1.3勾股定理的应用（12题型+针对训练）2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

第1章 勾股定理 3 勾股定理的应用 命题1：勾股定理与网格问题…………………………………………2 命题2：勾股定理与折叠问题…………………………………………3 命题3：求梯子滑落高度………………………………………………5 命题4：解决水杯中筷子问题…………………………………………6 命题5：解决航海问题…………………………………………………6 命题6：求河宽问题……………………………………………………8 命题7：求台阶上地毯长度…………………………………………8 命题8：判断汽车是否超速…………………………………………9命题9：判断是否受台风影响………………………………………10命题10：选址问题……………………………………………………11 命题11：最短路径问题……………………………………………12 命题12：勾股定理逆定理的应用…………………………………13 针对训练………………………………………………………………15 命题1： 勾股定理与网格问题 1．如图，若在边长为1的正方形网格中，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 3．如图，，是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格上的两个格点（小正方形的顶点），在其余的格点中任意放置点，恰好能使构成直角三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在由6个大小相同的小正方形（小正方形的边长为1）组成的方格中，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断与的关系，并说明理由． 命题2：勾股定理与折叠问题 5．已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 7．如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是(    ) A． B． C． D． 8．如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点处，则的面积为 ． 9．如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 10．在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 11．在△ABC中，，，，点是边上一动点，过点作，交AC于点E，将△AED沿直线翻折，使点落在边上的点处，连接．当△FEC是直角三角形时，求出的长． 命题3：求梯子滑落高度 12．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 13．如图，梯子斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端 A 沿方向下滑时，梯足 B 沿方向滑动，则x 与y的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 14．七一快到了，为了庆祝建党一百周年，同学们做了许多拉花布置教室，小明搬来一架高为2.5m的木梯，想把拉花挂到2.4m 的墙上，则梯角应距墙角 m． 15．如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 命题4：解决水杯中筷子问题 16．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（   ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺 17．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 命题5：解决航海问题 19．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 20．如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 21．一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 22．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行 海里． 命题6：求河宽问题 23．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 24．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 25．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 命题7：求台阶上地毯长度 26．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 27．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 28．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为 m，购买这种地毯至少需要 元． 命题8：判断汽车是否超速 41．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 42．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 命题9：判断是否受台风影响 29．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 30．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 31．某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ． 命题10：选址问题 32．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 33．如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 34．在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 命题11：最短路径问题 35．一个三级台阶如图所示，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（   ） A．23 B．17 C．15 D．13 34．圆柱的底面直径为，，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，则点移动的最短路径长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．20 35．小彬用打印机制作了一个底面周长为、高为的圆柱状粮仓模型．如图，是底面直径，是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ． 36．如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝12米，CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD，践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走 米，踏之何忍”． 命题12：勾股定理逆定理的应用 37．体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 38．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 39．山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． (1)求边的长； (2)求空地的面积． 40．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由C到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（点A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点H与原取水点A相距0.5千米，则新路比路少多少千米？ 针对训练： 1．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 2．某校的长方形水泥操场的示意图如图所示．如果一名学生要从A角走到C角，那么至少要走（   ） A． B． C． D． 3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 5．图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 6．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 7．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 8．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，则滑梯的水平距离的长度为 ． 9．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 10．折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 11．如图，在直角三角形中，，把沿直线折叠，点A与点B重合；若，则的长为 ． 12．如图，在中，，平分，、分别是、上的动点．若，则的最小值为 ． 13．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 14．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． (1)求四边形的面积； (2)是直角吗？ 15．如图，在四边形中，，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 16．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 18．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 19．如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 20．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 勾股定理 3 勾股定理的应用 命题1：勾股定理与网格问题…………………………………………2 命题2：勾股定理与折叠问题…………………………………………4 命题3：求梯子滑落高度………………………………………………10 命题4：解决水杯中筷子问题…………………………………………13 命题5：解决航海问题…………………………………………………15 命题6：求河宽问题……………………………………………………17 命题7：求台阶上地毯长度…………………………………………19 命题8：判断汽车是否超速…………………………………………21命题9：判断是否受台风影响………………………………………22命题10：选址问题……………………………………………………25 命题11：最短路径问题……………………………………………28 命题12：勾股定理逆定理的应用…………………………………31 针对训练………………………………………………………………35 命题1： 勾股定理与网格问题 1．如图，若在边长为1的正方形网格中，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，结合勾股定理可得，然后根据勾股定理的逆定理即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知，， ， ∴， ∴的形状为直角三角形． 故选：A． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 3．如图，，是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格上的两个格点（小正方形的顶点），在其余的格点中任意放置点，恰好能使构成直角三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率公式、直角三角形的判定熟练掌握概率公式、直角三角形的判定是解答本题的关键由图可知共有种等可能的结果其中能使构成直角三角形的结果有种利用概率公式可得答案． 【详解】解∶由图可知共有种等可能的结果其中能使构成直角三角形的结果有∶，，，，，，，，共种， ∴恰好能使构成直角三角形的概率为， 故选∶ 4．如图，在由6个大小相同的小正方形（小正方形的边长为1）组成的方格中，A、B、C是三个格点（即小正方形的顶点），判断与的关系，并说明理由． 【答案】和相等且垂直．理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，连接，再结合勾股定理及其逆定理可得答案． 【详解】解：和相等且垂直．理由如下： 如图，连接，由勾股定理可得 ，，， ∴，且， ∴是以为直角的等腰直角三角形， 即，且， ∴和的关系是相等且垂直． 命题2：勾股定理与折叠问题 5．已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠性质，先根据勾股定理求出的长，再由折叠性质得到，，设，则，，再根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：，，， ， ． 由折叠的性质可得，． 设，则，． 在中，， ，解得， 即， ， ． 故选C． 7．如图，矩形沿对角线折叠，已知长，宽，那么折叠后重合部分的面积是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质易得，那么可用表示出，利用的三边关系即可求得长，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8．如图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点处，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形．设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点N可得，所以，；在中由勾股定理求得的长，在中由勾股定理列出方程求出x的值，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， 即． ∴的面积为， 故答案为：． 9．如图，在矩形中，，点E为线段的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到，点G在线段上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得，，得出，因为，所以，连接，设，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，，， 连接，设， 可得方程：， 代入数值可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 10．在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则，根据折叠的性质得到，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 11．在△ABC中，，，，点是边上一动点，过点作，交AC于点E，将△AED沿直线翻折，使点落在边上的点处，连接．当△FEC是直角三角形时，求出的长． 【答案】2或4/4或2 【分析】若△FEC是直角三角形，有两种情况：①当∠EFC=90°时，∠FCE=30°；②当∠FCE=90°时，点F，B重合． 【详解】解： ∵，，， ∴． ∵，， ∴． 若△FEC是直角三角形，有两种情况： ①当时，． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ②当时，点F，B重合． ∴． ∴当△FEC是直角三角形时，的长为2或4． 命题3：求梯子滑落高度 12．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得，，，，再设，则，利用勾股定理求出，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 13．如图，梯子斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端 A 沿方向下滑时，梯足 B 沿方向滑动，则x 与y的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设，利用梯子下滑过程中的长度保持不变，建立a，x，y的等式，然后进行判断即可． 【详解】解：设， 由勾股定理得： ， ∴， 化简得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 14．七一快到了，为了庆祝建党一百周年，同学们做了许多拉花布置教室，小明搬来一架高为2.5m的木梯，想把拉花挂到2.4m 的墙上，则梯角应距墙角 m． 【答案】0.7 【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可． 【详解】梯脚与墙角距离，利用勾股定理得：=0.7（米）． 故填：0.7． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，通过实际场景，抽象出直角三角形，利用勾股定理求直角边长是解题关键． 15．如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 命题4：解决水杯中筷子问题 16．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（   ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺， 由题意得，， 解得， ∴水深为8尺， 故选：C． 17．将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 18．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， 解得：，即， 故答案为：． 命题5：解决航海问题 19．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 【答案】D 【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°， ，， ∴， 即20s后他们之间的距离为． 故选：D 20．如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 【答案】C 【分析】本题考查了方向角、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先根据方向角可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 离开港口3小时后，（海里），（海里）， ∴海里， 即甲、乙两轮船相距60海里， 故选：C． 21．一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，设后两船的位置分别为、， 则， ， 即后，两船相距． 故选：C． 22．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行 海里． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：． 命题6：求河宽问题 23．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 24．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 25．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 该河的宽度为15米． 故答案为：15． 命题7：求台阶上地毯长度 26．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后，即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图，由题意得： ， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 27．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度 ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是（m）． 故选B． 28．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为 m，购买这种地毯至少需要 元． 【答案】 7 420 【分析】根据勾股定理可求得水平直角边的长．从而根据地毯的面积乘以每平方米的价格即可得到其所需的钱数． 【详解】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m， 根据勾股定理得到：水平的直角边是=4(m)， 地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长， 则购买这种地毯的长是3+4=7(m)， 则面积是2×7=14 (m2)， 总钱数是14×30=420（元）． 故答案为：7；420． 【点睛】本题考查了勾股定理，生活中的平移现象，正确计算地毯的长度是解决本题的关键． 命题8：判断汽车是否超速 41．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速 【分析】解直角三角形，求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键． 【详解】∵是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 42．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)未超速 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 命题9：判断是否受台风影响 29．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 30．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）过点C作于点D，利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）在直线取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口，利用勾股定理得出的长，可得到的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图，过点C作于点D， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，且， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图，在直线上取点E，F使，则台风中心在线段上时，影响C港口， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵台风中心的移动速度为， ∴ 小时． 即台风影响该海港持续的时间为8小时． 31．某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答： ． 【答案】需要封锁 【分析】过C作CD⊥AB于D．狗跟勾股定理可得AB=50米，再由，可得CD=24米，即可求解． 【详解】解：公路AB需要暂时封锁．理由如下： 如图，过C作CD⊥AB于D． 根据题意得：BC=40米，AC=30米，∠ACB=90°， ∴米， ∵， ∴米， ∵24米＜25米， ∴有危险，公路段需要暂时封锁． 故答案为：需要封锁 命题10：选址问题 32．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 33．如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理将和表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据证明，则可得，由可得，进而可得． 本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等， ∴． 设， ， ， ，， ∴， 解得， ∴游客服务中心应建在距点A处． （2）解：由（1）可知，，， ，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 34．在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 【答案】新路比原路少千米，比原路少千米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得（千米），设千米，则千米，然后通过勾股定理求出千米，最后代入求解即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴（千米）， 设千米，则千米， ∵， ∴， 解得：， ∴千米， ∴新路比原路少（千米），比原路少（千米）， 答：新路比原路少千米，比原路少千米． 命题11：最短路径问题 35．一个三级台阶如图所示，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（   ） A．23 B．17 C．15 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为8， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故选：B 34．圆柱的底面直径为，，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，则点移动的最短路径长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．20 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理—最短路径问题，将立体图形展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，将圆柱体的侧面展开如图，则即为所求， 由题意，得：，，， 由勾股定理，得：； 故选A． 35．小彬用打印机制作了一个底面周长为、高为的圆柱状粮仓模型．如图，是底面直径，是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了圆柱侧面展开、勾股定理及最短路径问题，核心在于将空间问题转化为平面几何问题，通过圆柱侧面展开为矩形，利用勾股定理计算从A到C的最短路径长度，最终得出装饰带的总长度．解题的关键是理解圆柱侧面展开后的几何关系，并准确应用勾股定理进行计算．根据圆柱侧面展开图是矩形，利用“两点之间线段最短”结合勾股定理计算求解即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿剪开并展开，得到一个长方形，则，即为所求， ，，， 在中，， ， 故答案为：30． 36．如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝12米，CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD，践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走 米，踏之何忍”． 【答案】4 【分析】根据勾股定理求得的长，用即可求解 【详解】解：在中， 则 （米） 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，求得的长是解题的关键． 命题12：勾股定理逆定理的应用 37．体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出，再证明，，据此根据这块地的面积列式求解即可． 【详解】解；如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这块地的面积， 故选：A． 38．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 39．山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． (1)求边的长； (2)求空地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)利用勾股定理求出即可求解； (2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴； （2）如图，连接AC， ∵，E是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形，， ∴， 答：空地ABCD的面积为． 40．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，由C到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（点A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)已知新的取水点H与原取水点A相距0.5千米，则新路比路少多少千米？ 【答案】(1)是，见解析 (2)0.1千米 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）先求出，再利用勾股定理求出的长度，减去的长度即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 是村庄到河边最近的路；理由如下： ，， ， 是直角三角形，且， ， 垂线段最短， 是村庄到河边最近的路； （2）解：， ， ， （千米）， ， 答：新路比路少0.1千米． 针对训练： 1．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，据图先求出，得出这支铅笔在笔筒外面部分长度在之间，即可得出结论． 【详解】解：根据题意可得图形： ， 在中，， ∴， 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间， 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 2．某校的长方形水泥操场的示意图如图所示．如果一名学生要从A角走到C角，那么至少要走（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用．根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在长方形，， 根据题意得：要从A角走到C角，至少要走 ． 故选：C 3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．由题意易得，由折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意，得， 由翻折的性质得， 设，则， 在直角三角形中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点作于点，设，利用折叠性质，结合已知条件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 5．图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长度为3.75尺， 故选：B． 6．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这样做的道理是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 D．如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键． 利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：根据，即可得到三角形是直角三角形； 故选：D． 7．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作的交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：C． 8．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，则滑梯的水平距离的长度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，结合图形中的等量关系列出方程求解． 设滑梯的水平距离的长度为x米，由米可得米；因为将滑梯水平放置与一样长，所以米；在直角三角形中，根据勾股定理代入已知数据列出方程求解． 【详解】设滑梯的水平距离的长度为x米． 因为米，所以米． 又因为将滑梯水平放置与一样长，所以米． 在中，，米，根据勾股定理可得： 展开方程得： 移项化简得： 解得． 故答案为：4． 9．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时24海里的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时7海里的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 海里． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理的应用，先判断为直角三角形，再利用勾股定理求斜边的长度． 【详解】解：由题意知，， 为直角三角形， （海里），（海里）， （海里）， 即“远航”号与“海天”号的距离为25海里， 故答案为：25． 10．折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 【答案】5.8 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题；根据题意得到，设，利用勾股定理得到，计算求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴在中， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．如图，在直角三角形中，，把沿直线折叠，点A与点B重合；若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的应用，依据翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 由勾股定理求出AC=8，设，则，然后在中由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：把沿直线折叠， ， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 故答案为：． 12．如图，在中，，平分，、分别是、上的动点．若，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上取一点，使，连接，过点B作于点H，可推出的最小值为的长，再根据面积求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，过点B作于点H， ∵平分， ∴点与点E关于直线对称， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为8， 故答案为：8． 13．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 14．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为． (1)求四边形的面积； (2)是直角吗？ 【答案】(1) (2)是直角 【分析】本题考查了网格图形，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求出的长，根据勾股定理的逆定理判断出，为直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，进而可得出结论． 【详解】（1）解：连接， ，，， ． ． ，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ； （2）解：，，， ∴， ∴， ∴是直角． 15．如图，在四边形中，，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算，解题的关键是通过勾股定理求出的长度，再利用逆定理判断 的形状，进而计算四边形的面积． （1）在中，由勾股定理求出的长度；通过计算与的关系，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形； （2）将四边形的面积转化为和的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加． 【详解】（1）是直角三角形． 理由：， ， ， 是直角三角形． （2）由（1）可知，， ． 16．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是从村庄C到河边的最近路，理由见解析 (2)2.5千米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，垂线段的性质，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，由垂线段最短，可知是从村庄C到河边的最近路； （2）利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：是从村庄C到河边的最近路，理由如下： ，，，， ， 是直角三角形，其中， ， 是从村庄C到河边的最近路 （2）解：设 ，则， 在中，， ， 解得， 即原来的路线的长为2.5千米． 17．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 18．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，正确得出三角形是直角三角形是解题的关键．先判定三角形为直角三角形，推出三角形为直角三角形，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 19．如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． (1)连接，试求的长； (2)经测算，将这块空地打造成公园每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成公园需要的费用． 【答案】(1) (2)468000元 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用． （1）直接利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而求出空地的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ . 故的长为； （2）解：∵， ∴. ∴是直角三角形，. ∴该空地的面积为 ， (元) ． 故将这块地打造成公园需要468000元． 20．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)选择八（1）班的方案，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用； （1）根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）先利用等积法求出的长，再分别计算与，然后进行比较大小即得结论． 【详解】（1）证明：由题意可得：， ∴， ∴， 即； （2）解：选择八（1）班的方案，理由如下： ∵， ∴， 则按照八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管，需要铺设水管的总长度为； 按照八（2）班方案：沿线段，，铺设3段水管，需要铺设水管的总长度为， ∵， ∴从节约水管的角度考虑，应该选择八（1）班的铺设方案． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$