（总集篇）第一单元圆·总集篇·十六种阴影图形面积法【十六大考点】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

第 1 页 共 58 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 58 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元圆·总集篇·十六种阴影图形面积法【十六大考点】 专题名称 第一单元圆·总集篇·十六种阴影图形面积法 专题内容 本专题以求含圆的不规则或组合图形面积为主，其中一共总结了十六种阴影图 形面积法，属于求不规则图形、组合图形、阴影部分图形面积的总集合 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合 训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握 情况和总体水平，选择性进行讲解。 考点数量 十六大考点 【考点一】阴影图形面积法其一：直接求法（公式法） .................................................................................4 【考点二】阴影图形面积法其二：相加法（S 阴影=S1＋S2） ........................................................................... 7 【考点三】阴影图形面积法其三：相减法（S 阴影=S 整体－S 空白） ............................................................... 10 【考点四】阴影图形面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S 阴影=S1＋S2－S3） ............................. 13 【考点五】阴影图形面积法其五：平移法 ....................................................................................................... 15 【考点六】阴影图形面积法其六：拼接法 ....................................................................................................... 18 【考点七】阴影图形面积法其七：旋转法（翻转法） ................................................................................... 20 【考点八】阴影图形面积法其八：割补法 ....................................................................................................... 23 【考点九】阴影图形面积法其九：重组法 ....................................................................................................... 26 第 3 页 共 58 页 【考点十】阴影图形面积法其十：整体代换法（转化法） ...........................................................................29 【考点十一】阴影图形面积法其十一：辅助线法 ........................................................................................... 34 【考点十二】阴影图形面积法其十二：容斥原理（重叠、分层思路） .......................................................38 【考点十三】阴影图形面积法其十三：差不变原理（差不变思想） ...........................................................40 【考点十四】阴影图形面积法其十四：图示法（羊吃草问题） ...................................................................45 【考点十五】阴影图形面积法其十五：平移运动问题（动态变化问题） ...................................................50 【考点十六】阴影图形面积法其十六：旋转运动问题（动态变化问题） ...................................................53 第 4 页 共 58 页 【考点一】阴影图形面积法其一：直接求法（公式法） 方法点拨 直接求法，即根据已知条件，从整体出发，利用面积相关公式可以直接求出 阴影部分的面积，是最为简单的求面积方法，熟练掌握图形面积公式是解决 问题的关键。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求圆的面积和周长。（单位：m) 【答案】12.56平方米；12.56米 【分析】根据题意可知，圆的直径为 4米，根据圆的周长公式：C＝ d ，代入数据求出圆的周 长；圆的半径为（4÷2）米，根据圆的面积公式：S＝ 2r ，代入数据求出圆的面积。 【详解】4÷2＝2（米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 3.14×4＝12.56（米） 即圆的面积是 12.56平方米，圆的周长是 12.56米。 【对应练习 1】 求圆的周长和面积。（单位：厘米） 第 5 页 共 58 页 【答案】20.096厘米；32.1536平方厘米； 28.26厘米；63.585平方厘米 【分析】根据圆的周长公式：C＝2 r 或 C＝ d ，圆的面积公式：S＝ 2r ，已知图 1圆的半径 为 3.2厘米，图 2的直径为 9厘米，半径为（9÷2）厘米，代入到公式中，分别求出圆的周长 和面积。 【详解】2×3.14×3.2 ＝6.28×3.2 ＝20.096（厘米） 3.14×3.22 ＝3.14×10.24 ＝32.1536（平方厘米） 图 1中圆的周长是 20.096厘米，面积是 32.1536平方厘米。 3.14×9＝28.26（厘米） 3.14×（9÷2）2 ＝3.14×4.52 ＝3.14×20.25 ＝63.585（平方厘米） 图 2中圆的周长是 28.26厘米，面积是 63.585平方厘米。 【对应练习 2】 求下面各圆的周长和面积。（单位：cm) 【答案】左图：周长是 31.4厘米；面积是 78.5平方厘米 右图：周长是 18.84厘米；面积是 28.26平方厘米 【分析】（1）已知直径，可根据圆的周长C πd= 求出圆的周长；根据圆的面积 22S d （ ）求 第 6 页 共 58 页 出圆的面积。 （2）已知半径，可根据圆的周长 2C r 求出圆的周长；根据圆的面积 2rS  求出圆的面积。 【详解】左图： 周长：3.14×10＝31.4（厘米） 面积：3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 右图： 周长：2×3.14×3＝18.84（厘米） 面积：3.14×33 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 【对应练习 3】 求下面各圆的周长。（单位：cm) 【答案】18.84cm；18.84cm；31.4cm 【分析】根据圆的周长公式 C＝2πr、C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】（1）2×3.14×3＝18.84（cm） 圆的周长是 18.84cm。 （2）3.14×6＝18.84（cm） 圆的周长是 18.84cm。 （3）2×3.14×5＝31.4（cm） 圆的周长是 31.4cm。 第 7 页 共 58 页 【考点二】阴影图形面积法其二：相加法（S 阴影=S1＋S2） 方法点拨 相加法，即加法分割思路，把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的 规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分 别计算出面积，并相加得出阴影部分的面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题 1】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【答案】63.7cm；218.5cm2 【分析】组合图形的周长＝长方形周长＋ 1 4圆的周长，长方形周长＝（长＋宽）×2，圆的周长 ＝2πr；组合图形的面积＝长方形面积＋ 1 4圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr 2，据 此列式计算。 【详解】（14＋10）×2＋2×3.14×10× 1 4 ＝24×2＋15.7 ＝48＋15.7 ＝63.7（cm） 14×10＋3.14×102× 1 4 ＝140＋3.14×100× 1 4 ＝140＋78.5 ＝218.5（cm2） 【对应练习 1】 图中爱心是由一个正方形和两个半圆拼成的，请计算出它的周长和面积。（单位：cm) 第 8 页 共 58 页 【答案】20.56cm；28.56cm2 【分析】组合图形的周长＝圆的周长＋正方形边长×2，圆的周长＝πd；组合图形的面积＝圆的 面积＋正方形面积，圆的面积＝πr2，正方形面积＝边长×边长，据此列式计算。 【详解】3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 3.14×（4÷2）2＋4×4 ＝3.14×22＋16 ＝3.14×4＋16 ＝12.56＋16 ＝28.56（cm2） 【对应练习 2】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【答案】周长：245.6厘米；面积：3656平方厘米 【分析】组合图形的周长是由一个直径为 40厘米的圆的周长和两条长为60厘米的长组合而成， 利用圆的周长公式求出这个圆的周长，再加上（60×2）厘米，即可求出组合图形的周长；组合 图形的面积是由一个半径为（40÷2）厘米的圆的面积和一个长为 60厘米，宽为 40厘米的长方 形的面积组合而成，分别利用圆的面积和长方形的面积公式求出这两个图形的面积，再相加即 可求出组合图形的面积。 【详解】3.14×40＋60×2 第 9 页 共 58 页 ＝125.6＋120 ＝245.6（厘米） 3.14×（40÷2）2＋60×40 ＝3.14×202＋2400 ＝3.14×400＋2400 ＝1256＋2400 ＝3656（平方厘米） 即图形的周长是 245.6厘米，面积是 3656平方厘米。 【对应练习 3】 计算如图图形的周长和面积。（单位：cm) 【答案】35.7厘米；89.25平方厘米 【分析】通过观察可知本题的图形可以分成一个半圆形和一个长方形，计算周长时，计算出半 径为 5厘米的一个圆周长的一半，再加上长方形的一个长和两个宽，计算面积时，计算出一个 半圆的面积再加上一个长方形的面积即可。 【详解】周长：3.14×2×5÷2＋5×4 ＝15.7＋20 ＝35.7（厘米） 面积：3.14×52÷2＋2×5×5 ＝3.14×25÷2＋2×5×5 ＝39.25＋50 ＝89.25（平方厘米） 图形的周长为 35.7厘米；面积为 89.25平方厘米。 第 10 页 共 58 页 【考点三】阴影图形面积法其三：相减法（S 阴影=S 整体－S 空白） 方法点拨 相减法，即减法拓展思路，是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部 分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴 影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题 1】基础型 求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 解析： 3.14×82÷2﹣（8+8）×8÷2 =3.14×64÷2﹣16×8÷2 =100.48﹣64 =36.48（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 36.48平方厘米。 【典型例题 2】提高型 如图，直角三角形 ABC的面积为 12平方厘米，半圆以 BC为直径，求阴影部分的面积。 解析： 观察图形可知，直角三角形也是等腰三角形，所以 BC＝AC＝半圆的直径 d＝2r；根据“三角形 的面积＝底×高÷2”可求出半径的平方，代入圆的面积公式 S＝πr2，再除以 2，即半圆的面积； 第 11 页 共 58 页 根据阴影部分的面积＝半圆的面积－直角三角形 ABC面积的一半，代入数据计算即可。 解：设半圆的半径为 r厘米。 2r×2r÷2＝12 4r2÷2＝12 2r2＝12 r2＝12÷2 r2＝6 阴影部分的面积： 3.14×6÷2－12÷2 ＝18.84÷2－6 ＝9.42－6 ＝3.42（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 3.42平方厘米。 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 解析： 8÷2=4（厘米） （8+12）×4÷2﹣3.14×42÷2 =40﹣25.12 =14.88（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 14.88平方厘米。 【对应练习 2】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm) 第 12 页 共 58 页 解析： 1 2 ×3.14× [（2＋4）÷2] 2－ 1 2 ×3.14×（2÷2） 2－ 1 2 ×3.14×（4÷2） 2 ＝ 1 2 ×3.14×9－ 1 2 ×3.14×1－ 1 2 ×3.14×4 ＝ 1 2 ×3.14×（9－1－4） ＝ 1 2 ×3.14×4 ＝6.28（cm2） 【对应练习 3】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：m) 解析： 6×6－3.14×（6÷2）2 ＝36－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（m2） 第 13 页 共 58 页 【考点四】阴影图形面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S 阴影=S1＋S2－S3） 方法点拨 含圆的混合型图形，即在解决问题的过程需要多次使用相加法或相减法来求 阴影面积，这些图形往往看起来比较复杂，计算起来也较为困难，可以首先 观察图形，然后合理分解成部分可求的图形，最后再相加或相减。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 已知正方形的边长是 8cm，计算图中阴影部分的面积。 【答案】38.88cm2 【详解】略 【对应练习 1】 如图，O为圆心，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。 【答案】20.56平方厘米 【分析】如图，将阴影部分进行拆分，先计算弓形面积，再计算三角形面积，相加的阴影部分 的面积。 【详解】如图所示，弓形面积可以用 1 4圆的面积减去三角形面积，右图三角形面积直接利用底 和高来计算； 第 14 页 共 58 页 8 2 4  （厘米） 2 21 1 13.14 4 4 4 8 4 2 2        12.56 8 16   20.56 （平方厘米） 【对应练习 2】 如图，两个相连的正方形的边长是 8厘米和 3厘米，求阴影部分的面积。（结果保留 ） 【答案】 215 9 cm 2  （ ） 【分析】阴影部分包括大正方形里面的和小正方形里面的两部分。其中，大正方形里面的阴影 部分等于半径为 8厘米的 1 4 扇形面积减去空白小扇形（半径为 8－3＝5厘米）的面积，小正方 形里面的阴影部分等于正方形的面积减去半径为 3厘米的 1 4 扇形面积，最后把两部分阴影加起 来即整个阴影部分的面积。根据圆的面积＝πr2，正方形的面积＝边长×边长求出各部分的面积。 【详解】π×82÷4－π×（8－3）2÷4 ＝16π－ 254 π ＝ 39 4 π（平方厘米） 3×3－π×32÷4 ＝9－ 9 4 π（平方厘米） 第 15 页 共 58 页 39 4 π＋9－ 9 4 π ＝ 215 9 cm 2  （ ） 【对应练习 3】 如图中的圆是以 O为圆心、半径是 10厘米的圆，求阴影部分的面积。 【答案】100平方厘米 【分析】由图意可知：阴影部分的面积＝半径为 10厘米的圆面积的 ﹣（半径为 AC的 圆的 面积﹣三角形 ABC的面积），又因 AB＝20厘米，OC＝10厘米，从而可以依据三角形 ABC 的面积求出 AC的长度，进而求得阴影部分的面积． 【详解】三角形 ABC的面积为：所以 AC2÷2＝AB×OC÷2＝10×2×10÷2＝100（平方厘米） 由上面计算可得：AC2＝100×2＝200， 所以阴影部分的面积是：3.14×10×10÷2﹣（ ×3.14×200﹣100） ＝157﹣（157﹣100） ＝157﹣57 ＝100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 100平方厘米。 【点睛】此题考查圆的面积与扇形的面积公式的灵活应用，关键是根据三角形 ABC的面积得 出 AC2的值。 【考点五】阴影图形面积法其五：平移法 方法点拨 平移法，即通过把部分图形平行移动可以把不规则图形转变为已学的规则图 形，进而求出图形的面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 第 16 页 共 58 页 求阴影部分的周长和面积。（π取 3.14） 【答案】49.12m；96m2 【分析】阴影的周长是长方形的两个长的和再加圆的周长，圆周长＝ d ，d表示直径；通过 平移半圆，阴影的面积等于长方形的面积，根据长方形面积＝长×宽，计算得出答案。 【详解】阴影部分周长为： 3.14×8＋12×2 ＝25.12＋24 ＝49.12（m） 阴影部分面积为：12×8＝96（m2） 【对应练习 1】 求涂色部分的面积。（单位：cm。） 【答案】6cm2 【分析】如下图，把右边的涂色部分向左平移到空白部分，这样阴影部分组成一个长（2＋1） cm、宽 2cm的长方形；根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出涂色部分的面积。 如图： 【详解】（2＋1）×2 ＝3×2 ＝6（cm2） 涂色部分的面积是 6cm2。 第 17 页 共 58 页 【对应练习 2】 求阴影部分的面积。 【答案】64cm2 【分析】通过平移可知，阴影部分的面积等于边长为 8cm的正方形的面积，正方形的面积＝ 边长×边长，依此计算即可。 【详解】8×8＝64（cm2） 即阴影部分的面积是 64cm2。 【对应练习 3】 先量出必要的数据，再计算涂色部分的面积。 【答案】正方形的边长为 3厘米；面积是 9平方厘米 【分析】图中涂色部分有两块，左边涂色部分向右平移，两块涂色部分组成正方形，测量得到 边长是 3厘米，据此解答。 【详解】测得正方形边长是 3厘米 3×3＝9（平方厘米） 第 18 页 共 58 页 【考点六】阴影图形面积法其六：拼接法 方法点拨 拼接法，即在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接 成一个整体。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 下图中阴影部分面积之和是多少平方厘米？ 【答案】6.28平方厘米 【分析】三个扇形可以拼成一个半径为 2厘米的半圆，那么阴影部分的面积＝半圆的面积，然 后根据圆的面积公式 S＝πr2把数据代入公式解答即可。 【详解】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 所以，图中阴影部分的面积之和是 6.28平方厘米。 【对应练习 1】 计算下图中阴影部分的面积。 【答案】39.25 2cm 【详解】3.14× 25 ÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25 2cm 第 19 页 共 58 页 【对应练习 2】 计算阴影部分面积。（ 取 3.14） 【答案】12.56平方厘米 【分析】根据三角形内角和 180度以及扇形的特点，两个圆的半径相等，图中两个扇形加起来 正好是一个圆心角是 90度的扇形，即一个圆的 1 4 。据此计算。 【详解】3.14×42× 1 4 ＝3.14×16× 1 4 ＝12.56（平方厘米） 【对应练习 3】 求涂色部分的面积。 【答案】14.13cm2； 13.76cm2 【分析】通过图可知，由于三角形的内角和是 180°，所以第一个图形的三个扇形拼接在一起 正好能够构成一个半径是 3厘米的半圆，根据半圆的面积公式：S＝πr2÷2，把数代入即可求解； 通过图可知，两个半径构成一个正方形边长，即圆的半径：8÷2＝4厘米，正方形里面相当于 4 个 1 4 的圆，那拼在一起相当于一个半径是 4厘米的圆，用正方形的面积－4个 1 4 圆的面积＝涂 色部分面积；根据正方形的面积公式：边长×边长，圆的面积公式：S＝πr2，把数代入即可求 解。 第 20 页 共 58 页 【详解】第一个图形：3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（cm2） 第二个图形：8×8－3.14×（8÷2）2 ＝64－3.14×42 ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（cm2） 【考点七】阴影图形面积法其七：旋转法（翻转法） 方法点拨 旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转， 最后得到便于求解的新图形。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 【答案】34.26cm； 214.13cm 【分析】结合图示可知， ①阴影部分周长由 6段弧及一条正方形的边长组成，且每段弧长是整个圆的周长的 1 4，故可列 式为：6 6 3.14 4 6    ； ②将左边的阴影部分绕正方形的中心顺时针旋转 180°，恰好与右边的合为半圆，即阴影部分 面积就是半圆的面积，故可列式为： 23.14 (6 2) 2   。 第 21 页 共 58 页 【详解】6 6 3.14 4 6    6 18.84 4 6    6 28.26  34.26( )cm 23.14 (6 2) 2   3.14 9 2   214.13( )cm 【对应练习 1】 求如图阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】38.465平方厘米 【分析】把左上角扇形阴影部分移动到右下角，和圆环阴影部分组合在一起，两块阴影部分的 面积整体可以看成是一个半径为 5＋2＝7（厘米）的圆的面积的 1 4 ，根据圆的面积 S＝πr2，把 数据代入求解即可。 【详解】  21 3.14 5 24   21 3.14 7 4    0.785 49  38.465 （平方厘米） 【对应练习 2】 如图，求图中阴影部分面积。（单位：厘米）（小圆半径为 1厘米） 第 22 页 共 58 页 【答案】3.14平方厘米 【分析】将阴影部分拼在一起可知，阴影部分的面积是一个半径为（1＋1）厘米的圆面积的 1 4 ， 根据圆的面积公式求解即可。 【详解】1＋1＝2（厘米） 3.14×22× 1 4 ＝3.14×4× 1 4 ＝12.56× 1 4 ＝3.14（平方厘米） 阴影部分的面积是 3.14平方厘米。 【对应练习 3】 如图，点 P是正方形 ABCD内部的一点，连接 PA、PB、PC。将 PAB 绕着点 B顺时针旋转 90° 到 P CB  的位置。设 AB m ，PB n ， m n ，求 PAB 旋转到 P CB  的过程中边 PA所扫过的区 域（图中阴影部分）的面积。 【答案】 1 4 π（m²－n²） 第 23 页 共 58 页 【分析】因为将 PAB 绕点 B顺时针旋转 90°到 P CB  ，所以 PAB 和 P CB  形状大小均相等，所 以 PAB 的面积＝ P CB  的面积，则阴影部分的面积等于以 AB为半径的 1 4 圆的面积减去以 PB 为半径的 1 4 圆的面积。据此即可求解。 【详解】以 AB为半径的 1 4 圆的面积： 1 4 ×π×m×m＝ 1 4 πm²； 以 PB为半径的 1 4 圆的面积： 1 4 ×π×n×n＝ 1 4 πn²； 阴影部分面积＝ 1 4 πm²－ 1 4 πn²＝ 1 4 π（m²－n²）。 答： PAB 旋转到 P CB  的过程中边 PA所扫过的区域（图中阴影部分）的面积是 1 4 π（m²－n²）。 【点睛】利用旋转后图形的大小和形状都不改变这个关键。再根据面积之间的关系求出阴影部 分面积。 【考点八】阴影图形面积法其八：割补法 方法点拨 割补法，即分割拼补的思路，是把不规则的阴影面积通过分割和拼补，使之 变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求下列阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】16cm2 【分析】通过对称，阴影部分可以拼成一个梯形，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列 式计算即可。 【详解】8÷2＝4（cm） （6－4＋6）×4÷2 第 24 页 共 58 页 ＝8×4÷2 ＝16（cm2） 【对应练习 1】 求阴影部分的面积（图中的三角形都是等腰直角三角形）。（单位：分米） 【答案】12.5平方分米 【分析】根据图形的特点，可以通过“旋转”把阴影部分拼在一起，阴影部分的面积等于大三角 形的面积减去正方形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，大三角形的高就是圆的直径， 根据直角三角形斜边上的高等于斜边的一半可知，大三角形的高为 10÷2＝5分米，则正方形的 面积等于两个底为 5分米，高为（5÷2）分米的三角形的面积；据此解答即可。 【详解】如图所示： 1 2 ×10×5－2× 1 2 ×（5÷2）×5 ＝25－2× 12 ×2.5×5 ＝25－1×2.5×5 ＝25－12.5 ＝12.5（平方分米） 【对应练习 2】 求下面图中涂色部分的面积。 【答案】8平方厘米 第 25 页 共 58 页 【分析】用“割补法”将右上角阴影部分移到左上角，那么此时阴影部分的面积为左上角三角形 的面积，即大长方形面积的 1 4，长方形的长为 8厘米，长为半圆的直径，宽为半圆的半径，所 以宽为：8÷2＝4（厘米），“长×宽÷4”即可求出阴影部分面积。 【详解】由分析可知： 8÷2＝4（厘米） 8×4÷4 ＝32÷4 ＝8（平方厘米） 所以图中涂色部分的面积为 8平方厘米。 【对应练习 3】 求图中阴影部分的面积。 【答案】114cm2 【分析】把左下角的阴影平均分成两部分，分别移动到左上角和右上角，如图所示： ，通过图可知，这个阴影部分的面积正好是圆面积的 1 4 ，再减去一 个直角边是 20cm的等腰直角三角形，根据圆的面积公式：S＝πr2，三角形的面积公式：底× 高÷2，把数代入即可求解。 【详解】如下图所示： 第 26 页 共 58 页 3.14×20×20÷4－20×20÷2 ＝314－200 ＝114（cm2） 阴影部分的面积是 114cm2。 【考点九】阴影图形面积法其九：重组法 方法点拨 重组法，即根据具体情况和计算上的需要把原来图形拆开，并加以重新组合， 使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形，然后结合 相减法求出阴影面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，大圆半径 R=8厘米，小圆的半径 r=4厘米．求阴影部分的面积。 【答案】37.68平方厘米 【详解】试题分析：如图所示，阴影①和空白①的面积相等，阴影②和空白②的面积相等，阴 影③和空白③的面积相等，阴影④和空白④的面积相等，于是将 4个阴影部分移到与其面积相 等的空白部分，于是可以得出图中所有的阴影的面积和就等于大圆面积的 减去小圆面积的 ， 大小圆的半径已知，利用圆的面积公式即可求解． 第 27 页 共 58 页 解： ×3.14×（82﹣42） =0.785×（64﹣16） =0.785×48 =37.68（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 37.68平方厘米。 点评：解答此题的关键是利用“动态”的眼光，将阴影部分移到与之面积相等的空白部分，从而 容易求出阴影部分的总面积。 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】4.28平方厘米 【分析】通过对称和平移，如图 ， 阴影部分的面积＝半圆面积－三角形面积，据 此列式计算。 【详解】4÷2＝2（厘米） 3.14×2²÷2－2×1÷2×2 ＝6.28－2 第 28 页 共 58 页 ＝4.28（平方厘米） 【对应练习 2】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】观察图形可知，图中阴影部分可以组合成一个三角形，组合成的三角形的面积正好是 这个大正方形面积的 1 4 ，所以直接用正方形的面积除以 4就可以求出阴影部分的面积。 【详解】5×5＝25（cm²） 25÷4＝6.25（cm²） 【对应练习 3】 如图，正方形 ABCD的面积是 36平方厘米，求阴影部分的面积． 【答案】14.13平方厘米 【详解】解本题的关键是利用拼补法，得到阴影部分的面积是半个大圆的面积﹣半个小圆的面 积．正方形的面积是 36平方厘米，所以正方形的边长是 6厘米，正方形的对角线是圆的直径， 大圆的直径的平方是：62+62=72，半径的平方是 72÷4=18，小圆的半径是正方形边长的一半， 也就是 3厘米．阴影部分的面积为：阴影部分的面积等=半个大圆的面积﹣半个小圆的面积． 解：正方形的面积是 36平方厘米，所以正方形的边长是 6厘米， 大圆的直径的平方是：62+62=72，半径的平方是 72÷4=18， 3.14×18÷2﹣3.14×32÷2 =3.14×18÷2﹣3.14×9÷2 第 29 页 共 58 页 =56.52÷2﹣28.26÷2 =28.26﹣14.13 =14.13（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 14.13平方厘米． 【考点十】阴影图形面积法其十：整体代换法（转化法） 方法点拨 整体代换法，即通过平面图形之间的等量关系，将图形面积整体代换，再根 据相应面积公式求出面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题 1】圆与正方形的转化 如图，以圆的半径为边长的正方形面积是 10平方厘米，则圆的面积是（ ）平方厘米。 解析： 3.14×10＝31.4（平方厘米） 【对应练习 1】 下中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是 225m2，草坪的面积是多 少平方米？ 解析： 33.14 225 4   706.5 0.75  第 30 页 共 58 页 =529.875（m2） 答：草坪的面积是 529.875平方米。 【对应练习 2】 已知下图正方形的面积是 50平方分米，圆的面积是（ ）平方分米。 解析：157 【对应练习 3】 如图，已知正方形的面积是 9 cm2，这个圆的面积是（ )cm2。 解析：28.26 【典型例题 2】圆与长方形的转化 如图，圆的面积与长方形的面积相等，圆的半径是 3cm，长方形的长是（ )cm。 解析： 长方形的长：3×3.14＝9.42（cm） 【对应练习 1】 如图，圆的面积和长方形的面积相等，如果圆的半径是 6厘米，那么长方形的周长是多少厘米？ 第 1 页 共 33 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 33 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元圆·总集篇·十六种阴影图形面积法【十六大考点】 专题名称 第一单元圆·总集篇·十六种阴影图形面积法 专题内容 本专题以求含圆的不规则或组合图形面积为主，其中一共总结了十六种阴影图 形面积法，属于求不规则图形、组合图形、阴影部分图形面积的总集合 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合 训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握 情况和总体水平，选择性进行讲解。 考点数量 十六大考点 【考点一】阴影图形面积法其一：直接求法（公式法） .................................................................................4 【考点二】阴影图形面积法其二：相加法（S 阴影=S1＋S2） ........................................................................... 5 【考点三】阴影图形面积法其三：相减法（S 阴影=S 整体－S 空白） ................................................................. 7 【考点四】阴影图形面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S 阴影=S1＋S2－S3） ............................... 8 【考点五】阴影图形面积法其五：平移法 ....................................................................................................... 10 【考点六】阴影图形面积法其六：拼接法 ....................................................................................................... 11 【考点七】阴影图形面积法其七：旋转法（翻转法） ................................................................................... 12 【考点八】阴影图形面积法其八：割补法 ....................................................................................................... 14 【考点九】阴影图形面积法其九：重组法 ....................................................................................................... 16 第 3 页 共 33 页 【考点十】阴影图形面积法其十：整体代换法（转化法） ...........................................................................17 【考点十一】阴影图形面积法其十一：辅助线法 ........................................................................................... 21 【考点十二】阴影图形面积法其十二：容斥原理（重叠、分层思路） .......................................................22 【考点十三】阴影图形面积法其十三：差不变原理（差不变思想） ...........................................................24 【考点十四】阴影图形面积法其十四：图示法（羊吃草问题） ...................................................................27 【考点十五】阴影图形面积法其十五：平移运动问题（动态变化问题） ...................................................30 【考点十六】阴影图形面积法其十六：旋转运动问题（动态变化问题） ...................................................31 第 4 页 共 33 页 【考点一】阴影图形面积法其一：直接求法（公式法） 方法点拨 直接求法，即根据已知条件，从整体出发，利用面积相关公式可以直接求出 阴影部分的面积，是最为简单的求面积方法，熟练掌握图形面积公式是解决 问题的关键。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求圆的面积和周长。（单位：m) 【对应练习 1】 求圆的周长和面积。（单位：厘米） 【对应练习 2】 求下面各圆的周长和面积。（单位：cm) 第 5 页 共 33 页 【对应练习 3】 求下面各圆的周长。（单位：cm) 【考点二】阴影图形面积法其二：相加法（S 阴影=S1＋S2） 方法点拨 相加法，即加法分割思路，把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的 规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分 别计算出面积，并相加得出阴影部分的面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题 1】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 第 6 页 共 33 页 【对应练习 1】 图中爱心是由一个正方形和两个半圆拼成的，请计算出它的周长和面积。（单位：cm) 【对应练习 2】 求下面图形的周长和面积。（单位：cm) 【对应练习 3】 计算如图图形的周长和面积。（单位：cm) 第 7 页 共 33 页 【考点三】阴影图形面积法其三：相减法（S 阴影=S 整体－S 空白） 方法点拨 相减法，即减法拓展思路，是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部 分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴 影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题 1】基础型 求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【典型例题 2】提高型 如图，直角三角形 ABC的面积为 12平方厘米，半圆以 BC为直径，求阴影部分的面积。 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 第 8 页 共 33 页 【对应练习 2】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm) 【对应练习 3】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：m) 【考点四】阴影图形面积法其四：加减混合与“混合型图形”（S 阴影=S1＋S2－S3） 方法点拨 含圆的混合型图形，即在解决问题的过程需要多次使用相加法或相减法来求 阴影面积，这些图形往往看起来比较复杂，计算起来也较为困难，可以首先 观察图形，然后合理分解成部分可求的图形，最后再相加或相减。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 已知正方形的边长是 8cm，计算图中阴影部分的面积。 第 9 页 共 33 页 【对应练习 1】 如图，O为圆心，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。 【对应练习 2】 如图，两个相连的正方形的边长是 8厘米和 3厘米，求阴影部分的面积。（结果保留 ） 【对应练习 3】 如图中的圆是以 O为圆心、半径是 10厘米的圆，求阴影部分的面积。 第 10 页 共 33 页 【考点五】阴影图形面积法其五：平移法 方法点拨 平移法，即通过把部分图形平行移动可以把不规则图形转变为已学的规则图 形，进而求出图形的面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求阴影部分的周长和面积。（π取 3.14） 【对应练习 1】 求涂色部分的面积。（单位：cm。） 【对应练习 2】 求阴影部分的面积。 第 11 页 共 33 页 【对应练习 3】 先量出必要的数据，再计算涂色部分的面积。 【考点六】阴影图形面积法其六：拼接法 方法点拨 拼接法，即在部分扇形半径相等的情况下，可以通过移动扇形，把扇形拼接 成一个整体。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 下图中阴影部分面积之和是多少平方厘米？ 【对应练习 1】 计算下图中阴影部分的面积。 第 12 页 共 33 页 【对应练习 2】 计算阴影部分面积。（ 取 3.14） 【对应练习 3】 求涂色部分的面积。 【考点七】阴影图形面积法其七：旋转法（翻转法） 方法点拨 旋转法（翻转法），即根据图形的特征，将原图的某一部分进行翻转或旋转， 最后得到便于求解的新图形。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求下图中阴影部分的周长和面积。（单位：cm） 第 13 页 共 33 页 【对应练习 1】 求如图阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习 2】 如图，求图中阴影部分面积。（单位：厘米）（小圆半径为 1厘米） 第 14 页 共 33 页 【对应练习 3】 如图，点 P是正方形 ABCD内部的一点，连接 PA、PB、PC。将 PAB 绕着点 B顺时针旋转 90° 到 P CB  的位置。设 AB m ，PB n ， m n ，求 PAB 旋转到 P CB  的过程中边 PA所扫过的区 域（图中阴影部分）的面积。 【考点八】阴影图形面积法其八：割补法 方法点拨 割补法，即分割拼补的思路，是把不规则的阴影面积通过分割和拼补，使之 变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求下列阴影部分的面积。（单位：cm） 第 15 页 共 33 页 【对应练习 1】 求阴影部分的面积（图中的三角形都是等腰直角三角形）。（单位：分米） 【对应练习 2】 求下面图中涂色部分的面积。 【对应练习 3】 求图中阴影部分的面积。 第 16 页 共 33 页 【考点九】阴影图形面积法其九：重组法 方法点拨 重组法，即根据具体情况和计算上的需要把原来图形拆开，并加以重新组合， 使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形，然后结合 相减法求出阴影面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，大圆半径 R=8厘米，小圆的半径 r=4厘米．求阴影部分的面积。 【对应练习 1】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 第 17 页 共 33 页 【对应练习 2】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 【对应练习 3】 如图，正方形 ABCD的面积是 36平方厘米，求阴影部分的面积． 【考点十】阴影图形面积法其十：整体代换法（转化法） 方法点拨 整体代换法，即通过平面图形之间的等量关系，将图形面积整体代换，再根 据相应面积公式求出面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题 1】圆与正方形的转化 如图，以圆的半径为边长的正方形面积是 10平方厘米，则圆的面积是（ ）平方厘米。 第 18 页 共 33 页 【对应练习 1】 下中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是 225m2，草坪的面积是多 少平方米？ 【对应练习 2】 已知下图正方形的面积是 50平方分米，圆的面积是（ ）平方分米。 【对应练习 3】 如图，已知正方形的面积是 9 cm2，这个圆的面积是（ )cm2。 第 19 页 共 33 页 【典型例题 2】圆与长方形的转化 如图，圆的面积与长方形的面积相等，圆的半径是 3cm，长方形的长是（ )cm。 【对应练习 1】 如图，圆的面积和长方形的面积相等，如果圆的半径是 6厘米，那么长方形的周长是多少厘米？ 【对应练习 2】 如图所示，圆的周长是 18.84厘米，圆的面积等于长方形的面积，那么阴影部分的周长是多少 厘米？ 【对应练习 3】 如图，长方形面积和圆面积相等，已知圆的半径是 3厘米，求阴影部分的面积和周长。 第 20 页 共 33 页 【典型例题 3】圆与三角形的转化 如图中，直角三角形（阴影部分）的面积是 12平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。 【对应练习 1】 下图中等腰直角三角形的两条直角边正好是半径，三角形的面积是 20平方厘米，图中空白部 分的面积是多少平方厘米？ 【对应练习 2】 图中，三角形 AOC的面积是 8平方厘米，求涂色部分的面积。 【对应练习 3】 如图，已知三角形 OAB的面积是 18平方厘米，求阴影部分的面积。 第 21 页 共 33 页 【考点十一】阴影图形面积法其十一：辅助线法 方法点拨 辅助线法，即在通常手段无法求出阴影部分面积时，需要尝试使用添加辅助 线的方法解决。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，三角形 ABC是等腰直角三角形，点 D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，阴影部分 的面积是多少？（单位：厘米） 【对应练习 1】 求图中阴影部分的周长和面积。（π取 3.14） 【对应练习 2】 计算下图中阴影部分的面积。（单位：cm) 第 22 页 共 33 页 【对应练习 3】 数学思考。 如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中 P为半圆周的中点，Q为正方形 BC边上的中点， 求空白部分的面积。（单位：平方厘米） 【考点十二】阴影图形面积法其十二：容斥原理（重叠、分层思路） 方法点拨 容斥原理，即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图 形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各 个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图（单位：厘米），四边形 ABCD是长方形，其中弧 AE以点 B为圆心，AB的长为半径， 弧 AF的点 D为圆心，AD的长为半径。计算阴影部分的面积。 第 23 页 共 33 页 【对应练习 1】 如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米） 【对应练习 2】 如图，三角形 ABC是等腰直角三角形， 8cmAB AC  ，弧 AD是以 CA为半径的圆的一部分， 45C  ，求图中阴影部分的面积。 【对应练习 3】 等腰直角三角形 ABC的面积是 8平方厘米，求阴影部分的面积． 第 24 页 共 33 页 【考点十三】阴影图形面积法其十三：差不变原理（差不变思想） 方法点拨 差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果 S甲=S乙，那么 S甲+S空 白=S乙+S空白，反之亦可。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题 1】问题一 如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为 4厘米、圆心角为 90°的扇形拼成的图形，利用差 不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？ 【典型例题 2】问题二 如图，半圆的直径是 10厘米，阴影部分甲比乙的面积少 1.25平方厘米，求直角三角形 ABO 的边 OA的长。 第 25 页 共 33 页 【典型例题 3】问题三 如下图，甲、乙两个阴影部分面积相等，BC长是 8厘米，求 AB长是多少厘米？（本题π取值 为 3） 【对应练习 1】 下图中，涂色部分甲比乙的面积大 211.25cm 。求 BC 的长。 【对应练习 2】 如图，三角形 ABC是直角三角形，AB长 20厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积 大 37平方厘米，求 BC的长。 第 26 页 共 33 页 【对应练习 3】 如图，已知：S1比 S2多 28平方厘米，求 BC长多少厘米？ 【对应练习 4】 如图，三角形 ABC是直角三角形，阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小 23平方厘米。求 BC的长度。 第 27 页 共 33 页 【考点十四】阴影图形面积法其十四：图示法（羊吃草问题） 方法点拨 图示法，即先根据题意，画出图形的轨迹，再求面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题 1】旋转作图 在等腰直角三角形 ABC 中，角 C是直角， 10AC BC  厘米，以 C点为中心逆时针旋转 90°。 求线段 AB 扫过的面积。 【对应练习】 如图，一枚半径是 1厘米的游戏币沿着边长是 4厘米的等边三角形的边绕一圈，它扫过的面积 是多少平方厘米？ 【典型例题 2】羊吃草问题一 在一块草坪地的木桩上拴着一只羊，绳长 2米，这只羊最多能吃着草地的面积是多少平方米？ 第 28 页 共 33 页 【典型例题 3】羊吃草问题二 草场上有一个长 20m，宽 10m 的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30m的绳子拴着一只羊（见 右图），这只羊能够活动的范围有多大？ 【典型例题 4】羊吃草问题三 墙角 O点处有一木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长 4m，墙角两边的墙长 2m。问这 只羊能吃到草的面积最多是多少？ 【对应练习 1】 如图，一只狗被缚在一建筑物的墙角 O处，这个建筑物是边长 600厘米的正方形，缚狗的绳 子长 20米．现在狗从 A点出发，将绳拉紧顺时针跑，可跑多少米？ 第 29 页 共 33 页 【对应练习 2】 一块正方形的草地，边长是 3米，在两个对角的顶点处各种一棵树，树上各拴一只羊，拴羊的 绳子都是 3米。这两只羊都能吃到的草的面积有多大？ 【对应练习 3】 一块正方形的草地，边长 4米，一对角线的两个顶点各有一棵树，树上各拴着一只羊，栓羊的 绳子长都是 4米，两只羊都能吃到草的草地的面积是多少平方米？ 第 30 页 共 33 页 【考点十五】阴影图形面积法其十五：平移运动问题（动态变化问题） 方法点拨 在平移运动过程中，图形的形状与面积都可能会发生变化，关键在于理解运 动变换过程的规律，画出不同的示意图。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图所示，正方形和圆相距 30厘米，正方形的边长和圆的直径都是 10厘米，正方形沿着直线 向右做平移运动，圆沿着直线向左做平移运动。正方形每秒运动 3厘米，比圆的速度慢 25 。当 圆和正方形完全重叠时，没有重合部分的面积是多少？正方形与圆同时开始运动到最后完全分 开经过的时间是多少秒？ 【对应练习 1】 已知一个半圆工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受 损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径贴地面，再将它沿地面平移 60米，半 圆的直径为 6米，则圆心 O所经过的路线的长为( )米。