2.2.3 直线的一般式方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.2直线的方程 2.2.3 直线的一般式方程 复习回顾 直线方程名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 直线方程形式 应用要求 斜率k存在的直线 斜率k存在的直线 斜率k存在且不为0的直线 斜率k存在且不为0,不过原点的直线 1.掌握直线一般式方程、以及其特点及适用范围 2.理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系,培养数学抽象的核心素养 3.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化. 能用直线的一般式方程解决问题 学习目标 新课导入 点斜式: 斜截式: 两点式: 截距式: 思考:从代数的角度,观察以上四个方程式都是一个怎样的方程? 都是关于 x, y 的二元一次方程 以上四种形式的直线方程,都有其使用的局限性,也就是说,每一种形式都不能表示所有直线. 那么,是否能找到一种直线方程,它没有局限性,可以表示所有直线呢? 这就是今天我们要学习的内容 ——— 直线的一般式方程 新课探究 问题1:由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形. (1)斜率是,经过点; (2)在轴和轴上的截距分别是,; (3)经过两点,; (4)在轴上的截距是,倾斜角是. 【答案】 (1);(2)=1; (3); (4). 同一直线 都可以化简为 新课探究 问题2 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x , y的二元一次方程表示吗? 直线 斜率存在 斜率 不存在 0 都可以用,(,不同时为)表示 直线方程 二元一次方程 新课探究 问题3 每一个关于x , y的二元一次方程都表示直线吗? (,不同时为) 过点 垂直于轴 任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线 直线方程 二元一次方程 新课探究 (1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示, (2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线. 平面直角坐标系 中的每一条直线 关于的二元一次方程:Ax+By+C=0(A、B不同时为0) 一一对应 结论: 新知讲解——一般式方程 直线的一般式方程 Ax+By +C=0 (其中A, B不同时为0) 叫做直线方程的一般式方程, 简称一般式. 适用范围: 任意一条直线 注意 : 对于直线方程的一般式的书写,一般作如下约定: (1)x的系数为正; (2)x,y的系数及常数项一般不出现分数; (3)按含x项,含y项、常数项顺序排列. (4)无特别说明时,最好将所求直线方程的结果写成一般式 新知讲解——直线方程 直线五种形式的辨析比较 项目 方程 常数的几何意义 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 一般式 截距式 直线不垂直于 x 轴 直线不垂直于 x 轴和 y 轴,且不过原点 直线不垂直于 y 轴 直线不垂直于 x 轴和 y 轴 任何情况 y-y0=k (x-x0) y=kx+b Ax+By+C=0 (A B不同时为0) (x0,y0)是直线上的一个定点,k是斜率 k是斜率,b是直线在 y 轴上的截距 (x1,y1),(x2,y2)是直线上的两个定点 a,b分别是直线 在x轴、y轴上的非零截距 A,B,C为系数 新课探究 问题3 在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的直线为: (1)平行于x轴; (2)平行于y轴; (3)与x轴重合; (4)与y轴重合; (5)过原点 (5) C=0,A、B不同时为0 (1) A=0 , B≠0 ,C≠0 (2) B=0 , A≠0 , C≠0 (4) B=0 , A≠0, C=0 (3) A=0 , B≠0 ,C=0 典例分析 例5 已知直线经过点A(6,-4), 斜率为 , 求直线的点斜式和一般式方程. 典例分析 例6 把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式,求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形. O x y 1 1 2 3 4 2 A B 分析:在直角坐标系中画直线时,通常找出直线与两个坐标轴的交点,然后连结这两个点. 新知讲解 数形结合思想的体会 方程的解 直线上点坐标 所有的解组成一个解集 所有点组成了直线 对应 对应 对应 笛卡尔 一元二次方程 直线 代数角度 几何角度 新课探究 问题4 直线 试讨论:(1) 的条件是什么? (2) 的条件是什么? 解: (1)当B1,B2≠0时, 即A1B2-A2B1=0, 且B1C2-B2C1 ≠ 0或A1C2-A2C1≠0. 当B1=B2=0时, 即A1B2-A2B1=0, 且A1C2-A2C1≠0. 综上, A1B2-A2B1=0, 且B1C2-B2C1 ≠ 0或A1C2-A2C1≠0. 反之,亦成立。 反之,亦成立。 新课探究 问题4 直线 试讨论:(1) 的条件是什么? (2) 的条件是什么? 解: (2)当B1,B2≠0时, 当B1=0或B2=0时, 即 A1A2+B1B2=0. A1A2+B1B2=0也成立 综上,l1⊥l2 A1A2+B1B2=0. 巩固练习 P66 巩固练习 P66 2.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距, 并画出图形: x y O 5 l (1) x y O -5 l (2) 4 x y O (-2,1) l (3) • x y O l (4) 巩固练习 P66 3. 已知直线l的方程是Ax+By+C=0. (1)当B≠0时, 直线l的斜率是多少? 当B=0时呢? (2)系数A, B, C取什么值时, 方程Ax+By+C=0表示经过原点的直线? 课堂总结 点斜式 斜率和一点坐标 斜截式 斜率k和截距b 两点坐标 两点式 点斜式 两个截距 截距式 最后都要化成一般式Ax+By+C=0(A, B不同时为0) 课后习题 P67习题2.2 课后习题 P67习题2.2 课后习题 P67习题2.2 课后习题 P67习题2.2 课后习题 P67习题2.2 课后习题 P67习题2.2 课后习题 P67习题2.2 课后习题 P67习题2.2 7. 求过点 P(2,3) ,并且在两轴上截距相等的直线方程。 课后习题 P67习题2.2 课后习题 P67习题2.2 课后习题 P67习题2.2 课后习题 P67习题2.2 9. 三角形的三个顶点是 A(4,0), B(6,7), C(0,3). (1)求BC边上的高所在直线的方程; (2)求BC边上的中线所在直线的方程; 课后习题 P67习题2.2 9. 三角形的三个顶点是 A(4,0), B(6,7), C(0,3). (3)求BC边的垂直平分线的方程. 课后习题 P67习题2.2 课后习题 P67习题2.2 课后习题 P67习题2.2 提示:(1) 牢记本题结论,用于设过定点的直线方程. 课后习题 P67习题2.2 12. 若直线 l 沿 x 轴向左平移3个单位,再沿 y 轴向上平移 1个单位后,回 到原来的位置,试求直线 l 的斜率. 课后习题 P67习题2.2 12. 若直线 l 沿 x 轴向左平移3个单位,再沿 y 轴向上平移 1个单位后,回 到原来的位置,试求直线 l 的斜率. 课后习题 P67习题2.2 课后习题 P67习题2.2 eq \f(y-y1,y2-y1)=eq \f(x-x1,x2-x1) (x1≠x2,y1≠y2) eq \f(x,a)+eq \f(y,b)=1 (a≠0,b≠0) $$