（篇二）第一单元圆·圆的周长篇【二十二大考点】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

第 1 页 共 32 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 32 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元圆·圆的周长篇【二十二大考点】 专题名称 第一单元圆·圆的周长篇 专题内容 本专题以圆的周长为主，其中包括圆周长的基本问题、实际应用问题以及其他 相关的变式问题等内容。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 本专题作为圆单元的重点内容，考点划分较多，内容十分丰富，部分考点难度 较大，题型多以填空、选择、计算、应用为主，建议作为本章核心内容进行讲 解。 考点数量 二十二大考点 【考点一】圆的周长的意义 ................................................................................................................................. 4 【考点二】圆周率π的意义 ................................................................................................................................... 6 【考点三】圆的周长计算公式 ............................................................................................................................. 7 【考点四】已知周长，反求半径或直径 ............................................................................................................. 8 【考点五】半圆的周长 .............................................................................................................................. 10 【考点六】半圆周长的变化问题 ....................................................................................................................... 10 【考点七】三种关系之半径、直径和周长的倍数关系 ..........................................................................11 【考点八】三种关系之半径、直径和周长的比例关系 ..........................................................................12 【考点九】三种关系之半径、直径和周长的增减变化关系 ............................................................. 13 第 3 页 共 32 页 【考点十】圆与长方形的拼切转化问题 ........................................................................................................... 13 【考点十一】圆的周长与最圆问题 ................................................................................................................... 14 【考点十二】圆周长的应用问题其一：钟表指针运动问题 ...........................................................................16 【考点十三】圆周长的应用问题其二：植树问题 ........................................................................................... 17 【考点十四】圆周长的应用问题其三：普通行程问题 ..................................................................... 17 【考点十五】圆周长的应用问题其四：相遇问题 .........................................................................20 【考点十六】圆周长的应用问题其五：内外圈运动问题 ...............................................................................21 【考点十七】圆周长的应用问题其六：圆周数量问题 ................................................................................... 23 【考点十八】圆周长的应用问题其七：复杂的圆周运动问题 .......................................................................24 【考点十九】圆周长的应用问题其八：圆周长的大小比较问题 ...................................................................27 【考点二十】求不规则或组合图形的周长其一：相加法（分解法） ....................................29 【考点二十一】求不规则或组合图形的周长其二：平移法（拼组法） ................................30 【考点二十二】求不规则或组合图形的周长其三：转化法求捆扎圆柱形物体时绳的长度 31 第 4 页 共 32 页 【考点一】圆的周长的意义 方法点拨 1. 圆的周长。 围成圆的曲线的长度就是圆的周长。 2. 圆的周长的测量方法。 (1)直接测量法 可以拿卷尺或皮尺直接绕圆形物体一周测量。 (2)滚动法 滚动法适合测量较小、较轻的圆形物体的周长。 如图，在圆形物体上任选一点标记为点 A，作为起点(终点)。将标记点 A对 准直尺的 0刻度线，滚动一周后标记点 A所对的刻度就是圆形物体的周长。 (3)绕绳法 绕绳法适合测量树干等不能移动且横截面为圆的物体的周长。 先用一根没有弹性的绳子绕圆形物体一周，在重合的起点和终点处分别做标 记，再拉直绳子，两标记点之间的长度，就是圆形物体的周长。 注意： 用直接测量法、滚动法、绕绳法测量圆的周长都有一定的局限性，而且测得 的数据均有一定的误差。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 第 5 页 共 32 页 【典型例题】 一辆行驶中的电动车前轮压碎一个香蕉，在路上留下了几个印记（如图）。被压碎的香蕉与第 一个印记之间的距离大约是1.5 m，则1.5 m表示( )。 A．电动车的车长 B．两车轮之间的距离 C．前轮的周长 D．前轮的直径 【对应练习】 一辆行驶中的小轿车前轮压碎一个苹果，在路上留下了几个印记（如图）。被压碎的苹果与第 一个印记之间的距离大约是 2米，则 2米表示( )。 A．小轿车的车长 B．两车轮之间的距离 C．前轮的周长 D．前轮的直径 第 6 页 共 32 页 【考点二】圆周率π的意义 方法点拨 1. 圆周率。 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物 理学中普遍存在的数学常数(约等于 3.14)，它是一个无限不循环小数， π=3.1415926535……，但在日常生活中，通常都用 3.14代表圆周率去进行近 似计算。 2. 古代数学文化。 （1）刘徽（三国时期，约公元 250年），首创“割圆术”，通过圆内接正 多边形逼近圆周，首次给出π的科学算法。 （2）祖冲之（南北朝，429–500年），将π值精确至小数点后第七位 （3.1415926–3.1415927） （3）阿基米德（古希腊，公元前 287–212年），最早系统计算π值，采用内 外切正多边形双逼近法。 （4）阿尔·卡西（波斯，1380–1429年），中世纪伊斯兰数学巅峰代表，将π 算至小数点后第 16位。 （5）《周髀算经》（西汉，约公元前 1世纪），首次记载“周三径一”（π≈3） 的圆周率近似值，奠定中国古代几何学基础。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 下列关于圆周率 ，说法正确的是( )。 ① 是个无限不循环小数。 ② ＞3.14。 ③周长大的圆， 就大，周长小的圆， 就小。 ④ 是圆的周长除以它直径的商。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【对应练习 1】 我国关于圆周率的最早记录出自( )。 第 7 页 共 32 页 A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《莱茵德草卷》 D．《几何原本》 【对应练习 2】 我国古代( )算出π的值在 3.1415926和 3.1415927之间． 【对应练习 3】 历史上研究圆周率的数学家有很多．请写出你知道的三位数学家：( )，( )， ( )。 【考点三】圆的周长计算公式 方法点拨 圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率，如果用 C表示圆的周 长，用 r表示圆的半径，用 d表示圆的直径，那么圆的周长计算公式是 C=πd 或 C=2πr。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题】 一个圆的半径是 3厘米，它的周长是( )厘米。 【对应练习 1】 一个圆的直径是 4厘米，它的周长是( )。 【对应练习 2】 用圆规画了一个圆，圆规两脚间的距离是 3厘米，这个圆的直径是( )厘米，周长是 ( )厘米。 【对应练习 3】 将圆规张开成 1.5厘米后画一个圆，它的直径是( )厘米，它的周长是( )厘米。 第 8 页 共 32 页 【考点四】已知周长，反求半径或直径 方法点拨 根据圆的周长计算公式变形，可以反求半径或直径。 1. 已知圆的周长，反求圆的半径：r=C÷π÷2。 2. 已知圆的周长，反求圆的直径：d=C÷π。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题 1】反求半径 小英绕着花坛边缘走了一圈，刚好是 37.68米，这个花坛的半径是多少米？ 【对应练习 1】 一个古代建筑中大红圆柱横截面的周长是 3.14米。这个圆柱横截面的半径是多少米？ 【对应练习 2】 把一根 6.28米长的绳子绕在一棵千年古树上，正好能绕两圈，这棵古树的半径是多少米？ 【对应练习 3】 把一根长为 10米的绳子，在一个圆盘上绕了三圈，还剩下 0.58米，这个圆盘的半径是多少米？ 第 9 页 共 32 页 【典型例题 2】反求直径 一个古代建筑中大红圆柱横截面的周长是 3.14米。这个圆柱横截面的直径是多少米？ 【对应练习 1】 用一根绳子绕一根竖直放置的木材一圈的长度是 50.24厘米，这根木材的水平截面的直径是多 少厘米？ 【对应练习 2】 小明和小华用一根长 15.7米的绳子在校园的一棵树上正好绕了 10圈。请你帮他俩算一算这棵 树树干的直径是多少米？ 【对应练习 3】 用一根长 30分米的绳子绕一根圆柱形柱子三圈后还多 1.74分米，这根圆柱形柱子的直径是多 少分米？ 第 10 页 共 32 页 【考点五】半圆的周长 方法点拨 半圆的周长指的是圆的周长的一半与 1条直径或 2条半径的长度和，半圆的 周长计算公式是 C 半圆= 2 1 πd+d或 C 半圆=πr+2r。 易混易错点： 半圆的周长和圆周长的一半是不同的概念，有着不同的计算方法，圆周长的 一半=圆的周长÷2=πr。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题 1】半圆的周长 一个半圆的直径为 3厘米，它的周长是( )厘米。 【对应练习 1】 一个半圆的直径是 10厘米，它的周长是( )厘米。 【对应练习 2】 半径 10分米的半圆，它的周长是( )分米。 【对应练习 3】 把一个直径 10cm的圆剪成两个半圆，则两个半圆周长之和是( )cm。 【典型例题 2】已知半圆的周长，反求半径或直径 一个半圆的周长为 15.42厘米，它的直径是( )厘米。 【对应练习】 画一个周长是 20.56cm的半圆，圆规两脚间的距离应该是( )cm。 【考点六】半圆周长的变化问题 方法点拨 半圆的周长指的是圆的周长的一半与 1条直径或 2条半径的长度和，半圆的 周长计算公式是 C 半圆= 2 1 πd+d或 C 半圆=πr+2r。 考察形式 填空、选择 动态评价 第 11 页 共 32 页 【典型例题】 把一个圆形纸板剪成两个相等的半圆，它的周长增加了 40厘米，这个圆形纸板的半径是 ( )厘米。 【对应练习 1】 如图，把一张圆形纸片剪成 2个半圆，它的周长增加 20cm，原来这个圆的半径是( )cm， 周长是( )cm。 【对应练习 2】 把一张圆形纸板剪成两个相等的半圆，发现周长增加16cm。每个半圆的周长是( ) cm。 【对应练习 3】 一个圆的周长是 37.68分米，把它分成两个半圆后，两个半圆的周长和比原来圆的周长增加了 ( )分米。 【考点七】三种关系之半径、直径和周长的倍数关系 方法点拨 1. 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的 倍数。 例如：在同一个圆里，半径扩大 4倍，那么直径和周长就都扩大 4倍。 2. 在同一个圆里，大圆半径是小圆半径的 a倍，则大圆直径或周长都是小圆 直径或周长的 a倍。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】问题一 甲圆的半径是乙圆半径的 2倍，那么甲圆的周长是乙圆周长的( )倍。 【对应练习 1】 如果大圆的周长是小圆的 2倍，当小圆的直径是 2分米时，大圆的直径是( )分米。 A. 8 B. 4 C. 6 第 12 页 共 32 页 【对应练习 2】 自行车后轮的半径是前轮的 1.5倍，后轮转动 12周，前轮转了( )周。 A．8 B．12 C．18 【典型例题 2】问题二 圆的半径扩大 3倍，直径就扩大( )倍，周长会扩大( )倍。 【对应练习 1】 圆的半径扩大到原来的 3倍，直径扩大到原来的( )倍，周长扩大到原来的( )倍。 【对应练习 2】 如果一个圆的半径扩大到原来的 3倍，那么它的直径扩大到原来的( )倍，周长扩大到 原来的( )。 【考点八】三种关系之半径、直径和周长的比例关系 方法点拨 两个圆的半径之比等于它们的直径之比，等于它们的周长之比。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 大圆的半径等于小圆的直径，那么大圆和小圆周长之比是( )。 【对应练习 1】 有大小两个圆，大圆直径时 6cm，大圆周长与小圆周长之比是 2:1，小圆直径是( )。 【对应练习 2】 一个小圆和一个大圆的半径之比是 1∶3，如果小圆的周长是 3.14厘米，那么大圆的周长是 ( )。 【对应练习 3】 如图中，线段 AD的长度是 90厘米，三个圆的直径之比是 1∶2∶3，那么，这三个圆的周长 之和是( )厘米。 第 13 页 共 32 页 【考点九】三种关系之半径、直径和周长的增减变化关系 方法点拨 1. 当一个圆的半径增加 a厘米时，它的周长就增加 2πa厘米； 2. 当一个圆的直径增加 a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个圆的半径由 3厘米增加到 5厘米，周长增加了( )厘米。 【对应练习 1】 圆的半径增加1cm，直径增加( ) cm，周长增加( ) cm。 【对应练习 2】 圆的半径增加 3厘米，直径增加( )厘米，周长增加( )厘米。 【对应练习 3】 圆的直径增加 2厘米，周长增加( )厘米。圆的周长增加 3π厘米，半径增加( ) 厘米。 【考点十】圆与长方形的拼切转化问题 方法点拨 把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半， 用字母πr表示，宽相当于圆的半径。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个半径为 15厘米的圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。长方形宽是( )厘 米，长是( )厘米。长方形的周长比圆的周长长( )厘米。 第 14 页 共 32 页 【对应练习 1】 张洋把一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再将两个三角 形拼成平行四边形（如下图）。测得平行四边形的底是 15.7厘米，圆形茶杯垫片的半径是 ( )厘米 【对应练习 2】 如图用“拼割法”将半径 3厘米的圆拼成了一个近似的长方形，拼成的长方形的长是 ( )cm，宽是( )cm。 【对应练习 3】 将一个半径 4厘米的圆，沿着半径剪开，得到若干个小扇形，然后拼成一个近似长方形（如图）， 拼成的长方形的周长比原来圆的周长增加( )厘米。 【考点十一】圆的周长与最圆问题 方法点拨 1. 在正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； 2. 在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】正方形的最圆问题 第 15 页 共 32 页 在一张边长为 10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm。 【对应练习 1】 把一张周长是 16cm的正方形纸片剪成一个最大的圆，这个圆的直径长( )cm，周长是 ( )cm。 【对应练习 2】 从一张边长是 10厘米的正方形纸片中剪一个最大的圆，圆的直径是( )厘米，它的周 长是( )厘米。 【对应练习 3】 在一个边长为 10cm的正方形中画一个最大的圆，这个图形有( )条对称轴。正方形中这 个最大圆的周长是( )cm。 【典型例题 2】长方形的最圆问题 小文在一张长10cm，宽8cm的长方形纸上剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm。 【对应练习 1】 在长 5厘米、宽 4厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是( )。 【对应练习 2】 如下图，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是( )厘米，如果在这个长方形内 画一个最大的半圆，这个半圆的直径是( )厘米。 【对应练习 3】 在一个长 12厘米，宽 8厘米的长方形纸上剪下一个最大的半圆，这个半圆的半径是( ) 厘米，周长是( )厘米。 第 16 页 共 32 页 【考点十二】圆周长的应用问题其一：钟表指针运动问题 方法点拨 1. 时针每走 12小时转动一周，一天转动 2周。 2. 时针每过一小时，分钟就转到一周，一天转动 24周。 考察形式 填空、应用 动态评价 【典型例题】 一台座钟的分针长 10厘米，经过 45分钟后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？ 【对应练习 1】 钟楼上装有一个圆形大钟，它的分针长 50厘米。分针的尖端每小时所走的路程是多少厘米？ 【对应练习 2】 一个钟表的分针长 10厘米，从上午 9时到上午 10时，分针的顶部走过的长度是多少厘米？ 【对应练习 3】 一只挂钟经过 45分钟后，分针的尖端所走的路程是 94.2厘米，这只挂钟的分针长多少厘米？ 第 17 页 共 32 页 【考点十三】圆周长的应用问题其二：植树问题 方法点拨 植树问题在圆形中的应用主要是利用段数与棵数相等的特点解决生活问题。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 锦华园有一个圆形花坛，直径是 15m。如果在花坛的边缘每隔 0.3m安装一盏地灯，一共要安 装( )盏。 【对应练习 1】 在一个半径是 50米的圆形鱼塘边上每隔 3.14米栽一棵树，共栽树( )棵。 A.100 B.50 C.101 D.51 【对应练习 2】 一个圆形花坛的直径是 20m．在花坛的周围摆放花，每隔 1.57m摆放一盆，一共可以摆放 ( )盆花。 【对应练习 3】 一个圆形水池，直径 400米，沿池边隔 4米栽一棵树，一共能栽( )棵树。 【考点十四】圆周长的应用问题其三：普通行程问题 方法点拨 1. 车轮转一圈就是圆的一周。 2. 路程=速度×时间；时间=路程÷速度。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】求路程 世贸摩天城的摩天轮，它的直径大约是 90米，旋转一周所需时间约 30分钟，东东坐上摩天轮 20分钟后，他在空中大约移动了多少米？ 第 18 页 共 32 页 【对应练习 1】 一种自行车轮胎的外直径是 8分米，李老师骑自行车从家到图书馆用了 10分钟，如果车轮每 分钟转 100周，李老师家到图书馆的路程是多少米？ 【对应练习 2】 自行车车轮的直径大约是 65厘米，小明每天都从家骑自行车到学校。如果车轮每分转 100圈， 那么小明从家到学校需要骑 20分。小明家到学校大约有多少千米？（π取 3.14，结果保留整数。） 【对应练习 3】 “最美的风景在路上”，北海银滩四号路像一条五彩缤纷的绸带缭绕于银滩边，成为北海新晋的 “网红路”。骑行共享单车从银滩旅游集散中心到银滩公园大约用 20分钟，如果一辆共享单车 轮胎的外直径大约是 0.7米，车轮平均每分钟转 100圈，两地之间相距多少米？ 第 19 页 共 32 页 【典型例题 2】求时间 一辆自行车车轮直径 70厘米，如果车轮平均每分钟转 100圈，那么行驶完 5495米的大桥需要 多少分钟？ 【对应练习 1】 一辆自行车的轮胎外直径约是 0.8米，如果平均每分钟转 100圈，走 500米路大约需要几分钟？ （得数保留整数） 【对应练习 2】 “节能低碳，绿色出行”，李老师骑自行车上班，他家到学校的路程是 4.5千米，自行车车轮儿 的外直径约是 0.75米（28型自行车），平均每分钟转 100圈。照这样的速度，李老师到学校 需要骑这辆自行车约多少分钟？（ 取 3） 【对应练习 3】 “节能低碳，绿色出行”，李明的爸爸骑自行车上班的路程是 4.71千米，车轮的外直径是 0.6米， 平均每分钟转 100圈。照这样的速度，他从家到单位需要骑多少分钟？ 第 20 页 共 32 页 【考点十五】圆周长的应用问题其四：相遇问题 方法点拨 相遇时间=路程÷速度和。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 小明和小亮沿着半径是 500m的圆形湖边同时从同一地点相向而行。小明每分钟行 81m，小亮 每分钟行 76m，两人经过多少分钟相遇？ 【对应练习 1】 洋洋和爷爷在体育场散步，他们下午 7：00从体育场的同一地点出发，相背而行，他们都沿着 体育场的边线走，爷爷每分钟走 60米，洋洋走的速度是爷爷的13 12 ，体育场如下图。 （1）体育场的周长有多少米？ （2）5分钟后他们相遇了吗？ 【对应练习 2】 （综合应用问题）（如下图）A、B是圆直径的两端点，甲从 A点、乙从 B点同时出发，沿圆 周相向而行，两人在 C点相遇，已知 A、C两点在圆周上的长度为 31.4米，甲的速度是乙的 25 ， 则圆的直径是多少米？ 第 21 页 共 32 页 【对应练习 3】 （二次相遇问题）如图，将一张圆形纸对折，在折痕的两端各放一只小蚂蚁．让它们同时出发， 沿圆形纸反向爬行．当在 C处第一次相遇时，C点离 A点 8厘米；当在 D处第二次相遇时， D点离 B点 6厘米．这个圆形纸的周长是多少厘米？ 【考点十六】圆周长的应用问题其五：内外圈运动问题 方法点拨 C 外－C 内=2πR－2πr=2π(R－r)，内外圈周长之差也就是两个圆半径之差与π的 积的 2倍，而每条跑道的宽就是两个圆半径之差。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 假期期间，奇奇和爸爸两人开始在操场（如图）进行跑步锻炼，爸爸沿外圈跑，奇奇沿内圈跑。 跑完一圈爸爸比奇奇多跑多少米？（ 取3.14） 第 22 页 共 32 页 【对应练习 1】 （多圈道问题）在学校 200米的跑道中，每条跑道宽 1.2米。由于有弯道，为了公平，外道和 内道选手的起跑线不在同一地点。如：A点处是小明的起跑线，B点处是小强的起跑线（如图）。 A，B两点的距离是多少米？ 【对应练习 2】 （多圈道问题）学校环形跑道的形状如下图，跑道由两条直的跑道和两个半圆形跑道组成，每 条跑道宽 1.25米。东东和田田从同一起点出发，分别沿着第一、第二跑道内侧跑一圈。田田 要比东东多跑多少米？ 【对应练习 3】 （多圈道问题）有一个 200m环形跑道，它是由两个直道和两个半圆形跑道组成，直道长 50m， 每条跑道宽为 1.25m（如下图）。 第 23 页 共 32 页 （1）小军沿着第二道（由内向外数）跑一圈，他跑了多少米？ （2）如果在这个跑道上进行 200m赛跑，请问第 3道的起跑线与第 1道相差多少？ （3）如果在这个跑道上进行 100m赛跑，又该怎样确定起跑线的位置呢？ 【考点十七】圆周长的应用问题其六：圆周数量问题 方法点拨 圆周数量=总路程÷一周的长度。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为 40厘米，要骑过 50米长的钢丝，车轮大约转动多 少周？ 【对应练习 1】 滚铁环是有趣的儿童游戏。欢欢制作了一个直径为 30厘米的圆形铁环，铁环滚动 188.4米， 需要滚动多少圈？ 【对应练习 2】 杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为 40厘米。要骑过 50.24米长的钢丝，车轮大约要 转动多少周？ 第 24 页 共 32 页 【对应练习 3】 如下图：地面上有一个半径 1米的圆柱形油桶。如果要滚到墙边，需要滚动多少圈？聪聪是这 样解答的：  13.56 3.14 1 2 2    （圈）。 如果你认同聪聪的解答，请解释这样做的想法。如果你不认同聪聪的解答，请给出你的解答。 【对应练习 4】 用皮带连接的两个皮带轮，大轮半径为 6分米，小轮半径为 4分米，大轮每分钟转 300转，小 轮每分钟转多少转？ 【考点十八】圆周长的应用问题其七：复杂的圆周运动问题 方法点拨 由于圆周长和行程问题的综合应用，圆的运动问题变得十分复杂，在解决问 题的过程中需要具体分析不同运动方式和运动路径。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图所示，大圆不动，小圆贴合着大圆沿顺时针方向不断滚动。小圆的半径是 2cm，大圆的半 径是6cm。 第 25 页 共 32 页 （1）当小圆从大圆上的点A出发，沿着大圆滚动，第一次回到点A时，小圆的圆心走过路线 的长度是多少厘米？ （2）小圆未滚动时，小圆上的点M 与大圆上的点A重合，从小圆滚动后开始计算，当点M 第 10次与大圆接触时，点M 更接近大圆上的点( )。（括号里填A、 B、C 或D。） 【对应练习 1】 如图所示，两个圆周只有一个公共点A，大圆直径 AB 为 48厘米，小圆直径 AC 为 30厘米，甲、 乙两虫同时从A点出发，甲虫以每秒 0.5厘米的速度顺时针沿大圆圆周爬行，乙虫以同样速度 顺时针沿小圆圆周爬行（本题 取 3） （1）问乙虫第一次爬回到A点时，需要多少秒？ （2）两虫沿各自圆周不间断地反复爬行，能否出现这样的情况：乙虫爬回到A点时甲虫恰好 爬到 B 点？如果可能，求此时乙虫至少爬了几圈；如果不可能，请说明理由。 第 26 页 共 32 页 【对应练习 2】 王刚驾驶一辆奥迪轿车在一个环形公路上行驶，左右轮子距离 1.5米 （1）王刚行驶 2圈时，外轮比内轮多走了多少米？ （2）如图所示，王刚从 A点出发，开到 B点发现自己的手机忘带了，返回到 A点取手机后 又按原路行驶到 A点，请计算一下，左右两轮子哪个跑的路程远？远多少？ 【对应练习 3】 森林运动会上，蚂蚁、虫子要进行赛跑比赛。在猴子裁判画的跑道上，蚂蚁选择外圈的大圆跑 道，而虫子选择内圈的小圆跑道。它们速度相同，并且都是同时从点 A出发，沿着跑道回到 点 A。（1米、2米为小圆的直径长度） （1）第一次比赛，蚂蚁、虫子在图 1跑道上，蚂蚁在大圆按顺时针方向走一周，虫子在小圆 按①→②→③→④方向回到点 A。比赛结果是什么？请通过计算来验证你的结果。 （2）第二次比赛，蚂蚁、虫子在图 2跑道上，蚂蚁在大圆按顺时针方向走一周，虫子在小圆 按①→②→③→④→⑤→⑥方向回到点 A。比赛结果是什么？请通过计算验证结果。 （3）通过两次比赛结果，你有什么发现？请你画图，并通过计算验证你的发现。 第 27 页 共 32 页 【考点十九】圆周长的应用问题其八：圆周长的大小比较问题 方法点拨 圆周长的大小比较，如果小圆直径之和与大圆直径相等，那么两圆周长相等。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】问题一 如图是由 4个半圆组成的圆形，甲、乙两只蚂蚁同时从 A点出发前往 D点，甲蚂蚁沿着最大 半圆的弧线走，乙蚂蚁沿着较小的 3个半圆的弧线走。如果它们用同样的速度一直走，能同时 到达 D点吗？为什么？请写出你的思考过程。 【典型例题 2】问题一 下图中，外面一个圆的周长与里面两个小圆的周长之和相比，( )。 A．外圆的周长长 B．两个内圆周长的和长 C．一样长 D．无法确定哪个长 【对应练习 1】 在一个大圆里，以它的直径上的三个点为圆心，画出三个紧密相连的圆（如下图）。你知道大 圆的周长和这三个小圆的周长之和相比，哪一个更长一些吗？ 第 28 页 共 32 页 【对应练习 2】 如图，大圆的周长( )两个小圆的周长之和。 A．等于 B．大于 C．小于 【对应练习 3】 一条蚯蚓从甲地爬向乙地，图中两条路线，( )。 A．绕大半圆走近 B．绕小半圆走近 C．远近一样 【对应练习 4】 如图，从 A到 B有两条路，走哪条路近？( ) A．① B．② C．同样近 D．无法确定 第 29 页 共 32 页 【考点二十】求不规则或组合图形的周长其一：相加法（分解法） 方法点拨 求不规则或组合图形的周长，寻找该图形是由那些边组合而成的，将这些边 的长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 计算操场的周长。 【对应练习 1】 计算下面图形的周长。（单位：dm） 【对应练习 2】 求图中阴影部分的周长。 第 30 页 共 32 页 【对应练习 3】 计算下面图形的周长。 【考点二十一】求不规则或组合图形的周长其二：平移法（拼组法） 方法点拨 若大半圆的直径等于几个小半圆的直径和，则大半圆的长等于这几个小半圆 的长的和。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求阴影部分的周长。（单位：cm) 【对应练习 1】 如图，已知圆心为 O的半圆里还有两个较小的半圆，其中半圆 A的半径为 3cm，半圆 B的半 径为 1cm，求阴影部分的周长。（单位：cm) 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第一单元圆·圆的周长篇【二十二大考点】 专题名称 第一单元圆·圆的周长篇 专题内容 本专题以圆的周长为主，其中包括圆周长的基本问题、实际应用问题以及其他相关的变式问题等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为圆单元的重点内容，考点划分较多，内容十分丰富，部分考点难度较大，题型多以填空、选择、计算、应用为主，建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 二十二大考点 【考点一】圆的周长的意义 4 【考点二】圆周率π的意义 6 【考点三】圆的周长计算公式 7 【考点四】已知周长，反求半径或直径 9 【考点五】半圆的周长 12 【考点六】半圆周长的变化问题 15 【考点七】三种关系之半径、直径和周长的倍数关系 17 【考点八】三种关系之半径、直径和周长的比例关系 18 【考点九】三种关系之半径、直径和周长的增减变化关系 19 【考点十】圆与长方形的拼切转化问题 21 【考点十一】圆的周长与最圆问题 23 【考点十二】圆周长的应用问题其一：钟表指针运动问题 26 【考点十三】圆周长的应用问题其二：植树问题 28 【考点十四】圆周长的应用问题其三：普通行程问题 29 【考点十五】圆周长的应用问题其四：相遇问题 33 【考点十六】圆周长的应用问题其五：内外圈运动问题 36 【考点十七】圆周长的应用问题其六：圆周数量问题 39 【考点十八】圆周长的应用问题其七：复杂的圆周运动问题 41 【考点十九】圆周长的应用问题其八：圆周长的大小比较问题 46 【考点二十】求不规则或组合图形的周长其一：相加法（分解法） 49 【考点二十一】求不规则或组合图形的周长其二：平移法（拼组法） 50 【考点二十二】求不规则或组合图形的周长其三：转化法求捆扎圆柱形物体时绳的长度 52 【考点一】圆的周长的意义 方法点拨 1. 圆的周长。 围成圆的曲线的长度就是圆的周长。 2. 圆的周长的测量方法。 (1)直接测量法 可以拿卷尺或皮尺直接绕圆形物体一周测量。 (2)滚动法 滚动法适合测量较小、较轻的圆形物体的周长。 如图，在圆形物体上任选一点标记为点A，作为起点(终点)。将标记点A对准直尺的0刻度线，滚动一周后标记点A所对的刻度就是圆形物体的周长。 (3)绕绳法 绕绳法适合测量树干等不能移动且横截面为圆的物体的周长。 先用一根没有弹性的绳子绕圆形物体一周，在重合的起点和终点处分别做标记，再拉直绳子，两标记点之间的长度，就是圆形物体的周长。 注意： 用直接测量法、滚动法、绕绳法测量圆的周长都有一定的局限性，而且测得的数据均有一定的误差。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 一辆行驶中的电动车前轮压碎一个香蕉，在路上留下了几个印记（如图）。被压碎的香蕉与第一个印记之间的距离大约是，则表示( )。 A．电动车的车长 B．两车轮之间的距离 C．前轮的周长 D．前轮的直径 【答案】C 【分析】香蕉被压碎时会在前轮留下印记，可以将这个印记看作一个点，电动车向前行驶，在路上留下的第一个印记就是前轮上的印记绕前轮一周后留在路上的印记，所以被压碎的香蕉与第一个印记之间的距离就是前轮的周长，据此分析。 【详解】根据分析，被压碎的香蕉与第一个印记之间的距离大约是，则表示前轮的周长。 故答案为：C 【对应练习】 一辆行驶中的小轿车前轮压碎一个苹果，在路上留下了几个印记（如图）。被压碎的苹果与第一个印记之间的距离大约是2米，则2米表示( )。 A．小轿车的车长 B．两车轮之间的距离 C．前轮的周长 D．前轮的直径 【答案】C 【分析】小轿车前轮压碎一个苹果，则这个碎的苹果会在前轮的某处留下水印，随着前轮的转动，下一次到这个水印的时候会在地面留下痕迹，也就是前轮行驶一周。根据周长的定义可知，被压碎的苹果与第一个印记之间的距离是前轮转动一周的长度，即前轮的周长，据此即可解题。 【详解】由分析可知：被压碎的苹果与第一个印记之间的距离大约是2米，这个2米是前轮的周长。 故答案为：C 【考点二】圆周率π的意义 方法点拨 1. 圆周率。 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数(约等于3.14)，它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……，但在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。 2. 古代数学文化。 （1）刘徽（三国时期，约公元250年），首创 “割圆术” ，通过圆内接正多边形逼近圆周，首次给出π的科学算法。 （2）祖冲之（南北朝，429–500年），将π值精确至小数点后第七位（3.1415926–3.1415927） （3）阿基米德（古希腊，公元前287–212年），最早系统计算π值，采用内外切正多边形双逼近法。 （4）阿尔·卡西（波斯，1380–1429年），中世纪伊斯兰数学巅峰代表，将π算至小数点后第16位。 （5）《周髀算经》（西汉，约公元前1世纪），首次记载“周三径一”（π≈3）的圆周率近似值，奠定中国古代几何学基础。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 下列关于圆周率，说法正确的是( )。 ①是个无限不循环小数。 ②＞3.14。 ③周长大的圆，就大，周长小的圆，就小。 ④是圆的周长除以它直径的商。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 解析： ①π是一个无限不循环小数，原题干说法正确； ②π是一个无限不循环小数，3.14是一个有限小数，π＞3.14正确； ③圆周率的大小与圆的周长，周长变大，直径变大，但圆周率不变，原题干说法错误； ④圆周率就是圆的周长和它的直径的比值也是商，原题干说法正确。 正确的有：①②④ 故答案选：B 【对应练习1】 我国关于圆周率的最早记录出自( )。 A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《莱茵德草卷》 D．《几何原本》 解析：A 【对应练习2】 我国古代( )算出π的值在3.1415926和3.1415927之间． 解析：祖冲之 【对应练习3】 历史上研究圆周率的数学家有很多．请写出你知道的三位数学家：( )，( )，( )。 解析：阿基米德(答案不唯一)；祖冲之(答案不唯一) ；刘徽(答案不唯一) 【考点三】圆的周长计算公式 方法点拨 圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率，如果用C表示圆的周长，用r表示圆的半径，用d表示圆的直径，那么圆的周长计算公式是C=πd或C=2πr。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题】 一个圆的半径是3厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】18.84 【分析】圆的周长公式：C＝2r，把半径3厘米代入圆的周长公式计算即可。 【详解】2×3.14×3 ＝2×3×3.14 ＝6×3.14 ＝18.84（厘米） 所以它的周长是18.84厘米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习1】 一个圆的直径是4厘米，它的周长是( )。 【答案】12.56厘米 【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×4＝12.56（厘米） 则它的周长是12.56厘米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活应用，关键是熟记公式。 【对应练习2】 用圆规画了一个圆，圆规两脚间的距离是3厘米，这个圆的直径是( )厘米，周长是( )厘米。 【答案】 6 18.84 【分析】画圆时，圆规两脚之间的距离等于所画圆的半径，用半径乘2即可求出这个圆的直径；再根据圆的周长公式：，把直径的数据代入公式计算即可求出这个圆的周长。 【详解】3×2＝6（厘米） 3.14×6＝18.84（厘米） 所以这个圆的直径是6厘米，周长是18.84厘米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习3】 将圆规张开成1.5厘米后画一个圆，它的直径是( )厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】 3 9.42 【分析】把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，两脚之间的距离即半径。所以圆的半径等于1.5厘米，圆的直径＝（1.5×2）厘米，再根据圆的周长公式：C＝，代入数据即可求出圆的周长。 【详解】1.5×2＝3（厘米） 2×3.14×1.5＝9.42（厘米） 即圆的直径是3厘米，圆的周长是9.42厘米。 【点睛】此题的解题关键是理解掌握圆的概念以及圆的周长的计算方法。 【考点四】已知周长，反求半径或直径 方法点拨 根据圆的周长计算公式变形，可以反求半径或直径。 1. 已知圆的周长，反求圆的半径：r=C÷π÷2。 2. 已知圆的周长，反求圆的直径：d=C÷π。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题1】反求半径 小英绕着花坛边缘走了一圈，刚好是37.68米，这个花坛的半径是多少米？ 【答案】6米 【分析】根据题意可知：37.68米为这个圆形花坛的周长。由圆的周长C＝2r可知：r＝C÷÷2，据此把周长的数据代入即可计算出半径。 【详解】37.68÷3.14÷2 ＝12÷2 ＝6（米） 答：这个花坛的半径是6米。 【点睛】此题主要考查圆周长公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 【对应练习1】 一个古代建筑中大红圆柱横截面的周长是3.14米。这个圆柱横截面的半径是多少米？ 【答案】0.5米 【分析】根据“圆的周长公式为：”可知，用这个圆柱横截面的周长除以3.14，再除以2，即可求出这个圆柱横截面的半径是多少米。 【详解】3.14÷3.14÷2 ＝1÷2 ＝0.5（米） 答：这个圆柱横截面的半径是0.5米。 【点睛】本题主要考查了圆的周长在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 【对应练习2】 把一根6.28米长的绳子绕在一棵千年古树上，正好能绕两圈，这棵古树的半径是多少米？ 【答案】0.5米 【分析】已知一根6.28米长的绳子在千年古树上能绕两圈，则用6.28÷2即可求出一圈是多少，然后根据圆的周长公式，用一圈的长度除以3.14再除以2即可求出这棵古树的半径是多少米。 【详解】 （米） 答：这棵古树的半径是0.5米。 【点睛】本题考查了圆周长公式的灵活应用。 【对应练习3】 把一根长为10米的绳子，在一个圆盘上绕了三圈，还剩下0.58米，这个圆盘的半径是多少米？ 【答案】0.5米 【分析】用绳子的总长度减去剩下绳子的长度，即可求出三圈绳子的长度，除以3即可求出一圈绳子的长度，即这个圆盘的周长，根据圆的周长公式：C＝，代入数据即可求出这个圆盘的半径。 【详解】（10－0.58）÷3÷2÷3.14 ＝9.42÷3÷2÷3.14 ＝1.57÷3.14 ＝0.5（米） 答：这个圆盘的半径是0.5米。 【点睛】此题的解题关键是求出圆盘的周长，再根据圆的周长公式求解。 【典型例题2】反求直径 一个古代建筑中大红圆柱横截面的周长是3.14米。这个圆柱横截面的直径是多少米？ 【答案】1米 【分析】由圆的周长可推导出：。据此用3.14÷3.14可求出这个圆柱横截面的直径。 【详解】3.14÷3.14＝1（米） 答：这个圆柱横截面的直径是1米。 【点睛】解决此题关键是明确圆的周长计算公式。 【对应练习1】 用一根绳子绕一根竖直放置的木材一圈的长度是50.24厘米，这根木材的水平截面的直径是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】根据圆的周长公式“C＝πd”可知，这根柱子横截面的直径等于它的周长除以圆周率，据此解题即可。 【详解】50.24÷3.14＝16（厘米） 答：这根木材的水平截面的直径是16厘米。 【点睛】熟练掌握圆的周长公式是解题的关键。 【对应练习2】 小明和小华用一根长15.7米的绳子在校园的一棵树上正好绕了10圈。请你帮他俩算一算这棵树树干的直径是多少米？ 【答案】0.5米 【分析】先用15.7÷10求出树干横截面的周长；根据圆的周长可知：，据此再用树干横截面的周长÷3.14可求出这棵树树干横截面的直径。 【详解】15.7÷10÷3.14 ＝1.57÷3.14 ＝0.5（米） 答：这棵树树干的直径是0.5米。 【点睛】此题考查了圆的周长公式的应用。明确圆的周长公式是解决此题的关键。 【对应练习3】 用一根长30分米的绳子绕一根圆柱形柱子三圈后还多1.74分米，这根圆柱形柱子的直径是多少分米？ 【答案】3分米 【分析】用这个绳子的长度减去剩余的1.74分米，求出这个柱子底面周长的3倍，再除以3求出柱子的底面周长，然后根据圆的周长公式：C＝πd，那么d＝C÷π，把数据代入公式解答。 【详解】（30－1.74）÷3÷3.14 ＝28.26÷3÷3.14 ＝9.42÷3.14 ＝3（分米） 答：这个柱子的直径是3分米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【考点五】半圆的周长 方法点拨 半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是C半圆=πd+d或C半圆=πr+2r。 易混易错点： 半圆的周长和圆周长的一半是不同的概念，有着不同的计算方法，圆周长的一半=圆的周长÷2=πr。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题1】半圆的周长 一个半圆的直径为3厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】7.71 【分析】根据半圆周长是圆周长一半加直径，即半圆周长＝πd÷2＋d。代入数据计算即可。 【详解】3×3.14÷2＋3 ＝4.71＋3 ＝7.71（厘米） 一个半圆的直径为3厘米，它的周长是7.71厘米。 【对应练习1】 一个半圆的直径是10厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】25.7 【分析】半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，其中圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】3.14×10÷2＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（厘米） 半圆的周长是25.7厘米。 【对应练习2】 半径10分米的半圆，它的周长是( )分米。 【答案】37.68 【分析】半圆周长是圆周长的一半加直径，即半圆周长＝πr＋2r，据此代入数据计算即可。 【详解】3.14×10＋2×3.14 ＝31.4＋6.28 ＝37.68（分米） 则它的周长是37.68分米。 【点睛】掌握半圆周长的意义和计算公式是解题的关键。 【对应练习3】 把一个直径10cm的圆剪成两个半圆，则两个半圆周长之和是( )cm。 【答案】51.4 【分析】把一个直径10cm的圆剪成两个半圆后，根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，所以两个半圆的周长之和＝圆的周长＋两条直径，代入数据解答即可。 【详解】3.14×10＋2×10 ＝31.4＋20 ＝51.4（cm） 即两个半圆周长之和是51.4cm。 【点睛】此题主要考查半圆的周长的计算，关键是理解两个半圆周长之和实际上是比原来的周长多了两条直径。 【典型例题2】已知半圆的周长，反求半径或直径 一个半圆的周长为15.42厘米，它的直径是( )厘米。 【答案】6 【分析】半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，圆的周长＝×直径，设半圆的直径是D厘米，根据等量关系：“×直径÷2＋直径＝半圆的周长”列方程解答即可。 【详解】解：设半圆的直径是D厘米。 3.14×D÷2＋D＝15.42 1.57D＋D＝15.42 2.57D＝15.42 D＝15.42÷2.57 D＝6 所以，半圆的直径是6厘米。 【对应练习】 画一个周长是20.56cm的半圆，圆规两脚间的距离应该是( )cm。 【答案】4 【分析】画圆时，圆规的两脚间的距离就是所画圆的半径，求圆的半径，可根据圆的周长公式C＝2πr，得知半圆的周长为半圆的周长＝2πr÷2＋2r，列式解答即可得到答案。画圆时，圆规的两脚间的距离是圆的半径。 【详解】圆的周长＝2πr 半圆的周长＝2πr÷2＋2r 2πr÷2＋2r＝20.56 πr＋2r＝20.56 （π＋2）r＝20.56 5.14r＝20.56 5.14r÷5.14＝20.56÷5.14 r＝4 圆规两脚间的距离应该是4厘米。 【考点六】半圆周长的变化问题 方法点拨 半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是C半圆=πd+d或C半圆=πr+2r。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 把一个圆形纸板剪成两个相等的半圆，它的周长增加了40厘米，这个圆形纸板的半径是( )厘米。 【答案】10 【分析】半圆形的周长等于圆周长的一半加上一条直径的长度之和，所以把一个圆形纸板剪成两个相等的半圆，它的周长实际上增加的是两条直径的长，据此求出圆的直径，继而求出这个圆形纸板的半径。 【详解】40÷2÷2＝10（厘米） 即这个圆形纸板的半径是10厘米。 【点睛】理解增加的周长是两条直径是解题的关键。 【对应练习1】 如图，把一张圆形纸片剪成2个半圆，它的周长增加20cm，原来这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm。 【答案】 5 31.4 【分析】把一张圆形纸片剪成2个半圆，2个半圆周长的和比一个圆的周长增加了2条直径的长。即2条直径的长是20cm。先用20÷2求出一条直径的长，再用直径的长÷2求出半径的长，最后根据圆的周长求出这个圆的周长。 【详解】直径：20÷2＝10（cm） 半径：10÷2＝5（cm） 周长：3.14×10＝31.4（cm） 所以这个圆的半径是5cm，周长是31.4cm。 【点睛】解决此题的关键是明确周长增加的长度是2条直径的长。 【对应练习2】 把一张圆形纸板剪成两个相等的半圆，发现周长增加。每个半圆的周长是( )。 【答案】20.56 【分析】一个圆被分成两个相等半圆，周长增加了两个直径的长度，因此可得到圆的直径是8厘米，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，根据C＝πd解答。 【详解】d：16÷2＝8（厘米） 半圆周长：3.14×8÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 【点睛】解题关键是弄清楚一个圆剪成两个相等半圆周长增加2个直径的长。 【对应练习3】 一个圆的周长是37.68分米，把它分成两个半圆后，两个半圆的周长和比原来圆的周长增加了( )分米。 【答案】24 【分析】先求出这个圆的直径，因为每个半圆的周长等于整圆的周长的一半＋直径的长度，所以两个半圆的周长之和比这个圆的周长增加了两条直径的长度；由此即可解答。 【详解】37.68÷3.14×2 ＝12×2 ＝24（分米） 【点睛】此题考查圆的周长公式以及半圆的周长的计算方法。 【考点七】三种关系之半径、直径和周长的倍数关系 方法点拨 1. 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。 例如：在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和周长就都扩大4倍。 2. 在同一个圆里，大圆半径是小圆半径的a倍，则大圆直径或周长都是小圆直径或周长的a倍。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 甲圆的半径是乙圆半径的2倍，那么甲圆的周长是乙圆周长的( )倍。 解析： 设乙圆的半径是r，（2π×2r）÷（2πr）＝（4πr）÷（2πr）＝2。 甲圆的周长是乙圆周长的2倍。 【对应练习1】 如果大圆的周长是小圆的2倍，当小圆的直径是2分米时，大圆的直径是( )分米。 A. 8                                              B. 4                                              C. 6 解析：B 【对应练习2】 自行车后轮的半径是前轮的1.5倍，后轮转动12周，前轮转了( )周。 A．8 B．12 C．18 解析：C 【典型例题2】问题二 圆的半径扩大3倍，直径就扩大( )倍，周长会扩大( )倍。 解析：3；3  【对应练习1】 圆的半径扩大到原来的3倍，直径扩大到原来的( )倍，周长扩大到原来的( )倍。 解析：3；3 【对应练习2】 如果一个圆的半径扩大到原来的3倍，那么它的直径扩大到原来的( )倍，周长扩大到原来的( )。 解析：3；3；9 【考点八】三种关系之半径、直径和周长的比例关系 方法点拨 两个圆的半径之比等于它们的直径之比，等于它们的周长之比。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 大圆的半径等于小圆的直径，那么大圆和小圆周长之比是( )。 【答案】2∶1 【分析】设小圆的直径为d，则大圆的直径为2d，分别代入圆的周长公式，即可表示出各自的周长，从而求出二者的周长比。 【详解】设小圆的直径为d，则大圆的直径为2d， 所以大圆的周长∶小圆的周长＝（2πd）∶（πd）＝2∶1。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的应用。 【对应练习1】 有大小两个圆，大圆直径时6cm，大圆周长与小圆周长之比是2:1，小圆直径是( )。 【答案】3cm 【详解】大圆周长和小圆周长的比等于大圆直径和小圆直径的比，也就是说大圆直径和小圆直径的比也是2:1，由此列出比例6：x=2:1，根据比例的基本性质即可求出直径． 【对应练习2】 一个小圆和一个大圆的半径之比是1∶3，如果小圆的周长是3.14厘米，那么大圆的周长是( )。 【答案】9.42厘米/9.42cm 【分析】已知小圆和大圆的半径之比是1∶3，根据圆周长公式：C＝2πr，以及比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，可知小圆和大圆的周长的比也是1∶3，小圆的周长看作1份，大圆的周长看作3份，已知小圆的周长是3.14厘米，则用3.14×3即可求出大圆的周长。据此解答。 【详解】根据圆周长公式以及比的基本性质可知，小圆和大圆的周长的比也是1∶3， 小圆的周长是3.14厘米， 大圆的周长：3.14×3＝9.42（厘米） 如果小圆的周长是3.14厘米，那么大圆的周长是9.42厘米。 【点睛】本题主要考查了比的应用以及圆周长公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式以及比的基本性质。 【对应练习3】 如图中，线段AD的长度是90厘米，三个圆的直径之比是1∶2∶3，那么，这三个圆的周长之和是( )厘米。 【答案】282.6 【分析】从图中可以看出，线段AD是三个圆的直径之和；求这三个圆的周长之和，根据圆的周长公式C＝πd可得，π×AB＋π×BC＋π×CD＝π×（AB＋BC＋CD）＝π×AD，已知AD＝90厘米，据此求出这三个圆的周长之和。 【详解】3.14×90＝282.6（厘米） 三个圆的周长之和是282.6厘米。 【考点九】三种关系之半径、直径和周长的增减变化关系 方法点拨 1. 当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 2. 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个圆的半径由3厘米增加到5厘米，周长增加了( )厘米。 解析： 2×3.14×（5－3） ＝2×3.14×2 ＝12.56（厘米） 【对应练习1】 圆的半径增加，直径增加( )，周长增加( )。 解析： 设原来圆的半径为rcm，则增加1cm后，圆的半径为（r＋1）cm 原来圆的直径：2×r＝2r（cm） 增加1cm后圆的直径：2×（r＋1） ＝2r＋2（cm） 增加了：2r＋2－2r ＝2（cm） 增加后圆的周长：2×π×（r＋1） ＝2πr＋2π（cm） 原来圆的周长：2×π×r 2πr（cm） 增加了：2πr＋2π－2πr ＝2π ＝2×3.14 ＝6.28（cm） 【对应练习2】 圆的半径增加3厘米，直径增加( )厘米，周长增加( )厘米。 解析： 设原来圆的半径为r厘米，则增加3厘米后圆的半径为（r＋3）厘米 原来圆的直径：2×r＝2r（厘米） 原来圆的周长：π×2×r＝2πr（厘米） 增加3厘米后圆的直径： （r＋3）×2 ＝2r＋6（厘米） 直径增加了： 2r＋6－2r ＝6（厘米） 增加后圆的周长：π×2×（r＋3） ＝2πr＋6π（厘米） 周长增加了：2πr＋6π－2πr ＝6π ＝6×3.14 ＝18.84（厘米） 【对应练习3】 圆的直径增加2厘米，周长增加( )厘米。圆的周长增加3π厘米，半径增加( )厘米。 解析：6.28；1.5 【考点十】圆与长方形的拼切转化问题 方法点拨 把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母πr表示，宽相当于圆的半径。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个半径为15厘米的圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。长方形宽是( )厘米，长是( )厘米。长方形的周长比圆的周长长( )厘米。 【答案】 15 47.1 30 【分析】把圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，长方形的宽是圆的半径，长方形的长＝圆周长的一半；长方形的周长比圆的周长多了两条半径，据此分析。 【详解】3.14×15＝47.1（厘米） 15×2＝30（厘米） 长方形宽是15厘米，长是47.1厘米。长方形的周长比圆的周长长30厘米。 【点睛】关键是熟悉圆的面积公式推导过程，理解长方形和圆之间的关系。 【对应练习1】 张洋把一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再将两个三角形拼成平行四边形（如下图）。测得平行四边形的底是15.7厘米，圆形茶杯垫片的半径是( )厘米 【答案】5 【分析】由图可知，拼成平行四边形的底边相当于原来圆形杯垫最外面圆周长的一半，由圆的周长公式可知，半径＝周长÷圆周率÷2，据此解答。 【详解】15.7×2÷3.14÷2 ＝31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 【点睛】分析图形找出平行四边形底边和原来圆的对应关系是解答题目的关键。 【对应练习2】 如图用“拼割法”将半径3厘米的圆拼成了一个近似的长方形，拼成的长方形的长是 ( )cm，宽是( )cm。 【答案】 9.42 3 【分析】看图，长方形的长是圆的周长的一半，宽是圆的半径。据此利用圆的周长公式先计算出它的周长，再除以2，求出长方形的长。根据半径是3厘米，直接填出长方形的宽。 【详解】2×3.14×3÷2＝9.42（厘米） 所以，拼成的长方形的长是9.42厘米，宽是3厘米。 【点睛】本题考查了圆的特点和周长，圆周长＝2×3.14×半径。 【对应练习3】 将一个半径4厘米的圆，沿着半径剪开，得到若干个小扇形，然后拼成一个近似长方形（如图），拼成的长方形的周长比原来圆的周长增加( )厘米。 【答案】8 【分析】拼成的长方形的两个长是圆的周长，宽是圆的半径，从而可以得出这个长方形的周长比原来圆的周长增加了2条半径的长度，据此即可解答。 【详解】由分析可知： 4×2＝8（厘米） 则拼成的长方形的周长比原来圆的周长增加8厘米。 【点睛】解答此题的关键是明白，拼成的长方形的两个长是圆的周长，宽是圆的半径，从而问题得解。 【考点十一】圆的周长与最圆问题 方法点拨 1. 在正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； 2. 在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】正方形的最圆问题 在一张边长为10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm。 【答案】31.4 【分析】根据题意可知，在这张正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，根据圆的周长公式：，把数据代入公式解答。 【详解】（cm） 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习1】 把一张周长是16cm的正方形纸片剪成一个最大的圆，这个圆的直径长( )cm，周长是( )cm。 【答案】 4 12.56 【分析】由题意可知：先用正方形的周长除以4求出正方形的边长，这个最大的圆的直径就是这个正方形的边长，再依据圆的周长公式：，代入数据即可解决问题。 【详解】16÷4＝4（cm） 3.14×4＝12.56（cm） 【点睛】抓住正方形内最大圆的特点，得出这个圆的直径是解决此类问题的关键。 【对应练习2】 从一张边长是10厘米的正方形纸片中剪一个最大的圆，圆的直径是( )厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】 10 31.4 【分析】正方形纸片中剪一个最大的圆，圆的直径＝正方形边长；根据圆的周长＝πd，计算即可。 【详解】3.14×10＝31.4（厘米） 从一张边长是10厘米的正方形纸片中剪一个最大的圆，圆的直径是10厘米，它的周长是31.4厘米。 【点睛】关键是理解圆和正方形之间的关系，掌握圆的周长公式。 【对应练习3】 在一个边长为10cm的正方形中画一个最大的圆，这个图形有( )条对称轴。正方形中这个最大圆的周长是( )cm。 【答案】 4 31.4 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴。 正方形中这个最大圆的直径＝正方形边长，根据圆的周长＝πd，求出圆的周长。 【详解】 3.14×10＝31.4（厘米） 这个图形有4条对称轴。正方形中这个最大圆的周长是31.4cm。 【点睛】关键是熟悉轴对称图形的特点，掌握圆的周长公式。 【典型例题2】长方形的最圆问题 小文在一张长，宽的长方形纸上剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm。 【答案】25.12 【分析】剪成的最大的圆的直径是8cm，根据“圆周长＝πd”求出这个圆的周长即可。 【详解】3.14×8＝25.12（cm） 所以，这个圆的周长是25.12cm。 【对应练习1】 在长5厘米、宽4厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是( )。 【答案】12.56厘米/12.56cm 【分析】在长5厘米、宽4厘米的长方形中画一个最大的圆，则圆的直径的长度和长方形的宽的长度相等，是4厘米，根据C圆＝πd，代入数据可求得圆的周长。 【详解】3.14×4＝12.56（厘米） 在长5厘米、宽4厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是（12.56厘米）。 【点睛】熟悉圆的周长公式，明确在长方形中画一个最大的圆，长方形与圆的各个数对应的关系。 【对应练习2】 如下图，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是( )厘米，如果在这个长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的直径是( )厘米。 【答案】 12.56 8 【分析】以长方形的宽为直径的圆是长方形内最大的圆，利用“”求出这个圆的周长，以长方形的宽为半径的半圆是长方形内最大的半圆，在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，据此解答。 【详解】3.14×4＝12.56（厘米） 4×2＝8（厘米） 所以，这个长方形内最大圆的周长是12.56厘米，最大半圆的直径是8厘米。 【点睛】掌握圆的特征和周长计算公式是解答题目的关键。 【对应练习3】 在一个长12厘米，宽8厘米的长方形纸上剪下一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米。 【答案】 6 30.84 【分析】在一个长12厘米，宽8厘米的长方形纸上剪下一个最大的半圆，这个半圆的直径＝长方形的长，半径＝直径÷2，半圆周长＝πr＋d，据此列式计算。 【详解】12÷2＝6（厘米） 3.14×6＋12 ＝18.84＋12 ＝30.84（厘米） 这个半圆的半径是6厘米，周长是30.84厘米。 【点睛】关键是熟悉半圆特点，掌握并灵活运用半圆周长公式。 【考点十二】圆周长的应用问题其一：钟表指针运动问题 方法点拨 1. 时针每走12小时转动一周，一天转动2周。 2. 时针每过一小时，分钟就转到一周，一天转动24周。 考察形式 填空、应用 动态评价 【典型例题】 一台座钟的分针长10厘米，经过45分钟后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？ 【答案】47.1厘米 【分析】因为分针走一圈是60分钟，而分针经过45分钟走了整个圆的，所以根据圆的周长公式，求出分针走一圈的路程，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，进而求出经过45分钟后走过的路程。 【详解】分针走一圈是60分钟 （厘米） 答：这根分针的尖端所走的路程是47.1厘米。 【对应练习1】 钟楼上装有一个圆形大钟，它的分针长50厘米。分针的尖端每小时所走的路程是多少厘米？ 【答案】314厘米 【分析】分针每小时（60分钟）转一圈，那么分针尖端每小时所走的路程就是半径为50厘米的圆的周长；根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算即可。 【详解】2×3.14×50＝314（厘米） 答：分针的尖端每小时所走的路程是314厘米。 【点睛】本题考查圆周长公式的灵活运用，关键是明确分针的尖端每小时走的路程是圆的周长。 【对应练习2】 一个钟表的分针长10厘米，从上午9时到上午10时，分针的顶部走过的长度是多少厘米？ 【答案】62.8厘米 【分析】从上午9时到上午10时，分针的顶部旋转一周，走过的轨迹是一个半径为10厘米的圆，求分针的顶部走过的长度就是求圆的周长，根据“C＝2πr”解答即可。 【详解】2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（厘米）； 答：分针的顶部走过的长度是62.8厘米。 【点睛】明确分针顶部走过的轨迹是一个半径为10厘米的圆是解答本题的关键。 【对应练习3】 一只挂钟经过45分钟后，分针的尖端所走的路程是94.2厘米，这只挂钟的分针长多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】挂钟可看作一个圆，分针走一圈是60分，45分则是走了四分之三圈，则分针走的路程就等于周长的四分之三，用分针尖端走的路程除以四分之三就等于分针走的圆的周长，结合半径r＝周长÷2÷π即可求出分针的长短，据此解答。 【详解】94.2÷÷2÷3.14 ＝94.2×÷2÷3.14 ＝125.6÷2÷3.14 ＝62.8÷3.14 ＝20（厘米） 答：这只挂钟的分针长20厘米。 【考点十三】圆周长的应用问题其二：植树问题 方法点拨 植树问题在圆形中的应用主要是利用段数与棵数相等的特点解决生活问题。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 锦华园有一个圆形花坛，直径是15m。如果在花坛的边缘每隔0.3m安装一盏地灯，一共要安装( )盏。 解析： 3.14×15÷0.3 ＝47.1÷0.3 ＝157（盏） 【对应练习1】 在一个半径是50米的圆形鱼塘边上每隔3.14米栽一棵树，共栽树( )棵。 A.100      B.50    C.101   D.51 解析：A 【对应练习2】 一个圆形花坛的直径是20m．在花坛的周围摆放花，每隔1.57m摆放一盆，一共可以摆放( )盆花。 解析：40 【对应练习3】 一个圆形水池，直径400米，沿池边隔4米栽一棵树，一共能栽( )棵树。 解析：314 【考点十四】圆周长的应用问题其三：普通行程问题 方法点拨 1. 车轮转一圈就是圆的一周。 2. 路程=速度×时间；时间=路程÷速度。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】求路程 世贸摩天城的摩天轮，它的直径大约是90米，旋转一周所需时间约30分钟，东东坐上摩天轮20分钟后，他在空中大约移动了多少米？ 【答案】188.4米 【分析】先用除法求出20分钟占30分钟的几分之几，再根据“”求出摩天轮的周长，东东在空中移动的距离＝摩天轮的周长×所求分率，据此解答。 【详解】20÷30＝ ×90×3.14 ＝60×3.14 ＝188.4（米） 答：他在空中大约移动了188.4米。 【点睛】本题主要考查圆的周长公式的应用，求出东东坐摩天轮的时间占摩天轮旋转一周所用时间的分率并熟记圆的周长公式是解答题目的关键。 【对应练习1】 一种自行车轮胎的外直径是8分米，李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，如果车轮每分钟转100周，李老师家到图书馆的路程是多少米？ 【答案】2512米 【分析】先根据圆的周长求出轮胎的周长；再用轮胎的周长×100求出每分钟车轮前进的路程；最后根据“速度×时间＝路程”求出李老师家到图书馆的路程。 【详解】3.14×8×100×10 ＝25.12×100×10 ＝25120（分米） 25120分米＝2512米 答：李老师家到图书馆的路程是2512米。 【点睛】解决此题的关键是明确车轮转1圈大约可以走多远，就是求车轮的周长。 【对应练习2】 自行车车轮的直径大约是65厘米，小明每天都从家骑自行车到学校。如果车轮每分转100圈，那么小明从家到学校需要骑20分。小明家到学校大约有多少千米？（π取3.14，结果保留整数。） 【答案】4千米 【分析】根据圆周长公式：C＝πd，用3.14×65即可求出车轮转一圈的距离，已知车轮每分转100圈，小明从家到学校需要骑20分，则用3.14×65×100×20即可求出小明家到学校的距离。 【详解】3.14×65×100×20 ＝204.1×100×20 ＝408200（厘米） 408200厘米＝4.082千米 4.082千米≈4千米 答：小明家到学校大约有4千米。 【点睛】本题考查了圆周长公式的灵活应用。 【对应练习3】 “最美的风景在路上”，北海银滩四号路像一条五彩缤纷的绸带缭绕于银滩边，成为北海新晋的“网红路”。骑行共享单车从银滩旅游集散中心到银滩公园大约用20分钟，如果一辆共享单车轮胎的外直径大约是0.7米，车轮平均每分钟转100圈，两地之间相距多少米？ 【答案】4396米 【分析】根据圆的周长＝πd，求出车轮转1圈行进距离，车轮转1圈行进距离×每分钟转的圈数×分钟数＝两地距离，据此列式解答。 【详解】3.14×0.7×100×20 ＝2.198×100×20 ＝219.8×20 ＝4396（米） 答：两地之间相距4396米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长公式。 【典型例题2】求时间 一辆自行车车轮直径70厘米，如果车轮平均每分钟转100圈，那么行驶完5495米的大桥需要多少分钟？ 【答案】25分钟 【分析】已知这辆自行车车轮直径为70厘米，先把70厘米化为以米作单位的数，是0.7米，再根据圆的周长＝πd，求得车轮一周的长度；因为车轮平均每分钟转100圈，那么就是说车轮每分钟行驶3.14×0.7×100＝219.8（米）；又知要行驶完5495米的大桥，根据时间＝路程÷速度，列式为：5495÷（3.14×0.7×100）。 【详解】70厘米＝0.7米 5495÷（3.14×0.7×100） ＝5495÷219.8 ＝25（分钟） 答：行驶完5495米的大桥需要25分钟。 【点睛】考查了有关圆的周长在实际中的应用，同时需要熟悉路程、速度和时间三者的关系。 【对应练习1】 一辆自行车的轮胎外直径约是0.8米，如果平均每分钟转100圈，走500米路大约需要几分钟？（得数保留整数） 【答案】2分钟 【分析】先根据圆的周长公式：C＝πd，据此求出自行车车轮一周的长度，再乘100即可求出自行车每分钟行的距离，最后根据路程÷速度＝时间，据此计算即可。 【详解】3.14×0.8×100 ＝2.512×100 ＝251.2（米） 500÷251.2≈2（分钟） 答：走500米路大约需要2分钟。 【点睛】本题考查圆的周长，熟记公式是解题的关键。 【对应练习2】 “节能低碳，绿色出行”，李老师骑自行车上班，他家到学校的路程是4.5千米，自行车车轮儿的外直径约是0.75米（28型自行车），平均每分钟转100圈。照这样的速度，李老师到学校需要骑这辆自行车约多少分钟？（取3） 【答案】20分钟 【分析】首先根据圆的周长公式： ，把数据代入公式求出自行车车轮的周长，用车轮的周长乘每分钟转的圈数，求出每分钟骑行的速度；然后根据“时间＝路程÷速度”，列式解答即可。 【详解】4.5千米＝4500米 4500÷（0.75×3×100） ＝4500÷（2.25×100） ＝4500÷225 ＝20（分钟） 答：李老师到学校需要骑这辆自行车约20分钟。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活应用，以及路程、速度、时间三者之间的关系及应用。 【对应练习3】 “节能低碳，绿色出行”，李明的爸爸骑自行车上班的路程是4.71千米，车轮的外直径是0.6米，平均每分钟转100圈。照这样的速度，他从家到单位需要骑多少分钟？ 【答案】25分钟 【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出自行车车轮的周长，用车轮的周长乘每分钟转的圈数，求出每分钟骑行的速度，然后根据时间＝路程÷速度，列式解答即可。 【详解】4.71千米＝4710米 4710÷（3.14×0.6×100） ＝4710÷（1.884×100） ＝4710÷188.4 ＝25（分钟） 答：他从家到单位需要骑25分钟。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，以及路程、速度、时间三者之间的关系及应用。 【考点十五】圆周长的应用问题其四：相遇问题 方法点拨 相遇时间=路程÷速度和。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 小明和小亮沿着半径是500m的圆形湖边同时从同一地点相向而行。小明每分钟行81m，小亮每分钟行76m，两人经过多少分钟相遇？ 【答案】20分钟 【分析】先根据圆的周长公式求出圆形湖的周长，再根据路程和÷速度和＝相遇时间，列式解答即可。 【详解】3.14×500×2＝3140（米） 3140÷（81＋76） ＝3140÷157 ＝20（分钟） 答：两人经过20分钟相遇。 【点睛】关键是掌握圆的周长公式，理解速度、时间、路程之间的关系。 【对应练习1】 洋洋和爷爷在体育场散步，他们下午7：00从体育场的同一地点出发，相背而行，他们都沿着体育场的边线走，爷爷每分钟走60米，洋洋走的速度是爷爷的，体育场如下图。 （1）体育场的周长有多少米？ （2）5分钟后他们相遇了吗？ 【答案】（1）714米；（2）没有 【分析】（1）根据题意可知，体育场的周长＝一个直径是100米的圆周长＋2个200米，根据圆周长公式：C＝πd，用3.14×100＋200×2即可求出体育场的周长； （2）把爷爷的速度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用60×即可求出洋洋走的速度，然后用路程÷两人的速度和即可求出从出发到相遇的时间，再和5分钟比较即可。 【详解】（1）3.14×100＋200×2 ＝314＋400 ＝714（米） 答：体育场的周长有714米。 （2）60×＝65（米） 714÷（60＋65） ＝714÷125 ＝（分钟） ＞5 答：5分钟后他们还没有相遇。 【对应练习2】 （综合应用问题）（如下图）A、B是圆直径的两端点，甲从A点、乙从B点同时出发，沿圆周相向而行，两人在C点相遇，已知A、C两点在圆周上的长度为31.4米，甲的速度是乙的，则圆的直径是多少米？ 【答案】70米 【分析】因为甲、乙用了相同的时间，甲的速度是乙的，所以甲走的路程是乙的，甲走了31.4米，用31.4除以可求出乙走的路程，甲、乙走的路程和等于圆周长的一半，再乘2就是圆的周长，根据圆的周长公式C＝πd可得：d＝C÷π，代入数据即可求出圆的直径是多少。 【详解】31.4÷＋31.4 ＝31.4×＋31.4 ＝78.5＋31.4 ＝109.9（米） 109.9×2÷3.14 ＝219.8÷3.14 ＝70（米） 答：圆的直径是70米。 【点睛】本题主要考查相遇问题，解答本题的关键是求出甲、乙两人在相遇时走过的路程和。 【对应练习3】 （二次相遇问题）如图，将一张圆形纸对折，在折痕的两端各放一只小蚂蚁．让它们同时出发，沿圆形纸反向爬行．当在C处第一次相遇时，C点离A点8厘米；当在D处第二次相遇时，D点离B点6厘米．这个圆形纸的周长是多少厘米？ 【答案】36cm 【详解】CD是AC长的2倍，则CD=8×2=16 (cm), CB=16-6=10 (cm), 8+10=18(cm)． 【考点十六】圆周长的应用问题其五：内外圈运动问题 方法点拨 C外－C内=2πR－2πr=2π(R－r)，内外圈周长之差也就是两个圆半径之差与π的积的2倍，而每条跑道的宽就是两个圆半径之差。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 假期期间，奇奇和爸爸两人开始在操场（如图）进行跑步锻炼，爸爸沿外圈跑，奇奇沿内圈跑。跑完一圈爸爸比奇奇多跑多少米？（取） 【答案】31.4米 【分析】跑完一圈奇奇跑的长度是两个35米，和一个直径为15米的圆的周长；爸爸跑的长度是两个35米和一个直径为25米的圆的周长；则两人相差的部分就是两个圆周长的差，圆的周长＝π×直径，代入数据计算即可。 【详解】3.14×25－3.14×15 ＝3.14×（25－15） ＝3.14×10 ＝31.4（米） 答：跑完一圈爸爸比奇奇多跑31.4米。 【对应练习1】 （多圈道问题）在学校200米的跑道中，每条跑道宽1.2米。由于有弯道，为了公平，外道和内道选手的起跑线不在同一地点。如：A点处是小明的起跑线，B点处是小强的起跑线（如图）。A，B两点的距离是多少米？ 【答案】 7.536米 【分析】由题意可知，A，B两点的距离是内外圈周长之差，根据圆的周长公式，，假设外圆半径为R，内圆半径为r，则，内外圈周长之差也就是两个圆半径之差与的积的2倍，而每条跑道的宽就是两个圆半径之差，代入数据计算即可。 【详解】 （米） 答：A，B两点的距离是7.536米。 【点睛】本题关键是明确A，B两点的距离是内外圈周长之差，而每条跑道的宽就是两个圆半径之差。 【对应练习2】 （多圈道问题）学校环形跑道的形状如下图，跑道由两条直的跑道和两个半圆形跑道组成，每条跑道宽1.25米。东东和田田从同一起点出发，分别沿着第一、第二跑道内侧跑一圈。田田要比东东多跑多少米？ 【答案】7.85米 【分析】根据对图的观察，跑这个跑道一圈，就是两条直的跑道加上两个半圆跑道的距离，两个半圆跑道可以合成一个圆形跑道，要求田田比东东多跑多少米，因为两个人跑的直的跑道的距离是一样的，实际就是求田田跑的圆形跑道的周长比东东跑的圆形跑道的周长多多少米； 东东沿着第一跑道内侧，所以东东跑的圆形的直径为50米，田田沿着第二跑道内侧，所以田田跑的圆形的直径为（50＋1.25×2）米； 根据圆的周长公式：C＝πd，代入数据求值即可。 【详解】由分析可得： 3.14×（50＋1.25×2）－3.14×50 ＝3.14×（50＋2.5）－3.14×50 ＝3.14×52.5－3.14×50 ＝3.14×（52.5－50） ＝3.14×2.5 ＝7.85（米） 答：田田要比东东多跑7.85米。 【对应练习3】 （多圈道问题）有一个200m环形跑道，它是由两个直道和两个半圆形跑道组成，直道长50m，每条跑道宽为1.25m（如下图）。 （1）小军沿着第二道（由内向外数）跑一圈，他跑了多少米？ （2）如果在这个跑道上进行200m赛跑，请问第3道的起跑线与第1道相差多少？ （3）如果在这个跑道上进行100m赛跑，又该怎样确定起跑线的位置呢？ 【答案】（1）207.895米 （2）15.7米 （3）在200m的跑道上进行100m赛跑，当第1条跑道的起跑线确定后，以后每一道起跑线要比前一道提前3.925 m。 【详解】（1）3.14×（31.85＋1.25×2）＝107.859（m） 107.859＋50×2＝207.859（m） 答：他跑了207.895米。 （2）1.25×2×3.14＝7.85（m） 7.85×（3－1）＝15.7（m） 答：第3道的起跑线与第1道相差15.7米。 （3）1.25×3.14＝3.925（m） 答：在200m的跑道上进行100m赛跑，当第1条跑道的起跑线确定后，以后每一道起跑线要比前一道提前3.925 m。 【考点十七】圆周长的应用问题其六：圆周数量问题 方法点拨 圆周数量=总路程÷一周的长度。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40厘米，要骑过50米长的钢丝，车轮大约转动多少周？ 【答案】50÷[3.14×40÷100] 【分析】先根据圆的周长求出车轮转动一周所走的厘米数，再除以100把厘米换算成米；最后用钢丝的总长÷车轮走一周的米数求出车轮转动的周数。 【详解】50÷[3.14×40÷100] ＝50÷[125.6÷100] ＝50÷1.256 ≈40（周） 答：车轮大约转动40周。 【点睛】解决此题的关键是明确车轮转1圈，大约走多远，就是求这个车轮的周长。 【对应练习1】 滚铁环是有趣的儿童游戏。欢欢制作了一个直径为30厘米的圆形铁环，铁环滚动188.4米，需要滚动多少圈？ 【答案】200圈 【分析】圆的周长＝3.14×直径，由此先求出铁环的周长，再将188.4米除以铁环的周长，求出需要滚动多少圈。 【详解】30厘米＝0.3米 188.4÷（3.14×0.3） ＝188.4÷0.942 ＝200（圈） 答：需要滚动200圈。 【点睛】本题考查了圆的周长，解题关键是熟记圆的周长公式。 【对应练习2】 杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40厘米。要骑过50.24米长的钢丝，车轮大约要转动多少周？ 【答案】40周 【分析】根据圆的周长＝πd，求出车轮转动一周的长度，再用铁丝长度÷车轮周长＝转动的周数，据此列式解答。 【详解】3.14×40＝125.6（厘米）＝1.256（米） 50.24÷1.256＝40（周） 答：车轮大约要转动40周。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长公式。 【对应练习3】 如下图：地面上有一个半径1米的圆柱形油桶。如果要滚到墙边，需要滚动多少圈？聪聪是这样解答的：（圈）。 如果你认同聪聪的解答，请解释这样做的想法。如果你不认同聪聪的解答，请给出你的解答。 【答案】不认同；2圈； 【分析】这个油桶滚到墙边，实际移动的距离为（13.56－1）米；通过分析这个油桶的底面圆，根据圆的周长＝2πr求出这个圆的周长，最后用实际需要移动的距离除以圆的周长即可得到需要转动的圈数。 【详解】聪聪列式解答：（圈）。 我并不认同聪聪的解答，因为在这个解题过程中，没有考虑到实际移动的距离，最后是圆上的位置滚到墙边的位置，而不是圆心的位置，所以实际移动的距离应该是： 13.56－1＝12.56（米） 2×3.14×1＝6.28（米） 12.56÷6.28＝2（圈） 答：需要滚动2圈。我不认同聪聪的解答，因为在他的解答过程中，油桶实际移动的距离存在思考计算方面的错误。 【点睛】明确圆实际移动的距离等于13.56减去圆的半径是解答本题的关键。 【对应练习4】 用皮带连接的两个皮带轮，大轮半径为6分米，小轮半径为4分米，大轮每分钟转300转，小轮每分钟转多少转？ 【答案】450转 【分析】根据题意可知，两个轮子走过的距离是相等的，先求出大轮转300转走过的距离，然后再求出小轮转1转走过的距离，最后用大轮走过的距离÷小轮转1转走过的距离＝小轮的转数，据此列式解答. 【详解】2×3.14×6×300÷（2×3.14×4） ＝6.28×6×300÷（6.28×4） ＝11304÷25.12 ＝450（转） 答：小轮每分钟转450转。 【点睛】本题考查了圆周长的应用，灵活运用圆的周长公式是解题的关键。 【考点十八】圆周长的应用问题其七：复杂的圆周运动问题 方法点拨 由于圆周长和行程问题的综合应用，圆的运动问题变得十分复杂，在解决问题的过程中需要具体分析不同运动方式和运动路径。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图所示，大圆不动，小圆贴合着大圆沿顺时针方向不断滚动。小圆的半径是，大圆的半径是。 （1）当小圆从大圆上的点出发，沿着大圆滚动，第一次回到点时，小圆的圆心走过路线的长度是多少厘米？ （2）小圆未滚动时，小圆上的点与大圆上的点重合，从小圆滚动后开始计算，当点第10次与大圆接触时，点更接近大圆上的点( )。（括号里填、、或。） 【答案】（1）50.24厘米 （2）B 【分析】（1）当小圆从大圆上的点 A 出发，沿着大圆滚动，第一次回到点 A 时，小圆的圆心走过路线的长度是半径为6＋2＝8厘米的圆一周的长度； （2）小圆的半径是 2cm ，大圆的半径是 6cm，则小圆滚动3圈后才能回到A点，这个过程中M点与大圆接触3次；M第9次与大圆接触时，小圆又回到A点，小圆第10次与大圆接触时，是走了大圆一周的，即12.56厘米，更接近于B点。 【详解】（1）2×3.14×（2＋6） ＝2×3.14×8 ＝50.24（厘米） 答：小圆的圆心走过路线的长度是50.24厘米。 （2）根据分析可得，当点 M 第10次与大圆接触时，点 M 更接近大圆上的点B。 【点睛】本题考查圆的周长，解答本题的关键是分析圆的运动轨迹。 【对应练习1】 如图所示，两个圆周只有一个公共点，大圆直径为48厘米，小圆直径为30厘米，甲、乙两虫同时从点出发，甲虫以每秒0.5厘米的速度顺时针沿大圆圆周爬行，乙虫以同样速度顺时针沿小圆圆周爬行（本题取3） （1）问乙虫第一次爬回到点时，需要多少秒？ （2）两虫沿各自圆周不间断地反复爬行，能否出现这样的情况：乙虫爬回到点时甲虫恰好爬到点？如果可能，求此时乙虫至少爬了几圈；如果不可能，请说明理由。 【答案】（1）180秒 （2）能；乙虫至少爬了4圈 【分析】（1）当乙虫第一次爬到A点时，正好爬了一个小圆的周长，再根据路程÷速度＝时间解答即可； （2）根据题意，计算出小圆周长与大圆周长的一半的最小公倍数，然后再用最小公倍数除以小圆的圆周长就是乙虫爬行的圈数，列式解答即可得到答案。 【详解】（1） （秒） 答：乙虫第一次爬回到点时，需要180秒。 （2）能 90与72的最小公倍数是360 （圈） 答：此时乙虫至少爬了4圈。 【点睛】解答此题的关键是确定小圆的周长和弧AB的长，然后再进行计算即可。 【对应练习2】 王刚驾驶一辆奥迪轿车在一个环形公路上行驶，左右轮子距离1.5米 （1）王刚行驶2圈时，外轮比内轮多走了多少米？     （2）如图所示，王刚从A点出发，开到B点发现自己的手机忘带了，返回到A点取手机后又按原路行驶到A点，请计算一下，左右两轮子哪个跑的路程远？远多少？ 【答案】（1）6π  （2）右轮，远3π 【分析】（1）外轮和内轮行驶的路线是一个圆形，其中外轮行驶的圆的半径比内轮行驶的的圆的半径大1.5米，根据圆的周长＝πd，解答即可。 （2）依据题意，王刚从A点出发，开到B点时，右轮在外，左轮在内，再返回到A点取手机，此时左轮在外，右轮在内，在这一过程中，左、右轮跑的路程相同；返回到A点取手机后又按原路行驶到A点，在这一过程中，右轮在外，左轮在内，所以右轮比左轮咆的路程远。 【详解】（1）（2×π×1.5）×2   ＝3π×2 ＝6π（米） 答：外轮比内轮多走了6π米。 （2）2×π×1.5＝3π（米） 答：右轮子跑的路程远，远3π米。 【点睛】解答本题的关键是明确左、右轮子的位置，然后再结合圆的周长的计算方法，即圆的周长＝2πr，进行解答即可。 【对应练习3】 森林运动会上，蚂蚁、虫子要进行赛跑比赛。在猴子裁判画的跑道上，蚂蚁选择外圈的大圆跑道，而虫子选择内圈的小圆跑道。它们速度相同，并且都是同时从点A出发，沿着跑道回到点A。（1米、2米为小圆的直径长度） （1）第一次比赛，蚂蚁、虫子在图1跑道上，蚂蚁在大圆按顺时针方向走一周，虫子在小圆按①→②→③→④方向回到点A。比赛结果是什么？请通过计算来验证你的结果。 （2）第二次比赛，蚂蚁、虫子在图2跑道上，蚂蚁在大圆按顺时针方向走一周，虫子在小圆按①→②→③→④→⑤→⑥方向回到点A。比赛结果是什么？请通过计算验证结果。 （3）通过两次比赛结果，你有什么发现？请你画图，并通过计算验证你的发现。 【答案】（1）平局 （2）平局 （3）当大圆的直径等于几个小圆直径的和时，大圆的周长等于几个小圆周长之和。 【分析】（1）由题意可知，它们速度相同，并且都是同时从点A出发，则分别求出蚂蚁和虫子跑的路程然后比较即可。蚂蚁跑的路程是直径为2＋2＝4（米）的圆的周长，而虫子跑的是直径为2米的小圆的两个周长，据此解答即可。 （2）同理，分别求出蚂蚁和虫子跑的路程然后比较即可，蚂蚁跑的路程是直径为1＋2＋1＝4（米）的圆的周长，而虫子的路程是直径为1米的两个小圆的周长加上直径为2米的圆的周长。据此解答即可。 （3）根据图1和图2，画出蚂蚁和虫子的行走路线，然后比较它们所走的路程即可。 【详解】（1）蚂蚁：（2＋2）π＝4π（米） 虫子：2π×2＝4π（米） 4π＝4π 答：蚂蚁和虫子所行的路程一样长，所以它们同时到达。 （2）蚂蚁：（1＋2＋1）π＝4π（米） 虫子：1×π＋2×π＋1×π＝4π（米） 4π＝4π 答：蚂蚁和虫子所行的路程一样长，所以它们同时到达。 （3）通过比较两次所行的路线长度可知，当大圆的直径等于几个小圆直径的和时，沿大圆行一圈所走的路程与沿各小圆所走的路程相等。如图所示： 大圆的周长：（m＋n＋p）π 小圆的周长之和：mπ＋nπ＋pπ＝（m＋n＋p）π 因为mπ＋nπ＋pπ＝（m＋n＋p）π，所以多个小圆周长之和与大圆的周长长度相等。 【点睛】本题考查圆的周长，灵活运用圆的周长是关键。 【考点十九】圆周长的应用问题其八：圆周长的大小比较问题 方法点拨 圆周长的大小比较，如果小圆直径之和与大圆直径相等，那么两圆周长相等。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 如图是由4个半圆组成的圆形，甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发前往D点，甲蚂蚁沿着最大半圆的弧线走，乙蚂蚁沿着较小的3个半圆的弧线走。如果它们用同样的速度一直走，能同时到达D点吗？为什么？请写出你的思考过程。 解析： 甲蚂蚁走的路程： 乙蚂蚁走的路程： 答：两只蚂蚁能同时到达D点。 【典型例题2】问题一 下图中，外面一个圆的周长与里面两个小圆的周长之和相比，( )。 A．外圆的周长长 B．两个内圆周长的和长 C．一样长 D．无法确定哪个长 解析：C 【对应练习1】 在一个大圆里，以它的直径上的三个点为圆心，画出三个紧密相连的圆（如下图）。你知道大圆的周长和这三个小圆的周长之和相比，哪一个更长一些吗？ 解析： 解：设三个小圆的的直径分别为a，b，c。 那么三个小圆的周长和： 3.14×a＋3.14×b＋3.14×c ＝3.14×（a＋b＋c）； 而大圆的直径为：a＋b＋c，即大圆的周长为：3.14×（a＋b＋c）； 3.14×（a＋b＋c）＝3.14×（a＋b＋c） 答：大圆的周长和这三个小圆的周长之和都一样。 【对应练习2】 如图，大圆的周长( )两个小圆的周长之和。 A．等于 B．大于 C．小于 解析：A 【对应练习3】 一条蚯蚓从甲地爬向乙地，图中两条路线，( )。 A．绕大半圆走近 B．绕小半圆走近 C．远近一样 解析：C 【对应练习4】 如图，从A到B有两条路，走哪条路近？( ) A．① B．② C．同样近 D．无法确定 解析：C 【考点二十】求不规则或组合图形的周长其一：相加法（分解法） 方法点拨 求不规则或组合图形的周长，寻找该图形是由那些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 计算操场的周长。 解析： 3.14×50＋90×2 ＝157＋180 ＝337（米） 所以，它的周长是337米。 【对应练习1】 计算下面图形的周长。（单位：dm） 【答案】44.56dm 【分析】将长方形下边的边平移到上边，这个图形的周长＝圆周长的一半＋直径＋长方形的长×2，圆周长的一半＝圆周率×直径÷2，据此列式计算。 【详解】3.14×8÷2＋8＋12×2 ＝12.56＋8＋24 ＝44.56（dm） 这个图形的周长是44.56dm。 【对应练习2】 求图中阴影部分的周长。 【答案】117.4cm 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长等于长方形的2条长与一条宽的和，再加上直径20厘米的圆周长的一半；其中圆的周长＝×直径。据此计算即可。 【详解】33×2＋20＋3.14×20÷2 ＝66＋20＋62.8÷2 ＝86＋31.4 ＝117.4（cm） 【对应练习3】 计算下面图形的周长。 解析：3.14×3÷2+3.14×4÷2+3.14×5÷2=18.84 【考点二十一】求不规则或组合图形的周长其二：平移法（拼组法） 方法点拨 若大半圆的直径等于几个小半圆的直径和，则大半圆的长等于这几个小半圆的长的和。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求阴影部分的周长。（单位：cm) 解析： 3.14×(3+5)÷2+3.14×3÷2+3.14×5÷2 =12.56+4.71+7.85 =25.12(cm) 【对应练习1】 如图，已知圆心为O的半圆里还有两个较小的半圆，其中半圆A的半径为3cm，半圆B的半径为1cm，求阴影部分的周长。（单位：cm) 解析： 圆O的直径：3×2＋1×2＝8（厘米）； 圆A的直径：3×2＝6（厘米）； 圆B的直径：1×2＝2（厘米） 阴影部分的周长：3.14×8÷2＋3.14×6÷2＋3.14×2÷2 ＝12.56＋9.42＋3.14 ＝25.12（厘米） 【对应练习2】 求图形中阴影部分的周长。（单位：分米）   解析： （1）3.14×（4＋6）＋3.14×4＋3.14×6 ＝3.14×（4＋6＋4＋6） ＝3.14×20 ＝62.8（分米） 【对应练习3】 求下图中阴影部分的周长。 【答案】25.12厘米 【分析】阴影部分的周长是由一个半径是4厘米的圆周长的一半，加上两个直径是4厘米的圆周长的一半。根据圆周长公式：周长＝π×直径＝2×π×半径，代入数据即可解答。 【详解】2×3.14×4÷2＋4×3.14 ＝6.28×4÷2＋12.56 ＝25.12÷2＋12.56 ＝12.56＋12.56 ＝25.12（厘米） 【考点二十二】求不规则或组合图形的周长其三：转化法求捆扎圆柱形物体时绳的长度 方法点拨 解题关键：用转化法将捆扎所用的绳子分成曲线和直线两部分计算。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 将三根同样粗细的圆木像下图这样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面的直径都是4分米，那么至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计） 解析： （4×3＋3.14×4）×2 ＝（12＋12.56）×2 ＝24.56×2 ＝49.12（分米） 答：至少需要49.12分米的铁丝。 【对应练习1】 如图，将两根直径是15cm的钢管用绳子捆在一起，每周需要绳子多少厘米？（接口处不计） 解析： 3.14×15＋15×2 ＝47.1＋30 ＝77.1（cm） 答：每周需要绳子77.1厘米。 【对应练习2】 用一根绳子把4个酒瓶捆扎起来（如下图），酒瓶的外直径是6厘米，打结处需要15厘米长的绳子。问这根绳子长多少厘米？ 解析： 6×4＋3.14×6＋15 ＝24＋18.84＋15 ＝57.84（厘米） 答：这根绳子长57.84厘米。 【对应练习3】 把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。 （1）像这样继续捆下去，第④组至少需要（ ）厘米的绳子。请说明理由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要（ ）厘米的绳子。 【答案】（1）57.42，理由见详解 （2）（9.42＋12n） 【分析】如下图所示，第1组中，四个角落为4个的圆，其可以组成一个完整的圆，可以算出一个圆的周长，其次在两个圆中间的部分，其长度是由两个圆的半径组成，则可以组成为一个直径，图中有4条边，那么共有4条直径，则周长为：一个圆的周长＋4条直径的长度； 第2组与第1组的区别为每边中间多了一个圆，即每条边多了一条直径，则比第一组多了4条直径，则周长为：一个圆的周长＋8条直径的长度 第3组与第2组比较，每条边又多了1个圆，则周长比第2组又多了4条直径，则周长为：一个圆的周长＋12条直径的长度； 由以上分析可得，每增加一组都会增加4条直径，第1组为4条直径，第2组为2×4条直径，第3组为3×4条直径，由此规律可得第n组为n×4条直径，则可以推算出第n组的周长为：一个圆的周长＋4n条直径的长度，已知一个圆的直径为3厘米，则可以推算出第n组的周长为：一个圆的周长＋3×4n，即一个圆的周长＋12n，据此即可解答。 【详解】（1）理由： 第①组：3×3.14＋12×1 ＝9.42＋12 ＝21.42（厘米） 第②组 3×3.14＋12×2 ＝9.42＋24 ＝33.42（厘米） 第③组 3×3.14＋12×3 ＝9.42＋36 ＝45.42（厘米） 第④组 3×3.14＋12×4 ＝9.42＋48 ＝57.42（厘米） （2）3×3.14＋3×4×n ＝（9.42＋12n）厘米 【点睛】此题难度较大，找到图中每增加一组与增加直径的关系为解题的关键。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 55 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 55 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元圆·圆的周长篇【二十二大考点】 专题名称 第一单元圆·圆的周长篇 专题内容 本专题以圆的周长为主，其中包括圆周长的基本问题、实际应用问题以及其他 相关的变式问题等内容。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 本专题作为圆单元的重点内容，考点划分较多，内容十分丰富，部分考点难度 较大，题型多以填空、选择、计算、应用为主，建议作为本章核心内容进行讲 解。 考点数量 二十二大考点 【考点一】圆的周长的意义 ................................................................................................................................. 4 【考点二】圆周率π的意义 ................................................................................................................................... 6 【考点三】圆的周长计算公式 ............................................................................................................................. 7 【考点四】已知周长，反求半径或直径 ............................................................................................................. 9 【考点五】半圆的周长 .............................................................................................................................. 12 【考点六】半圆周长的变化问题 ....................................................................................................................... 15 【考点七】三种关系之半径、直径和周长的倍数关系 ..........................................................................17 【考点八】三种关系之半径、直径和周长的比例关系 ..........................................................................18 【考点九】三种关系之半径、直径和周长的增减变化关系 ............................................................. 19 第 3 页 共 55 页 【考点十】圆与长方形的拼切转化问题 ........................................................................................................... 21 【考点十一】圆的周长与最圆问题 ................................................................................................................... 23 【考点十二】圆周长的应用问题其一：钟表指针运动问题 ...........................................................................26 【考点十三】圆周长的应用问题其二：植树问题 ........................................................................................... 28 【考点十四】圆周长的应用问题其三：普通行程问题 ..................................................................... 29 【考点十五】圆周长的应用问题其四：相遇问题 .........................................................................33 【考点十六】圆周长的应用问题其五：内外圈运动问题 ...............................................................................36 【考点十七】圆周长的应用问题其六：圆周数量问题 ................................................................................... 39 【考点十八】圆周长的应用问题其七：复杂的圆周运动问题 .......................................................................41 【考点十九】圆周长的应用问题其八：圆周长的大小比较问题 ...................................................................46 【考点二十】求不规则或组合图形的周长其一：相加法（分解法） ....................................49 【考点二十一】求不规则或组合图形的周长其二：平移法（拼组法） ................................50 【考点二十二】求不规则或组合图形的周长其三：转化法求捆扎圆柱形物体时绳的长度 52 第 4 页 共 55 页 【考点一】圆的周长的意义 方法点拨 1. 圆的周长。 围成圆的曲线的长度就是圆的周长。 2. 圆的周长的测量方法。 (1)直接测量法 可以拿卷尺或皮尺直接绕圆形物体一周测量。 (2)滚动法 滚动法适合测量较小、较轻的圆形物体的周长。 如图，在圆形物体上任选一点标记为点 A，作为起点(终点)。将标记点 A对 准直尺的 0刻度线，滚动一周后标记点 A所对的刻度就是圆形物体的周长。 (3)绕绳法 绕绳法适合测量树干等不能移动且横截面为圆的物体的周长。 先用一根没有弹性的绳子绕圆形物体一周，在重合的起点和终点处分别做标 记，再拉直绳子，两标记点之间的长度，就是圆形物体的周长。 注意： 用直接测量法、滚动法、绕绳法测量圆的周长都有一定的局限性，而且测得 的数据均有一定的误差。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 第 5 页 共 55 页 【典型例题】 一辆行驶中的电动车前轮压碎一个香蕉，在路上留下了几个印记（如图）。被压碎的香蕉与第 一个印记之间的距离大约是1.5 m，则1.5 m表示( )。 A．电动车的车长 B．两车轮之间的距离 C．前轮的周长 D．前轮的直径 【答案】C 【分析】香蕉被压碎时会在前轮留下印记，可以将这个印记看作一个点，电动车向前行驶，在 路上留下的第一个印记就是前轮上的印记绕前轮一周后留在路上的印记，所以被压碎的香蕉与 第一个印记之间的距离就是前轮的周长，据此分析。 【详解】根据分析，被压碎的香蕉与第一个印记之间的距离大约是1.5 m，则1.5 m表示前轮的 周长。 故答案为：C 【对应练习】 一辆行驶中的小轿车前轮压碎一个苹果，在路上留下了几个印记（如图）。被压碎的苹果与第 一个印记之间的距离大约是 2米，则 2米表示( )。 A．小轿车的车长 B．两车轮之间的距离 C．前轮的周长 D．前轮的直 径 【答案】C 【分析】小轿车前轮压碎一个苹果，则这个碎的苹果会在前轮的某处留下水印，随着前轮的转 动，下一次到这个水印的时候会在地面留下痕迹，也就是前轮行驶一周。根据周长的定义可知， 被压碎的苹果与第一个印记之间的距离是前轮转动一周的长度，即前轮的周长，据此即可解题。 第 6 页 共 55 页 【详解】由分析可知：被压碎的苹果与第一个印记之间的距离大约是 2米，这个 2米是前轮的 周长。 故答案为：C 【考点二】圆周率π的意义 方法点拨 1. 圆周率。 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物 理学中普遍存在的数学常数(约等于 3.14)，它是一个无限不循环小数， π=3.1415926535……，但在日常生活中，通常都用 3.14代表圆周率去进行近 似计算。 2. 古代数学文化。 （1）刘徽（三国时期，约公元 250年），首创“割圆术”，通过圆内接正 多边形逼近圆周，首次给出π的科学算法。 （2）祖冲之（南北朝，429–500年），将π值精确至小数点后第七位 （3.1415926–3.1415927） （3）阿基米德（古希腊，公元前 287–212年），最早系统计算π值，采用内 外切正多边形双逼近法。 （4）阿尔·卡西（波斯，1380–1429年），中世纪伊斯兰数学巅峰代表，将π 算至小数点后第 16位。 （5）《周髀算经》（西汉，约公元前 1世纪），首次记载“周三径一”（π≈3） 的圆周率近似值，奠定中国古代几何学基础。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 下列关于圆周率 ，说法正确的是( )。 ① 是个无限不循环小数。 ② ＞3.14。 ③周长大的圆， 就大，周长小的圆， 就小。 ④ 是圆的周长除以它直径的商。 第 7 页 共 55 页 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 解析： ①π是一个无限不循环小数，原题干说法正确； ②π是一个无限不循环小数，3.14是一个有限小数，π＞3.14正确； ③圆周率的大小与圆的周长，周长变大，直径变大，但圆周率不变，原题干说法错误； ④圆周率就是圆的周长和它的直径的比值也是商，原题干说法正确。 正确的有：①②④ 故答案选：B 【对应练习 1】 我国关于圆周率的最早记录出自( )。 A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《莱茵德草卷》 D．《几何原本》 解析：A 【对应练习 2】 我国古代( )算出π的值在 3.1415926和 3.1415927之间． 解析：祖冲之 【对应练习 3】 历史上研究圆周率的数学家有很多．请写出你知道的三位数学家：( )，( )， ( )。 解析：阿基米德(答案不唯一)；祖冲之(答案不唯一)；刘徽(答案不唯一) 【考点三】圆的周长计算公式 方法点拨 圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率，如果用 C表示圆的周 长，用 r表示圆的半径，用 d表示圆的直径，那么圆的周长计算公式是 C=πd 或 C=2πr。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题】 第 8 页 共 55 页 一个圆的半径是 3厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】18.84 【分析】圆的周长公式：C＝2 r，把半径 3厘米代入圆的周长公式计算即可。 【详解】2×3.14×3 ＝2×3×3.14 ＝6×3.14 ＝18.84（厘米） 所以它的周长是 18.84厘米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习 1】 一个圆的直径是 4厘米，它的周长是( )。 【答案】12.56厘米 【分析】根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×4＝12.56（厘米） 则它的周长是 12.56厘米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活应用，关键是熟记公式。 【对应练习 2】 用圆规画了一个圆，圆规两脚间的距离是 3厘米，这个圆的直径是( )厘米，周长是 ( )厘米。 【答案】 6 18.84 【分析】画圆时，圆规两脚之间的距离等于所画圆的半径，用半径乘 2即可求出这个圆的直径； 再根据圆的周长公式：C πd= ，把直径的数据代入公式计算即可求出这个圆的周长。 【详解】3×2＝6（厘米） 3.14×6＝18.84（厘米） 所以这个圆的直径是 6厘米，周长是 18.84厘米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习 3】 将圆规张开成 1.5厘米后画一个圆，它的直径是( )厘米，它的周长是( )厘米。 第 9 页 共 55 页 【答案】 3 9.42 【分析】把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，两脚之间的距离即半径。所以圆的半径等于 1.5厘米，圆的直径＝（1.5×2）厘米，再根据圆的周长公式：C＝2 r ，代入数据即可求出圆 的周长。 【详解】1.5×2＝3（厘米） 2×3.14×1.5＝9.42（厘米） 即圆的直径是 3厘米，圆的周长是 9.42厘米。 【点睛】此题的解题关键是理解掌握圆的概念以及圆的周长的计算方法。 【考点四】已知周长，反求半径或直径 方法点拨 根据圆的周长计算公式变形，可以反求半径或直径。 1. 已知圆的周长，反求圆的半径：r=C÷π÷2。 2. 已知圆的周长，反求圆的直径：d=C÷π。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题 1】反求半径 小英绕着花坛边缘走了一圈，刚好是 37.68米，这个花坛的半径是多少米？ 【答案】6米 【分析】根据题意可知：37.68米为这个圆形花坛的周长。由圆的周长 C＝2 r可知：r＝C÷ ÷2， 据此把周长的数据代入即可计算出半径。 【详解】37.68÷3.14÷2 ＝12÷2 ＝6（米） 答：这个花坛的半径是 6米。 【点睛】此题主要考查圆周长公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 【对应练习 1】 第 10 页 共 55 页 一个古代建筑中大红圆柱横截面的周长是 3.14米。这个圆柱横截面的半径是多少米？ 【答案】0.5米 【分析】根据“圆的周长公式为： 2C r ”可知，用这个圆柱横截面的周长除以 3.14，再除以 2， 即可求出这个圆柱横截面的半径是多少米。 【详解】3.14÷3.14÷2 ＝1÷2 ＝0.5（米） 答：这个圆柱横截面的半径是 0.5米。 【点睛】本题主要考查了圆的周长在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 【对应练习 2】 把一根 6.28米长的绳子绕在一棵千年古树上，正好能绕两圈，这棵古树的半径是多少米？ 【答案】0.5米 【分析】已知一根 6.28米长的绳子在千年古树上能绕两圈，则用 6.28÷2即可求出一圈是多少， 然后根据圆的周长公式，用一圈的长度除以 3.14再除以 2即可求出这棵古树的半径是多少米。 【详解】6.28 2 3.14 2   3.14 3.14 2 ＝ 0.5 （米） 答：这棵古树的半径是 0.5米。 【点睛】本题考查了圆周长公式的灵活应用。 【对应练习 3】 把一根长为 10米的绳子，在一个圆盘上绕了三圈，还剩下 0.58米，这个圆盘的半径是多少米？ 【答案】0.5米 【分析】用绳子的总长度减去剩下绳子的长度，即可求出三圈绳子的长度，除以 3即可求出一 圈绳子的长度，即这个圆盘的周长，根据圆的周长公式：C＝2 r ，代入数据即可求出这个圆 盘的半径。 【详解】（10－0.58）÷3÷2÷3.14 ＝9.42÷3÷2÷3.14 ＝1.57÷3.14 ＝0.5（米） 第 11 页 共 55 页 答：这个圆盘的半径是 0.5米。 【点睛】此题的解题关键是求出圆盘的周长，再根据圆的周长公式求解。 【典型例题 2】反求直径 一个古代建筑中大红圆柱横截面的周长是 3.14米。这个圆柱横截面的直径是多少米？ 【答案】1米 【分析】由圆的周长C πd= 可推导出：d C   。据此用 3.14÷3.14可求出这个圆柱横截面的直 径。 【详解】3.14÷3.14＝1（米） 答：这个圆柱横截面的直径是 1米。 【点睛】解决此题关键是明确圆的周长计算公式。 【对应练习 1】 用一根绳子绕一根竖直放置的木材一圈的长度是 50.24厘米，这根木材的水平截面的直径是多 少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】根据圆的周长公式“C＝πd”可知，这根柱子横截面的直径等于它的周长除以圆周率， 据此解题即可。 【详解】50.24÷3.14＝16（厘米） 答：这根木材的水平截面的直径是 16厘米。 【点睛】熟练掌握圆的周长公式是解题的关键。 【对应练习 2】 小明和小华用一根长 15.7米的绳子在校园的一棵树上正好绕了 10圈。请你帮他俩算一算这棵 树树干的直径是多少米？ 【答案】0.5米 【分析】先用 15.7÷10求出树干横截面的周长；根据圆的周长C πd= 可知：d C   ，据此再用 树干横截面的周长÷3.14可求出这棵树树干横截面的直径。 【详解】15.7÷10÷3.14 ＝1.57÷3.14 ＝0.5（米） 第 12 页 共 55 页 答：这棵树树干的直径是 0.5米。 【点睛】此题考查了圆的周长公式的应用。明确圆的周长公式是解决此题的关键。 【对应练习 3】 用一根长 30分米的绳子绕一根圆柱形柱子三圈后还多 1.74分米，这根圆柱形柱子的直径是多 少分米？ 【答案】3分米 【分析】用这个绳子的长度减去剩余的 1.74分米，求出这个柱子底面周长的 3倍，再除以 3 求出柱子的底面周长，然后根据圆的周长公式：C＝πd，那么 d＝C÷π，把数据代入公式解答。 【详解】（30－1.74）÷3÷3.14 ＝28.26÷3÷3.14 ＝9.42÷3.14 ＝3（分米） 答：这个柱子的直径是 3分米。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【考点五】半圆的周长 方法点拨 半圆的周长指的是圆的周长的一半与 1条直径或 2条半径的长度和，半圆的 周长计算公式是 C 半圆= 2 1 πd+d或 C 半圆=πr+2r。 易混易错点： 半圆的周长和圆周长的一半是不同的概念，有着不同的计算方法，圆周长的 一半=圆的周长÷2=πr。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题 1】半圆的周长 一个半圆的直径为 3厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】7.71 【分析】根据半圆周长是圆周长一半加直径，即半圆周长＝πd÷2＋d。代入数据计算即可。 【详解】3×3.14÷2＋3 ＝4.71＋3 第 13 页 共 55 页 ＝7.71（厘米） 一个半圆的直径为 3厘米，它的周长是 7.71厘米。 【对应练习 1】 一个半圆的直径是 10厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】25.7 【分析】半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，其中圆的周长公式 C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】3.14×10÷2＋10 ＝15.7＋10 ＝25.7（厘米） 半圆的周长是 25.7厘米。 【对应练习 2】 半径 10分米的半圆，它的周长是( )分米。 【答案】37.68 【分析】半圆周长是圆周长的一半加直径，即半圆周长＝πr＋2r，据此代入数据计算即可。 【详解】3.14×10＋2×3.14 ＝31.4＋6.28 ＝37.68（分米） 则它的周长是 37.68分米。 【点睛】掌握半圆周长的意义和计算公式是解题的关键。 【对应练习 3】 把一个直径 10cm的圆剪成两个半圆，则两个半圆周长之和是( )cm。 【答案】51.4 【分析】把一个直径 10cm的圆剪成两个半圆后，根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，所 以两个半圆的周长之和＝圆的周长＋两条直径，代入数据解答即可。 【详解】3.14×10＋2×10 ＝31.4＋20 ＝51.4（cm） 即两个半圆周长之和是 51.4cm。 第 14 页 共 55 页 【点睛】此题主要考查半圆的周长的计算，关键是理解两个半圆周长之和实际上是比原来的周 长多了两条直径。 【典型例题 2】已知半圆的周长，反求半径或直径 一个半圆的周长为 15.42厘米，它的直径是( )厘米。 【答案】6 【分析】半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，圆的周长＝ π×直径，设半圆的直径是 D厘米， 根据等量关系：“ π×直径÷2＋直径＝半圆的周长”列方程解答即可。 【详解】解：设半圆的直径是 D厘米。 3.14×D÷2＋D＝15.42 1.57D＋D＝15.42 2.57D＝15.42 D＝15.42÷2.57 D＝6 所以，半圆的直径是 6厘米。 【对应练习】 画一个周长是 20.56cm的半圆，圆规两脚间的距离应该是( )cm。 【答案】4 【分析】画圆时，圆规的两脚间的距离就是所画圆的半径，求圆的半径，可根据圆的周长公式 C＝2πr，得知半圆的周长为半圆的周长＝2πr÷2＋2r，列式解答即可得到答案。画圆时，圆规 的两脚间的距离是圆的半径。 【详解】圆的周长＝2πr 半圆的周长＝2πr÷2＋2r 2πr÷2＋2r＝20.56 πr＋2r＝20.56 （π＋2）r＝20.56 5.14r＝20.56 5.14r÷5.14＝20.56÷5.14 r＝4 圆规两脚间的距离应该是 4厘米。 第 15 页 共 55 页 【考点六】半圆周长的变化问题 方法点拨 半圆的周长指的是圆的周长的一半与 1条直径或 2条半径的长度和，半圆的 周长计算公式是 C 半圆= 2 1 πd+d或 C 半圆=πr+2r。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 把一个圆形纸板剪成两个相等的半圆，它的周长增加了 40厘米，这个圆形纸板的半径是 ( )厘米。 【答案】10 【分析】半圆形的周长等于圆周长的一半加上一条直径的长度之和，所以把一个圆形纸板剪成 两个相等的半圆，它的周长实际上增加的是两条直径的长，据此求出圆的直径，继而求出这个 圆形纸板的半径。 【详解】40÷2÷2＝10（厘米） 即这个圆形纸板的半径是 10厘米。 【点睛】理解增加的周长是两条直径是解题的关键。 【对应练习 1】 如图，把一张圆形纸片剪成 2个半圆，它的周长增加 20cm，原来这个圆的半径是( )cm， 周长是( )cm。 【答案】 5 31.4 【分析】把一张圆形纸片剪成 2个半圆，2个半圆周长的和比一个圆的周长增加了 2条直径的 长。即 2条直径的长是 20cm。先用 20÷2求出一条直径的长，再用直径的长÷2求出半径的长， 最后根据圆的周长C πd= 求出这个圆的周长。 【详解】直径：20÷2＝10（cm） 半径：10÷2＝5（cm） 周长：3.14×10＝31.4（cm） 第 16 页 共 55 页 所以这个圆的半径是 5cm，周长是 31.4cm。 【点睛】解决此题的关键是明确周长增加的长度是 2条直径的长。 【对应练习 2】 把一张圆形纸板剪成两个相等的半圆，发现周长增加16cm。每个半圆的周长是( ) cm。 【答案】20.56 【分析】一个圆被分成两个相等半圆，周长增加了两个直径的长度，因此可得到圆的直径是 8 厘米，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，根据 C＝πd解答。 【详解】d：16÷2＝8（厘米） 半圆周长：3.14×8÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 【点睛】解题关键是弄清楚一个圆剪成两个相等半圆周长增加 2个直径的长。 【对应练习 3】 一个圆的周长是 37.68分米，把它分成两个半圆后，两个半圆的周长和比原来圆的周长增加了 ( )分米。 【答案】24 【分析】先求出这个圆的直径，因为每个半圆的周长等于整圆的周长的一半＋直径的长度，所 以两个半圆的周长之和比这个圆的周长增加了两条直径的长度；由此即可解答。 【详解】37.68÷3.14×2 ＝12×2 ＝24（分米） 【点睛】此题考查圆的周长公式以及半圆的周长的计算方法。 第 17 页 共 55 页 【考点七】三种关系之半径、直径和周长的倍数关系 方法点拨 1. 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的 倍数。 例如：在同一个圆里，半径扩大 4倍，那么直径和周长就都扩大 4倍。 2. 在同一个圆里，大圆半径是小圆半径的 a倍，则大圆直径或周长都是小圆 直径或周长的 a倍。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】问题一 甲圆的半径是乙圆半径的 2倍，那么甲圆的周长是乙圆周长的( )倍。 解析： 设乙圆的半径是 r，（2π×2r）÷（2πr）＝（4πr）÷（2πr）＝2。 甲圆的周长是乙圆周长的 2倍。 【对应练习 1】 如果大圆的周长是小圆的 2倍，当小圆的直径是 2分米时，大圆的直径是( )分米。 A. 8 B. 4 C. 6 解析：B 【对应练习 2】 自行车后轮的半径是前轮的 1.5倍，后轮转动 12周，前轮转了( )周。 A．8 B．12 C．18 解析：C 【典型例题 2】问题二 圆的半径扩大 3倍，直径就扩大( )倍，周长会扩大( )倍。 解析：3；3 【对应练习 1】 圆的半径扩大到原来的 3倍，直径扩大到原来的( )倍，周长扩大到原来的( )倍。 解析：3；3 第 18 页 共 55 页 【对应练习 2】 如果一个圆的半径扩大到原来的 3倍，那么它的直径扩大到原来的( )倍，周长扩大到 原来的( )。 解析：3；3；9 【考点八】三种关系之半径、直径和周长的比例关系 方法点拨 两个圆的半径之比等于它们的直径之比，等于它们的周长之比。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 大圆的半径等于小圆的直径，那么大圆和小圆周长之比是( )。 【答案】2∶1 【分析】设小圆的直径为 d，则大圆的直径为 2d，分别代入圆的周长公式，即可表示出各自的 周长，从而求出二者的周长比。 【详解】设小圆的直径为 d，则大圆的直径为 2d， 所以大圆的周长∶小圆的周长＝（2πd）∶（πd）＝2∶1。 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的应用。 【对应练习 1】 有大小两个圆，大圆直径时 6cm，大圆周长与小圆周长之比是 2:1，小圆直径是( )。 【答案】3cm 【详解】大圆周长和小圆周长的比等于大圆直径和小圆直径的比，也就是说大圆直径和小圆直 径的比也是 2:1，由此列出比例 6：x=2:1，根据比例的基本性质即可求出直径． 【对应练习 2】 一个小圆和一个大圆的半径之比是 1∶3，如果小圆的周长是 3.14厘米，那么大圆的周长是 ( )。 【答案】9.42厘米/9.42cm 【分析】已知小圆和大圆的半径之比是 1∶3，根据圆周长公式：C＝2πr，以及比的基本性质： 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，可知小圆和大圆的周长的比也 第 19 页 共 55 页 是 1∶3，小圆的周长看作 1份，大圆的周长看作 3份，已知小圆的周长是 3.14厘米，则用 3.14×3 即可求出大圆的周长。据此解答。 【详解】根据圆周长公式以及比的基本性质可知，小圆和大圆的周长的比也是 1∶3， 小圆的周长是 3.14厘米， 大圆的周长：3.14×3＝9.42（厘米） 如果小圆的周长是 3.14厘米，那么大圆的周长是 9.42厘米。 【点睛】本题主要考查了比的应用以及圆周长公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式以及比的 基本性质。 【对应练习 3】 如图中，线段 AD的长度是 90厘米，三个圆的直径之比是 1∶2∶3，那么，这三个圆的周长 之和是( )厘米。 【答案】282.6 【分析】从图中可以看出，线段 AD是三个圆的直径之和；求这三个圆的周长之和，根据圆的 周长公式 C＝πd可得，π×AB＋π×BC＋π×CD＝π×（AB＋BC＋CD）＝π×AD，已知 AD＝90 厘米，据此求出这三个圆的周长之和。 【详解】3.14×90＝282.6（厘米） 三个圆的周长之和是 282.6厘米。 【考点九】三种关系之半径、直径和周长的增减变化关系 方法点拨 1. 当一个圆的半径增加 a厘米时，它的周长就增加 2πa厘米； 2. 当一个圆的直径增加 a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个圆的半径由 3厘米增加到 5厘米，周长增加了( )厘米。 解析： 第 20 页 共 55 页 2×3.14×（5－3） ＝2×3.14×2 ＝12.56（厘米） 【对应练习 1】 圆的半径增加1cm，直径增加( ) cm，周长增加( ) cm。 解析： 设原来圆的半径为 rcm，则增加 1cm后，圆的半径为（r＋1）cm 原来圆的直径：2×r＝2r（cm） 增加 1cm后圆的直径：2×（r＋1） ＝2r＋2（cm） 增加了：2r＋2－2r ＝2（cm） 增加后圆的周长：2×π×（r＋1） ＝2πr＋2π（cm） 原来圆的周长：2×π×r 2πr（cm） 增加了：2πr＋2π－2πr ＝2π ＝2×3.14 ＝6.28（cm） 【对应练习 2】 圆的半径增加 3厘米，直径增加( )厘米，周长增加( )厘米。 解析： 设原来圆的半径为 r厘米，则增加 3厘米后圆的半径为（r＋3）厘米 原来圆的直径：2×r＝2r（厘米） 原来圆的周长：π×2×r＝2πr（厘米） 增加 3厘米后圆的直径： （r＋3）×2 ＝2r＋6（厘米） 第 21 页 共 55 页 直径增加了： 2r＋6－2r ＝6（厘米） 增加后圆的周长：π×2×（r＋3） ＝2πr＋6π（厘米） 周长增加了：2πr＋6π－2πr ＝6π ＝6×3.14 ＝18.84（厘米） 【对应练习 3】 圆的直径增加 2厘米，周长增加( )厘米。圆的周长增加 3π厘米，半径增加( ) 厘米。 解析：6.28；1.5 【考点十】圆与长方形的拼切转化问题 方法点拨 把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半， 用字母πr表示，宽相当于圆的半径。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个半径为 15厘米的圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。长方形宽是( )厘 米，长是( )厘米。长方形的周长比圆的周长长( )厘米。 【答案】 15 47.1 30 【分析】把圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，长方形的宽是圆的半径，长方形的长 ＝圆周长的一半；长方形的周长比圆的周长多了两条半径，据此分析。 【详解】3.14×15＝47.1（厘米） 15×2＝30（厘米） 长方形宽是 15厘米，长是 47.1厘米。长方形的周长比圆的周长长 30厘米。 【点睛】关键是熟悉圆的面积公式推导过程，理解长方形和圆之间的关系。 第 22 页 共 55 页 【对应练习 1】 张洋把一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再将两个三角 形拼成平行四边形（如下图）。测得平行四边形的底是 15.7厘米，圆形茶杯垫片的半径是 ( )厘米 【答案】5 【分析】由图可知，拼成平行四边形的底边相当于原来圆形杯垫最外面圆周长的一半，由圆的 周长公式可知，半径＝周长÷圆周率÷2，据此解答。 【详解】15.7×2÷3.14÷2 ＝31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 【点睛】分析图形找出平行四边形底边和原来圆的对应关系是解答题目的关键。 【对应练习 2】 如图用“拼割法”将半径 3厘米的圆拼成了一个近似的长方形，拼成的长方形的长是 ( )cm，宽是( )cm。 【答案】 9.42 3 【分析】看图，长方形的长是圆的周长的一半，宽是圆的半径。据此利用圆的周长公式先计算 出它的周长，再除以 2，求出长方形的长。根据半径是 3厘米，直接填出长方形的宽。 【详解】2×3.14×3÷2＝9.42（厘米） 所以，拼成的长方形的长是 9.42厘米，宽是 3厘米。 【点睛】本题考查了圆的特点和周长，圆周长＝2×3.14×半径。 第 23 页 共 55 页 【对应练习 3】 将一个半径 4厘米的圆，沿着半径剪开，得到若干个小扇形，然后拼成一个近似长方形（如图）， 拼成的长方形的周长比原来圆的周长增加( )厘米。 【答案】8 【分析】拼成的长方形的两个长是圆的周长，宽是圆的半径，从而可以得出这个长方形的周长 比原来圆的周长增加了 2条半径的长度，据此即可解答。 【详解】由分析可知： 4×2＝8（厘米） 则拼成的长方形的周长比原来圆的周长增加 8厘米。 【点睛】解答此题的关键是明白，拼成的长方形的两个长是圆的周长，宽是圆的半径，从而问 题得解。 【考点十一】圆的周长与最圆问题 方法点拨 1. 在正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； 2. 在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题 1】正方形的最圆问题 在一张边长为 10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm。 【答案】31.4 【分析】根据题意可知，在这张正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边 长，根据圆的周长公式：C πd= ，把数据代入公式解答。 【详解】3.14 10 31.4  （cm） 【点睛】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习 1】 第 24 页 共 55 页 把一张周长是 16cm的正方形纸片剪成一个最大的圆，这个圆的直径长( )cm，周长是 ( )cm。 【答案】 4 12.56 【分析】由题意可知：先用正方形的周长除以 4求出正方形的边长，这个最大的圆的直径就是 这个正方形的边长，再依据圆的周长公式：C πd= ，代入数据即可解决问题。 【详解】16÷4＝4（cm） 3.14×4＝12.56（cm） 【点睛】抓住正方形内最大圆的特点，得出这个圆的直径是解决此类问题的关键。 【对应练习 2】 从一张边长是 10厘米的正方形纸片中剪一个最大的圆，圆的直径是( )厘米，它的周 长是( )厘米。 【答案】 10 31.4 【分析】正方形纸片中剪一个最大的圆，圆的直径＝正方形边长；根据圆的周长＝πd，计算即 可。 【详解】3.14×10＝31.4（厘米） 从一张边长是 10厘米的正方形纸片中剪一个最大的圆，圆的直径是 10厘米，它的周长是 31.4 厘米。 【点睛】关键是理解圆和正方形之间的关系，掌握圆的周长公式。 【对应练习 3】 在一个边长为 10cm的正方形中画一个最大的圆，这个图形有( )条对称轴。正方形中这 个最大圆的周长是( )cm。 【答案】 4 31.4 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合 的图形，直线叫做对称轴。 正方形中这个最大圆的直径＝正方形边长，根据圆的周长＝πd，求出圆的周长。 第 25 页 共 55 页 【详解】 3.14×10＝31.4（厘米） 这个图形有 4条对称轴。正方形中这个最大圆的周长是 31.4cm。 【点睛】关键是熟悉轴对称图形的特点，掌握圆的周长公式。 【典型例题 2】长方形的最圆问题 小文在一张长10cm，宽8cm的长方形纸上剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm。 【答案】25.12 【分析】剪成的最大的圆的直径是 8cm，根据“圆周长＝πd”求出这个圆的周长即可。 【详解】3.14×8＝25.12（cm） 所以，这个圆的周长是 25.12cm。 【对应练习 1】 在长 5厘米、宽 4厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是( )。 【答案】12.56厘米/12.56cm 【分析】在长 5厘米、宽 4厘米的长方形中画一个最大的圆，则圆的直径的长度和长方形的宽 的长度相等，是 4厘米，根据 C 圆＝πd，代入数据可求得圆的周长。 【详解】3.14×4＝12.56（厘米） 在长 5厘米、宽 4厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是（12.56厘米）。 【点睛】熟悉圆的周长公式，明确在长方形中画一个最大的圆，长方形与圆的各个数对应的关 系。 【对应练习 2】 如下图，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是( )厘米，如果在这个长方形内 画一个最大的半圆，这个半圆的直径是( )厘米。 【答案】 12.56 8 第 26 页 共 55 页 【分析】以长方形的宽为直径的圆是长方形内最大的圆，利用“C πd= ”求出这个圆的周长，以 长方形的宽为半径的半圆是长方形内最大的半圆，在同圆或等圆中，直径是半径的 2倍，据此 解答。 【详解】3.14×4＝12.56（厘米） 4×2＝8（厘米） 所以，这个长方形内最大圆的周长是 12.56厘米，最大半圆的直径是 8厘米。 【点睛】掌握圆的特征和周长计算公式是解答题目的关键。 【对应练习 3】 在一个长 12厘米，宽 8厘米的长方形纸上剪下一个最大的半圆，这个半圆的半径是( ) 厘米，周长是( )厘米。 【答案】 6 30.84 【分析】在一个长 12厘米，宽 8厘米的长方形纸上剪下一个最大的半圆，这个半圆的直径＝ 长方形的长，半径＝直径÷2，半圆周长＝πr＋d，据此列式计算。 【详解】12÷2＝6（厘米） 3.14×6＋12 ＝18.84＋12 ＝30.84（厘米） 这个半圆的半径是 6厘米，周长是 30.84厘米。 【点睛】关键是熟悉半圆特点，掌握并灵活运用半圆周长公式。 【考点十二】圆周长的应用问题其一：钟表指针运动问题 方法点拨 1. 时针每走 12小时转动一周，一天转动 2周。 2. 时针每过一小时，分钟就转到一周，一天转动 24周。 考察形式 填空、应用 动态评价 【典型例题】 一台座钟的分针长 10厘米，经过 45分钟后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？ 【答案】47.1厘米 【分析】因为分针走一圈是 60分钟，而分针经过 45分钟走了整个圆的 4560 ，所以根据圆的周 第 27 页 共 55 页 长公式 C 2πr，求出分针走一圈的路程，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，进而 求出经过 45分钟后走过的路程。 【详解】分针走一圈是 60分钟 4545 60 60   452 3.14 10 60    456.28 10 60    4562.8 60   47.1 （厘米） 答：这根分针的尖端所走的路程是 47.1厘米。 【对应练习 1】 钟楼上装有一个圆形大钟，它的分针长 50厘米。分针的尖端每小时所走的路程是多少厘米？ 【答案】314厘米 【分析】分针每小时（60分钟）转一圈，那么分针尖端每小时所走的路程就是半径为 50厘米 的圆的周长；根据圆的周长公式 C＝2πr，代入数据计算即可。 【详解】2×3.14×50＝314（厘米） 答：分针的尖端每小时所走的路程是 314厘米。 【点睛】本题考查圆周长公式的灵活运用，关键是明确分针的尖端每小时走的路程是圆的周长。 【对应练习 2】 一个钟表的分针长 10厘米，从上午 9时到上午 10时，分针的顶部走过的长度是多少厘米？ 【答案】62.8厘米 【分析】从上午 9时到上午 10时，分针的顶部旋转一周，走过的轨迹是一个半径为 10厘米的 圆，求分针的顶部走过的长度就是求圆的周长，根据“C＝2πr”解答即可。 【详解】2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（厘米）； 答：分针的顶部走过的长度是 62.8厘米。 【点睛】明确分针顶部走过的轨迹是一个半径为 10厘米的圆是解答本题的关键。 第 28 页 共 55 页 【对应练习 3】 一只挂钟经过 45分钟后，分针的尖端所走的路程是 94.2厘米，这只挂钟的分针长多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】挂钟可看作一个圆，分针走一圈是 60分，45分则是走了四分之三圈，则分针走的路 程就等于周长的四分之三，用分针尖端走的路程除以四分之三就等于分针走的圆的周长，结合 半径 r＝周长÷2÷π即可求出分针的长短，据此解答。 【详解】94.2÷ 34 ÷2÷3.14 ＝94.2× 43 ÷2÷3.14 ＝125.6÷2÷3.14 ＝62.8÷3.14 ＝20（厘米） 答：这只挂钟的分针长 20厘米。 【考点十三】圆周长的应用问题其二：植树问题 方法点拨 植树问题在圆形中的应用主要是利用段数与棵数相等的特点解决生活问题。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 锦华园有一个圆形花坛，直径是 15m。如果在花坛的边缘每隔 0.3m安装一盏地灯，一共要安 装( )盏。 解析： 3.14×15÷0.3 ＝47.1÷0.3 ＝157（盏） 【对应练习 1】 在一个半径是 50米的圆形鱼塘边上每隔 3.14米栽一棵树，共栽树( )棵。 A.100 B.50 C.101 D.51 解析：A 第 29 页 共 55 页 【对应练习 2】 一个圆形花坛的直径是 20m．在花坛的周围摆放花，每隔 1.57m摆放一盆，一共可以摆放 ( )盆花。 解析：40 【对应练习 3】 一个圆形水池，直径 400米，沿池边隔 4米栽一棵树，一共能栽( )棵树。 解析：314 【考点十四】圆周长的应用问题其三：普通行程问题 方法点拨 1. 车轮转一圈就是圆的一周。 2. 路程=速度×时间；时间=路程÷速度。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题 1】求路程 世贸摩天城的摩天轮，它的直径大约是 90米，旋转一周所需时间约 30分钟，东东坐上摩天轮 20分钟后，他在空中大约移动了多少米？ 【答案】188.4米 【分析】先用除法求出 20分钟占 30分钟的几分之几，再根据“C d圆形 = ”求出摩天轮的周长， 东东在空中移动的距离＝摩天轮的周长×所求分率，据此解答。 【详解】20÷30＝ 23 2 3 ×90×3.14 ＝60×3.14 ＝188.4（米） 答：他在空中大约移动了 188.4米。 【点睛】本题主要考查圆的周长公式的应用，求出东东坐摩天轮的时间占摩天轮旋转一周所用 时间的分率并熟记圆的周长公式是解答题目的关键。 【对应练习 1】 第 30 页 共 55 页 一种自行车轮胎的外直径是 8分米，李老师骑自行车从家到图书馆用了 10分钟，如果车轮每 分钟转 100周，李老师家到图书馆的路程是多少米？ 【答案】2512米 【分析】先根据圆的周长C πd= 求出轮胎的周长；再用轮胎的周长×100求出每分钟车轮前进的 路程；最后根据“速度×时间＝路程”求出李老师家到图书馆的路程。 【详解】3.14×8×100×10 ＝25.12×100×10 ＝25120（分米） 25120分米＝2512米 答：李老师家到图书馆的路程是 2512米。 【点睛】解决此题的关键是明确车轮转 1圈大约可以走多远，就是求车轮的周长。 【对应练习 2】 自行车车轮的直径大约是 65厘米，小明每天都从家骑自行车到学校。如果车轮每分转 100圈， 那么小明从家到学校需要骑 20分。小明家到学校大约有多少千米？（π取 3.14，结果保留整数。） 【答案】4千米 【分析】根据圆周长公式：C＝πd，用 3.14×65即可求出车轮转一圈的距离，已知车轮每分转 100圈，小明从家到学校需要骑 20分，则用 3.14×65×100×20即可求出小明家到学校的距离。 【详解】3.14×65×100×20 ＝204.1×100×20 ＝408200（厘米） 408200厘米＝4.082千米 4.082千米≈4千米 答：小明家到学校大约有 4千米。 【点睛】本题考查了圆周长公式的灵活应用。 【对应练习 3】 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第一单元圆·圆的周长篇【二十二大考点】 专题名称 第一单元圆·圆的周长篇 专题内容 本专题以圆的周长为主，其中包括圆周长的基本问题、实际应用问题以及其他相关的变式问题等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题作为圆单元的重点内容，考点划分较多，内容十分丰富，部分考点难度较大，题型多以填空、选择、计算、应用为主，建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 二十二大考点 【考点一】圆的周长的意义 4 【考点二】圆周率π的意义 6 【考点三】圆的周长计算公式 7 【考点四】已知周长，反求半径或直径 8 【考点五】半圆的周长 10 【考点六】半圆周长的变化问题 10 【考点七】三种关系之半径、直径和周长的倍数关系 11 【考点八】三种关系之半径、直径和周长的比例关系 12 【考点九】三种关系之半径、直径和周长的增减变化关系 13 【考点十】圆与长方形的拼切转化问题 13 【考点十一】圆的周长与最圆问题 14 【考点十二】圆周长的应用问题其一：钟表指针运动问题 16 【考点十三】圆周长的应用问题其二：植树问题 17 【考点十四】圆周长的应用问题其三：普通行程问题 17 【考点十五】圆周长的应用问题其四：相遇问题 20 【考点十六】圆周长的应用问题其五：内外圈运动问题 21 【考点十七】圆周长的应用问题其六：圆周数量问题 23 【考点十八】圆周长的应用问题其七：复杂的圆周运动问题 24 【考点十九】圆周长的应用问题其八：圆周长的大小比较问题 27 【考点二十】求不规则或组合图形的周长其一：相加法（分解法） 29 【考点二十一】求不规则或组合图形的周长其二：平移法（拼组法） 30 【考点二十二】求不规则或组合图形的周长其三：转化法求捆扎圆柱形物体时绳的长度 31 【考点一】圆的周长的意义 方法点拨 1. 圆的周长。 围成圆的曲线的长度就是圆的周长。 2. 圆的周长的测量方法。 (1)直接测量法 可以拿卷尺或皮尺直接绕圆形物体一周测量。 (2)滚动法 滚动法适合测量较小、较轻的圆形物体的周长。 如图，在圆形物体上任选一点标记为点A，作为起点(终点)。将标记点A对准直尺的0刻度线，滚动一周后标记点A所对的刻度就是圆形物体的周长。 (3)绕绳法 绕绳法适合测量树干等不能移动且横截面为圆的物体的周长。 先用一根没有弹性的绳子绕圆形物体一周，在重合的起点和终点处分别做标记，再拉直绳子，两标记点之间的长度，就是圆形物体的周长。 注意： 用直接测量法、滚动法、绕绳法测量圆的周长都有一定的局限性，而且测得的数据均有一定的误差。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 一辆行驶中的电动车前轮压碎一个香蕉，在路上留下了几个印记（如图）。被压碎的香蕉与第一个印记之间的距离大约是，则表示( )。 A．电动车的车长 B．两车轮之间的距离 C．前轮的周长 D．前轮的直径 【对应练习】 一辆行驶中的小轿车前轮压碎一个苹果，在路上留下了几个印记（如图）。被压碎的苹果与第一个印记之间的距离大约是2米，则2米表示( )。 A．小轿车的车长 B．两车轮之间的距离 C．前轮的周长 D．前轮的直径 【考点二】圆周率π的意义 方法点拨 1. 圆周率。 圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数(约等于3.14)，它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……，但在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。 2. 古代数学文化。 （1）刘徽（三国时期，约公元250年），首创 “割圆术” ，通过圆内接正多边形逼近圆周，首次给出π的科学算法。 （2）祖冲之（南北朝，429–500年），将π值精确至小数点后第七位（3.1415926–3.1415927） （3）阿基米德（古希腊，公元前287–212年），最早系统计算π值，采用内外切正多边形双逼近法。 （4）阿尔·卡西（波斯，1380–1429年），中世纪伊斯兰数学巅峰代表，将π算至小数点后第16位。 （5）《周髀算经》（西汉，约公元前1世纪），首次记载“周三径一”（π≈3）的圆周率近似值，奠定中国古代几何学基础。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【典型例题】 下列关于圆周率，说法正确的是( )。 ①是个无限不循环小数。 ②＞3.14。 ③周长大的圆，就大，周长小的圆，就小。 ④是圆的周长除以它直径的商。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【对应练习1】 我国关于圆周率的最早记录出自( )。 A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《莱茵德草卷》 D．《几何原本》 【对应练习2】 我国古代( )算出π的值在3.1415926和3.1415927之间． 【对应练习3】 历史上研究圆周率的数学家有很多．请写出你知道的三位数学家：( )，( )，( )。 【考点三】圆的周长计算公式 方法点拨 圆的周长=直径×圆周率或圆的周长=半径×2×圆周率，如果用C表示圆的周长，用r表示圆的半径，用d表示圆的直径，那么圆的周长计算公式是C=πd或C=2πr。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题】 一个圆的半径是3厘米，它的周长是( )厘米。 【对应练习1】 一个圆的直径是4厘米，它的周长是( )。 【对应练习2】 用圆规画了一个圆，圆规两脚间的距离是3厘米，这个圆的直径是( )厘米，周长是( )厘米。 【对应练习3】 将圆规张开成1.5厘米后画一个圆，它的直径是( )厘米，它的周长是( )厘米。 【考点四】已知周长，反求半径或直径 方法点拨 根据圆的周长计算公式变形，可以反求半径或直径。 1. 已知圆的周长，反求圆的半径：r=C÷π÷2。 2. 已知圆的周长，反求圆的直径：d=C÷π。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题1】反求半径 小英绕着花坛边缘走了一圈，刚好是37.68米，这个花坛的半径是多少米？ 【对应练习1】 一个古代建筑中大红圆柱横截面的周长是3.14米。这个圆柱横截面的半径是多少米？ 【对应练习2】 把一根6.28米长的绳子绕在一棵千年古树上，正好能绕两圈，这棵古树的半径是多少米？ 【对应练习3】 把一根长为10米的绳子，在一个圆盘上绕了三圈，还剩下0.58米，这个圆盘的半径是多少米？ 【典型例题2】反求直径 一个古代建筑中大红圆柱横截面的周长是3.14米。这个圆柱横截面的直径是多少米？ 【对应练习1】 用一根绳子绕一根竖直放置的木材一圈的长度是50.24厘米，这根木材的水平截面的直径是多少厘米？ 【对应练习2】 小明和小华用一根长15.7米的绳子在校园的一棵树上正好绕了10圈。请你帮他俩算一算这棵树树干的直径是多少米？ 【对应练习3】 用一根长30分米的绳子绕一根圆柱形柱子三圈后还多1.74分米，这根圆柱形柱子的直径是多少分米？ 【考点五】半圆的周长 方法点拨 半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是C半圆=πd+d或C半圆=πr+2r。 易混易错点： 半圆的周长和圆周长的一半是不同的概念，有着不同的计算方法，圆周长的一半=圆的周长÷2=πr。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【典型例题1】半圆的周长 一个半圆的直径为3厘米，它的周长是( )厘米。 【对应练习1】 一个半圆的直径是10厘米，它的周长是( )厘米。 【对应练习2】 半径10分米的半圆，它的周长是( )分米。 【对应练习3】 把一个直径10cm的圆剪成两个半圆，则两个半圆周长之和是( )cm。 【典型例题2】已知半圆的周长，反求半径或直径 一个半圆的周长为15.42厘米，它的直径是( )厘米。 【对应练习】 画一个周长是20.56cm的半圆，圆规两脚间的距离应该是( )cm。 【考点六】半圆周长的变化问题 方法点拨 半圆的周长指的是圆的周长的一半与1条直径或2条半径的长度和，半圆的周长计算公式是C半圆=πd+d或C半圆=πr+2r。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 把一个圆形纸板剪成两个相等的半圆，它的周长增加了40厘米，这个圆形纸板的半径是( )厘米。 【对应练习1】 如图，把一张圆形纸片剪成2个半圆，它的周长增加20cm，原来这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm。 【对应练习2】 把一张圆形纸板剪成两个相等的半圆，发现周长增加。每个半圆的周长是( )。 【对应练习3】 一个圆的周长是37.68分米，把它分成两个半圆后，两个半圆的周长和比原来圆的周长增加了( )分米。 【考点七】三种关系之半径、直径和周长的倍数关系 方法点拨 1. 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。 例如：在同一个圆里，半径扩大4倍，那么直径和周长就都扩大4倍。 2. 在同一个圆里，大圆半径是小圆半径的a倍，则大圆直径或周长都是小圆直径或周长的a倍。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 甲圆的半径是乙圆半径的2倍，那么甲圆的周长是乙圆周长的( )倍。 【对应练习1】 如果大圆的周长是小圆的2倍，当小圆的直径是2分米时，大圆的直径是( )分米。 A. 8                                              B. 4                                              C. 6 【对应练习2】 自行车后轮的半径是前轮的1.5倍，后轮转动12周，前轮转了( )周。 A．8 B．12 C．18 【典型例题2】问题二 圆的半径扩大3倍，直径就扩大( )倍，周长会扩大( )倍。 【对应练习1】 圆的半径扩大到原来的3倍，直径扩大到原来的( )倍，周长扩大到原来的( )倍。 【对应练习2】 如果一个圆的半径扩大到原来的3倍，那么它的直径扩大到原来的( )倍，周长扩大到原来的( )。 【考点八】三种关系之半径、直径和周长的比例关系 方法点拨 两个圆的半径之比等于它们的直径之比，等于它们的周长之比。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 大圆的半径等于小圆的直径，那么大圆和小圆周长之比是( )。 【对应练习1】 有大小两个圆，大圆直径时6cm，大圆周长与小圆周长之比是2:1，小圆直径是( )。 【对应练习2】 一个小圆和一个大圆的半径之比是1∶3，如果小圆的周长是3.14厘米，那么大圆的周长是( )。 【对应练习3】 如图中，线段AD的长度是90厘米，三个圆的直径之比是1∶2∶3，那么，这三个圆的周长之和是( )厘米。 【考点九】三种关系之半径、直径和周长的增减变化关系 方法点拨 1. 当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 2. 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个圆的半径由3厘米增加到5厘米，周长增加了( )厘米。 【对应练习1】 圆的半径增加，直径增加( )，周长增加( )。 【对应练习2】 圆的半径增加3厘米，直径增加( )厘米，周长增加( )厘米。 【对应练习3】 圆的直径增加2厘米，周长增加( )厘米。圆的周长增加3π厘米，半径增加( )厘米。 【考点十】圆与长方形的拼切转化问题 方法点拨 把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母πr表示，宽相当于圆的半径。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题】 一个半径为15厘米的圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。长方形宽是( )厘米，长是( )厘米。长方形的周长比圆的周长长( )厘米。 【对应练习1】 张洋把一个由草绳编织成的圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再将两个三角形拼成平行四边形（如下图）。测得平行四边形的底是15.7厘米，圆形茶杯垫片的半径是( )厘米 【对应练习2】 如图用“拼割法”将半径3厘米的圆拼成了一个近似的长方形，拼成的长方形的长是 ( )cm，宽是( )cm。 【对应练习3】 将一个半径4厘米的圆，沿着半径剪开，得到若干个小扇形，然后拼成一个近似长方形（如图），拼成的长方形的周长比原来圆的周长增加( )厘米。 【考点十一】圆的周长与最圆问题 方法点拨 1. 在正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； 2. 在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】正方形的最圆问题 在一张边长为10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm。 【对应练习1】 把一张周长是16cm的正方形纸片剪成一个最大的圆，这个圆的直径长( )cm，周长是( )cm。 【对应练习2】 从一张边长是10厘米的正方形纸片中剪一个最大的圆，圆的直径是( )厘米，它的周长是( )厘米。 【对应练习3】 在一个边长为10cm的正方形中画一个最大的圆，这个图形有( )条对称轴。正方形中这个最大圆的周长是( )cm。 【典型例题2】长方形的最圆问题 小文在一张长，宽的长方形纸上剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm。 【对应练习1】 在长5厘米、宽4厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是( )。 【对应练习2】 如下图，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是( )厘米，如果在这个长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的直径是( )厘米。 【对应练习3】 在一个长12厘米，宽8厘米的长方形纸上剪下一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米。 【考点十二】圆周长的应用问题其一：钟表指针运动问题 方法点拨 1. 时针每走12小时转动一周，一天转动2周。 2. 时针每过一小时，分钟就转到一周，一天转动24周。 考察形式 填空、应用 动态评价 【典型例题】 一台座钟的分针长10厘米，经过45分钟后，这根分针的尖端所走的路程是多少厘米？ 【对应练习1】 钟楼上装有一个圆形大钟，它的分针长50厘米。分针的尖端每小时所走的路程是多少厘米？ 【对应练习2】 一个钟表的分针长10厘米，从上午9时到上午10时，分针的顶部走过的长度是多少厘米？ 【对应练习3】 一只挂钟经过45分钟后，分针的尖端所走的路程是94.2厘米，这只挂钟的分针长多少厘米？ 【考点十三】圆周长的应用问题其二：植树问题 方法点拨 植树问题在圆形中的应用主要是利用段数与棵数相等的特点解决生活问题。 考察形式 填空、选择、应用 动态评价 【典型例题】 锦华园有一个圆形花坛，直径是15m。如果在花坛的边缘每隔0.3m安装一盏地灯，一共要安装( )盏。 【对应练习1】 在一个半径是50米的圆形鱼塘边上每隔3.14米栽一棵树，共栽树( )棵。 A.100      B.50    C.101   D.51 【对应练习2】 一个圆形花坛的直径是20m．在花坛的周围摆放花，每隔1.57m摆放一盆，一共可以摆放( )盆花。 【对应练习3】 一个圆形水池，直径400米，沿池边隔4米栽一棵树，一共能栽( )棵树。 【考点十四】圆周长的应用问题其三：普通行程问题 方法点拨 1. 车轮转一圈就是圆的一周。 2. 路程=速度×时间；时间=路程÷速度。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题1】求路程 世贸摩天城的摩天轮，它的直径大约是90米，旋转一周所需时间约30分钟，东东坐上摩天轮20分钟后，他在空中大约移动了多少米？ 【对应练习1】 一种自行车轮胎的外直径是8分米，李老师骑自行车从家到图书馆用了10分钟，如果车轮每分钟转100周，李老师家到图书馆的路程是多少米？ 【对应练习2】 自行车车轮的直径大约是65厘米，小明每天都从家骑自行车到学校。如果车轮每分转100圈，那么小明从家到学校需要骑20分。小明家到学校大约有多少千米？（π取3.14，结果保留整数。） 【对应练习3】 “最美的风景在路上”，北海银滩四号路像一条五彩缤纷的绸带缭绕于银滩边，成为北海新晋的“网红路”。骑行共享单车从银滩旅游集散中心到银滩公园大约用20分钟，如果一辆共享单车轮胎的外直径大约是0.7米，车轮平均每分钟转100圈，两地之间相距多少米？ 【典型例题2】求时间 一辆自行车车轮直径70厘米，如果车轮平均每分钟转100圈，那么行驶完5495米的大桥需要多少分钟？ 【对应练习1】 一辆自行车的轮胎外直径约是0.8米，如果平均每分钟转100圈，走500米路大约需要几分钟？（得数保留整数） 【对应练习2】 “节能低碳，绿色出行”，李老师骑自行车上班，他家到学校的路程是4.5千米，自行车车轮儿的外直径约是0.75米（28型自行车），平均每分钟转100圈。照这样的速度，李老师到学校需要骑这辆自行车约多少分钟？（取3） 【对应练习3】 “节能低碳，绿色出行”，李明的爸爸骑自行车上班的路程是4.71千米，车轮的外直径是0.6米，平均每分钟转100圈。照这样的速度，他从家到单位需要骑多少分钟？ 【考点十五】圆周长的应用问题其四：相遇问题 方法点拨 相遇时间=路程÷速度和。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 小明和小亮沿着半径是500m的圆形湖边同时从同一地点相向而行。小明每分钟行81m，小亮每分钟行76m，两人经过多少分钟相遇？ 【对应练习1】 洋洋和爷爷在体育场散步，他们下午7：00从体育场的同一地点出发，相背而行，他们都沿着体育场的边线走，爷爷每分钟走60米，洋洋走的速度是爷爷的，体育场如下图。 （1）体育场的周长有多少米？ （2）5分钟后他们相遇了吗？ 【对应练习2】 （综合应用问题）（如下图）A、B是圆直径的两端点，甲从A点、乙从B点同时出发，沿圆周相向而行，两人在C点相遇，已知A、C两点在圆周上的长度为31.4米，甲的速度是乙的，则圆的直径是多少米？ 【对应练习3】 （二次相遇问题）如图，将一张圆形纸对折，在折痕的两端各放一只小蚂蚁．让它们同时出发，沿圆形纸反向爬行．当在C处第一次相遇时，C点离A点8厘米；当在D处第二次相遇时，D点离B点6厘米．这个圆形纸的周长是多少厘米？ 【考点十六】圆周长的应用问题其五：内外圈运动问题 方法点拨 C外－C内=2πR－2πr=2π(R－r)，内外圈周长之差也就是两个圆半径之差与π的积的2倍，而每条跑道的宽就是两个圆半径之差。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 假期期间，奇奇和爸爸两人开始在操场（如图）进行跑步锻炼，爸爸沿外圈跑，奇奇沿内圈跑。跑完一圈爸爸比奇奇多跑多少米？（取） 【对应练习1】 （多圈道问题）在学校200米的跑道中，每条跑道宽1.2米。由于有弯道，为了公平，外道和内道选手的起跑线不在同一地点。如：A点处是小明的起跑线，B点处是小强的起跑线（如图）。A，B两点的距离是多少米？ 【对应练习2】 （多圈道问题）学校环形跑道的形状如下图，跑道由两条直的跑道和两个半圆形跑道组成，每条跑道宽1.25米。东东和田田从同一起点出发，分别沿着第一、第二跑道内侧跑一圈。田田要比东东多跑多少米？ 【对应练习3】 （多圈道问题）有一个200m环形跑道，它是由两个直道和两个半圆形跑道组成，直道长50m，每条跑道宽为1.25m（如下图）。 （1）小军沿着第二道（由内向外数）跑一圈，他跑了多少米？ （2）如果在这个跑道上进行200m赛跑，请问第3道的起跑线与第1道相差多少？ （3）如果在这个跑道上进行100m赛跑，又该怎样确定起跑线的位置呢？ 【考点十七】圆周长的应用问题其六：圆周数量问题 方法点拨 圆周数量=总路程÷一周的长度。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40厘米，要骑过50米长的钢丝，车轮大约转动多少周？ 【对应练习1】 滚铁环是有趣的儿童游戏。欢欢制作了一个直径为30厘米的圆形铁环，铁环滚动188.4米，需要滚动多少圈？ 【对应练习2】 杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40厘米。要骑过50.24米长的钢丝，车轮大约要转动多少周？ 【对应练习3】 如下图：地面上有一个半径1米的圆柱形油桶。如果要滚到墙边，需要滚动多少圈？聪聪是这样解答的：（圈）。 如果你认同聪聪的解答，请解释这样做的想法。如果你不认同聪聪的解答，请给出你的解答。 【对应练习4】 用皮带连接的两个皮带轮，大轮半径为6分米，小轮半径为4分米，大轮每分钟转300转，小轮每分钟转多少转？ 【考点十八】圆周长的应用问题其七：复杂的圆周运动问题 方法点拨 由于圆周长和行程问题的综合应用，圆的运动问题变得十分复杂，在解决问题的过程中需要具体分析不同运动方式和运动路径。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图所示，大圆不动，小圆贴合着大圆沿顺时针方向不断滚动。小圆的半径是，大圆的半径是。 （1）当小圆从大圆上的点出发，沿着大圆滚动，第一次回到点时，小圆的圆心走过路线的长度是多少厘米？ （2）小圆未滚动时，小圆上的点与大圆上的点重合，从小圆滚动后开始计算，当点第10次与大圆接触时，点更接近大圆上的点( )。（括号里填、、或。） 【对应练习1】 如图所示，两个圆周只有一个公共点，大圆直径为48厘米，小圆直径为30厘米，甲、乙两虫同时从点出发，甲虫以每秒0.5厘米的速度顺时针沿大圆圆周爬行，乙虫以同样速度顺时针沿小圆圆周爬行（本题取3） （1）问乙虫第一次爬回到点时，需要多少秒？ （2）两虫沿各自圆周不间断地反复爬行，能否出现这样的情况：乙虫爬回到点时甲虫恰好爬到点？如果可能，求此时乙虫至少爬了几圈；如果不可能，请说明理由。 【对应练习2】 王刚驾驶一辆奥迪轿车在一个环形公路上行驶，左右轮子距离1.5米 （1）王刚行驶2圈时，外轮比内轮多走了多少米？     （2）如图所示，王刚从A点出发，开到B点发现自己的手机忘带了，返回到A点取手机后又按原路行驶到A点，请计算一下，左右两轮子哪个跑的路程远？远多少？ 【对应练习3】 森林运动会上，蚂蚁、虫子要进行赛跑比赛。在猴子裁判画的跑道上，蚂蚁选择外圈的大圆跑道，而虫子选择内圈的小圆跑道。它们速度相同，并且都是同时从点A出发，沿着跑道回到点A。（1米、2米为小圆的直径长度） （1）第一次比赛，蚂蚁、虫子在图1跑道上，蚂蚁在大圆按顺时针方向走一周，虫子在小圆按①→②→③→④方向回到点A。比赛结果是什么？请通过计算来验证你的结果。 （2）第二次比赛，蚂蚁、虫子在图2跑道上，蚂蚁在大圆按顺时针方向走一周，虫子在小圆按①→②→③→④→⑤→⑥方向回到点A。比赛结果是什么？请通过计算验证结果。 （3）通过两次比赛结果，你有什么发现？请你画图，并通过计算验证你的发现。 【考点十九】圆周长的应用问题其八：圆周长的大小比较问题 方法点拨 圆周长的大小比较，如果小圆直径之和与大圆直径相等，那么两圆周长相等。 考察形式 填空、选择 动态评价 【典型例题1】问题一 如图是由4个半圆组成的圆形，甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发前往D点，甲蚂蚁沿着最大半圆的弧线走，乙蚂蚁沿着较小的3个半圆的弧线走。如果它们用同样的速度一直走，能同时到达D点吗？为什么？请写出你的思考过程。 【典型例题2】问题一 下图中，外面一个圆的周长与里面两个小圆的周长之和相比，( )。 A．外圆的周长长 B．两个内圆周长的和长 C．一样长 D．无法确定哪个长 【对应练习1】 在一个大圆里，以它的直径上的三个点为圆心，画出三个紧密相连的圆（如下图）。你知道大圆的周长和这三个小圆的周长之和相比，哪一个更长一些吗？ 【对应练习2】 如图，大圆的周长( )两个小圆的周长之和。 A．等于 B．大于 C．小于 【对应练习3】 一条蚯蚓从甲地爬向乙地，图中两条路线，( )。 A．绕大半圆走近 B．绕小半圆走近 C．远近一样 【对应练习4】 如图，从A到B有两条路，走哪条路近？( ) A．① B．② C．同样近 D．无法确定 【考点二十】求不规则或组合图形的周长其一：相加法（分解法） 方法点拨 求不规则或组合图形的周长，寻找该图形是由那些边组合而成的，将这些边的长度相互加起来，注意观察弧形是否可以组合一起构成半圆或整圆。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 计算操场的周长。 【对应练习1】 计算下面图形的周长。（单位：dm） 【对应练习2】 求图中阴影部分的周长。 【对应练习3】 计算下面图形的周长。 【考点二十一】求不规则或组合图形的周长其二：平移法（拼组法） 方法点拨 若大半圆的直径等于几个小半圆的直径和，则大半圆的长等于这几个小半圆的长的和。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求阴影部分的周长。（单位：cm) 【对应练习1】 如图，已知圆心为O的半圆里还有两个较小的半圆，其中半圆A的半径为3cm，半圆B的半径为1cm，求阴影部分的周长。（单位：cm) 【对应练习2】 求图形中阴影部分的周长。（单位：分米）   【对应练习3】 求下图中阴影部分的周长。 【考点二十二】求不规则或组合图形的周长其三：转化法求捆扎圆柱形物体时绳的长度 方法点拨 解题关键：用转化法将捆扎所用的绳子分成曲线和直线两部分计算。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 将三根同样粗细的圆木像下图这样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面的直径都是4分米，那么至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计） 【对应练习1】 如图，将两根直径是15cm的钢管用绳子捆在一起，每周需要绳子多少厘米？（接口处不计） 【对应练习2】 用一根绳子把4个酒瓶捆扎起来（如下图），酒瓶的外直径是6厘米，打结处需要15厘米长的绳子。问这根绳子长多少厘米？ 【对应练习3】 把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。 （1）像这样继续捆下去，第④组至少需要（ ）厘米的绳子。请说明理由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要（ ）厘米的绳子。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$