（篇四）第一单元圆·扇形篇【十一大考点】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第一单元圆·扇形篇【十一大考点】 专题名称 第一单元圆·扇形篇 专题内容 本专题以扇形为主，其中包括扇形的基本认识、扇形的弧长、周长、面积以及其他应用问题等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题是圆单元的核心内容，扇形一般作为基础图形出现在求含圆的阴影图形面积中，部分考点综合性较强，难度较大，题型多以填空、选择、计算、应用等为主，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十一大考点 【考点一】扇形的认识 3 【考点二】扇形的弧长和周长 5 【考点三】扇形的面积 8 【考点四】扇环的面积 10 【考点五】画指定大小的扇形（作图） 12 【考点六】扇形面积的应用问题其一：钟表指针问题 15 【考点七】扇形面积的应用问题其二：一边靠墙问题 17 【考点八】拼接法求扇形的阴影图形面积 19 【考点九】图示法解决羊吃草问题其一：基础型 21 【考点十】图示法解决羊吃草问题其二：拓展型 24 【考点十一】多方法求含扇形的阴影图形面积 28 【考点一】扇形的认识 方法点拨 1. 认识弧、扇形、圆心角。 圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 2. 扇形的大小。 同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆心角越大，扇形越大。 3. 扇形的圆心角与面积的关系。 同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。 4. 两种特殊的扇形。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题1】认识扇形 如图，圆周上A、B两点之间的部分叫做( )，由半径OA、OB和孤AB围成的涂色部分是( )，这一部分面积是圆面积的。 解析：弧；扇形； 【对应练习】 如下图，圆上A、B两点之间的部分叫做( )，读作( )，图中涂色的部分叫做( )形。 解析：弧；弧AB；扇 【典型例题2】认识圆心角 下面图形中哪些角是圆心角？在（    ）里画“√”。 解析：根据圆心角的定义判断如下： 【对应练习1】 下列各圆中，阴影部分是不是扇形？是的在括号里画“√”。 解析： 由分析可知： 【对应练习2】 在同一个圆中，扇形的大小与( )有关，以圆为弧的扇形圆心角是( )度。 解析：圆心角的大小；60 【对应练习3】 一个扇形的圆心角是80°，扇形的面积占它所在圆的面积的( )。 解析： 【考点二】扇形的弧长和周长 方法点拨 1. 扇形的弧长。 扇形弧长=（其中n表示圆心角的度数）。 2. 扇形的周长。 扇形周长=扇形弧长+两条半径的长。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题1】弧长 下图是直径6cm的圆。其中阴影扇形的半径是( )厘米，圆心角是( )度，弧AB长( ) cm。 解析： 直径6cm的圆。其中阴影扇形的半径是3厘米，圆心角是360÷4＝90°， 弧AB长： 3.14×6× ＝18.84× ＝4.71（厘米） 【典型例题2】周长 已知一个扇形的半径为6厘米，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为（ ）厘米，周长是（ ）厘米， 解析： 弧长： ＝12.56（厘米） 周长：12.56＋2×6 ＝12.56＋12 ＝24.56（厘米） 【对应练习1】 在一个半径是2厘米的圆内画一个圆心角是90°的扇形，这个扇形的周长是( )厘米。 解析： 90°÷360°＝ 这个扇形的周长： 2×3.14×2×＋2×2 ＝6.28×2×＋4 ＝12.56×＋4 ＝7.14（厘米） 【对应练习2】 如图中圆的半径是4cm，那么阴影部分的周长是( )cm。 解析： 3.14×4×2÷4＋4×2 ＝6.28＋8 ＝14.28（cm） 【对应练习3】 给儿童活动场地涂色分区，如图。场地是边长8米的等边三角形，以顶点为圆心，以边长的一半为半径画弧，扇形区域涂蓝色（阴影部分），中间涂白色（空白部分），则中间白色部分的周长是( )米。（取3.14） 【答案】12.56 【分析】等边三角形的特点是三个内角都是60°，三边长度相等，所以将三个扇形的顶点重合，刚好能够拼成一个半圆，空白部分的周长正好就是三段弧长的和也就是半径为边长一半的圆周长的一半，根据解答。 【详解】2×3.14×（8÷2）÷2 ＝6.28×4÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（米） 故中间白色部分的周长是12.56米。 【考点三】扇形的面积 方法点拨 在计算扇形面积时要还是看扇形的圆心角，圆心角占周角的几分之几，扇形面积就占这个圆面积的几分之几。 扇形面积S扇形=（其中n表示圆心角的度数）。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 在一个直径为2m的圆中，取一个圆心角是90度的扇形，这个扇形的面积是( )m2。 【答案】0.785/ 【分析】根据扇形的面积＝，代入数据解答即可。 【详解】2÷2＝1（m） ×3.14× ＝×3.14×1 ＝0.785（m2） 所以这个扇形的面积是0.785 m2。 【对应练习1】 小明画了一个半径4cm的圆，圆的面积是( )cm2，接着他又在圆里画了一个圆心角为45°的扇形，这个扇形的面积是( )cm2。 【答案】 50.24 6.28 【分析】圆的面积＝圆周率×半径的平方；扇形面积＝圆的面积×，据此列式计算。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 50.24× ＝50.24× ＝6.28（cm2） 小明画了一个半径4cm的圆，圆的面积是50.24cm2，接着他又在圆里画了一个圆心角为45°的扇形，这个扇形的面积是6.28cm2。 【对应练习2】 已知圆形纸片的直径是10cm，将这个圆形纸片沿直径连续对折三次，得到的扇形的圆心角是( )°，面积是( )cm2。 【答案】 45 9.8125 【分析】对折三次之后是将360°平均分成8份，用360°÷8，求出扇形圆心角；再根据扇形的面积公式：面积＝πr2×代入数据，即可解答。 【详解】360°÷8＝45° 3.14×（10÷2）2× ＝3.14×52× ＝3.14×25× ＝78.5× ＝9.8125（cm2） 已知圆形纸片的直径是10cm，将这个圆形纸片沿直径连续对折三次，得到的扇形的圆心角是45°，面积是9.8125cm2。 【点睛】解答本题的关键是明确折叠三次就是把这个圆平均分成的份数，以及扇形面积公式的应用。 【对应练习3】 如图中，已知扇形的半径是3厘米，扇形的面积是( )平方厘米。 【答案】9.42 【分析】根据扇形的面积＝×πr2，由此代入数据即可解决问题。 【详解】×3.14×32 ＝×28.26 ＝9.42（平方厘米） 则扇形的面积是9.42平方厘米。 【点睛】此题考查了扇形的面积公式的计算应用。 【考点四】扇环的面积 方法点拨 1. 扇环的意义。 扇环是一个圆环被扇形截得的一部分。 2. 扇环面积。 扇环面积=大扇形的面积－小扇形的面积。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，一把折扇的骨架长是30厘米，扇面宽为20厘米，完全展开时圆心角为135°，扇面的面积为( )平方厘米。 解析： 观察图形可知，扇面的面积等于圆心角是135°、半径30厘米的扇形的面积与圆心角是135°，半径30－20＝10厘米的扇形的面积之差，据此利用扇形的面积＝ ，代入数据计算即可解答问题。 30－20＝10（厘米） － ＝－ ＝1059.75－117.75 ＝942（平方厘米） 【对应练习1】 下图是一幅扇面画的示意图，请根据图中的信息，求它的面积。 解析： 3.14×[（18＋12）2－122]× ＝3.14×[302－122]× ＝3.14×756× ＝2373.84× ＝593.46（cm2） 【对应练习2】 你能求出下面阴影部分的面积吗？（单位：dm） 解析： 3.14×[52－（5－2）2]× ＝3.14×16× ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 【对应练习3】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 解析： ＝ ＝ ＝ ＝28.26（平方厘米） 答：阴影部分的面积是28.26平方厘米。 【考点五】画指定大小的扇形（作图） 方法点拨 画扇形的方法。 1. 先画一个指定半径的圆，在圆中任意画一条半径； 2. 以圆心为顶点，以画好的半径为一条边，画一个指定度数的角，使角的另一条边与圆相交于一点； 3. 擦掉多余的线，两条半径与所对应的弧围成的图形就是要画的扇形。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 画一个直径是4cm的圆，标出圆心O和半径r，再在圆中画一个圆心角是100°的扇形。 【答案】见详解 【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形。扇形是圆的一部分。 直径÷2＝半径，据此先画出直径4cm的圆，再以一条半径为边，画一个100°的圆心角，即可画出这个扇形。 【详解】4÷2＝2（cm） 【对应练习1】 画一个直径是4厘米的圆，再在圆中画一个圆心角90°的扇形。（把扇形涂上阴影。） 【答案】见详解 【分析】画圆的方法：①把圆规的两脚分开，以半径为两脚间的距离；②以一个点为圆心，以半径的长度画圆。③把有针尖的一只脚固定在圆心上。④把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形，以画出的圆的圆心为扇形的顶点，然后画出一条半径，再利用量角器画出另一条半径即可画出圆心角是90°的扇形，据此作出扇形。 【详解】半径：4÷2＝2（厘米） 如图： 【对应练习2】 画一个半径是2cm的半圆，并在半圆内画一个圆心角为45°的扇形。 【答案】见详解 【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以2cm为半径，即可画出这个圆，因为圆周角为360°，所以用以圆的任意一条半径为扇形的边，再利用量角器画出圆心角为45°的扇形即可。 【详解】如图： 【对应练习3】 下图是一个边长是3厘米的正方形。 （1）请在正方形内画一个最大的圆。 （2）在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）以正方形的两条对角线的交点为圆心，以正方形的边长3厘米为直径画圆； （2）圆周角为360°，所以用以圆的任意一条半径为扇形的边，再利用量角器画出圆心角为120°的扇形即可（画法不唯一）。 【详解】（1）如下图： （2）如图： 【考点六】扇形面积的应用问题其一：钟表指针问题 方法点拨 解答扇形相关的实际问题，关键在于熟练掌握并正确计算扇形的面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 有一根长5厘米的分针，当它经过45分钟后，它扫过的面积是多少？分针尖端经过的距离是多少？ 【答案】58.875平方厘米；23.55厘米 【分析】1小时＝60分钟，用45÷60，求出45分钟是60分钟的几分之几；即45÷60＝；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出半径等于长5厘米的钟的面积，再乘，即可求出扫过的面积；再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出半径等于长5厘米的钟的周长，再乘，即可求出分针尖端经过的距离，据此解答。 【详解】45÷60＝ 3.14×52× ＝3.14×25× ＝78.5× ＝58.578（平方厘米） 3.14×5×2× ＝15.7×2× ＝31.4× ＝23.55（厘米） 答：它扫过的面积是58.578平方厘米，分针尖端经过的距离是23.55厘米。 【对应练习1】 一只挂钟的分针长20厘米，经过45分钟后，这根分针扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】942平方厘米 【分析】先根据圆的面积公式（）求出圆的面积，即分针走1圈扫过的面积；因为1时＝60分，所以经过45分钟分针扫过圆面积的＝；用圆的面积乘求出这根分针扫过的扇形面积。 【详解】45÷60＝＝ 3.14×× ＝3.14×400× ＝1256× ＝942（平方厘米） 答：这根分针扫过的面积是942平方厘米。 【点睛】明确分针扫过的扇形面积占整个圆面积的几分之几是解决此题的关键。 【对应练习2】 一个挂钟的时针长5厘米，分针长8厘米，从中午12时到下午3时，分针尖端“走了”多少厘米？时针“扫过”的面积是多少平方厘米？ 【答案】150.72cm；19.625平方厘米 【分析】中午12时到下午3时，分针尖端“走了”3圈，根据圆的周长＝2πr，求出一圈周长，乘3即可；时针“扫过”圆，根据圆的面积＝πr²，求出圆的面积，乘即可。 【详解】2×3.14×8×3＝150.72（厘米） 3.14×5²×＝19.625（平方厘米） 答：分针尖端“走了”150.72厘米，时针“扫过”的面积是19.625平方厘米。 【点睛】关键是掌握圆的周长和面积公式。 【对应练习3】 一个石英钟的分针长10cm，分针旋转扫过的面积是157cm。求分针走了多少分钟。 【答案】30分 【分析】分针走过一圈的面积是一个半径为10的圆的面积，算出157平方厘米占转一圈的面积的几分之几，相当于分针走过的时间是60分钟的几分之几，利用圆的面积公式解答即可。 【详解】转一圈面积＝3.14×10×10＝314（平方厘米） 157÷314×60＝30（分钟） 答：分针走了30分钟。 【点睛】此题考查圆面积公式的计算应用，关键是明确钟面上分针旋转后的得到图形是圆。 【考点七】扇形面积的应用问题其二：一边靠墙问题 方法点拨 解答扇形相关的实际问题，关键在于熟练掌握并正确计算扇形的面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 植物园准备用16米长的铁丝网在园内西北角靠墙新建一个花圃．那么圈出花圃的面积最大是多少平方米？ 【答案】81.5平方米 【详解】试题分析：圈出面积最大的花圃，这个花圃应该为中心角为90°的扇形（也就是圆的四分之一），根据弧长，求出圆周长，进而求出半径和圆的面积，再求扇形面积． 解：圆的周长：16×4=64（米）， 圆的面积：3.14×（64÷3.14÷2）2≈326（平方米）， 扇形的面积：326×=81.5（平方米）． 答：圈出花圃的面积最大是81.5平方米． 点评：周长相等，圆的面积最大，靠墙圈花圃，则扇形面积最大。 【对应练习1】 如图所示，依墙而建的“畜禽饲养舍”围成半圆形，其直径为5米。建这个“畜禽饲养舍”需要多长的篱笆？ 【答案】7.85米 【分析】根据半圆周长公式：，由于围栏依墙而建，故围栏长应为：，代入数据可得出答案。 【详解】建这个“畜禽饲养舍”需要的篱笆长为： （米）。 答：建这个“畜禽饲养舍”需要7.85米的篱笆。 【点睛】本题主要考查的是圆的周长的应用，解题的关键是熟练运用半圆周长公式，进而得出答案。 【对应练习2】 张大爷准备靠墙用栅栏围成一个养鸡舍（如图），半径是5米。 （1）围成这个养鸡舍，至少要用多长的栅栏？ （2）如果要扩建这个养鸡舍，把它的直径增加2米，这个养鸡舍的面积增加了多少？ 【答案】（1）15.7米；（2）17.27平方米 【分析】（1）观察图形可知，栅栏的长度相当于一个半径是5米的圆周长的一半，根据圆的周长公式，用2×3.14×5÷2即可求出栅栏的长度； （2）直径增加2米，则半径变为（5＋2÷2）米，根据半圆面积S＝πr2÷2，分别求出增加后的面积和增加前的面积，然后求出它们的差即可。 【详解】（1）2×3.14×5÷2 ＝3.14×5 ＝15.7（米） 答：至少需要15.7米长的栅栏。 （2）2÷2＝1（米） 5＋1＝6（米） 3.14×62÷2 ＝3.14×36÷2 ＝56.52（平方米） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝39.25（平方米） 56.52－39.25＝17.27（平方米） 答：这个养鸡舍的面积增加了17.27平方米。 【点睛】本题考查了圆周长公式和圆面积公式的灵活应用。 【考点八】拼接法求扇形的阴影图形面积 方法点拨 1. 扇形的拼接。 一个扇形可以分割成若干个半径相等的小扇形，反之若干个半径相等的小扇形也可以拼成一个大扇形，并且这些小扇形的圆心角之和正好等于大扇形的圆心角。 2. 解题思路。 计算与多边形内角和结合的扇形面积时，将若干个半径相等的小扇形拼成一个大扇形，大扇形的圆心角等于各小扇形的圆心角之和，然后根据圆心角与周角的倍数关系计算出大扇形的面积，也就计算出了多个小扇形总共的面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题1】问题一 如图两个圆的半径都是4厘米，涂色部分的面积之和是（ ）平方厘米。 解析： 从图中看出，涂色部分的角的度数和是90°，所以涂色部分的面积之和＝πr2×涂色部分占整个圆的几分之几，其中，涂色部分占整个圆的几分之几＝涂色部分的角的度数和÷360°。 3.14×42×＝12.56平方厘米，所以涂色部分的面积之和是12.56平方厘米。 【典型例题2】问题二 图形探索：根据情境完成填空。 情境描述：一天，六（1）班的牛牛同学在作业本上画了一个任意的四边形，接着他又分别以四边形的四个顶点为圆心画了4个半径是3cm的扇形，再给这4个扇形涂上阴影，如图，画完后，他好奇地发现一个数学问题：阴影部分的面积是多少呢？经过他深入探索，他突然兴奋地嚷道：“太简单了！用四年级学过的多边形的内角和知识不就解决了吗。” 如果我来解决，按照牛牛同学的思路，这4个扇形剪下来正好可以拼成一个( )，因为( )，所以阴影部分的面积( )cm2。 解析：圆；四边形的内角和是360°；28.26 【对应练习1】 图中阴影部分的面积之和是( )cm2。 解析： 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（cm2） 【对应练习2】 三个半径2cm的圆的圆心正好在三角形的三个顶点上，你能算出涂色部分的面积吗？（提示：三角形的内角和是180°） 解析： 3.14×22×3－3.14×22÷2 ＝37.68－6.28 ＝31.4（cm2） 答：涂色部分的面积是31.4 cm2。 【对应练习3】 如图，四个圆的直径都是10cm，阴影部分的面积是( )cm2。（π≈3） 解析： 3×（10÷2）2 ＝3×25 ＝75（cm2） 【考点九】图示法解决羊吃草问题其一：基础型 方法点拨 图示法，即先根据题意，画出图形的轨迹，再求面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，张伯伯住在一个长10米、宽10米的简易房里守护自家的果园，屋外的墙角O处拴了一只藏獒，拴藏獒的绳长10米。这只藏獒的活动范围有多少平方米？ 【答案】235.5平方米 【分析】这只藏獒的活动范围是个扇形，这个扇形面积是半径10米的圆的面积的，这只藏獒的活动范围面积＝圆周率×半径的平方×，据此列式解答。 【详解】3.14×102× ＝3.14×100× ＝314× ＝235.5（平方米） 答：这只藏獒的活动范围有235.5平方米。 【对应练习1】 下图是一个长方形的羊圈，羊圈的周围是草地。把一只羊拴在羊圈墙面外的拐角处（如图）。已知拴羊的绳子长2米。 （1）在图上画出这只羊能吃到草的范围并涂上阴影。 （2）这只羊能吃到的草的最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）见详解； （2）9.42平方米 【分析】（1）这只羊能吃到草的范围是以2米长为半径的圆面积的，据此画图即可； （2）这只羊能吃到草的最大面积是以2米长为半径的圆面积的，根据圆的面积公式S＝解答即可。 【详解】 （1）如图： （2）3.14×× ＝3.14×4× ＝12.56× ＝9.42（平方米） 答：这只羊能吃到的草的最大面积是9.42平方米。 【对应练习2】 如图，草地上有两棵树，每棵树上都用10米长的绳子拴了一只羊，两只羊都能吃到的草地面积是多少平方米？ 【答案】571平方米 【分析】如图： 两只羊吃草的面积＝半径是10米的圆面积的×2＋正方形面积，根据圆面积公式：S＝πr2，以及分数乘法的意义，即可求出两只羊吃草的面积。 【详解】3.14×102××2 ＝3.14×100××2 ＝471（平方米） 10×10＝100（平方米） 471＋100＝571（平方米） 答：两只羊都能吃到的草地面积是571平方米。 【点睛】本题主要考查了圆面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 【考点十】图示法解决羊吃草问题其二：拓展型 方法点拨 图示法，即先根据题意，画出图形的轨迹，再求面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，空地上有一座长方形羊圈。这座长方形羊圈的长是6米，宽是4米，在羊圈的墙角上栓着一只小羊。 （1）栓羊的绳长是4米，小羊在空地上的活动范围是多少平方米？ （2）如果栓羊的绳长是6米，那么小羊的活动范围增加了多少平方米？ 【答案】（1）37.68平方米 （2）50.24平方米 【分析】（1）栓羊的绳长是4米，那么羊在空地上的活动范围是一个以4米为半径的圆；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 （2）栓羊的绳长是6米，那么羊在空地上的活动范围是由两部分组成，一个以6米为半径的圆和一个以（6－4）米为半径的圆，根据圆的面积公式S＝πr2，分别求出这两部分的面积，再减去上一题的面积，即是小羊的活动范围增加的面积。 【详解】（1）3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×12 ＝37.68（平方米） 答：小羊在空地上的活动范围是37.68平方米。 （2）3.14×62×＋3.14×（6－4）2× ＝3.14×36×＋3.14×4× ＝84.78＋3.14 ＝87.92（平方米） 87.92－37.68＝50.24（平方米） 答：小羊的活动范围增加了50.24平方米。 【点睛】本题考查圆的面积公式的运用，弄清羊的活动范围是由哪几部分组成的是解题的关键。 【对应练习1】 如图，OA、OB是某墙角处的两条地脚线，夹角∠AOB＝150°，一根4米长的绳子一端拴在墙角O处（OA＞4米，OB＞4米），另一端栓一只小狗，小狗在地面上活动，求 （1）小狗可活动的最大区域图形的周长； （2）小狗可活动的最大区域图形的面积（结果保留π）。 【答案】（1）米；（2）平方米 【分析】（1）根据题意可知，小狗活动的区域为一个扇形，圆心角为150°，半径为绳长4米，根据弧长公式：π×半径×2×，代入数据，即可解答。 （2）小狗活动区域就是圆心角150°的扇形面积，根据扇形面积公式：π×半径2×，代入数据，即可解答。 【详解】（1）π×4×2× ＝8π× ＝ （米） 答：小狗可活动的区域图形的周长是米。 （2）π×42× ＝π×16× ＝（平方米） 答：小狗可活动的最大区域图形的面积平方米。 【点睛】本题考查了扇形面积和弧长的计算在实际问题中的运用。熟记公式是解题的关键。 【对应练习2】 一只小狗拴在等边三角形的墙角，墙边长3米。绳长4米，这只小狗最大的活动范围是多少平方米？ 【答案】43.96平方米 【分析】如下图灰色阴影部分是小狗的活动范围，由三块扇形面积组成，最大块扇形的圆心角是（360°－60°），半径是绳长4米，另外两块相同的小扇形，圆心角是（180°－60°），半径是绳长减去墙边长即（4－3）米，分别求出三块扇形面积再求和即可求出小狗最大的活动范围。 【详解】3.14×4×4×＋3.14×（4－3）×（4－3）××2 ＝3.14×16×＋3.14×1××2 ＝3.14×（＋） ＝3.14×14 ＝43.96（平方米） 答：这只小狗最大的活动范围是43.96平方米。 【点睛】明确小狗的活动范围是三块扇形，根据扇形与它所在圆的面积关系及计算方法求解即可。 【对应练习3】 如图，在墙边A点处栓着一条小狗，绳子的长度为7米，小狗的活动范围是多少平方米？（提示：有困难可以画一画示意图） 【答案】80.07平方米 【分析】如图，阴影部分是小狗活动范围，半圆半径7米，小圆半径7－5米，用半圆面积＋小圆面积即可。 【详解】7－5＝2（米） 3.14×7²÷2＋3.14×2²× ＝76.93＋3.14 ＝80.07（平方米） 答：小狗的活动范围是80.07平方米。 【点睛】关键是理解题意，掌握圆的面积公式，圆的面积＝πr²。 【考点十一】多方法求含扇形的阴影图形面积 方法点拨 解决与扇形有关的不规则图形或阴影部分面积，关键在于熟练掌握常见平面图形的面积公式，本考点仅展示个别例题，具体部分请参考《圆·总集篇》。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 解析： 阴影部分面积为： （平方厘米） 答：阴影部分的面积为19.44平方厘米。 【对应练习1】 如下图，在直角梯形ABCO中，OA是圆的半径，，，求阴影部分的面积。（单位：厘米，取3.14） 解析： （4＋8）×4÷2－3.14×42× ＝12×2－3.14×16× ＝24－12.56 ＝11.44（平方厘米） 答：阴影部分的面积是11.44平方厘米。 【对应练习2】 如图，四边形ABCD是周长为80厘米的正方形，在以C为圆心、CD为半径的扇形中，∠DCE＝90°。求阴影部分的面积。（圆周率取3.14） 解析： 80÷4＝20（厘米） 20×20×＝200（平方厘米） 3.14×20×20×＝314（平方厘米） 200＋314＝514（平方厘米） 答：阴影部分的面积是514平方厘米。 【对应练习3】 已知扇形的周长是26.84厘米，O是扇形的圆心，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 解析： 解：设半径是r； 阴影部分的面积是下图的； （厘米） （平方厘米） 答：阴影部分的面积是10.32平方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 16 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 16 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元圆·扇形篇【十一大考点】 专题名称 第一单元圆·扇形篇 专题内容 本专题以扇形为主，其中包括扇形的基本认识、扇形的弧长、周长、面积以及 其他应用问题等内容。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 本专题是圆单元的核心内容，扇形一般作为基础图形出现在求含圆的阴影图形 面积中，部分考点综合性较强，难度较大，题型多以填空、选择、计算、应用 等为主，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十一大考点 【考点一】扇形的认识 ..........................................................................................................................................3 【考点二】扇形的弧长和周长 ............................................................................................................................. 5 【考点三】扇形的面积 ................................................................................................................................ 6 【考点四】扇环的面积 ..........................................................................................................................................7 【考点五】画指定大小的扇形（作图） ............................................................................................................. 8 【考点六】扇形面积的应用问题其一：钟表指针问题 ..................................................................................... 9 【考点七】扇形面积的应用问题其二：一边靠墙问题 ................................................................................... 10 【考点八】拼接法求扇形的阴影图形面积 ................................................................................ 11 【考点九】图示法解决羊吃草问题其一：基础型 .................................................................... 13 第 3 页 共 16 页 【考点十】图示法解决羊吃草问题其二：拓展型 ........................................................................................... 14 【考点十一】多方法求含扇形的阴影图形面积 ............................................................................................... 16 【考点一】扇形的认识 方法点拨 1. 认识弧、扇形、圆心角。 圆上 A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧 AB”，一条弧和经过这条弧两 端的两条半径所围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 2. 扇形的大小。 同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆 心角越大，扇形越大。 3. 扇形的圆心角与面积的关系。 同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。 4. 两种特殊的扇形。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题 1】认识扇形 如图，圆周上 A、B两点之间的部分叫做( )，由半径 OA、OB和孤 AB围成的涂色部 第 4 页 共 16 页 分是( )，这一部分面积是圆面积的 () () 。 【对应练习】 如下图，圆上 A、B两点之间的部分叫做( )，读作( )，图中涂色的部分 叫做( )形。 【典型例题 2】认识圆心角 下面图形中哪些角是圆心角？在（ ）里画“√”。 【对应练习 1】 下列各圆中，阴影部分是不是扇形？是的在括号里画“√”。 第 5 页 共 16 页 【对应练习 2】 在同一个圆中，扇形的大小与( )有关，以 1 6 圆为弧的扇形圆心角是( )度。 【对应练习 3】 一个扇形的圆心角是 80°，扇形的面积占它所在圆的面积的( )。 【考点二】扇形的弧长和周长 方法点拨 1. 扇形的弧长。 扇形弧长= r2 360 n 0 0  （其中 n表示圆心角的度数）。 2. 扇形的周长。 扇形周长=扇形弧长+两条半径的长。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题 1】弧长 下图是直径 6cm的圆。其中阴影扇形的半径是( )厘米，圆心角是( )度，弧 AB 长( ) cm。 【典型例题 2】周长 已知一个扇形的半径为 6厘米，圆心角为 120°，那么这个扇形的弧长为（ ）厘米， 周长是（ ）厘米， 【对应练习 1】 在一个半径是 2厘米的圆内画一个圆心角是 90°的扇形，这个扇形的周长是( )厘米。 【对应练习 2】 如图中圆的半径是 4cm，那么阴影部分的周长是( )cm。 第 6 页 共 16 页 【对应练习 3】 给儿童活动场地涂色分区，如图。场地是边长 8米的等边三角形，以顶点为圆心，以边长的一 半为半径画弧，扇形区域涂蓝色（阴影部分），中间涂白色（空白部分），则中间白色部分的 周长是( )米。（ 取 3.14） 【考点三】扇形的面积 方法点拨 在计算扇形面积时要还是看扇形的圆心角，圆心角占周角的几分之几，扇形 面积就占这个圆面积的几分之几。 扇形面积 S 扇形= 20 0 r 360 n  （其中 n表示圆心角的度数）。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 在一个直径为 2m的圆中，取一个圆心角是 90度的扇形，这个扇形的面积是( )m2。 【对应练习 1】 小明画了一个半径 4cm的圆，圆的面积是( )cm2，接着他又在圆里画了一个圆心角为 45°的扇形，这个扇形的面积是( )cm2。 【对应练习 2】 已知圆形纸片的直径是 10cm，将这个圆形纸片沿直径连续对折三次，得到的扇形的圆心角是 ( )°，面积是( )cm2。 第 7 页 共 16 页 【对应练习 3】 如图中，已知扇形的半径是 3厘米，扇形的面积是( )平方厘米。 【考点四】扇环的面积 方法点拨 1. 扇环的意义。 扇环是一个圆环被扇形截得的一部分。 2. 扇环面积。 扇环面积=大扇形的面积－小扇形的面积。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，一把折扇的骨架长是 30厘米，扇面宽为 20厘米，完全展开时圆心角为 135°，扇面的 面积为( )平方厘米。 【对应练习 1】 下图是一幅扇面画的示意图，请根据图中的信息，求它的面积。 第 8 页 共 16 页 【对应练习 2】 你能求出下面阴影部分的面积吗？（单位：dm） 【对应练习 3】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【考点五】画指定大小的扇形（作图） 方法点拨 画扇形的方法。 1. 先画一个指定半径的圆，在圆中任意画一条半径； 2. 以圆心为顶点，以画好的半径为一条边，画一个指定度数的角，使角的另 一条边与圆相交于一点； 3. 擦掉多余的线，两条半径与所对应的弧围成的图形就是要画的扇形。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 画一个直径是 4cm的圆，标出圆心 O和半径 r，再在圆中画一个圆心角是 100°的扇形。 第 9 页 共 16 页 【对应练习 1】 画一个直径是 4厘米的圆，再在圆中画一个圆心角 90°的扇形。（把扇形涂上阴影。） 【对应练习 2】 画一个半径是 2cm的半圆，并在半圆内画一个圆心角为 45°的扇形。 【对应练习 3】 下图是一个边长是 3厘米的正方形。 （1）请在正方形内画一个最大的圆。 （2）在圆中画一个圆心角是 120°的扇形。 【考点六】扇形面积的应用问题其一：钟表指针问题 方法点拨 解答扇形相关的实际问题，关键在于熟练掌握并正确计算扇形的面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 有一根长 5厘米的分针，当它经过 45分钟后，它扫过的面积是多少？分针尖端经过的距离是 多少？ 第 10 页 共 16 页 【对应练习 1】 一只挂钟的分针长 20厘米，经过 45分钟后，这根分针扫过的面积是多少平方厘米？ 【对应练习 2】 一个挂钟的时针长 5厘米，分针长 8厘米，从中午 12时到下午 3时，分针尖端“走了”多少厘 米？时针“扫过”的面积是多少平方厘米？ 【对应练习 3】 一个石英钟的分针长 10cm，分针旋转扫过的面积是 157cm 2。求分针走了多少分钟。 【考点七】扇形面积的应用问题其二：一边靠墙问题 方法点拨 解答扇形相关的实际问题，关键在于熟练掌握并正确计算扇形的面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 植物园准备用 16米长的铁丝网在园内西北角靠墙新建一个花圃．那么圈出花圃的面积最大是 多少平方米？ 第 11 页 共 16 页 【对应练习 1】 如图所示，依墙而建的“畜禽饲养舍”围成半圆形，其直径为 5米。建这个“畜禽饲养舍”需要多 长的篱笆？ 【对应练习 2】 张大爷准备靠墙用栅栏围成一个养鸡舍（如图），半径是 5米。 （1）围成这个养鸡舍，至少要用多长的栅栏？ （2）如果要扩建这个养鸡舍，把它的直径增加 2米，这个养鸡舍的面积增加了多少？ 【考点八】拼接法求扇形的阴影图形面积 方法点拨 1. 扇形的拼接。 一个扇形可以分割成若干个半径相等的小扇形，反之若干个半径相等的小扇 形也可以拼成一个大扇形，并且这些小扇形的圆心角之和正好等于大扇形的 圆心角。 2. 解题思路。 计算与多边形内角和结合的扇形面积时，将若干个半径相等的小扇形拼成一 个大扇形，大扇形的圆心角等于各小扇形的圆心角之和，然后根据圆心角与 周角的倍数关系计算出大扇形的面积，也就计算出了多个小扇形总共的面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题 1】问题一 第 12 页 共 16 页 如图两个圆的半径都是 4厘米，涂色部分的面积之和是（ ）平方厘米。 【典型例题 2】问题二 图形探索：根据情境完成填空。 情境描述：一天，六（1）班的牛牛同学在作业本上画了一个任意的四边形，接着他又分别以 四边形的四个顶点为圆心画了 4个半径是 3cm的扇形，再给这 4个扇形涂上阴影，如图，画 完后，他好奇地发现一个数学问题：阴影部分的面积是多少呢？经过他深入探索，他突然兴奋 地嚷道：“太简单了！用四年级学过的多边形的内角和知识不就解决了吗。” 如果我来解决，按照牛牛同学的思路，这 4个扇形剪下来正好可以拼成一个( )，因为 ( )，所以阴影部分的面积( )cm2。 【对应练习 1】 图中阴影部分的面积之和是( )cm2。 【对应练习 2】 三个半径 2cm的圆的圆心正好在三角形的三个顶点上，你能算出涂色部分的面积吗？（提示： 三角形的内角和是 180°） 第 13 页 共 16 页 【对应练习 3】 如图，四个圆的直径都是 10cm，阴影部分的面积是( )cm2。（π≈3） 【考点九】图示法解决羊吃草问题其一：基础型 方法点拨 图示法，即先根据题意，画出图形的轨迹，再求面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，张伯伯住在一个长 10米、宽 10米的简易房里守护自家的果园，屋外的墙角 O处拴了 一只藏獒，拴藏獒的绳长 10米。这只藏獒的活动范围有多少平方米？ 【对应练习 1】 下图是一个长方形的羊圈，羊圈的周围是草地。把一只羊拴在羊圈墙面外的拐角处（如图）。 已知拴羊的绳子长 2米。 （1）在图上画出这只羊能吃到草的范围并涂上阴影。 （2）这只羊能吃到的草的最大面积是多少平方米？ 第 14 页 共 16 页 【对应练习 2】 如图，草地上有两棵树，每棵树上都用 10米长的绳子拴了一只羊，两只羊都能吃到的草地面 积是多少平方米？ 【考点十】图示法解决羊吃草问题其二：拓展型 方法点拨 图示法，即先根据题意，画出图形的轨迹，再求面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，空地上有一座长方形羊圈。这座长方形羊圈的长是 6米，宽是 4米，在羊圈的墙角上栓 着一只小羊。 （1）栓羊的绳长是 4米，小羊在空地上的活动范围是多少平方米？ （2）如果栓羊的绳长是 6米，那么小羊的活动范围增加了多少平方米？ 第 15 页 共 16 页 【对应练习 1】 如图，OA、OB是某墙角处的两条地脚线，夹角∠AOB＝150°，一根 4米长的绳子一端拴在 墙角 O处（OA＞4米，OB＞4米），另一端栓一只小狗，小狗在地面上活动，求 （1）小狗可活动的最大区域图形的周长； （2）小狗可活动的最大区域图形的面积（结果保留π）。 【对应练习 2】 一只小狗拴在等边三角形的墙角，墙边长 3米。绳长 4米，这只小狗最大的活动范围是多少平 方米？ 【对应练习 3】 如图，在墙边 A点处栓着一条小狗，绳子的长度为 7米，小狗的活动范围是多少平方米？（提 示：有困难可以画一画示意图） 第 16 页 共 16 页 【考点十一】多方法求含扇形的阴影图形面积 方法点拨 解决与扇形有关的不规则图形或阴影部分面积，关键在于熟练掌握常见平面 图形的面积公式，本考点仅展示个别例题，具体部分请参考《圆·总集篇》。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习 1】 如下图，在直角梯形 ABCO中，OA是圆的半径， =8AB ， 4OA ，求阴影部分的面积。（单位： 厘米， 取 3.14） 【对应练习 2】 如图，四边形 ABCD是周长为 80厘米的正方形，在以 C为圆心、CD为半径的扇形中，∠DCE ＝90°。求阴影部分的面积。（圆周率取 3.14） 第 1 页 共 30 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 30 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元圆·扇形篇【十一大考点】 专题名称 第一单元圆·扇形篇 专题内容 本专题以扇形为主，其中包括扇形的基本认识、扇形的弧长、周长、面积以及 其他应用问题等内容。 评价体系 基础： ；迁移： ；综合： ；多维度： ；重难点： 讲解建议 本专题是圆单元的核心内容，扇形一般作为基础图形出现在求含圆的阴影图形 面积中，部分考点综合性较强，难度较大，题型多以填空、选择、计算、应用 等为主，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十一大考点 【考点一】扇形的认识 ..........................................................................................................................................3 【考点二】扇形的弧长和周长 ............................................................................................................................. 5 【考点三】扇形的面积 ................................................................................................................................ 8 【考点四】扇环的面积 ........................................................................................................................................10 【考点五】画指定大小的扇形（作图） ........................................................................................................... 12 【考点六】扇形面积的应用问题其一：钟表指针问题 ................................................................................... 15 【考点七】扇形面积的应用问题其二：一边靠墙问题 ................................................................................... 17 【考点八】拼接法求扇形的阴影图形面积 ................................................................................ 19 【考点九】图示法解决羊吃草问题其一：基础型 .................................................................... 21 第 3 页 共 30 页 【考点十】图示法解决羊吃草问题其二：拓展型 ........................................................................................... 24 【考点十一】多方法求含扇形的阴影图形面积 ............................................................................................... 28 【考点一】扇形的认识 方法点拨 1. 认识弧、扇形、圆心角。 圆上 A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧 AB”，一条弧和经过这条弧两 端的两条半径所围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 2. 扇形的大小。 同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆 心角越大，扇形越大。 3. 扇形的圆心角与面积的关系。 同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。 4. 两种特殊的扇形。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题 1】认识扇形 如图，圆周上 A、B两点之间的部分叫做( )，由半径 OA、OB和孤 AB围成的涂色部 第 4 页 共 30 页 分是( )，这一部分面积是圆面积的 () () 。 解析：弧；扇形； 1 6 【对应练习】 如下图，圆上 A、B两点之间的部分叫做( )，读作( )，图中涂色的部分 叫做( )形。 解析：弧；弧 AB；扇 【典型例题 2】认识圆心角 下面图形中哪些角是圆心角？在（ ）里画“√”。 解析：根据圆心角的定义判断如下： 第 5 页 共 30 页 【对应练习 1】 下列各圆中，阴影部分是不是扇形？是的在括号里画“√”。 解析： 由分析可知： 【对应练习 2】 在同一个圆中，扇形的大小与( )有关，以 1 6 圆为弧的扇形圆心角是( )度。 解析：圆心角的大小；60 【对应练习 3】 一个扇形的圆心角是 80°，扇形的面积占它所在圆的面积的( )。 解析： 2 9 【考点二】扇形的弧长和周长 方法点拨 1. 扇形的弧长。 扇形弧长= r2 360 n 0 0  （其中 n表示圆心角的度数）。 2. 扇形的周长。 扇形周长=扇形弧长+两条半径的长。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题 1】弧长 第 6 页 共 30 页 下图是直径 6cm的圆。其中阴影扇形的半径是( )厘米，圆心角是( )度，弧 AB 长( ) cm。 解析： 直径 6cm的圆。其中阴影扇形的半径是 3厘米，圆心角是 360÷4＝90°， 弧 AB长： 3.14×6× 1 4 ＝18.84× 1 4 ＝4.71（厘米） 【典型例题 2】周长 已知一个扇形的半径为 6厘米，圆心角为 120°，那么这个扇形的弧长为（ ）厘米， 周长是（ ）厘米， 解析： 弧长： 120 3.14 6 180     2= 6 3.14 3   =4 3.14 ＝12.56（厘米） 周长：12.56＋2×6 ＝12.56＋12 ＝24.56（厘米） 【对应练习 1】 在一个半径是 2厘米的圆内画一个圆心角是 90°的扇形，这个扇形的周长是( )厘米。 解析： 90°÷360°＝ 1 4 第 7 页 共 30 页 这个扇形的周长： 2×3.14×2× 1 4 ＋2×2 ＝6.28×2× 1 4 ＋4 ＝12.56× 1 4 ＋4 ＝7.14（厘米） 【对应练习 2】 如图中圆的半径是 4cm，那么阴影部分的周长是( )cm。 解析： 3.14×4×2÷4＋4×2 ＝6.28＋8 ＝14.28（cm） 【对应练习 3】 给儿童活动场地涂色分区，如图。场地是边长 8米的等边三角形，以顶点为圆心，以边长的一 半为半径画弧，扇形区域涂蓝色（阴影部分），中间涂白色（空白部分），则中间白色部分的 周长是( )米。（ 取 3.14） 【答案】12.56 【分析】等边三角形的特点是三个内角都是 60°，三边长度相等，所以将三个扇形的顶点重合， 刚好能够拼成一个半圆，空白部分的周长正好就是三段弧长的和也就是半径为边长一半的圆周 长的一半，根据 2C r 解答。 【详解】2×3.14×（8÷2）÷2 ＝6.28×4÷2 第 8 页 共 30 页 ＝25.12÷2 ＝12.56（米） 故中间白色部分的周长是 12.56米。 【考点三】扇形的面积 方法点拨 在计算扇形面积时要还是看扇形的圆心角，圆心角占周角的几分之几，扇形 面积就占这个圆面积的几分之几。 扇形面积 S 扇形= 20 0 r 360 n  （其中 n表示圆心角的度数）。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 在一个直径为 2m的圆中，取一个圆心角是 90度的扇形，这个扇形的面积是( )m2。 【答案】0.785/ 157 200 【分析】根据扇形的面积＝ 2n πr 360 ，代入数据解答即可。 【详解】2÷2＝1（m） 90 360 ×3.14× 21 ＝ 1 4 ×3.14×1 ＝0.785（m2） 所以这个扇形的面积是 0.785 m2。 【对应练习 1】 小明画了一个半径 4cm的圆，圆的面积是( )cm2，接着他又在圆里画了一个圆心角为 45°的扇形，这个扇形的面积是( )cm2。 【答案】 50.24 6.28 【分析】圆的面积＝圆周率×半径的平方；扇形面积＝圆的面积× 360 圆心角 ，据此列式计算。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 第 9 页 共 30 页 ＝50.24（cm2） 50.24× 45 360   ＝50.24× 18 ＝6.28（cm2） 小明画了一个半径 4cm的圆，圆的面积是 50.24cm2，接着他又在圆里画了一个圆心角为 45° 的扇形，这个扇形的面积是 6.28cm2。 【对应练习 2】 已知圆形纸片的直径是 10cm，将这个圆形纸片沿直径连续对折三次，得到的扇形的圆心角是 ( )°，面积是( )cm2。 【答案】 45 9.8125 【分析】对折三次之后是将 360°平均分成 8份，用 360°÷8，求出扇形圆心角；再根据扇形的 面积公式：面积＝πr2× n 360 代入数据，即可解答。 【详解】360°÷8＝45° 3.14×（10÷2）2× 45 360   ＝3.14×52×1 8 ＝3.14×25× 18 ＝78.5× 18 ＝9.8125（cm2） 已知圆形纸片的直径是 10cm，将这个圆形纸片沿直径连续对折三次，得到的扇形的圆心角是 45°，面积是 9.8125cm2。 【点睛】解答本题的关键是明确折叠三次就是把这个圆平均分成的份数，以及扇形面积公式的 应用。 【对应练习 3】 如图中，已知扇形的半径是 3厘米，扇形的面积是( )平方厘米。 第 10 页 共 30 页 【答案】9.42 【分析】根据扇形的面积＝ 360 n ×πr2，由此代入数据即可解决问题。 【详解】 120 360 ×3.14×3 2 ＝ 1 3 ×28.26 ＝9.42（平方厘米） 则扇形的面积是 9.42平方厘米。 【点睛】此题考查了扇形的面积公式的计算应用。 【考点四】扇环的面积 方法点拨 1. 扇环的意义。 扇环是一个圆环被扇形截得的一部分。 2. 扇环面积。 扇环面积=大扇形的面积－小扇形的面积。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，一把折扇的骨架长是 30厘米，扇面宽为 20厘米，完全展开时圆心角为 135°，扇面的 面积为( )平方厘米。 解析： 观察图形可知，扇面的面积等于圆心角是 135°、半径 30厘米的扇形的面积与圆心角是 135°， 半径 30－20＝10厘米的扇形的面积之差，据此利用扇形的面积＝ 2 360 r 圆心角的度数 ，代入 数据计算即可解答问题。 30－20＝10（厘米） 23.14 30 360  135 － 23.14 10 360  135 第 11 页 共 30 页 ＝ 3.14 900 360  135 － 3.14 100 360  135 ＝1059.75－117.75 ＝942（平方厘米） 【对应练习 1】 下图是一幅扇面画的示意图，请根据图中的信息，求它的面积。 解析： 3.14×[（18＋12）2－122]× 90360 ＝3.14×[302－122]× 1 4 ＝3.14×756× 1 4 ＝2373.84× 1 4 ＝593.46（cm2） 【对应练习 2】 你能求出下面阴影部分的面积吗？（单位：dm） 解析： 3.14×[52－（5－2）2]× 1 4 ＝3.14×16× 1 4 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 第 12 页 共 30 页 【对应练习 3】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 解析： 2 2 360 360 n nS R r   ＝ 2 2 120 1203.14 6 3.14 3 360 360      ＝ 120 1203.14 36 3.14 9 360 360      ＝  1 3.14 36 9 3    ＝28.26（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 28.26平方厘米。 【考点五】画指定大小的扇形（作图） 方法点拨 画扇形的方法。 1. 先画一个指定半径的圆，在圆中任意画一条半径； 2. 以圆心为顶点，以画好的半径为一条边，画一个指定度数的角，使角的另 一条边与圆相交于一点； 3. 擦掉多余的线，两条半径与所对应的弧围成的图形就是要画的扇形。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 画一个直径是 4cm的圆，标出圆心 O和半径 r，再在圆中画一个圆心角是 100°的扇形。 【答案】见详解 【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定 在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形。扇形是圆的一部分。 第 13 页 共 30 页 直径÷2＝半径，据此先画出直径 4cm的圆，再以一条半径为边，画一个 100°的圆心角，即可 画出这个扇形。 【详解】4÷2＝2（cm） 【对应练习 1】 画一个直径是 4厘米的圆，再在圆中画一个圆心角 90°的扇形。（把扇形涂上阴影。） 【答案】见详解 【分析】画圆的方法：①把圆规的两脚分开，以半径为两脚间的距离；②以一个点为圆心，以 半径的长度画圆。③把有针尖的一只脚固定在圆心上。④把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就 画出一个圆。由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形，以画 出的圆的圆心为扇形的顶点，然后画出一条半径，再利用量角器画出另一条半径即可画出圆心 角是 90°的扇形，据此作出扇形。 【详解】半径：4÷2＝2（厘米） 如图： 【对应练习 2】 画一个半径是 2cm的半圆，并在半圆内画一个圆心角为 45°的扇形。 【答案】见详解 【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点 O为圆心，以 2cm为半径，即可 第 14 页 共 30 页 画出这个圆，因为圆周角为 360°，所以用以圆的任意一条半径为扇形的边，再利用量角器画 出圆心角为 45°的扇形即可。 【详解】如图： 【对应练习 3】 下图是一个边长是 3厘米的正方形。 （1）请在正方形内画一个最大的圆。 （2）在圆中画一个圆心角是 120°的扇形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）以正方形的两条对角线的交点为圆心，以正方形的边长 3厘米为直径画圆； （2）圆周角为 360°，所以用以圆的任意一条半径为扇形的边，再利用量角器画出圆心角为 120° 的扇形即可（画法不唯一）。 【详解】（1）如下图： （2）如图： 第 15 页 共 30 页 【考点六】扇形面积的应用问题其一：钟表指针问题 方法点拨 解答扇形相关的实际问题，关键在于熟练掌握并正确计算扇形的面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 有一根长 5厘米的分针，当它经过 45分钟后，它扫过的面积是多少？分针尖端经过的距离是 多少？ 【答案】58.875平方厘米；23.55厘米 【分析】1小时＝60分钟，用 45÷60，求出 45分钟是 60分钟的几分之几；即 45÷60＝ 3 4 ；根 据圆的面积公式：面积＝π×半径 2，代入数据，求出半径等于长 5厘米的钟的面积，再乘 3 4 ， 即可求出扫过的面积；再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，求出半径等于长 5 厘米的钟的周长，再乘 3 4 ，即可求出分针尖端经过的距离，据此解答。 【详解】45÷60＝ 3 4 3.14×52× 3 4 ＝3.14×25× 3 4 ＝78.5× 3 4 ＝58.578（平方厘米） 3.14×5×2× 3 4 ＝15.7×2× 3 4 ＝31.4× 3 4 ＝23.55（厘米） 答：它扫过的面积是 58.578平方厘米，分针尖端经过的距离是 23.55厘米。 【对应练习 1】 一只挂钟的分针长 20厘米，经过 45分钟后，这根分针扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】942平方厘米 第 16 页 共 30 页 【分析】先根据圆的面积公式（ 2S r ）求出圆的面积，即分针走 1圈扫过的面积；因为 1时 ＝60分，所以经过 45分钟分针扫过圆面积的 45 60 ＝ 3 4 ；用圆的面积乘 3 4 求出这根分针扫过的扇 形面积。 【详解】45÷60＝ 45 60 ＝ 3 4 3.14× 220 × 3 4 ＝3.14×400× 3 4 ＝1256× 3 4 ＝942（平方厘米） 答：这根分针扫过的面积是 942平方厘米。 【点睛】明确分针扫过的扇形面积占整个圆面积的几分之几是解决此题的关键。 【对应练习 2】 一个挂钟的时针长 5厘米，分针长 8厘米，从中午 12时到下午 3时，分针尖端“走了”多少厘 米？时针“扫过”的面积是多少平方厘米？ 【答案】150.72cm；19.625平方厘米 【分析】中午 12时到下午 3时，分针尖端“走了”3圈，根据圆的周长＝2πr，求出一圈周长， 乘 3即可；时针“扫过” 14圆，根据圆的面积＝πr²，求出圆的面积，乘 1 4 即可。 【详解】2×3.14×8×3＝150.72（厘米） 3.14×5²× 14＝19.625（平方厘米） 答：分针尖端“走了”150.72厘米，时针“扫过”的面积是 19.625平方厘米。 【点睛】关键是掌握圆的周长和面积公式。 【对应练习 3】 一个石英钟的分针长 10cm，分针旋转扫过的面积是 157cm 2。求分针走了多少分钟。 第 17 页 共 30 页 【答案】30分 【分析】分针走过一圈的面积是一个半径为 10的圆的面积，算出 157平方厘米占转一圈的面 积的几分之几，相当于分针走过的时间是 60分钟的几分之几，利用圆的面积公式解答即可。 【详解】转一圈面积＝3.14×10×10＝314（平方厘米） 157÷314×60＝30（分钟） 答：分针走了 30分钟。 【点睛】此题考查圆面积公式的计算应用，关键是明确钟面上分针旋转后的得到图形是圆。 【考点七】扇形面积的应用问题其二：一边靠墙问题 方法点拨 解答扇形相关的实际问题，关键在于熟练掌握并正确计算扇形的面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 植物园准备用 16米长的铁丝网在园内西北角靠墙新建一个花圃．那么圈出花圃的面积最大是 多少平方米？ 【答案】81.5平方米 【详解】试题分析：圈出面积最大的花圃，这个花圃应该为中心角为 90°的扇形（也就是圆的 四分之一），根据弧长，求出圆周长，进而求出半径和圆的面积，再求扇形面积． 解：圆的周长：16×4=64（米）， 圆的面积：3.14×（64÷3.14÷2）2≈326（平方米）， 扇形的面积：326× =81.5（平方米）． 答：圈出花圃的面积最大是 81.5平方米． 点评：周长相等，圆的面积最大，靠墙圈花圃，则扇形面积最大。 【对应练习 1】 如图所示，依墙而建的“畜禽饲养舍”围成半圆形，其直径为 5米。建这个“畜禽饲养舍”需要多 长的篱笆？ 第 18 页 共 30 页 【答案】7.85米 【分析】根据半圆周长公式： 2d d   ，由于围栏依墙而建，故围栏长应为： 2d  ，代入数 据可得出答案。 【详解】建这个“畜禽饲养舍”需要的篱笆长为： 5 2   15.7 2  7.85 （米）。 答：建这个“畜禽饲养舍”需要 7.85米的篱笆。 【点睛】本题主要考查的是圆的周长的应用，解题的关键是熟练运用半圆周长公式，进而得出 答案。 【对应练习 2】 张大爷准备靠墙用栅栏围成一个养鸡舍（如图），半径是 5米。 （1）围成这个养鸡舍，至少要用多长的栅栏？ （2）如果要扩建这个养鸡舍，把它的直径增加 2米，这个养鸡舍的面积增加了多少？ 【答案】（1）15.7米；（2）17.27平方米 【分析】（1）观察图形可知，栅栏的长度相当于一个半径是 5米的圆周长的一半，根据圆的 周长公式，用 2×3.14×5÷2即可求出栅栏的长度； （2）直径增加 2米，则半径变为（5＋2÷2）米，根据半圆面积 S＝πr2÷2，分别求出增加后的 面积和增加前的面积，然后求出它们的差即可。 【详解】（1）2×3.14×5÷2 ＝3.14×5 ＝15.7（米） 第 19 页 共 30 页 答：至少需要 15.7米长的栅栏。 （2）2÷2＝1（米） 5＋1＝6（米） 3.14×62÷2 ＝3.14×36÷2 ＝56.52（平方米） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝39.25（平方米） 56.52－39.25＝17.27（平方米） 答：这个养鸡舍的面积增加了 17.27平方米。 【点睛】本题考查了圆周长公式和圆面积公式的灵活应用。 【考点八】拼接法求扇形的阴影图形面积 方法点拨 1. 扇形的拼接。 一个扇形可以分割成若干个半径相等的小扇形，反之若干个半径相等的小扇 形也可以拼成一个大扇形，并且这些小扇形的圆心角之和正好等于大扇形的 圆心角。 2. 解题思路。 计算与多边形内角和结合的扇形面积时，将若干个半径相等的小扇形拼成一 个大扇形，大扇形的圆心角等于各小扇形的圆心角之和，然后根据圆心角与 周角的倍数关系计算出大扇形的面积，也就计算出了多个小扇形总共的面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题 1】问题一 如图两个圆的半径都是 4厘米，涂色部分的面积之和是（ ）平方厘米。 第 20 页 共 30 页 解析： 从图中看出，涂色部分的角的度数和是 90°，所以涂色部分的面积之和＝πr2×涂色部分占整个 圆的几分之几，其中，涂色部分占整个圆的几分之几＝涂色部分的角的度数和÷360°。 3.14×42× 90360＝12.56平方厘米，所以涂色部分的面积之和是 12.56平方厘米。 【典型例题 2】问题二 图形探索：根据情境完成填空。 情境描述：一天，六（1）班的牛牛同学在作业本上画了一个任意的四边形，接着他又分别以 四边形的四个顶点为圆心画了 4个半径是 3cm的扇形，再给这 4个扇形涂上阴影，如图，画 完后，他好奇地发现一个数学问题：阴影部分的面积是多少呢？经过他深入探索，他突然兴奋 地嚷道：“太简单了！用四年级学过的多边形的内角和知识不就解决了吗。” 如果我来解决，按照牛牛同学的思路，这 4个扇形剪下来正好可以拼成一个( )，因为 ( )，所以阴影部分的面积( )cm2。 解析：圆；四边形的内角和是 360°；28.26 【对应练习 1】 图中阴影部分的面积之和是( )cm2。 解析： 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（cm2） 【对应练习 2】 第 21 页 共 30 页 三个半径 2cm的圆的圆心正好在三角形的三个顶点上，你能算出涂色部分的面积吗？（提示： 三角形的内角和是 180°） 解析： 3.14×22×3－3.14×22÷2 ＝37.68－6.28 ＝31.4（cm2） 答：涂色部分的面积是 31.4 cm2。 【对应练习 3】 如图，四个圆的直径都是 10cm，阴影部分的面积是( )cm2。（π≈3） 解析： 3×（10÷2）2 ＝3×25 ＝75（cm2） 【考点九】图示法解决羊吃草问题其一：基础型 方法点拨 图示法，即先根据题意，画出图形的轨迹，再求面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，张伯伯住在一个长 10米、宽 10米的简易房里守护自家的果园，屋外的墙角 O处拴了 一只藏獒，拴藏獒的绳长 10米。这只藏獒的活动范围有多少平方米？ 第 22 页 共 30 页 【答案】235.5平方米 【分析】这只藏獒的活动范围是个扇形，这个扇形面积是半径 10米的圆的面积的 3 4 ，这只藏 獒的活动范围面积＝圆周率×半径的平方× 3 4 ，据此列式解答。 【详解】3.14×102× 3 4 ＝3.14×100× 3 4 ＝314× 3 4 ＝235.5（平方米） 答：这只藏獒的活动范围有 235.5平方米。 【对应练习 1】 下图是一个长方形的羊圈，羊圈的周围是草地。把一只羊拴在羊圈墙面外的拐角处（如图）。 已知拴羊的绳子长 2米。 （1）在图上画出这只羊能吃到草的范围并涂上阴影。 （2）这只羊能吃到的草的最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）见详解； （2）9.42平方米 【分析】（1）这只羊能吃到草的范围是以 2米长为半径的圆面积的 3 4 ，据此画图即可； （2）这只羊能吃到草的最大面积是以 2米长为半径的圆面积的 3 4 ，根据圆的面积公式 S＝ 2r 解答即可。 【详解】 第 23 页 共 30 页 （1）如图： （2）3.14× 22 × 3 4 ＝3.14×4× 3 4 ＝12.56× 3 4 ＝9.42（平方米） 答：这只羊能吃到的草的最大面积是 9.42平方米。 【对应练习 2】 如图，草地上有两棵树，每棵树上都用 10米长的绳子拴了一只羊，两只羊都能吃到的草地面 积是多少平方米？ 【答案】571平方米 【分析】如图： 两只羊吃草的面积＝半径是 10米的圆面积的 3 4 ×2＋正方形面积，根据圆面积公式：S＝πr2， 以及分数乘法的意义，即可求出两只羊吃草的面积。 【详解】3.14×102× 3 4 ×2 第 24 页 共 30 页 ＝3.14×100× 3 4 ×2 ＝471（平方米） 10×10＝100（平方米） 471＋100＝571（平方米） 答：两只羊都能吃到的草地面积是 571平方米。 【点睛】本题主要考查了圆面积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 【考点十】图示法解决羊吃草问题其二：拓展型 方法点拨 图示法，即先根据题意，画出图形的轨迹，再求面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，空地上有一座长方形羊圈。这座长方形羊圈的长是 6米，宽是 4米，在羊圈的墙角上栓 着一只小羊。 （1）栓羊的绳长是 4米，小羊在空地上的活动范围是多少平方米？ （2）如果栓羊的绳长是 6米，那么小羊的活动范围增加了多少平方米？ 【答案】（1）37.68平方米 （2）50.24平方米 【分析】（1）栓羊的绳长是 4米，那么羊在空地上的活动范围是一个以 4米为半径的 3 4 圆； 根据圆的面积公式 S＝πr2，代入数据计算即可。 （2）栓羊的绳长是 6米，那么羊在空地上的活动范围是由两部分组成，一个以 6米为半径的 3 4 圆和一个以（6－4）米为半径的 14 圆，根据圆的面积公式 S＝πr 2，分别求出这两部分的面积， 再减去上一题的面积，即是小羊的活动范围增加的面积。 第 25 页 共 30 页 【详解】（1）3.14×42× 3 4 ＝3.14×16× 3 4 ＝3.14×12 ＝37.68（平方米） 答：小羊在空地上的活动范围是 37.68平方米。 （2）3.14×62× 3 4 ＋3.14×（6－4）2× 14 ＝3.14×36× 3 4 ＋3.14×4× 14 ＝84.78＋3.14 ＝87.92（平方米） 87.92－37.68＝50.24（平方米） 答：小羊的活动范围增加了 50.24平方米。 【点睛】本题考查圆的面积公式的运用，弄清羊的活动范围是由哪几部分组成的是解题的关键。 【对应练习 1】 如图，OA、OB是某墙角处的两条地脚线，夹角∠AOB＝150°，一根 4米长的绳子一端拴在 墙角 O处（OA＞4米，OB＞4米），另一端栓一只小狗，小狗在地面上活动，求 （1）小狗可活动的最大区域图形的周长； （2）小狗可活动的最大区域图形的面积（结果保留π）。 【答案】（1）103  米；（2） 203  平方米 【分析】（1）根据题意可知，小狗活动的区域为一个扇形，圆心角为 150°，半径为绳长 4米， 根据弧长公式：π×半径×2× n 360 ，代入数据，即可解答。 （2）小狗活动区域就是圆心角 150°的扇形面积，根据扇形面积公式：π×半径 2× n 360 ，代入数 据，即可解答。 【详解】（1）π×4×2× 150360 第 26 页 共 30 页 ＝8π× 150360 ＝ 10 3  （米） 答：小狗可活动的区域图形的周长是 10 3  米。 （2）π×42× 150360 ＝π×16× 150360 ＝ 20 3 π （平方米） 答：小狗可活动的最大区域图形的面积 20 3 π 平方米。 【点睛】本题考查了扇形面积和弧长的计算在实际问题中的运用。熟记公式是解题的关键。 【对应练习 2】 一只小狗拴在等边三角形的墙角，墙边长 3米。绳长 4米，这只小狗最大的活动范围是多少平 方米？ 【答案】43.96平方米 【分析】如下图灰色阴影部分是小狗的活动范围，由三块扇形面积组成，最大块扇形的圆心角 是（360°－60°），半径是绳长 4米，另外两块相同的小扇形，圆心角是（180°－60°），半径 是绳长减去墙边长即（4－3）米，分别求出三块扇形面积再求和即可求出小狗最大的活动范围。 【详解】3.14×4×4× 360 60 360     ＋3.14×（4－3）×（4－3）× 180 60 360     ×2 ＝3.14×16× 5 6 ＋3.14×1× 13 ×2 第 27 页 共 30 页 ＝3.14×（ 403 ＋ 2 3 ） ＝3.14×14 ＝43.96（平方米） 答：这只小狗最大的活动范围是 43.96平方米。 【点睛】明确小狗的活动范围是三块扇形，根据扇形与它所在圆的面积关系及计算方法求解即 可。 【对应练习 3】 如图，在墙边 A点处栓着一条小狗，绳子的长度为 7米，小狗的活动范围是多少平方米？（提 示：有困难可以画一画示意图） 【答案】80.07平方米 【分析】如图 ，阴影部分是小狗活动范围，半圆半径 7米，小圆半径 7 －5米，用半圆面积＋ 14 小圆面积即可。 【详解】7－5＝2（米） 3.14×7²÷2＋3.14×2²× 14 ＝76.93＋3.14 ＝80.07（平方米） 答：小狗的活动范围是 80.07平方米。 【点睛】关键是理解题意，掌握圆的面积公式，圆的面积＝πr²。 第 28 页 共 30 页 【考点十一】多方法求含扇形的阴影图形面积 方法点拨 解决与扇形有关的不规则图形或阴影部分面积，关键在于熟练掌握常见平面 图形的面积公式，本考点仅展示个别例题，具体部分请参考《圆·总集篇》。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 解析： 阴影部分面积为： 2 14 8 3.14 4 4     32 12.56  19.44 （平方厘米） 答：阴影部分的面积为 19.44平方厘米。 【对应练习 1】 如下图，在直角梯形 ABCO中，OA是圆的半径， =8AB ， 4OA ，求阴影部分的面积。（单位： 厘米， 取 3.14） 解析： （4＋8）×4÷2－3.14×42× 1 4 ＝12×2－3.14×16× 1 4 第 29 页 共 30 页 ＝24－12.56 ＝11.44（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 11.44平方厘米。 【对应练习 2】 如图，四边形 ABCD是周长为 80厘米的正方形，在以 C为圆心、CD为半径的扇形中，∠DCE ＝90°。求阴影部分的面积。（圆周率取 3.14） 解析： 80÷4＝20（厘米） 20×20× 12 ＝200（平方厘米） 3.14×20×20× 1 4 ＝314（平方厘米） 200＋314＝514（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 514平方厘米。 【对应练习 3】 已知扇形的周长是 26.84厘米，O是扇形的圆心，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 解析： 解：设半径是 r； 3 2 3.14 2 26.84 4 r r    4r  阴影部分的面积是下图的 3 4； 第 30 页 共 30 页 4 2 8  （厘米）  23 8 8 3.14 44     3 13.76 4   10.32 （平方厘米） 答：阴影部分的面积是 10.32平方厘米。 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第一单元圆·扇形篇【十一大考点】 专题名称 第一单元圆·扇形篇 专题内容 本专题以扇形为主，其中包括扇形的基本认识、扇形的弧长、周长、面积以及其他应用问题等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 本专题是圆单元的核心内容，扇形一般作为基础图形出现在求含圆的阴影图形面积中，部分考点综合性较强，难度较大，题型多以填空、选择、计算、应用等为主，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十一大考点 【考点一】扇形的认识 3 【考点二】扇形的弧长和周长 5 【考点三】扇形的面积 6 【考点四】扇环的面积 7 【考点五】画指定大小的扇形（作图） 8 【考点六】扇形面积的应用问题其一：钟表指针问题 9 【考点七】扇形面积的应用问题其二：一边靠墙问题 10 【考点八】拼接法求扇形的阴影图形面积 11 【考点九】图示法解决羊吃草问题其一：基础型 13 【考点十】图示法解决羊吃草问题其二：拓展型 14 【考点十一】多方法求含扇形的阴影图形面积 16 【考点一】扇形的认识 方法点拨 1. 认识弧、扇形、圆心角。 圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 2. 扇形的大小。 同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角有关，同一个圆中，扇形的圆心角越大，扇形越大。 3. 扇形的圆心角与面积的关系。 同一个圆中，扇形圆心角与圆周角的比值等于扇形面积与圆面积的比值。 4. 两种特殊的扇形。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题1】认识扇形 如图，圆周上A、B两点之间的部分叫做( )，由半径OA、OB和孤AB围成的涂色部分是( )，这一部分面积是圆面积的。 【对应练习】 如下图，圆上A、B两点之间的部分叫做( )，读作( )，图中涂色的部分叫做( )形。 【典型例题2】认识圆心角 下面图形中哪些角是圆心角？在（    ）里画“√”。 【对应练习1】 下列各圆中，阴影部分是不是扇形？是的在括号里画“√”。 【对应练习2】 在同一个圆中，扇形的大小与( )有关，以圆为弧的扇形圆心角是( )度。 【对应练习3】 一个扇形的圆心角是80°，扇形的面积占它所在圆的面积的( )。 【考点二】扇形的弧长和周长 方法点拨 1. 扇形的弧长。 扇形弧长=（其中n表示圆心角的度数）。 2. 扇形的周长。 扇形周长=扇形弧长+两条半径的长。 考察形式 填空 动态评价 【典型例题1】弧长 下图是直径6cm的圆。其中阴影扇形的半径是( )厘米，圆心角是( )度，弧AB长( ) cm。 【典型例题2】周长 已知一个扇形的半径为6厘米，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为（ ）厘米，周长是（ ）厘米， 【对应练习1】 在一个半径是2厘米的圆内画一个圆心角是90°的扇形，这个扇形的周长是( )厘米。 【对应练习2】 如图中圆的半径是4cm，那么阴影部分的周长是( )cm。 【对应练习3】 给儿童活动场地涂色分区，如图。场地是边长8米的等边三角形，以顶点为圆心，以边长的一半为半径画弧，扇形区域涂蓝色（阴影部分），中间涂白色（空白部分），则中间白色部分的周长是( )米。（取3.14） 【考点三】扇形的面积 方法点拨 在计算扇形面积时要还是看扇形的圆心角，圆心角占周角的几分之几，扇形面积就占这个圆面积的几分之几。 扇形面积S扇形=（其中n表示圆心角的度数）。 考察形式 填空、选择、计算 动态评价 【典型例题】 在一个直径为2m的圆中，取一个圆心角是90度的扇形，这个扇形的面积是( )m2。 【对应练习1】 小明画了一个半径4cm的圆，圆的面积是( )cm2，接着他又在圆里画了一个圆心角为45°的扇形，这个扇形的面积是( )cm2。 【对应练习2】 已知圆形纸片的直径是10cm，将这个圆形纸片沿直径连续对折三次，得到的扇形的圆心角是( )°，面积是( )cm2。 【对应练习3】 如图中，已知扇形的半径是3厘米，扇形的面积是( )平方厘米。 【考点四】扇环的面积 方法点拨 1. 扇环的意义。 扇环是一个圆环被扇形截得的一部分。 2. 扇环面积。 扇环面积=大扇形的面积－小扇形的面积。 考察形式 填空、计算、应用 动态评价 【典型例题】 如图，一把折扇的骨架长是30厘米，扇面宽为20厘米，完全展开时圆心角为135°，扇面的面积为( )平方厘米。 【对应练习1】 下图是一幅扇面画的示意图，请根据图中的信息，求它的面积。 【对应练习2】 你能求出下面阴影部分的面积吗？（单位：dm） 【对应练习3】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【考点五】画指定大小的扇形（作图） 方法点拨 画扇形的方法。 1. 先画一个指定半径的圆，在圆中任意画一条半径； 2. 以圆心为顶点，以画好的半径为一条边，画一个指定度数的角，使角的另一条边与圆相交于一点； 3. 擦掉多余的线，两条半径与所对应的弧围成的图形就是要画的扇形。 考察形式 作图 动态评价 【典型例题】 画一个直径是4cm的圆，标出圆心O和半径r，再在圆中画一个圆心角是100°的扇形。 【对应练习1】 画一个直径是4厘米的圆，再在圆中画一个圆心角90°的扇形。（把扇形涂上阴影。） 【对应练习2】 画一个半径是2cm的半圆，并在半圆内画一个圆心角为45°的扇形。 【对应练习3】 下图是一个边长是3厘米的正方形。 （1）请在正方形内画一个最大的圆。 （2）在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 【考点六】扇形面积的应用问题其一：钟表指针问题 方法点拨 解答扇形相关的实际问题，关键在于熟练掌握并正确计算扇形的面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 有一根长5厘米的分针，当它经过45分钟后，它扫过的面积是多少？分针尖端经过的距离是多少？ 【对应练习1】 一只挂钟的分针长20厘米，经过45分钟后，这根分针扫过的面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 一个挂钟的时针长5厘米，分针长8厘米，从中午12时到下午3时，分针尖端“走了”多少厘米？时针“扫过”的面积是多少平方厘米？ 【对应练习3】 一个石英钟的分针长10cm，分针旋转扫过的面积是157cm。求分针走了多少分钟。 【考点七】扇形面积的应用问题其二：一边靠墙问题 方法点拨 解答扇形相关的实际问题，关键在于熟练掌握并正确计算扇形的面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 植物园准备用16米长的铁丝网在园内西北角靠墙新建一个花圃．那么圈出花圃的面积最大是多少平方米？ 【对应练习1】 如图所示，依墙而建的“畜禽饲养舍”围成半圆形，其直径为5米。建这个“畜禽饲养舍”需要多长的篱笆？ 【对应练习2】 张大爷准备靠墙用栅栏围成一个养鸡舍（如图），半径是5米。 （1）围成这个养鸡舍，至少要用多长的栅栏？ （2）如果要扩建这个养鸡舍，把它的直径增加2米，这个养鸡舍的面积增加了多少？ 【考点八】拼接法求扇形的阴影图形面积 方法点拨 1. 扇形的拼接。 一个扇形可以分割成若干个半径相等的小扇形，反之若干个半径相等的小扇形也可以拼成一个大扇形，并且这些小扇形的圆心角之和正好等于大扇形的圆心角。 2. 解题思路。 计算与多边形内角和结合的扇形面积时，将若干个半径相等的小扇形拼成一个大扇形，大扇形的圆心角等于各小扇形的圆心角之和，然后根据圆心角与周角的倍数关系计算出大扇形的面积，也就计算出了多个小扇形总共的面积。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题1】问题一 如图两个圆的半径都是4厘米，涂色部分的面积之和是（ ）平方厘米。 【典型例题2】问题二 图形探索：根据情境完成填空。 情境描述：一天，六（1）班的牛牛同学在作业本上画了一个任意的四边形，接着他又分别以四边形的四个顶点为圆心画了4个半径是3cm的扇形，再给这4个扇形涂上阴影，如图，画完后，他好奇地发现一个数学问题：阴影部分的面积是多少呢？经过他深入探索，他突然兴奋地嚷道：“太简单了！用四年级学过的多边形的内角和知识不就解决了吗。” 如果我来解决，按照牛牛同学的思路，这4个扇形剪下来正好可以拼成一个( )，因为( )，所以阴影部分的面积( )cm2。 【对应练习1】 图中阴影部分的面积之和是( )cm2。 【对应练习2】 三个半径2cm的圆的圆心正好在三角形的三个顶点上，你能算出涂色部分的面积吗？（提示：三角形的内角和是180°） 【对应练习3】 如图，四个圆的直径都是10cm，阴影部分的面积是( )cm2。（π≈3） 【考点九】图示法解决羊吃草问题其一：基础型 方法点拨 图示法，即先根据题意，画出图形的轨迹，再求面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，张伯伯住在一个长10米、宽10米的简易房里守护自家的果园，屋外的墙角O处拴了一只藏獒，拴藏獒的绳长10米。这只藏獒的活动范围有多少平方米？ 【对应练习1】 下图是一个长方形的羊圈，羊圈的周围是草地。把一只羊拴在羊圈墙面外的拐角处（如图）。已知拴羊的绳子长2米。 （1）在图上画出这只羊能吃到草的范围并涂上阴影。 （2）这只羊能吃到的草的最大面积是多少平方米？ 【对应练习2】 如图，草地上有两棵树，每棵树上都用10米长的绳子拴了一只羊，两只羊都能吃到的草地面积是多少平方米？ 【考点十】图示法解决羊吃草问题其二：拓展型 方法点拨 图示法，即先根据题意，画出图形的轨迹，再求面积。 考察形式 应用 动态评价 【典型例题】 如图，空地上有一座长方形羊圈。这座长方形羊圈的长是6米，宽是4米，在羊圈的墙角上栓着一只小羊。 （1）栓羊的绳长是4米，小羊在空地上的活动范围是多少平方米？ （2）如果栓羊的绳长是6米，那么小羊的活动范围增加了多少平方米？ 【对应练习1】 如图，OA、OB是某墙角处的两条地脚线，夹角∠AOB＝150°，一根4米长的绳子一端拴在墙角O处（OA＞4米，OB＞4米），另一端栓一只小狗，小狗在地面上活动，求 （1）小狗可活动的最大区域图形的周长； （2）小狗可活动的最大区域图形的面积（结果保留π）。 【对应练习2】 一只小狗拴在等边三角形的墙角，墙边长3米。绳长4米，这只小狗最大的活动范围是多少平方米？ 【对应练习3】 如图，在墙边A点处栓着一条小狗，绳子的长度为7米，小狗的活动范围是多少平方米？（提示：有困难可以画一画示意图） 【考点十一】多方法求含扇形的阴影图形面积 方法点拨 解决与扇形有关的不规则图形或阴影部分面积，关键在于熟练掌握常见平面图形的面积公式，本考点仅展示个别例题，具体部分请参考《圆·总集篇》。 考察形式 计算、应用 动态评价 【典型例题】 求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【对应练习1】 如下图，在直角梯形ABCO中，OA是圆的半径，，，求阴影部分的面积。（单位：厘米，取3.14） 【对应练习2】 如图，四边形ABCD是周长为80厘米的正方形，在以C为圆心、CD为半径的扇形中，∠DCE＝90°。求阴影部分的面积。（圆周率取3.14） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$