2.2.1直线的点斜式方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.2直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 复习回顾 1. 如何求直线的斜率？ k=tanα （x1≠x2） (α≠90°) 2. 如何判断直线的平行与垂直？ (1) 当斜率存在时, 设直线l1, l2的斜率分别为k1, k2, 则有 (2) 当斜率不存在时, 它们的倾斜角都为90°, 显然有l1 // l2. 1.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程 2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系. 3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题 学习目标 新课导入 在“直线的倾斜角与斜率”的学习中我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，即： 在平面直角坐标系中，给定一个点 P0（x0 , y0）和斜率 k (或倾斜角)，就能唯一确定一条直线，也就是说：直线上任意一点的坐标（x , y）与点 P0 的坐标（x0 , y0）和斜率 k 之间的关系是完全确定的： 这一关系如何表示呢？ 那么，接下来我们来探究点P0(x0,y0)和斜率 k（或倾斜角）之间的关系。 新课探究 问题1 如图,直线 l 经过点P0(x0，y0),且斜率为k,设点P (x，y)是直线l上不同于点P0 的任意一点，试问 x 与 y 之间满足怎样的关系式？ x y O P0(x0, y0) P(x, y) l 由斜率公式得 即 追问1 直线l上每一个点的坐标(x，y)满足关系式y-y0=k(x-x0)吗？ ? 由于点P(x,y)是直线 l 上异于点P0（x0，y0）的任意一点， 所以当 x ≠ x0 时，一定满足. 特别的当时也满足上式，所以直线 l 上的每一点的坐标都满足上式. 新课探究 追问2 坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一点是否都在过点P0(x0,y0)，斜率为 k的直线l上？ 新课探究 结论一 结论二 满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一点都在过点P0(x0,y0)，斜率为 k的直线l上 新知讲解——点斜式方程 追问 方程 y－y0＝k(x－x0)与方程 等价吗？ 我们把方程 称为过点P0(x0，y0),且斜率为k的直线l的方程。 方程 y－y0 = k(x－x0)由直线上一个定点P0(x0, y0)及该直线的斜率k确定, 我们把它叫做直线的点斜式方程, 简称点斜式. x y O P0(x0, y0) P(x, y) l 不是等价的，前者表示整条直线，后者表示去掉点P(x0, y0)的一条直线． 新知讲解——点斜式方程 辨析： 新课探究 问题2.1 当直线的倾斜角为0°时，直线的方程是什么？为什么？ 问题2.2 当直线的倾斜角为90°时，直线的方程是什么？为什么？ 特别地 x轴的方程为y =0. 特别地 y轴的方程为x =0. 当直线l的倾斜角为0°时, tan0°=0, 即k=0, 这时直线l与x轴平行或重合, 直线l的方程为 当直线l的倾斜角为90°时, 直线l的斜率不存在，这时l与y轴平行或重合, 直线l的方程不能用点斜式表示, 此时直线l的方程为 结论：直线的点斜式方程不能表示所有的直线， 不能表示垂直于x轴的直线（因为斜率不存在） 典例分析 例1 直线l经过点P0(－2, 3), 倾斜角α=45°,求这条直线的方程, 并画出直线l. x y O P0(-2,3) • l • P1(-1,4) 巩固练习 变式训练： 巩固练习 P61 1. 写出下列直线的点斜式方程: (1) 经过点A(3, －1), 斜率是 ; (2) 经过点B(－ , 2), 倾斜角是30°; (3) 经过点C(0, 3), 倾斜角是0° ; (4) 经过点D(－4,－2), 倾斜角是 (5) 经过点Q(3,－2), 方向向量 2.填空题： (1) 已知直线的点斜式方程是y-2=x-1, 那么此直线的斜率是___, 倾斜角是____ ; (2) 已知直线的点斜式方程是y+2= (x+1). 那么此直线的斜率是___, 倾斜角是___. 45° 60° 新课探究 问题3 下面我们看点斜式的一种特殊情形： 如果斜率为k的直线l过点P0(0, b), 这时P0 是直线l与y轴的交点, 此时方程该如何表示？ x y O P0(0,b) • l 将点P0(0, b)代入直线的点斜式方程, 得 即 我们把直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距. 方程 y=kx+b由直线的斜率与它在 y轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. k的几何意义: b的几何意义: 直线的斜率 直线在y轴上的截距 新知讲解——截距 截距不是距离，因为截距表示直线与坐标轴交点的对应坐标，分为纵截距和横截距, 它们可以是正,负或零, 是实数; 而距离指长度, 为非负数. 追问 截距是距离吗? 新知讲解——斜截式方程 辨析： ①斜截式的特点：左边y的系数为1，右边x的系数是斜率，b是纵截距 ②不能表示斜率不存在的直线 新课探究 例如: 对于直线斜截式方程y=kx+b, 当k≠0时, 这个直线方程就是一次函数, 当k=0(即斜率为0)时，y=b就不能称一次函数了，是常函数了. 解析 一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0. 一次函数y=2x-1图象是斜率为2, 在y轴上的截距为-1的直线. 一次函数y=3x图象是斜率为3, 在y轴上的截距为0的直线. 一次函数y=-x+3图象是斜率为-1, 在y轴上的截距为3的直线. 思考 巩固练习 3. 写出下列直线的斜截式方程: (1) 斜率是 ，在y轴上的截距是－2; (2) 斜率是－2，在y轴上的截距是4. (3) 在y轴上的截距是4,且与x轴平行; (4) 倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (5) 斜率为2，与x轴的交点为(5,0); (6) 斜率为2，与y轴的交点到原点的距离为5. 典例分析 例2 已知直线l1: y=k1x+b1，l2: y=k2x+b2，试讨论: (1) l1//l2的条件是什么? (2) l1⊥l2的条件是什么? 结论：我们得到，对于直线l1: y=k1x+b1, l2: y=k2x+b2. 巩固练习 4. 判断下列各对直线是否平行或垂直: 课堂总结 形式 条件 直线方程 应用范围 点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k 斜截式 在y轴上的截距为b,且斜率为k 注：在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解. 斜率k存在 斜率k存在 x轴所在直线的方程是: y=0 y轴所在直线的方程是: x=0 随堂检测 1.倾斜角为与轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_____. 【答案】 或 . 2.已知直线的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求的斜截式方程. 解：设直线方程为 则当时，；时， 由已知可得即∴ 故所求直线的斜截式方程为或 随堂检测 3.(1)当为何值时，直线：与直线：平行？ (2)当为何值时，直线：与直线：垂直？ 解：(1)由题意可知，，. ∵，∴解得.故当时，直线与直线平行. (2)由题意可知，， ∵，∴，解得故当时，直线与直线垂直. 求下列直线的点斜式方程： (1)经过点D(－1，1)，倾斜角为0°； (2)经过点B(4，2)，倾斜角为90°； (3)经过点D(－1，1)，与x轴平行； (4)经过点B(4，2)，与y轴平行； (5)经过原点，倾斜角为60°. $$