2.2.3 直线的一般式方程（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的一般式方程，系统讲解定义、与其他形式互化、两直线平行垂直判定及含参应用。通过“四种直线方程各有局限，是否存在普适形式”的问题导入，衔接旧知引发探究，搭建知识支架。 其亮点在于以问题驱动融合数学抽象与逻辑推理，如通过设问推导一般式定义及平行垂直条件。例题分层覆盖基础互化到含参应用，课堂小结“理清单、应体会、避易错”助学生梳理思想方法。学生能提升运算与推理能力，教师可直接用于系统教学。

2.2.3　直线的一般式方程 1 1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程（数学抽象、逻辑推理）. 2. 理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）都表示直线（逻辑推理）. 3. 会进行直线方程的五种形式间的转化（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 　　前面我们学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用.是否存在一种方程形式，对任何直线都适用呢？这就是这节课我们要学习的内容. 情境导入 知识点一　直线的一般式方程 01 知识点二　一般式下两直线的平行或垂直 02 提能点　含参一般式方程的应用 03 课时作业 04 目录 4 01 PART 知识点一 直线的一般式方程 目 录 问题1　（1）平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二 元一次方程表示吗？ 提示：可以.直线斜率存在时，由点斜式y－y0＝k（x－x0），方程为二元 一次方程；斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次 方程. （2）任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？ 提示：可以.任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为 0），B≠0时，y＝－ x－ ；B＝0时，x＝－ 均表示直线. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 定义：关于x，y的二元一次方程 （其中A，B不 同时为0）叫做直线的一般式方程，简称 ⁠. 　　提醒：系数的几何意义：①当B≠0时，则－ ＝k（斜率），－ ＝b （y轴上的截距）；②当B＝0，A≠0时，则－ ＝a（x轴上的截距）， 此时斜率不存在. Ax＋By＋C＝0　 一般式　 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 一般式与其他形式的互化 数学·选择性必修第一册 目 录 【例1】（链接教材P65例5）根据下列条件求直线的一般式方程： （1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）； 解：因为k＝2，且经过点A（1，3），由直线的点斜式方程可得y－3＝2 （x－1），整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1 ＝0. （2）斜率为 ，且在y轴上的截距为4； 解：由直线的斜率k＝ ，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程 为y＝ x＋4. 整理可得直线的一般式方程为 x－y＋4＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 （3）经过两点A（2，－3），B（－1，－5）； 解：由直线的两点式方程可得 ＝ ，整理得直线的一般式方程 为2x－3y－13＝0. （4）在x，y轴上的截距分别为2，－4. 解：由直线的截距式方程可得 ＋ ＝1，整理得直线的一般式方程为2x －y－4＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 1. 由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转 化为直线的一般式方程（化为一般式方程后原方程的限制条件就消失 了）. 2. 反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜 截式、截距式方程的适用条件. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　（1）与直线y＝2x－6交于点（a，0）且倾斜角为135°的直线的 一般式方程为 ⁠； 解析：依题意，a＝3，直线斜率k＝－1，所以直线的点斜式方程为y＝－ （x－3），即x＋y－3＝0. x＋y－3＝0 数学·选择性必修第一册 目 录 解：①将原方程移项，得2y＝x＋6， 两边同除以2，得斜截式方程为y＝ x＋3， 因此它的斜率k＝ ，在y轴上的截距为3. ②将原方程移项，得x－2y＝－6，两边同除以－6，得截距式方程为 ＋ ＝1. 所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－6，3. （2）将直线方程x－2y＋6＝0作如下转换： ①化成斜截式，并指出它的斜率与在y轴上的截距； ②化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距. 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 知识点二 一般式下两直线的平行或垂直 目 录 问题2　（1）已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若 B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得出什么结论？ 提示：l1∥l2时， ＝ 且 ≠ ，即A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1； l1⊥l2时，（－ ）（－ ）＝－1，即A1A2＋B1B2＝0. （2）在问题（1）中若B1＝0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得出什么结论？ 提示：l1∥l2时，B1＝B2＝0且 ≠ ，即B1＝B2＝0且A1C2≠A2C1； l1⊥l2时，A2＝0，A1≠0. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x＋B2y＋ C2＝0（A2，B2不同时为0）. （1）l1∥l2⇔ ＝0，且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－ A2C1≠0）； （2）l1⊥l2⇔ ＝0. A1B2－A2B1　 A1A2＋B1B2　 数学·选择性必修第一册 目 录 角度1　由平行、垂直求直线方程 【例2】已知直线l：x－2y－2＝0，则过点（0，1）与l平行的直线的方 程是 ；过点（－1，3）与l垂直的直线的方程是 ⁠ ⁠. 解析：法一　直线l：x－2y－2＝0的斜率为 ，所以平行于直线l的直线 的斜率等于 ，又因为直线经过点（0，1），故直线的斜截式方程为y＝ x＋1，所求直线的一般式方程为x－2y＋2＝0.垂直于直线l的直线的斜率 为－2，又因为直线经过点（－1，3），故直线的点斜式方程为y－3＝－2 （x＋1），所求直线方程为2x＋y－1＝0. x－2y＋2＝0 2x＋y －1＝0 数学·选择性必修第一册 目 录 法二　设平行于直线l的直线方程为x－2y＋c＝0（c≠－2），又因为直 线经过点（0，1），得c＝2，所求直线方程为x－2y＋2＝0.设垂直于直 线l的直线方程为2x＋y＋m＝0，又因为直线经过点（－1，3），得m＝ －1，所求直线方程为2x＋y－1＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法 （1）由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的关系 确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程； （2）可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）平 行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0（C1≠C）；与直线Ax＋By＋C＝0 （A，B不同时为0）垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 角度2　由直线的平行或垂直求参数 【例3】已知直线l1：x＋2ay－1＝0与l2：（a－1）x＋ay＋1＝0， a∈R. 分别求a的值，使（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2. 解：（1）由直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行 ⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0， 得a－2a（a－1）＝0，且－（a－1）≠1， 解得a＝ . （2）由直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直⇔A1A2 ＋B1B2＝0， 得a－1＋2a2＝0，解得a＝ 或a＝－1. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 1. 平行问题 （1）如果直线的斜率存在，可将一般式化成斜截式进行判断； （2）如果一般式中y的系数含参数，需根据系数是否为0分类讨论，或利 用l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）求解. 2. 垂直问题 （1）如果直线的斜率存在且不为0，那么l1⊥l2⇔k1k2＝－1； （2）l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　（1）直线l过点（－1，2），且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l 的方程是（　A　） A. 3x＋2y－1＝0 B. 3x＋2y＋7＝0 C. 2x－3y＋5＝0 D. 2x－3y＋8＝0 解析：依题意可设所求直线方程为3x＋2y＋c＝0，又直线l过点（－1， 2），代入可得c＝－1，故所求直线方程为3x＋2y－1＝0. （2）（2025·梅州月考）已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx ＋y－1－m＝0，则当l1⊥l2时，m＝ ；当l1∥l2时，m＝ ⁠. A 解析：若l1⊥l2，则1×m＋m×1＝0，得m＝0；若l1∥l2，则m2－1＝0， 且（－1－m）×1－m（－2m－2）≠0，解得m＝1. 0 1 数学·选择性必修第一册 目 录 03 PART 提能点 含参一般式方程的应用 目 录 【例4】　设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0 （a∈R）. （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； 解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等.∴a ＝2时满足条件，此时直线方程为3x＋y＝0； 当a＝－1时，直线平行于x轴，在x轴无截距，不符合题意； 当a≠－1，且a≠2时，由 ＝a－2，即a＋1＝1.∴a＝0时，直线在x 轴，y轴截距都为－2，直线方程为x＋y＋2＝0.∴a＝2或a＝0时，l在两 坐标轴上的截距相等，直线方程分别为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取 值范围；若不存在，请说明理由. 解：假设存在实数a，使直线l不经过第二象限，将直线l的方程化为斜截 式方程为y＝－（a＋1）x＋a－2，∴ 或 解得a≤－1， 故实数a的取值范围为（－∞，－1]. 数学·选择性必修第一册 目 录 变式　若直线l的方程为（a2－1）x＋y＋2－a＝0（a∈R），求直线倾 斜角的取值范围. 解：因为直线的斜截式方程为y＝（1－a2）x＋a－2，（a∈R），所以 直线的斜率k＝1－a2≤1， 当0≤k≤1时，直线的倾斜角的取值范围是［0， ］； 当k＜0时，直线的倾斜角的取值范围是（ ，π）， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围是［0， ］∪（ ，π）. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 由含参一般式求参数的值（范围）的策略 （1）要掌握各种形式的直线方程的基本类型和对应的限制条件； （2）已知直线过（不过）某个象限，求参数值（范围）时，常用直线的 斜截式方程进行求解，但要注意斜率为0或不存在的情况. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　已知直线l的方程是（2a－3）x＋（a＋5）y－3＝0.根据下列条 件，分别求实数a的值. （1）l在y轴上的截距为1； 解：因为直线l的方程是（2a－3）x＋（a＋5）y－3＝0，令x＝0，得到 y＝ ，又因为l在y轴上的截距为1，所以 ＝1，解得a＝－2. （2）l在x轴上的截距为－3； 解：由题意知，令y＝0，得x＝ ，由l在x轴上的截距是－3，故 ＝－3，解得a＝1. 数学·选择性必修第一册 目 录 （3）l的倾斜角为 . 解：因为l的倾斜角为 ，所以直线l的斜率k＝1，故－ ＝1，解得a＝ － . 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一 次方程Ax＋By＋C＝0来表示. （　√　） （2）垂直于x轴的直线方程可表示为Ax＋C＝0（A≠0）. （　√　） （3）直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－ . （　×　） √ √ × 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 在直角坐标系中，直线x＋ y－3＝0的倾斜角是（　　） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° √ 解析：直线斜率k＝－ ，所以倾斜角为150°，故选C. 3. （2025·东营月考）两条直线x＋2y＋m＝0和2x－y＋n＝0的位置关系 是（　　） A. 平行 B. 垂直 C. 不平行也不垂直 D. 与m，n的取值有关 解析：　因为A1A2＋B1B2＝1×2－2×1＝0，所以两直线垂直. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 分别写出满足下列条件的直线方程，并化成一般式： （1）经过点B（－ ，2），倾斜角是30°； 解：因为直线经过点B（－ ，2），倾斜角是30°，所以斜率为 ，所以直线的点斜式方程为y－2＝ （x＋ ），即 x－y＋2＋ ＝0. （2）经过点（1，2）且与直线x－y＋1＝0垂直. 解：设所求直线方程为y＝－x＋b， 将点（1，2）的坐标代入可得b＝1＋2＝3， 所以所求的直线方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）直线的一般式方程； （2）直线五种形式方程的互化； （3）利用直线的方程判定直线的平行或垂直； （4）含参一般式方程的应用. 2.应体会 利用直线方程的一般式解决直线平行与垂直问题，体现了分类讨论、转 化与化归的思想方法. 3.避易错 忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况. 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 课时作业 目 录 1. 直线3x－2y－4＝0的截距式方程是（　　） A. － ＝1 B. ＋ ＝1 C. － ＝4 D. x－ ＝1 解析：　由3x－2y－4＝0，得3x－2y＝4，即 x－ y＝1，即 ＋ ＝ 1，所以直线的截距式方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为（　　） A. x－2y＋4＝0 B. 2x＋y－7＝0 C. x－2y＋3＝0 D. x－2y＋5＝0 解析：过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为 ，由点斜式求得直线的方程为y－3＝ （x－2），化简可得x－2y＋4＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 已知直线l1：ax＋（a＋2）y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数 a的值为（　　） A. －1或2 B. 0或2 C. 2 D. －1 解析：　由l1∥l2知，a×a＝1×（a＋2），即a2－a－2＝0，∴a＝2 或a＝－1.当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a＝－1时， l1∥l2.∴a＝－1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线 x－y－ ＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为（　　） A. － ，－1 B. ，－1 C. － ，1 D. ，1 解析：　原方程化为 ＋ ＝1，∴ ＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1 ＝0的斜率k＝－ ＝a，且 x－y－ ＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan 120°＝－ ，∴a＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 5. 直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0（a≠0，b≠0，a≠b）在 同一坐标系中的图形大致是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　将l1与l2的方程分别化为斜截式得l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋ a，根据直线的斜率和纵截距的符号判断，选项A中，若两直线平行，则a ＝b，与条件矛盾，A错误；选项B中，由直线l1得a＜0，b＞0，则直线l2 的纵截距为负数，与图形矛盾，B错误；选项C中，由直线l1得a＞0，b＞ 0，则直线l2的斜率与纵截距都大于0，符合题意，C正确；选项D中，由直 线l1得a＞0，b＜0，则直线l2的斜率为负数，与图形矛盾，D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕关于直线l： x＋y＋2＝0，下列说法正确的有（　　） A. 直线l的斜率为－ B. 经过点（－ ，1） C. 在y轴上的截距为2 D. 直线l经过第二、三、四象限 √ √ 解析：因为直线l： x＋y＋2＝0，令x＝－ ，可得y＝1，即直线经过点（－ ，1），故B正确；由 x＋y＋2＝0可得y＝－ x－2，所以直线的斜率为－ ，直线在y轴上的截距为－2，直线l经过第二、三、四象限，故A、C错误，D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 〔多选〕已知直线l：Ax＋By＋C＝0，其中A，B不全为0，则下列说 法正确的是（　　） A. 当C＝0时，l过坐标原点 B. 当AB＞0时，l的倾斜角为锐角 C. 当B＝0，C≠0时，l和x轴平行 D. 若直线l过点P（x0，y0），直线l的方程可化为A（x－x0）＋B（y －y0）＝0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　选项A，当C＝0时， 是方程Ax＋By＝0的解，即l 过坐标原点，故A正确；选项B，当AB＞0时，直线l：Ax＋By＋C＝0的 方程可化为y＝－ x－ ，则直线l的斜率k＝－ ＜0，l的倾斜角为钝 角，故B错误；选项C，当B＝0，C≠0时，由A，B不全为0，得A≠0， 直线l：Ax＋By＋C＝0的方程可化为x＝－ ，故直线l和x轴垂直，不平 行，故C错误；选项D，直线l过点P（x0，y0），则Ax0＋By0＋C＝0，可 得C＝－Ax0－By0，代入直线方程l：Ax＋By＋C＝0，得Ax＋By－Ax0 －By0＝0，即A（x－x0）＋B（y－y0）＝0，故D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 8. 若直线（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角是45°，则 实数m＝ ⁠. 解析：由已知得 ∴m＝3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 9. 三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围 为 ⁠. 解析：直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋ ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋ ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1. a≠±1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 根据下列条件分别求直线的方程，并化为一般式方程： （1）经过点A（5，3），且倾斜角为120°； 解：直线的斜率为－ ，由点斜式方程得y－3＝－ （x－5）， 即 x＋y－3－5 ＝0. （2）过点B（－3，0），且垂直于x轴； 解：x＝－3，即x＋3＝0. （3）在y轴上的截距为3，且平行于x轴； 解：y＝3，即y－3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （4）过点P（－1，2），且与直线x－2y－3＝0平行； 解：根据题意可设直线l的方程为x－2y＋C＝0（C≠－3），将点P（－1，2）代入可得C＝5，可得直线l的方程为x－2y＋5＝0. （5）过点B（1，2），且在两坐标轴上的截距互为相反数. 解：当直线过原点时满足题意， 此时设直线方程为y＝ax，由直线过点B（1，2）， 得a＝2，故直线方程为y＝2x，化为一般式为2x－y＝0. 当直线不过原点时，设直线方程为 － ＝1，即 － ＝1，解得a＝－1， 故直线方程为x－y＋1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 11. 已知点P（a，b），Q（c，d），若（2a－b）（2c－d）＜0，则 下列结论正确的是（　　） A. P，Q在直线2x－y＝0上 B. P，Q在直线2x－y＝0同侧 C. P，Q在直线2x－y＝0异侧 D. P，Q在直线x－2y＝0异侧 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　如图，直线2x－y＝0将坐标平面分为两个半平 面区域，直线上的点M（m，n）的坐标满足方程2m－ n＝0，如点（1，2）；直线左上方的点M（m，n）的坐 标满足不等式2m－n＜0，如点（1，3）；直线右下方的 点M（m，n）的坐标满足不等式2m－n＞0，如点（1，1），若点P（a，b），Q（c，d）在直线2x－y＝0上，则必有（2a－b）（2c－d）＝0；若点P（a，b），Q（c，d）在直线2x－y＝0的同侧，则必有（2a－b）·（2c－d）＞0；若点P（a，b），Q（c，d）在直线2x－y＝0的异侧，则必有（2a－b）（2c－d）＜0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 12. 〔多选〕将直线3x－y＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移m （m∈N*）个单位长度，所得直线的方程可能为（　　） A. 3x－y＋1＝0 B. x＋3y－1＝0 C. x＋3y－3＝0 D. x＋3y＋3＝0 解析：　将直线3x－y＝0绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－ x，再向右平移m（m∈N*）个单位长度，所得直线的方程为y＝－ （x－m），即x＋3y－m＝0（m∈N*）.故选B、C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 13. （2025·盐城月考）已知直线l1∥l2，其方程分别为l1：x＋2y＋2＝0， l2：mx＋（1－n）y＋1＝0，其中m＞0，n＞0，则 ＋ 的最小值 为 ⁠. 解析：因为直线l1：x＋2y＋2＝0和l2：mx＋（1－n）y＋1＝0（m＞0， n＞0）平行，所以n≠1且它们的斜率相等，在y轴上的截距不相等，所以 ＝－ ，且 ≠－1，所以2m＋n＝1（m＞0，n＞0），所以 ＋ ＝（2m＋n）（ ＋ ）＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8，当且仅当 ＝ ，即m＝ ，n＝ 时，等号成立，所以 ＋ 的最小值是8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 14. 若方程（m2－3m＋2）x＋（m－2）y－2m＋5＝0表示直线. （1）求实数m需满足的条件； 解：由 解得m＝2. 又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若该直线经过第二、三、四象限，求实数m的取值范围； 解：由题意可知直线的斜率为负值，且在y轴上的截距为负值. 即 解得2＜m＜ ， 故m的取值范围为（2， ）. （3）若该直线与直线4x＋（m－2）y－16＝0垂直，试求m的值. 解：由题意知4（m2－3m＋2）＋（m－2）2＝0， 解得m＝2或m＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 15. 已知t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q （10－t，0）. （1）直线PQ是否经过点M（6，1）？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解：由题意，当直线PQ的斜率不存在时， t＝10－t，故t＝5，此时P（5，5），Q（5，0）， 直线PQ不经过点M（6，1）； 当直线PQ的斜率存在时，t≠5，kPQ＝ ， 直线PQ的方程为（2t－10）y＝t（x＋t－10）. 假设直线PQ过点M（6，1）， 则2t－10＝t（6＋t－10），即t2－6t＋10＝0， Δ＝－4＜0，方程无实根，故直线PQ不经过点M（6，1）. 综上，直线PQ不经过点M（6，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在 边OP上. ①求证：顶点C一定在直线y＝ x上； ②求图中阴影部分面积的最大值，并求此时顶点A，B，C，D的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解：①证明：由题意设点A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a），点C（2a，a）满足y＝ x， 故顶点C一定在直线y＝ x上. ②直线PQ的方程为（2t－10）y＝t（x＋t－10）， 因为P（t，t），Q（10－t，0）， 设阴影部分的面积为S， 则S＝S△OPQ－S正方形ABCD＝ t（10－t）－a2（0＜t＜10）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 因为点C（2a，a）在直线PQ上， 则（2t－10）a＝t（2a＋t－10）， 所以a＝ t（10－t）. 所以S＝5a－a2＝－（a－ ）2＋ . 所以当a＝ ，即t＝5时， 图中阴影部分的面积取得最大值，Smax＝ ， 此时点A（ ，0），B（5，0），C（5， ），D（ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $