河北省部分学校2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2026届高三开学摸底联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={-2,0,1},B={x|In z≤0}，则A∩B= A.{-2,0,1} B.{0,1》 C.{1} D.(-∞，1] 2.若复数Σ满足iz=1十i,则之的虚部为 A.i B.-i C.1 D.-1 3.函数f(x)=(x3-5x)cosx的部分图象大致为 23 C 4已知ore+则sm2z-} A.-22 9 &-号 号 7 D.9 开学摸底联考数学试题第1页（共4页） 5.为响应“全民健身十电竞”融合潮流，某电竞馆举办“运动达人电竞赛”，赛前通过简单随机 抽样，获得了18名选手1分钟内健身操动作完成数，结合电竞互动得分换算后如下（单 位：分)： 105112118120123125127129130132135137139141143 145147150 这18名选手1分钟内健身操动作完成数得分的第60百分位数为 A.132 B.133.5 C.135 D.136 6.已知圆台的上、下底面面积分别为16π和36π，其侧面积为30π，则圆台的体积为 765 、302√2 A.3π B.765π C.3 D.302√2π 7.已知函数f(x)=lnx-√x,则f(2),f(4),f(8)的大小关系为（参考数据：ln2≈0.69） A.f(8)<f(2)<f(4) B.f(8)<f(4)<f(2) C.f(2)<f(4)<f(8) D.f(4)<f(2)<f(8) n+ an一1，n为奇数， 8.已知数列{an}的首项为1，am+1= 则数列{a.}的前20项和为 am十1，n为偶数， A.190 B.380 C.210 D.420 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 y 9.已知曲线C的方程为2十m一7-m =1(m∈R),则下列说法中正确的有 A.曲线C可以是圆 B.当m>7时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆 C.当一2<m<7时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线 D.当曲线C是椭圆或双曲线时，焦距均为6 10.设(2-3x)12=a。十a1x十a2x2+…十a12x12,则下列说法正确的有 A.(2一3x)12的展开式中所有项的二项式系数的和为212 B.ao=212 512+1 C.ao十a2十a4+…+a12= 2 D.|ao|+a1+la2|+…+la2|=1 开学摸底联考数学试题第2页（共4页） 11.关于函数f(x)=sinx|十|cosx|有下述四个结论，则正确的有 A.2π是f(x)的一个周期 B.f(x)的最小值为一1 C1:在区间[侵 上单调递减 D.f(x)在(-2026π，2026π)上有4052个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若“1<x<2”是“|x一a<1”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 13.已知向量a=(x,-1),b=(1,2),若a在b方向上的投影向量为b,则x 4,在三棱锥P-ABC中，PAL平面ABC,∠BAC=名x,AB=AC=23,PA=2,则该3 棱锥外接球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且√3 sin Csin A+ cos Csin A=sin B+sin C. (1)求角A; (2)若△ABC边BC上的中线AD的长度为2√3，求△ABC面积的最大值. 16.15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠ADC=于，△PAD为正 三角形，AC=2√3，PC=3√2 (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD; (2)求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值. B 17.(15分)在校园文化建设中，社团活动丰富多彩.学校为了解高一、二学生对手工制作社 团的参与热情，将每月参与手工制作社团活动次数超过4次的学生认定为“积极参与”， 每月参与手工制作社团活动次数不超过4次甚至从不参与的学生认定为“一般参与”随 机抽取100名学生，得到如下统计数据： 参与热情 学生 合计 积极参与 一般参与 高一学生 30 20 50 高二学生 25 25 50 合计 55 45 100 开学摸底联考数学试题第3页（共4页） (1)依据α=0.05的独立性检验，能否认为该校学生是否积极参与手工制作社团与年级 有关联？ (2)该校学生小李周一、周二计划参与社团活动，且周一从手工制作社团、绘画社团中随 机选一个，若周一选手工制作社团，周二选手工制作社团的概率为号：若周一选绘画社 团，周二选手工制作社团的概率为求小李周二选绘画社团的概率。 (3)用频率估计概率，现从该校高一、二学生中随机抽取20名，记其中“积极参与”手工制作 社团的学生人数为X,记“X=k”的概率为P(X=k),求使P(X=k)取得最大值的k的值. 参考公式及数据：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.(17分)已知坐标平面内一动圆过点T(2,0),且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心P的 轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程 (2)设直线l:y=kx十m与曲线C交于A,B两点，P(1,2),直线PA与直线PB的倾斜 角互补. ①求k的值； ②若m<3,求△PAB面积的最大值. 19.(17分)已知函数f)=alnx+2-(a+1Dx,其中a≠0， (1)求f(x)的单调区间： (2)若函数f(x)有两个不相等的零点x1,x2, ①求实数a的取值范围； ②证明：x1十x2>2. 开学摸底联考数学试题第4页（共4页）B 2026届高三开学摸底联考 数学参考答案及评分意见 1.C【解析】因为集合B={x1nx≤0}={x|0<x≤1}，A={-2,0,1},所以A∩B={1},故选C. 2.D【解析J因为z=1十i,所以之=1+_1+i-1一-i,故的虚部为-1，放选D. 3.B【解析】因为f(x)=(x3-5x)cosx,x∈R,f(-x)=(-x3十5x)cosx=-f(x),所以函数f(x)为奇函 数，排除选项A,D;又f(1)=一4cos1<0,排除选项C,故选B. D【解标]由co+)=司得cor2x+}=2os(e+若）-1-2x(传)-1=-了， 所以sn2x-=sn+-os2x+智)放选D. 5.C 【解析】数据已从小到大排序，因为18×60%=10.8，第11个数据是135，所以第60百分位数是135，故选C. 6,A【解析】设圆台的上、下底面的半径分别为r,R,母线长为l,高为h 由圆台的上、下底面面积分别为16元和36x,得x=16 解得4， πR2=36π，R=6. 由圆台的侧面积公式，得π×(4+6)l=30π，解得1=3，所以h=√32一(6一4)z=√5， 所以该圆台的体积V-日(R+R+,P)-3x×,5×16+24+36)-765。 3元故选A. 7.A【解析1因为函数fx)=1n工一，所以函数f(x)的定义域为(0，十∞)，且'(x)=11=2,丘.令 x22x 函数g(x)=2一√元，x∈(0，+∞)，易知g(x)在(0，十∞)上单调递减，且g(4)=0,所以f(x)在(0,4)上单调递 增，在(4，+∞)上单调递减，所以f(x)在x=4处取得最大值，即f(x)≤f(4),所以f(2)<f(4),f(8)<f(4). 因为f(8)-f(2)=ln8-2√2-(1ln2-√2)=2ln2-√2≈1.38-1.4<0，所以f(8)<f(2).综上，f(8)< f(2)<f(4).故选A. 2k-1a24-1-1+1=2%+1 8.C【解折】当n=2k,k∈N时，a21=a1+1=a-1十1=(26-1)+2。 2k-1a2-1,k∈N*, a24+1=a2-1 0一0号∈N,即当n为奇数时，数列侣}是常数列，”=-1，当n为奇数时a,=n又：当n ）n 为偶数时，n十1为奇数，an+1=an十1，am=am+1一1=n十1一1=n.综上，数列{an}的通项公式为am=n,∴.其 前20项和S0=1+20)×20=210,故选C. 2 2+m>0, 9.BCD【解析】方程2十m一7一m x2 y2 =1,即，十y1.若曲线C是圆，则m一7>0， 无解，所以曲线C不 2+m=m-7, 2+m>0, 会是圆，故A错误；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则m一T>0, 解得m>7,故B正确；若曲线C是焦点 2+m>m-7, 2十m>0, 在x轴上的双曲线，则 解得一2<m<7,故C正确；因为2十m>m一7恒成立，所以当曲线C是椭圆 7-m>0, 开学摸底联考数学答案第1页（共6页） 时，该椭圆为焦点在x轴上的椭圆，则a2=2十m,b2=m一7，c2=a2一b2=9,所以椭圆的焦距2c=6;当曲线C 是双曲线时，该双曲线为焦点在x轴上的双曲线，a2=2十m,b2=7-m,则c2=a2+b2=2十m+7一m=9,所以 双曲线的焦距2c=6.故D正确.故选BCD. 10.ABC【解析】由二项式系数的性质，得(2一3x)12的展开式中所有项的二项式系数的和为212，故A正确；令x= 0,得a0=(2-3×0)12=212,故B正确；令x=1,得a0+a1十a2十…十a12=(2-3×1)12=1,令x=-1,得 a1+a2…+a2=5,两式相加，得ao十a2十a,十…十a12=2,故C正确；由二项式定理，得2 3x)12的展开式的通项T,+1=C12212-r(-3x),r=0,1,2,…,12,由题意，得a,=C12X22-rX(-3)',r=0,1, 2,…,l2,当r为奇数时，a,<0,当r为偶数时，a,>0,所以ao|十a1|十a2|十…十a12|=a0一a1十a2-…十 a12,令x=-1,得|ao|+a1|+a2|+…+|a12|=(2+3)12=512,故D错误.故选ABC. l1.BD【解析】因为函数y=sinx|不是周期函数，所以f(x)也不是周期函数，故A错误.因为0≤cosx≤1， -1≤sinx≤1，所以sinx+1cosx≥-1.又当x=3时，sinx+eosx=-1,所以f(x)的最小值为 -1,放B正确当xe(任，时，fx)=sin工-osx=厄sin。),因为<x<,所以受<-吾< 吾又)=如x在（任，）上单调递增，所以了x)在区间（台，）上单调递增，放C结误因为了(-z) sin-x|+|cos(-x)|=sinx|+|cosx=f(x),所以f(x)是偶函数.易知当x≥0时，f(x)的周期为2π，当 sinx+cosx,0≤x≤)， x∈[0,2π]时，f(x)= nx-eos,受<≤经，令f)-0,解得x-,7,所以函数f)在[0,2]上有 1sinz+cosx,2<x≤2π， 2个零点，则函数f(x)在(-2026,2026)上有2026×4=4052个零点，故D正确.故选BD, 2 12.[1,2]【解析】解不等式|x-a<1,得a-1<x<a十1. 若“1<x<2”是1x-a<1的充分不必要条件，则2-11， 解得1≤a≤2. a+1≥2， 经验证，符合题意，所以实数a的取值范围为[1,2]. 7【解析)因为a在b方向上的投影向量为b,所以bb三b,所以a·b=b2=b,因为a=(c,一1D,b (1,2),所以a·b=x-2,b2=5,所以x-2=5,解得x=7. 14.52π【解析】因为PA⊥平面ABC,所以将三棱锥P一ABC补形为直三棱柱，则三棱锥P一ABC外接球的球 心为直三棱柱上，下底面外心连线的中点，在△ABC中，∠BAC-AB=AC=2,3,所以∠ABC=∠ACB= 否，所以△ABC的外接圆半径r= AB=1×25=23.因为PA=2,所以三棱锥P-ABC的外 2×sim∠ACB=2× sin 6 接球的半径R=+丁-V2-B,所以外接球的表面积S=4R:=52 开学摸底联考数学答案第2页（共6页） l5.解：(1)因为A+B+C-元，所以由√3 sin Csin A+cos Csin A=sinB+sinC, 得√3 sin Csin A+cos Csin A=sin(A+C)+sinC, 3sin Csin A+cos Csin A=sin Acos C+cos Asin C+sin C, 化简，得√3 sin Csin A=cos Asin C+sinC.… …3分 又因为sinC≠0，所以W3sinA=cosA+1, …5分 因为0A<x,所以A-音-吾解得A- …6分 (2)因为AD是△ABC边BC上的中线， 所以2AD=AB+AC,所以|2AD12=|AB+AC1, 即2AD2=|AB2+2AB|AC|cos∠BAC十|AC|2.…9分 由(1)得∠BAC=号，又因为AD=2,3,所以48=b+c+c≥36c, 所以bc≤16，当且仅当b=c时，等号成立. 所以△ABC的面积S=号csin∠BAC- bc≤4v3, 即△ABC面积的最大值为4√3. …13分 16.(1)证明：取AD的中点O,连接PO,CO. △PAD是正三角形，.PO LAD. 在菱形ABCD中，∠ADC=行△ACD是正三角形，.C01AD.…2分 AC=25,.AD=25,∴.PO=C0=3. PC=3√2，∴.P02+C02=PC2,.PO⊥C0. …4分 CO∩AD=O,CO,ADC平面ABCD, ∴.PO⊥平面ABCD, POC平面PAD,.平面PAD⊥平面ABCD.… …7分 (2)解：由(1)知，直线OC,OD,OP两两垂直，故以O为坐标原点，分别以直线OC,OD,OP为x,y,之轴，建立 如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,3),A(0,-√3,0)，B(3,-2√5,0)，C(3,0,0),PC=(3,0,-3),BC=(0,2√5,0).…9分 1n·PC=3x-3z=0, 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则 n·BC=23y=0, 开学摸底联考数学答案第3页（共6页） 令x=1,则y=0,之=1，∴.n=(1,0,1). …12分 易知平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0). n·m1×1+0×0+1×0√2 .cos(n,m)=nm √2X1 2 平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为 …15分 17.解：(1)零假设为H。:学生是否积极参与手工制作社团与年级无关联， 由题意，得X2=100X(30×25-20×25)100 50×50×55×45 99 1.010<3.841=x0.05, 根据α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立， 即认为该校学生是否积极参与手工制作社团与年级无关联。…5分 (2)记事件A1:周一选手工制作社团，事件A2:周一选绘画社团，事件B:周二选绘画社团， 则PA,)=P(A)=7PBA,)=1-号-3PBA)=1-子 1 …7分 由全概率公式，得P(B)=P(A,P(B1A,)+P(A,)P(B1A,)=2×写+号×-员 K3+2X4=24 所以小李周二选绘画社团的概率为 13 …10分 (3)用频率估计概率，该校高一、二学生中“积极参与”手工制作社团的概率P= 55 =0.55, 100 则X~B(20,0.55), 且P(X=k)=C。·0.55·(1-0.55)20-=C0·0.550·0.4520-,k=0,1,2,…,20.…12分 201 芳 20！ 若>1，则P(X=)>P(X=-1,解号.211，得0<k<1.5, 若t<1,即P(X=k)<P(X=k-1),解 1.21-<1,得k>11.55, 所以当k=11时，P(X=k)最大，故k的值为11.……………15分 18.解：(1)设动圆圆心P(x,y). 当x≠0时，由题意得√x2十4=√(x一2)2十y2,化简，得y2=4x(x≠0)；…2分 当x=0时，点P为坐标原点(0,0)，满足y2=4x.……4分 综上，曲线C的方程为y2=4x.…5分 开学摸底联考数学答案第4页（共6页） (2)①如图： 设A(x1y1),B(x2y2). 由题意，得直线AB的斜率k≠0，且k十m≠2. 将直线AB的方程y=kx十m代入y2=4x,消去y并化简，得 k2x2+(2km-4)x+m2=0, 由(2km-4)2-4级m2>0,得km<1,所以x,十，=4-2m, 及2· …7分 因为直线PA与直线PB的倾斜角互补，所以PA十kpB=O. 因为P01,2,所以-2+：-名+m-2+红：+m-2=0, x1-1x2-1x1-1 x2-1 化简，得2处++2（十）小张++m一20D0, 4-2km-2k2 所以2k+(k+m-2)h+m-2)(k十m+2)=0, 即2k+4-2km-2 -=0,解得k=一1.……… …………11分 k十m+2 ②由①可知x2-(2m+4)x+m2=0, 由△=(2m十4)2-4m2>0,解得m>-1,所以-1<m<3, 所以x1十x2=4十2m,x1x2=m2, 则|AB|=√1十I√(x1十x2)2-4x1x2=4√2√1十m. 又点P到直线AB的距离为3-m, 所以△PAB的面积S=号×42X十mX30-2G-mm十D.13分 √2 1 3 所以S≤323 32),当且仅当3-m=2m十2，即m=3时，等号成立， 所以△PAB面积的最大值为323. 9· …17分 19.1)解：因为f(x)=alnx+2x2-(a+1)x,x∈0，+o), 所以f'x)=是+x-(a+1)=-a+1)x+a-z-1D-a 2,x∈(0，十0∞).…1分 x 开学摸底联考数学答案第5页（共6页） 当a<0时，解f'(x)<0,得0<x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递减；解f'(x)>0,得x>1,所以f(x)在 (1,十∞)上单调递增. 当a=1时，f'(x)≥0恒成立，当且仅当x=1时，等号成立，所以f(x)在(0，十∞)上单调递增. 当0<a<1时，解f'(x)<0,得a<x<1,所以f(x)在(a,1)上单调递减；解f'(x)>0,得0<x<a或x>1, 所以f(x)在(0，a),(1,十∞)上单调递增 当a>1时，解f'(x)<0,得1<x<a,所以f(x)在(1，a)上单调递减；解f'(x)>0,得0<x<1或x>a,所以 f(x)在(0,1)，(a,十0∞)上单调递增.…5分 综上，当a<0时，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，十∞)； 当a=1时，f(x)的单调递增区间为(0，十∞)，不存在单调递减区间； 当0<a<1时，f(x)的单调递减区间为(a,1),单调递增区间为(0，a),(1,+∞)； 当a>1时，f(x)的单调递减区间为(1，a),单调递增区间为(0,1)，(a,十o∞).…6分 (2)①解：由(1)知，当a=1时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以函数f(x)最多有一个零点，不符合 题意。 当a>0时，且a≠1时，1和a是函数f(x)的两个极值点， 且f1)=-号-a<0,fa)=alna-2a2-a. 又当x→0时，f(x)→-∞，当x→十∞时，f(x)→十∞， 当0<a<1时，f(a)<0,所以函数f(x)有一个零点，不符合题意. 当a>1时，因为f(1)<0,所以f(a)<0,所以函数f(x)有一个零点，不符合题意. 当a<0时，当x→0时，f(x)→十∞，当x→十∞时，f(x)→十∞， 1 若函数f(x)有两个不相等的零点，则只需f(1)=一2一a<0,解得- 2<a<0. 综上，实数a的取值范围起（号0 …11分 ②证明：由①知，当-2<a<0时，f(x)存在两个不相等的零点1x设x1<,则0<，<1<. 令h(x)=f(x)-f(2-x), 则h'(x)=2a x(2-<0在(0,1D上恒成立， 2a(x-1)2 所以h(x)在(0,1)上单调递减， 所以当x∈(0,1)时，h(x)>h(1)=0,即f(2-x)<f(x). 因为0<x1<1,所以f(2-x1)<f(x1)=f(x2).…15分 因为2-x1∈(1,2)，且f(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以2-x1<x2,即x1十x2>2,得证.…17分 开学摸底联考数学答案第6页（共6页）