2.3.3点到直线的距离公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.3 点到直线的距离公式 复习回顾 =. 两点间的距离公式： 注：① 原点 O (0，0) 与任一点 P (x，y) 间的距离：； ② 当直线 P1P2 垂直于 x 轴时：|| = ||； ③ 当直线 P1P2 垂直于 y 轴时：|| = ||. 1.了解点到直线的距离公式的推导方法； 2.掌握点到直线的距离公式并会应用； 3.理解两平行线间距离的定义； 4.会求两平行线间的距离，及应用公式求距离 学习目标 新课导入 渔民们要将船推到海里，请同学们帮助设计一下：在理论上，怎样设计能使这条路最短？ 建模： 关键在于找点到直线的距离 新课探究 探究：什么是点到直线的距离？ 直线外一点到直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离. 问题1：如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离？ 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足(如图).因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出，就可以得到点P到直线l的距离. 提示：可以考虑用上节课学习的两点间距离公式和求两直线交点坐 标方法的知识， 解决这个距离问题. 新课探究 问题2：能否推导出一般化的公式来求点到直线的距离呢？如图，已知点，直线，如何求点到直线的距离？ x y O Q P l 几何法 直线的方程 直线的斜率 直线的斜率 直线的方程 点的坐标 直线的方程 点的坐标 点的坐标 点、之间的距离（到的距离） 过程较繁复 新课探究 问题2：已知点，直线，如何求点到直线的距离？ 设，.由，以及直线的斜率为， 可得的垂线的斜率为， 因此，垂线的方程为，即. 解方程组 ① 得直线与的交点坐标， 即垂足的坐标为. 于是 新课探究 思考：上述方法引起复杂运算的原因是什么? 一是求点Q的坐标复杂， 二是代入两点间距离公式造成了运算的复杂. 新课探究 思考：对于第一种方法如何简化运算? 新课探究 思考：对于第一种方法如何简化运算? 新课探究 问题2：已知点，直线，如何求点到直线的距离？ 是否还有其他方法？ 等面积法 x y O Q P l 求出点的坐标 求出点的坐标 求出 求出 利用勾股定理求出 等面积法求出 新课探究 问题2：已知点，直线，如何求点到直线的距离？ 是否还有其他方法？ 向量法 y M 求出直线与轴的交点的坐标 求出 求出直线的垂直向量 求出在上的投影 新课探究 p76向量法？ 新知讲解——点到直线距离公式 分子的式子是直线方程的一般式形式 分母的式子是直线方程的一般式的系数平方和，开根号 所以，点到直线的距离公式中直线要化成一般式方程 为点的 横纵坐标 典例分析 例5： 解： 分析： y 0 x= x P(-1,2) Q(,2) 思考：观察直线方程，有其它方法吗？ 如右图，看图可知 一般地， 点到直线的距离为， 到直线的距离为 巩固练习 P77 巩固练习 P77 巩固练习 P77 典例分析 例6： 1 2 3 -1 O 1 2 3 y x h A B C 分析 由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可． 解： 典例分析 例6： 1 2 3 -1 O 1 2 3 y x h A B C 如果以BC为底，请重新计算三角形的面积 典例分析 例6： 还有其他方法吗？ 利用两点距离公式求三边长度 利用余弦定理求角 利用正弦定理面积公式进行计算 x y C O -1 1 2 2 3 3 1 B A 解法2（割补法.）延长AB交x轴于点D.所以 即x+y-4=0.令y=0，得x=4，所以D（4，0）. 则|CD|=5. 所以= 5. 课堂总结 $$