（总集篇）第一单元圆·总集篇·含圆的十种几何模型【十大考点】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

第 1 页 共 21 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 21 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元圆·总集篇·含圆的十种几何模型【十大考点】 专题名称 第一单元圆·总集篇·含圆的十种几何模型 专题内容 本专题以圆的几何模型为主，其中包括十种典型几何模型。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合 训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握 情况和总体水平，选择性进行讲解。 考点数量 十大考点 【考点一】几何模型其一：捆圆模型 ................................................................................................................. 3 【考点二】几何模型其二：滚圆模型 ................................................................................................................. 5 【考点三】几何模型其三：弓形模型 ................................................................................................................. 7 【考点四】几何模型其四：弯角模型 ................................................................................................................. 9 【考点五】几何模型其五：谷子模型（柳叶模型或花瓣模型） ...................................................................10 【考点六】几何模型其六：金鱼模型 ............................................................................................................... 12 【考点七】几何模型其七：圆方模型（方中圆与圆中方） ...........................................................................14 【考点八】几何模型其八：圆环模型 ............................................................................................................... 16 【考点九】几何模型其九：补丁模型 ............................................................................................................... 17 【考点十】几何模型其十：海螺模型 ............................................................................................................... 20 第 3 页 共 21 页 【考点一】几何模型其一：捆圆模型 方法点拨 1. 捆圆模型。 如图所示，在把几个同样的圆紧捆一圈，求最短绳长时，绳长=每条线段长度 （一个圆的直径）×线段数量＋一个圆的周长 2. 解题步骤。 （1）计算线段总长度。 每条线段的长度与一个圆的直接相等，再乘线段数量。 （2）计算总弧长。 总弧长等于一个圆的周长。 （3）相加。 将线段总长度与总弧长相加。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 将三根同样粗细的圆木像下图这样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面的直径都是 4 分米，那么至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计） 第 4 页 共 21 页 【对应练习 1】 如图，将两根直径是 15cm的钢管用绳子捆在一起，每周需要绳子多少厘米？（接口处不计） 【对应练习 2】 用一根绳子把 4个酒瓶捆扎起来（如下图），酒瓶的外直径是 6厘米，打结处需要 15厘米长 的绳子。问这根绳子长多少厘米？ 【对应练习 3】 把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为 3厘米。 （1）像这样继续捆下去，第④组至少需要（ ）厘米的绳子。请说明理由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆 n组至少需要（ ）厘米的绳子。 第 5 页 共 21 页 【考点二】几何模型其二：滚圆模型 方法点拨 1. 滚圆模型。 如图所示，圆紧贴着多边形滚动时，滚动的圆扫过的面积=多边形的周长×滚 动圆的直径＋∏×滚动圆的直径×滚动圆的直径。 2. 注意。 滚动模型较为抽象，圆围绕不同多边形滚动时，计算方式有所不同，因此， 在解题过程中可尝试画出滚动后的示意图，以便于理解和计算。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，一枚直径是 1厘米的小圆片沿着一个正方形外边缘滚动一周。已知正方形的边长是 3 厘米，那么小圆片扫过的面积是多少平方厘米？（π取 3.14） 第 6 页 共 21 页 【对应练习 1】 下面图中的长方形 ABCD的长 BC为 30厘米、宽 CD为 10厘米，圆 O的直径为 10厘米。 （1）如上图（1）所示，圆不动，长方形以每秒 2厘米的速度从左向右水平匀速平移，请问圆 完全被长方形包含在内的时间一共有多少秒？ （2）如上图（2）所示，长方形不动，圆沿着长方形外边缘滚动一周。当圆 O滚到长方形的 顶点时，需绕顶点旋转一定角度（如图示的顶点 C）后继续滚动。那么圆 O扫过的面积是多 少平方厘米？ 【对应练习 2】 社团制作木质三角形轨道：一个半径 1cm的圆从 B点出发，沿着边长 6厘米的等边三角形的 外壁滚动（无滑动），最后回到原来的位置。圆心经过的路程是多少厘米？（ π取 3） 第 7 页 共 21 页 【对应练习 3】 下面图中的长方形 ABCD的长 BC为 30厘米、宽 CD为 10厘米，圆 O的直径为 10厘米。 （1）如上图（1）所示，圆不动，长方形以每秒 2厘米的速度从左向右水平匀速平移，请问圆 完全被长方形包含在内的时间一共有多少秒？ （2）如上图（2）所示，长方形不动，圆沿着长方形外边缘滚动一周。当圆 O滚到长方形的 顶点时，需绕顶点旋转一定角度（如图示的顶点 C）后继续滚动。那么圆 O扫过的面积是多 少平方厘米？ 【考点三】几何模型其三：弓形模型 方法点拨 1. 弓形模型。 如图，涂色部分像一张弓，所以我们把这个模型叫做“弓形模型”。 2. 解题方法。 弓形一般不要求周长，主要求面积，弓形面积=扇形面积－等腰三角形面积(除 了半圆)，这里只给出圆心角是 90°的弓形面积，即 S 弓=S 扇－S 三角形。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 第 8 页 共 21 页 计算如图形的阴影部分面积。 【对应练习 1】 求下图中阴影部分的面积。 【对应练习 2】 求阴影部分的面积。 第 9 页 共 21 页 【考点四】几何模型其四：弯角模型 方法点拨 1. 弯角模型。 如图所示，涂色部分形状像一个弯角，因此，我们把这个模型叫做“弯角模 型”。 2. 解题方法。 弯角的面积等于正方形的面积减去扇形的面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，正方形的面积是 8cm2，求出阴影部分的面积。 【对应练习 1】 如图，正方形的边长为 12厘米，求阴影部分的面积。 第 10 页 共 21 页 【对应练习 2】 求出下面图案中阴影部分的面积。 【考点五】几何模型其五：谷子模型（柳叶模型或花瓣模型） 方法点拨 1. 谷子模型。 如图所示，涂色图形形似一粒谷子，因此，我们把这个模型叫做“谷子模型”。 2. 解题方法。 谷形的面积就是两个完全相同的弓形面积的和，谷子的面积=弓形面积×2=2S 扇－S 正。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，已知正方形边长是 4dm，求阴影部分的面积。 第 11 页 共 21 页 【对应练习 1】 下图正方形的边长是 2cm，计算阴影部分的面积。 【对应练习 2】 求下面图形的阴影面积。（单位 cm） 【对应练习 3】 求阴影部分面积。（单位：cm） 第 12 页 共 21 页 【考点六】几何模型其六：金鱼模型 方法点拨 1. 金鱼模型。 如图所示，涂色部分组成鱼头和鱼尾，因此，我们把这个模型叫做“金鱼模 型”。 2. 解题方法。 鱼头=鱼尾，鱼头加鱼尾等于弓形。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习 1】 求出下图中阴影部分的面积。 第 13 页 共 21 页 【对应练习 2】 求下面各图形涂色部分的面积。 【对应练习 3】 求阴影部分的面积（单位：厘米）。 第 14 页 共 21 页 【考点七】几何模型其七：圆方模型（方中圆与圆中方） 方法点拨 1. 外方内圆的意义。 “外方内圆”就是在正方形内画一个最大的圆。 2. 外方内圆的解题方法。 正方形的边长 a=圆的直径 d，圆的面积与正方形面积比为π:4，若圆的半径 为 r，则方圆之间的面积为 0.86r²。 3. 外圆内方的意义。 “外圆内方”就是圆内画一个最大的正方形。 4 外圆内方的解题方法。 作辅助线后发现：圆的直径等于正方形的对角线的长，正方形的面积等于两 个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形面积之和，圆的面积与正方形的面 积比为π:2，若圆的半径为 r，则方圆之间的面积为 1.14r²。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求图中阴影部分的面积。 第 15 页 共 21 页 【对应练习 1】 图形与计算。 求阴影部分的面积。 【对应练习 2】 计算下面图形阴影部分的面积。 【对应练习 3】 分别求图形中阴影部分的面积。（两个圆的直径都是 4cm。） （1） （2） 第 16 页 共 21 页 【考点八】几何模型其八：圆环模型 方法点拨 1. 认识圆环。 以同一点为圆心画出两个半径不相等的圆，两圆之间的部分叫圆环。 2. 圆环的特征。 圆环是轴对称图形，它有无数条对称轴，通过圆心的直线都是它的对称轴。 3. 圆环各部分的名称。 4. 圆环的面积计算公式。 S 圆环=πR²－πr²=π(R²－r²) 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求下面图形涂色部分的面积。 【对应练习 1】 如图：求圆环的面积。 第 17 页 共 21 页 【对应练习 2】 求下边图形阴影部分的面积。 【对应练习 3】 求下图阴影部分的面积。 【考点九】几何模型其九：补丁模型 方法点拨 1. 补丁模型。 两个图形同时增减一个相同的图形，它们的面积差不变，这个变化过程很像 给图形增加或去掉一个补丁，因此，我们把这个模型叫做”补丁模型。 2. 解题方法。 如果 S甲=S乙，那么 S甲+S空白=S乙+S空白。 考察形式 计算、应用 动态评价 第 18 页 共 21 页 【典型例题 1】问题一 如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为 4厘米、圆心角为 90°的扇形拼成的图形，利用差 不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？ 【典型例题 2】问题二 如图，半圆的直径是 10厘米，阴影部分甲比乙的面积少 1.25平方厘米，求直角三角形 ABO 的边 OA的长。 【典型例题 3】问题三 如下图，甲、乙两个阴影部分面积相等，BC长是 8厘米，求 AB长是多少厘米？（本题π取值 为 3） 第 19 页 共 21 页 【对应练习 1】 下图中，涂色部分甲比乙的面积大 211.25cm 。求 BC 的长。 【对应练习 2】 如图，三角形 ABC是直角三角形，AB长 20厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（II）的面积 大 37平方厘米，求 BC的长。 【对应练习 3】 如图，已知：S1比 S2多 28平方厘米，求 BC长多少厘米？ 第 20 页 共 21 页 【对应练习 4】 如图，三角形 ABC是直角三角形，阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小 23平方厘米。求 BC的长度。 【考点十】几何模型其十：海螺模型 方法点拨 1. 海螺模型。 如图所示，这个图形形似一个海螺，因此，我们把这个模型叫做“海螺模型”。 2. 解题方法。 找区域，定半径，求面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，一只羊被 4米长的绳子拴在长为 3米，宽为 2米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台 的周围都是草地，问这头羊能吃到草的草地面积是多少？（结果精确到 0.01平方米） 第 21 页 共 21 页 【对应练习 1】 如图，草地上有一个长 10米，宽 8米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角 A用 16米的绳子拴着 一只羊 P，则这只羊在草地上的活动范围有多大？（π取 3.14） 【对应练习 2】 一间房子的占地形状是长方形，长 6米，宽 4米，房子周围是草地。王大爷将一只羊拴在房子 的外墙角处（紧靠地面），如下图，已知拴羊的绳子长 6米。这只羊能吃到草的范围有多大？ 在下图中画出这只羊能吃到草的范围，并将范围内的草地涂上阴影。再求出这只羊能吃到草的 面积。 第 1 页 共 37 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 37 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元圆·总集篇·含圆的十种几何模型【十大考点】 专题名称 第一单元圆·总集篇·含圆的十种几何模型 专题内容 本专题以圆的几何模型为主，其中包括十种典型几何模型。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点、难点内容的阶段性总结，适用于系统复习和综合 训练，考点内容丰富，考查难度较大，考题形式多样，建议根据学生实际掌握 情况和总体水平，选择性进行讲解。 考点数量 十大考点 【考点一】几何模型其一：捆圆模型 ................................................................................................................. 3 【考点二】几何模型其二：滚圆模型 ................................................................................................................. 7 【考点三】几何模型其三：弓形模型 ............................................................................................................... 13 【考点四】几何模型其四：弯角模型 ............................................................................................................... 15 【考点五】几何模型其五：谷子模型（柳叶模型或花瓣模型） ...................................................................17 【考点六】几何模型其六：金鱼模型 ............................................................................................................... 20 【考点七】几何模型其七：圆方模型（方中圆与圆中方） ...........................................................................23 【考点八】几何模型其八：圆环模型 ............................................................................................................... 27 【考点九】几何模型其九：补丁模型 ............................................................................................................... 30 【考点十】几何模型其十：海螺模型 ............................................................................................................... 34 第 3 页 共 37 页 【考点一】几何模型其一：捆圆模型 方法点拨 1. 捆圆模型。 如图所示，在把几个同样的圆紧捆一圈，求最短绳长时，绳长=每条线段长度 （一个圆的直径）×线段数量＋一个圆的周长 2. 解题步骤。 （1）计算线段总长度。 每条线段的长度与一个圆的直接相等，再乘线段数量。 （2）计算总弧长。 总弧长等于一个圆的周长。 （3）相加。 将线段总长度与总弧长相加。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 将三根同样粗细的圆木像下图这样用铁丝在两头各捆一圈，如果每根圆木横截面的直径都是 4 分米，那么至少需要多长的铁丝？（接头处忽略不计） 解析： 第 4 页 共 37 页 （4×3＋3.14×4）×2 ＝（12＋12.56）×2 ＝24.56×2 ＝49.12（分米） 答：至少需要 49.12分米的铁丝。 【对应练习 1】 如图，将两根直径是 15cm的钢管用绳子捆在一起，每周需要绳子多少厘米？（接口处不计） 解析： 3.14×15＋15×2 ＝47.1＋30 ＝77.1（cm） 答：每周需要绳子 77.1厘米。 【对应练习 2】 用一根绳子把 4个酒瓶捆扎起来（如下图），酒瓶的外直径是 6厘米，打结处需要 15厘米长 的绳子。问这根绳子长多少厘米？ 解析： 6×4＋3.14×6＋15 ＝24＋18.84＋15 ＝57.84（厘米） 第 5 页 共 37 页 答：这根绳子长 57.84厘米。 【对应练习 3】 把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为 3厘米。 （1）像这样继续捆下去，第④组至少需要（ ）厘米的绳子。请说明理由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆 n组至少需要（ ）厘米的绳子。 【答案】（1）57.42，理由见详解 （2）（9.42＋12n） 【分析】如下图所示，第 1组中，四个角落为 4个 1 4 的圆，其可以组成一个完整的圆，可以算 出一个圆的周长，其次在两个 1 4 圆中间的部分，其长度是由两个圆的半径组成，则可以组成为 一个直径，图中有 4条边，那么共有 4条直径，则周长为：一个圆的周长＋4条直径的长度； 第 2组与第 1组的区别为每边中间多了一个圆，即每条边多了一条直径，则比第一组多了 4 条直径，则周长为：一个圆的周长＋8条直径的长度 第 3组与第 2组比较，每条边又多了 1个圆，则周长比第 2组又多了 4条直径，则周长为：一 个圆的周长＋12条直径的长度； 由以上分析可得，每增加一组都会增加 4条直径，第 1组为 4条直径，第 2组为 2×4条直径， 第 3组为 3×4条直径，由此规律可得第 n组为 n×4条直径，则可以推算出第 n组的周长为： 一个圆的周长＋4n条直径的长度，已知一个圆的直径为 3厘米，则可以推算出第 n组的周长 为：一个圆的周长＋3×4n，即一个圆的周长＋12n，据此即可解答。 【详解】（1）理由： 第 6 页 共 37 页 第①组：3×3.14＋12×1 ＝9.42＋12 ＝21.42（厘米） 第②组 3×3.14＋12×2 ＝9.42＋24 ＝33.42（厘米） 第③组 3×3.14＋12×3 ＝9.42＋36 ＝45.42（厘米） 第④组 3×3.14＋12×4 ＝9.42＋48 ＝57.42（厘米） （2）3×3.14＋3×4×n ＝（9.42＋12n）厘米 【点睛】此题难度较大，找到图中每增加一组与增加直径的关系为解题的关键。 第 7 页 共 37 页 【考点二】几何模型其二：滚圆模型 方法点拨 1. 滚圆模型。 如图所示，圆紧贴着多边形滚动时，滚动的圆扫过的面积=多边形的周长×滚 动圆的直径＋∏×滚动圆的直径×滚动圆的直径。 2. 注意。 滚动模型较为抽象，圆围绕不同多边形滚动时，计算方式有所不同，因此， 在解题过程中可尝试画出滚动后的示意图，以便于理解和计算。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，一枚直径是 1厘米的小圆片沿着一个正方形外边缘滚动一周。已知正方形的边长是 3 厘米，那么小圆片扫过的面积是多少平方厘米？（π取 3.14） 【答案】15.14平方厘米 【分析】 如图： ，小圆扫过的面积有这样 4个面积的和，这样的一个面积等于 第 8 页 共 37 页 半径是 1厘米圆的面积的 14 ，再加上长是 3厘米，宽是 1厘米长方形的面积的和；根据圆的面 积公式：面积＝π×半径 2，长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出一个这样的面积， 再乘 4，即可解答。 【详解】（3.14×12× 14 ＋3×1）×4 ＝（3.14×1× 14＋3）×4 ＝（3.14× 14＋3）×4 ＝3.14× 14 ×4＋3×4 ＝3.14＋12 ＝15.14（平方厘米） 答：小圆片扫过的面积是 15.14平方厘米。 【对应练习 1】 下面图中的长方形 ABCD的长 BC为 30厘米、宽 CD为 10厘米，圆 O的直径为 10厘米。 （1）如上图（1）所示，圆不动，长方形以每秒 2厘米的速度从左向右水平匀速平移，请问圆 完全被长方形包含在内的时间一共有多少秒？ （2）如上图（2）所示，长方形不动，圆沿着长方形外边缘滚动一周。当圆 O滚到长方形的 顶点时，需绕顶点旋转一定角度（如图示的顶点 C）后继续滚动。那么圆 O扫过的面积是多 少平方厘米？ 【答案】（1）10秒 （2）1114平方厘米 【分析】（1）当长方形 ABCD平移到长方形 A'B'C'D'的位置时，圆完全被长方形包围在内。 此时，长方形需要平移的距离是原来长方形左边到完全包含圆时左边的距离，即 30－10＝20 （厘米）。已知长方形以每秒 2厘米的速度平移，用平移的距离除以平移的速度，即可求出平 第 9 页 共 37 页 移所需的时间。 （2）圆 O沿长方形滚过一周扫过的面积可以分成三部分，如下图所示： 第一部分：圆 O在长方形的上下两条长滚动时，圆 O扫过的面积是两个长为 30厘米，宽为 10厘米的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可； 第二部分：圆 O在长方形的左右两条宽滚动时，圆 O扫过的面积是两个边长为 10厘米的正方 形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可； 第三部分：圆 O在绕四个顶点旋转一定角度后，圆 O扫过的面积是四个半径为 10厘米的 14 圆 的面积，可以看作一个半径为 10厘米整圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计 算即可； 最后把这三部分的面积加在一起，即可求出 O扫过的面积。 【详解】（1）（30－10）÷2 ＝20÷2 ＝10（秒） 答：圆完全被长方形包含在内的时间一共有 10秒。 （2）30×10×2＝600（平方厘米） 10×10×2＝200（平方厘米） 3.14×102÷4×4 ＝3.14×100÷4×4 ＝314÷4×4 ＝314（平方厘米） 第 10 页 共 37 页 600＋200＋314＝1114（平方厘米） 答：O扫过的面积是 1114平方厘米。 【点睛】这道题主要是分析长方形的平移和圆的滚动过程，通过作图的方法体现出长方形平移 的距离以及圆的运动轨迹所形成的图形。 【对应练习 2】 社团制作木质三角形轨道：一个半径 1cm的圆从 B点出发，沿着边长 6厘米的等边三角形的 外壁滚动（无滑动），最后回到原来的位置。圆心经过的路程是多少厘米？（ π取 3） 【答案】24厘米 【分析】 圆心经过的路线如图 ，改路线由 3条 6厘米的线段与 3条半径是 1厘米，圆 心角是（360°－90°×2－60°）的扇形的弧组成，这 3条扇形的弧长总和恰好是 1个半径 1厘米 的圆的周长，圆的周长＝2×圆周率×半径，据此列式解答。 【详解】6×3＋2×3×1 ＝18＋6 ＝24（厘米） 答：圆心经过的路程是 24厘米。 【点睛】关键是弄清楚圆心经过的路线，掌握并灵活运用圆的周长公式。 【对应练习 3】 下面图中的长方形 ABCD的长 BC为 30厘米、宽 CD为 10厘米，圆 O的直径为 10厘米。 第 11 页 共 37 页 （1）如上图（1）所示，圆不动，长方形以每秒 2厘米的速度从左向右水平匀速平移，请问圆 完全被长方形包含在内的时间一共有多少秒？ （2）如上图（2）所示，长方形不动，圆沿着长方形外边缘滚动一周。当圆 O滚到长方形的 顶点时，需绕顶点旋转一定角度（如图示的顶点 C）后继续滚动。那么圆 O扫过的面积是多 少平方厘米？ 【答案】（1）10秒 （2）1114平方厘米 【分析】（1）当长方形 ABCD平移到长方形 A'B'C'D'的位置时，圆完全被长方形包围在内。 此时，长方形需要平移的距离是原来长方形左边到完全包含圆时左边的距离，即 30－10＝20 （厘米）。已知长方形以每秒 2厘米的速度平移，用平移的距离除以平移的速度，即可求出平 移所需的时间。 （2）圆 O沿长方形滚过一周扫过的面积可以分成三部分，如下图所示： 第一部分：圆 O在长方形的上下两条长滚动时，圆 O扫过的面积是两个长为 30厘米，宽为 10厘米的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可； 第二部分：圆 O在长方形的左右两条宽滚动时，圆 O扫过的面积是两个边长为 10厘米的正方 第 12 页 共 37 页 形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可； 第三部分：圆 O在绕四个顶点旋转一定角度后，圆 O扫过的面积是四个半径为 10厘米的 14 圆 的面积，可以看作一个半径为 10厘米整圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据计 算即可； 最后把这三部分的面积加在一起，即可求出 O扫过的面积。 【详解】（1）（30－10）÷2 ＝20÷2 ＝10（秒） 答：圆完全被长方形包含在内的时间一共有 10秒。 （2）30×10×2＝600（平方厘米） 10×10×2＝200（平方厘米） 3.14×102÷4×4 ＝3.14×100÷4×4 ＝314÷4×4 ＝314（平方厘米） 600＋200＋314＝1114（平方厘米） 答：O扫过的面积是 1114平方厘米。 【点睛】这道题主要是分析长方形的平移和圆的滚动过程，通过作图的方法体现出长方形平移 的距离以及圆的运动轨迹所形成的图形。 第 13 页 共 37 页 【考点三】几何模型其三：弓形模型 方法点拨 1. 弓形模型。 如图，涂色部分像一张弓，所以我们把这个模型叫做“弓形模型”。 2. 解题方法。 弓形一般不要求周长，主要求面积，弓形面积=扇形面积－等腰三角形面积(除 了半圆)，这里只给出圆心角是 90°的弓形面积，即 S 弓=S 扇－S 三角形。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 计算如图形的阴影部分面积。 【答案】1.14 【分析】观察图可知，阴影部分的面积＝圆的面积的 1 4 －三角形的面积，根据圆面积公式：S ＝πr2，三角形的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2，用 3.14×22× 14 －2×2÷2即可求出阴影部 分的面积。 【详解】3.14×22× 14 －2×2÷2 ＝3.14×4× 14－2×2÷2 ＝3.14－2 ＝1.14 阴影部分的面积是 1.14。 【对应练习 1】 第 14 页 共 37 页 求下图中阴影部分的面积。 【答案】4.56平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝扇形面积－等腰直角三角形的面积，这个扇形面积占整圆面积的 1 4 ， 三角形面积＝底×高÷2。 【详解】3.14×4²× 14－4×4÷2 ＝12.56－8 ＝4.56（平方厘米） 【对应练习 2】 求阴影部分的面积。 【答案】9.12cm2 【分析】阴影部分的面积＝半圆的面积－三角形的面积，根据半圆的面积＝πr2÷2，三角形的 面积＝底×高÷2，代入数据解答即可。 【详解】3.14×42÷2－（4×2）×4÷2 ＝3.14×16÷2－8×4÷2 ＝50.24÷2－32÷2 ＝25.12－16 ＝9.12（cm2） 阴影的面积为 9.12cm2。 第 15 页 共 37 页 【考点四】几何模型其四：弯角模型 方法点拨 1. 弯角模型。 如图所示，涂色部分形状像一个弯角，因此，我们把这个模型叫做“弯角模 型”。 2. 解题方法。 弯角的面积等于正方形的面积减去扇形的面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，正方形的面积是 8cm2，求出阴影部分的面积。 【答案】1.72cm2 【分析】根据图可知，阴影部分面积＝正方形面积－半径等于正方形边长的圆的面积的 1 4 ；正 方形面积＝边长×边长，则圆的半径的平方等于正方形面积，据此根据圆的面积＝π×半径 2， 代入数据，即可解答。 【详解】8－3.14×8× 14 ＝8－25.12× 14 ＝8－6.28 ＝1.72（cm2） 阴影部分面积是 1.72cm2。 【对应练习 1】 第 16 页 共 37 页 如图，正方形的边长为 12厘米，求阴影部分的面积。 【答案】30.96平方厘米 【分析】观察题意可知，阴影部分的面积相当于正方形的面积减去扇形的面积，正方形的边长 是 12厘米，根据正方形的面积公式，用 12×12即可求出正方形的面积，扇形的面积是半径为 12厘米的圆面积的 14 ，根据圆面积公式：S＝πr 2，以及分数乘法的意义，用 3.14×122× 14 即可求 出扇形的面积，最后用正方形的面积减去扇形的面积，即可求出阴影部分的面积。 【详解】12×12－3.14×122× 14 ＝12×12－3.14×144× 14 ＝144－113.04 ＝30.96（平方厘米） 阴影部分的面积是 30.96平方厘米。 【对应练习 2】 求出下面图案中阴影部分的面积。 解析： （1）2×2－3.14×（2÷2）2 ＝4－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） 阴影部分的面积是 0.86cm2。 （2）3.14×（10÷2）2×2－10×10 第 17 页 共 37 页 ＝3.14×52×2－100 ＝3.14×25×2－100 ＝157－100 ＝57（cm2） 阴影部分的面积是 57cm2。 【考点五】几何模型其五：谷子模型（柳叶模型或花瓣模型） 方法点拨 1. 谷子模型。 如图所示，涂色图形形似一粒谷子，因此，我们把这个模型叫做“谷子模型”。 2. 解题方法。 谷形的面积就是两个完全相同的弓形面积的和，谷子的面积=弓形面积×2=2S 扇－S 正。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，已知正方形边长是 4dm，求阴影部分的面积。 【答案】9.12dm2 【分析】 如图： ，阴影部分面积＝（半径是 4dm的圆的面积的 14 －底是 4dm、高是 4dm的三 角形面积）×2，根据圆的面积＝ 2r ，三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】（3.14×42× 14 －4×4÷2）×2 第 18 页 共 37 页 ＝（3.14×16× 14－4×4÷2）×2 ＝（12.56－8）×2 ＝4.56×2 ＝9.12（dm2） 阴影部分面积是 9.12dm2。 【对应练习 1】 下图正方形的边长是 2cm，计算阴影部分的面积。 【答案】2.28cm2 【分析】看图可知，正方形是由两个四分之一圆重叠了一部分组成，重叠部分就是阴影部分的 面积。圆面积＝πr2，看图可知四分之一圆的半径是 2cm，据此先求出圆的面积再除以 2，即可 求出对应半圆的面积。正方形面积＝边长×边长，据此求出正方形的面积。最后用四分之一圆 面积的 2倍（即半圆面积）减去正方形的面积，即可求出阴影部分的面积。 【详解】3.14×22÷2－2×2 ＝3.14×4÷2－4 ＝6.28－4 ＝2.28（cm2） 所以阴影部分的面积是 2.28cm2。 【对应练习 2】 求下面图形的阴影面积。（单位 cm） 【答案】18.24cm2 【分析】先将图形看作是一个长方形里面有一个半圆，则长方形的面积减去半圆的面积就是左 右两边的空白部分的面积，其中长方形的面积＝长×宽，半圆的半径是 4，即半圆的面积＝ 2 2r  ， 第 19 页 共 37 页 得出面积是 6.88cm2 。 中间的空白的面积＝长方形的面积－两个扇形，这两个扇形正好可以平成一个半径为 4的半圆， 即中间空白部分的面积和两边空白部分的面积相等，空白部分的面积＝6.88×2。 最后阴影部分的面积＝长方形的面积－空白部分的面积。 【详解】8×4＝32（cm2） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝3.14×8 ＝25.12（cm2 ） 32－25.12＝6.88（cm2 ） 6.88×2＝13.76（cm2） 32－13.76＝18.24（cm2） 则阴影面积 18.24cm2 。 【对应练习 3】 求阴影部分面积。（单位：cm） 【答案】9.12cm2 【分析】观察图形，4个直径为 4cm的半圆可以组成 2个圆，则阴影部分的面积＝2个圆的面 积－正方形的面积；根据圆的面积公式 S＝πr2，正方形的面积公式 S＝a2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×（4÷2）2×2－4×4 ＝3.14×22×2－4×4 ＝3.14×4×2－4×4 ＝25.12－16 ＝9.12（cm2） 阴影部分的面积是 9.12cm2。 第 20 页 共 37 页 【考点六】几何模型其六：金鱼模型 方法点拨 1. 金鱼模型。 如图所示，涂色部分组成鱼头和鱼尾，因此，我们把这个模型叫做“金鱼模 型”。 2. 解题方法。 鱼头=鱼尾，鱼头加鱼尾等于弓形。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】1.14平方厘米 【分析】 先把图中阴影部分的左下角部分从中间一分为二，分别平移到右上边的阴影部分旁边，如图所 示： ，则阴影部分的面积就等于半径是 2厘米的圆面积的 14 减去一个底和高都是 2厘米的三角形的面积，据此结合圆的面积＝πr2，三角形的面积＝底×高÷2代入数据列式计算 即可。 【详解】3.14×22× 14 －2×2÷2 第 21 页 共 37 页 ＝3.14×4× 14－4÷2 ＝12.56× 14－2 ＝3.14－2 ＝1.14（平方厘米） 【对应练习 1】 求出下图中阴影部分的面积。 【答案】12.5cm2 【分析】 如图：阴影部分的面积＝正方形的面积÷2，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据求出正 方形的面积，再除以 2即可求出阴影部分的面积。 【详解】5×5÷2＝12.5（cm2） 阴影部分的面积是 12.5 cm2。 【对应练习 2】 求下面各图形涂色部分的面积。 第 22 页 共 37 页 【答案】50cm2 【分析】 如图： ，由此可知，阴影部分面积＝底是 10cm。高是 10cm三角形的面 积，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可求出阴影部分的面积，据此解答。 【详解】10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（cm2） 阴影部分的面积是 50cm2。 【对应练习 3】 求阴影部分的面积（单位：厘米）。 【答案】10.26平方厘米 【分析】 如上图：阴影部分的面积＝半径 6厘米的圆面积× 14－底和高都是 6厘米的三角形面积；根据 圆的面积：S＝πr2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×62× 14 －6×6÷2 第 23 页 共 37 页 ＝3.14×36× 14－18 ＝28.26－18 ＝10.26（平方厘米） 阴影部分的面积是 10.26平方厘米。 【考点七】几何模型其七：圆方模型（方中圆与圆中方） 方法点拨 1. 外方内圆的意义。 “外方内圆”就是在正方形内画一个最大的圆。 2. 外方内圆的解题方法。 正方形的边长 a=圆的直径 d，圆的面积与正方形面积比为π:4，若圆的半径 为 r，则方圆之间的面积为 0.86r²。 3. 外圆内方的意义。 “外圆内方”就是圆内画一个最大的正方形。 4 外圆内方的解题方法。 作辅助线后发现：圆的直径等于正方形的对角线的长，正方形的面积等于两 个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形面积之和，圆的面积与正方形的面 积比为π:2，若圆的半径为 r，则方圆之间的面积为 1.14r²。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求图中阴影部分的面积。 第 24 页 共 37 页 【答案】 23.44cm 【分析】阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的 面积＝πr2，据此代入数据解答即可。 【详解】 24 4 3.14 (4 2)    ＝ 216 3.14 2  ＝ 416 3.14  ＝16 12.56 ＝  23.44 cm 图中阴影部分的面积 3.44cm2。 【对应练习 1】 图形与计算。 求阴影部分的面积。 【答案】10.26cm2 【分析】从图中可知，圆的直径是 6cm，根据圆的面积公式 S＝πr2，求出圆的面积； 图中正方形的一条对角线把正方形平均分成 2个三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆 的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘 2，就是这个正方形的 面积； 最后用圆的面积减去正方形的面积，即是阴影部分的面积。 【详解】3.14×（6÷2）2－6×（6÷2）÷2×2 ＝3.14×32－6×3÷2×2 ＝3.14×9－18 第 25 页 共 37 页 ＝28.26－18 ＝10.26（cm2） 阴影部分的面积是 10.26cm2。 【对应练习 2】 计算下面图形阴影部分的面积。 【答案】0.86cm2 【分析】观察图形可知，正方形的边长、圆的直径都是 2cm；阴影部分的面积＝正方形的面积 －圆的面积，根据正方形的面积公式 S＝a2，圆的面积公式 S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】2×2－3.14×（2÷2）2 ＝4－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） 阴影部分的面积是 0.86cm2。 【对应练习 3】 分别求图形中阴影部分的面积。（两个圆的直径都是 4cm。） （1） （2） 【答案】（1）3.44cm2；（2）4.56cm2 【分析】（1）观察图形可知，正方形的边长与圆的直径相等；阴影部分的面积＝正方形的面 积－圆的面积；根据正方形的面积公式 S＝a2，圆的面积公式 S＝πr2，代入数据计算求解； （2）如下图，正方形的一条对角线把这个正方形平均分成 2个三角形，三角形的底等于圆的 直径，三角形的高等于圆的半径；根据三角形的面积 S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘 2，即是正方形的面积； 第 26 页 共 37 页 根据圆的面积公式 S＝πr2，求出圆的面积；再用圆的面积减去正方形的面积，即是阴影部分的 面积。 【详解】（1）4÷2＝2（cm） 4×4－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 阴影部分的面积是 3.44cm2。 （2）4÷2＝2（cm） 3.14×22－4×2÷2×2 ＝3.14×4－8÷2×2 ＝12.56－8 ＝4.56（cm2） 阴影部分的面积是 4.56cm2。 第 27 页 共 37 页 【考点八】几何模型其八：圆环模型 方法点拨 1. 认识圆环。 以同一点为圆心画出两个半径不相等的圆，两圆之间的部分叫圆环。 2. 圆环的特征。 圆环是轴对称图形，它有无数条对称轴，通过圆心的直线都是它的对称轴。 3. 圆环各部分的名称。 4. 圆环的面积计算公式。 S 圆环=πR²－πr²=π(R²－r²) 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求下面图形涂色部分的面积。 【答案】21.98cm2 【分析】本题是求圆环（涂色部分）的面积，由图可知外圆的半径为 4cm，内圆的半径为 3cm。 根据圆的面积公式 S＝πr2（S表示面积，π通常取 3.14，r表示半径），分别求出外圆和内圆的 面积，再用外圆的面积减内圆的面积即可得到涂色部分的面积。 【详解】3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2） 3.14×32＝3.14×9＝28.26（cm2） 50.24－28.26＝21.98（cm2） 图形涂色部分的面积是 21.98cm2。 【对应练习 1】 第 28 页 共 37 页 如图：求圆环的面积。 【答案】251.2cm2 【分析】已知外圆半径 12cm，内圆半径 8cm，根据圆环的面积：S＝πR2－πr2＝π（R2－r2）， 代入数据计算即可。 【详解】（122－82）×3.14 ＝（144－64）×3.14 ＝80×3.14 ＝251.2（cm2） 圆环的面积是 251.2cm2。 【对应练习 2】 求下边图形阴影部分的面积。 【答案】28.26cm2 【分析】看图可知，阴影部分是 1 4 圆环，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半 径的平方），求出圆环面积，再乘 1 4 即可。 【详解】3.14×（102－82）× 14 ＝3.14×（100－64）× 14 ＝3.14×36× 14 ＝113.04× 14 ＝28.26（cm2） 第 29 页 共 37 页 阴影部分的面积是 28.26cm2。 【对应练习 3】 求下图阴影部分的面积。 【答案】 25.12cm2 【分析】根据半径＝直径÷2，阴影部分的面积就是两个R 6 2 2   ， 6 2r   的环形的 14，刚好 可拼成环形面积的一半，根据环形的面积公式  2 2π R rS   环 ，代入数据计算出环形的面积再 除以 2，即可得解。 【详解】6÷2＝3（cm）  2 23.14 3 2 3 2      2 23.14 5 3 2       3.14 25 9 2    3.14 16 2   50.24 2  25.12 （cm2） 阴影部分的面积是 25.12cm2。 第 30 页 共 37 页 【考点九】几何模型其九：补丁模型 方法点拨 1. 补丁模型。 两个图形同时增减一个相同的图形，它们的面积差不变，这个变化过程很像 给图形增加或去掉一个补丁，因此，我们把这个模型叫做”补丁模型。 2. 解题方法。 如果 S甲=S乙，那么 S甲+S空白=S乙+S空白。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题 1】问题一 如图，是一个等腰直角三角形和一个半径为 4厘米、圆心角为 90°的扇形拼成的图形，利用差 不变思想计算下图中两个阴影部分的差是多少平方厘米？ 解析：甲、乙两部分同时加上空白扇形，就相当于 4 1 圆-三角形。 3.14×42× 4 1 -4×4÷2=4.56（平方厘米） 【典型例题 2】问题二 如图，半圆的直径是 10厘米，阴影部分甲比乙的面积少 1.25平方厘米，求直角三角形 ABO 的边 OA的长。 解析：