1．对象是多项式． 2．结果是整式乘积形式． 3．要分解到每一个因式都不能再分解． 4．公式中的字母可表示单项式或多项式． 5．相同因式写成幂的形式． 6．未指定范围时，一般在有理数范围内分解 ． 因式分解，需注意： 乘法公式系列（一）平方差 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 平方差公式特征 公式左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项相同，而另一项互为相反数 公式右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去互为相反数的项的平方 乘法公式系列（一）平方差 （1）位置变化：利用加法交换律可以转化为公式的标准型，例如 平方差公式应用技巧 （2）系数变化：例如 = ， 乘法公式系列（一）平方差 （3）指数变化：例如 = ， 平方差公式应用技巧 （4）符号变化：例如 = ， 乘法公式系列（一）平方差 （5）增项变化：例如 = ， 平方差公式应用技巧 （6）增因式变化：例如 = ， 乘法公式系列（一）平方差 例1：已知 ， ，则 例2：计算20252-2024*2026= 例3：计算 乘法公式系列（二）完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，这两个公式叫做完全平方公式 乘法公式系列（二）完全平方公式 完全平方公式的常见变形 在四个量a+b，a－b，ab和a2+b2中，知道其中任意的两个量，就能求出其余的两个量（整体代换） 乘法公式系列（二）完全平方公式 完全平方公式的常见特殊变形 乘法公式系列（二）完全平方公式 例1：若 ， ，则 例2：若 ，则 = 例3：若 ，计算 的值． 乘法公式系列（二）完全平方公式 例4：若 ，计算 的值. 例5：若 ，计算mn的值． 例6：计算 的值． 十字相乘法(1)二次三项式 型 （二次项系数为1）的因式分解 若存在 即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.则 十字相乘法(1)二次三项式 型 （二次项系数为1）的因式分解 技巧：在 对分解因式时，先从常数项c的正负入手： 若c>0 ，则 p、q同号，若c<0 ，则p 、q异号， 然后根据一次项系数的正负进一步确定p 、q的符号；再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止. 十字相乘法(1)二次三项式 型 （二次项系数为1）的因式分解 例1： 对下列多项式，进行因式分解： （2）.x2+x﹣2＝ ; 　 　 （4）.x2﹣2x﹣8＝ ; 　 　 （1）.x2+3x+2＝ ; 　 　 （3）.x2﹣5x+6＝ ; 　 　 十字相乘法(1)二次三项式 型 （二次项系数为1）的因式分解 例2： 对下列多项式，进行因式分解： （2）.a2b2+ab﹣2＝ ; 　 　 （4）.()2﹣2()﹣8＝ ; 　 　 （1）.x2-6xy+8y2＝ ; 　 　 （3）.x2﹣5xy+6y2＝ ; 　 　 十字相乘法(1)二次三项式 型 （二次项系数为1）的因式分解 例3： 已知多项式x2+ax﹣2 进行因式分解结果为（x+1)(x+b),则 a= ，b= . 例4： 已知多项式x2-4x+n 进行因式分解结果为（x+2)(x+m),则 m= ，n= . 十字相乘法(2)二次三项式 型 （二次项系数不为1）的因式分解 借助整式乘法运算，可以得到 反之，即为因式分解. 十字相乘法(2)二次三项式 型 （二次项系数不为1）的因式分解 归纳：只要将A分解成ac，即A=ac，C分解成bd，即C=bd，并且使得B=ad+bc，我们就可以将 分解成了 . 十字相乘法(2)二次三项式 型 （二次项系数不为1）的因式分解 探究：如何找到a、b、c、d呢？如下图，称为十字相乘法，简记：“拆两头，凑中间” 十字相乘法(2)二次三项式 型 （二次项系数不为1）的因式分解 例1：把下列多项式，因式分解： （1）.2x2-5x-3＝ ; 　 　 （2）.6x2-7x+1＝ ; 　 　 （5）.11x2-6xy-5y2＝ ; 　 　 （3）.12x2-5x-2＝ ; 　 　 （4）.2a2b2-7ab+3＝ ; 　 　 十字相乘法(2)二次三项式 型 （二次项系数不为1）的因式分解 例2、已知2x+1是多项式2x2+5x+m的一个因式，则m= ； 　 　 例3、已知x+2是多项式2x2+kx-6的一个因式，则k= ； 　 　 例4、已知39x2+5x-14=(ax+2)(13x-b)， 则2a-b= ； 　 　 形如：把A+B+C+D进行因式分解 四项或者五项的多项式用分组分解法 先将多项式分为“3+1”或“2+2”的组合。再利用提公因式法、公式法或十字相乘法将多项式因式分解 A+B+C+D=“ A+B+C ”+D A+B+C+D=“ A+B”+“C +D ” A+B+C+D=A+“ B+C +D ” 例1：把下列多项式，因式分解： 四项或者五项的多项式用分组分解法 （2）.x2-y2-2y-1＝ ; 　 　 （1）.x2-2x+1-4y2＝ ; 　 　 （3）.2x2+2xy-3x-3y＝ ; 　 　 （4）.a2+a-b-b2＝ ; 　 　 例2：把下列多项式，因式分解： 四项或者五项的多项式用分组分解法 （2）.a2-2ab-2bc+2ac+b2＝ ; 　 　 （1）.a2+ab+bc+2ac+c2＝ ; 　 　 例3：已知a-b=-3,b+c=4,求代数式a2-ab-bc+ac的值 四项或者五项的多项式用分组分解法 例4：已知x-y=5,x+y=7,求代数式x2-y2-2y+2x的值 例5：已知a、b、c是一个三角形的三边边长,且满足b2+ac=ab+bc,试判断三角形的形状，并说明理由 复杂问题的添项拆项法 思路一、拆项法 例1：把下列多项式，因式分解： （1）.x3+2x2-1＝ ; 　 　 （2）.x3+x+2＝ ; 　 　 （3）.x4-4x+3＝ ; 　 　 （4）.x3-7x+6＝ ; 　 　 （5）.a3-9a+8＝ ; 　 　 复杂问题的添项拆项法 思路二、添项法 例2：把下列多项式，因式分解： （2）.a4+a2b2+b4＝ ; 　 　 （1）.x4+4y2＝ ; 　 　 （4）.x4+4＝ ; 　 　 （3）.x4+x2+1＝ ; 　 　 （5）.64x4+1＝ ; 　 　 再见 $$