1.2 一元二次方程的解法 预习讲义 2025-2026学年 苏科版九年级数学上册

2025-2026学年数学苏科版九年级上册 第一章 一元二次方程 1.2 一元二次方程的解法 （预习讲义） 学习目标 1. 知识与技能： · 理解解一元二次方程的基本思路是“降次”，即将一元二次方程转化为一元一次方程。 · 掌握用直接开平方法解特殊形式的一元二次方程。 · 掌握用配方法解一元二次方程，并理解配方法的推导过程。 · 掌握用公式法解一元二次方程，能推导求根公式，并会判断一元二次方程根的情况。 2. 过程与方法： · 经历探索一元二次方程解法的过程，体会转化、配方等数学思想方法。 · 在解决问题的过程中，能选择适当的方法解一元二次方程。 3. 情感态度与价值观： · 通过具体问题的解决，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学习数学的兴趣。 · 在探究活动中，体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。 知识点梳理 一、 直接开平方法 1. 适用形式： 方程可以化为 (其中 ) 的形式。 2. 解法依据： 平方根的意义：如果 ，那么 。 3. 解法步骤： · 将方程化为 的形式。 · 当 时，方程有两个不相等的实数根：。 · 当 时，方程有两个相等的实数根：。 · 当 时，因为负数没有平方根，所以方程没有实数根。 4. 例如： 解方程 解： 所以 ， 二、 配方法 1. 定义： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 2. 核心思想： 将一元二次方程 转化为 的形式，再用直接开平方法求解。 3. 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： · 移项： 把常数项移到方程的右边，使方程左边只含二次项和一次项。 · 即： (其中 , ，这里 ) · 配方： 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 · 即： · 变形： 方程左边化为完全平方式，右边合并同类项。 · 即： · 求解： 如果右边是非负数，就可以用直接开平方法求出方程的解；如果右边是负数，则方程无实数根。 4. 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤： · 化1： 方程两边都除以二次项系数，使二次项系数为1。 · 后续步骤同二次项系数为1的情况。 5. 例如： 解方程 解：移项，得 配方，得 （两边加一次项系数6一半的平方，即） 变形，得 开平方，得 所以 ， 三、 公式法 1. 求根公式的推导： 对于一般形式的一元二次方程 ，通过配方法可以得到： 当 时，两边开平方，得： 从而得到一元二次方程的求根公式： 2. 根的判别式： · 定义：式子 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用希腊字母“”（读作“delta”）表示，即 。 · 作用： · 当 时，方程有两个不相等的实数根。 · 当 时，方程有两个相等的实数根。 · 当 时，方程没有实数根。 3. 用公式法解一元二次方程的步骤： · 化一般式： 将方程化为一般形式 ，并确定 、、 的值。 · 算判别式： 计算 的值。 · 判根情况： 根据 的值判断方程根的情况。 · 代入求根公式： 若 ，将 、、 的值代入求根公式 ，求出方程的根；若 ，则方程无实数根。 4. 例如： 解方程 解：这里 ，， 所以 即 ， 知识点总结 1. 解一元二次方程的基本思路： 降次，即将一元二次方程转化为两个一元一次方程。 2. 本节主要方法： · 直接开平方法： 适用于形如 的方程。简单快捷，但局限性大。 · 配方法： 适用于所有一元二次方程。是推导求根公式的基础，能求出所有有实根的方程的根，但步骤相对繁琐，需要掌握配方技巧（两边同加一次项系数一半的平方）。 · 公式法： 适用于所有一元二次方程。是解一元二次方程的通法，步骤固定，关键在于准确确定 、、 的值并计算判别式 。 3. 公式法的核心： 求根公式 ()。 4. 根的判别式应用： 在使用公式法前，先计算 的值，可以判断方程根的情况，避免无效计算。 巩固练习 一、选择题 1．一元二次方程的解为（　　） A． B．， C． D．无实数根 2．在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 3．解下列方程：（1）；（2）；（3），较适当的方法为（　　） A．（1）直接开平方法（2）公式法（3）配方法 B．（1）因式分解法（2）公式法（3）公式法 C．（1）直接开平方法（2）因式分解法（3）配方法 D．（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法 4．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．若关于x的二次三项式 在实数范围内不能分解因式，则点(m，n)一定在(　　). A．第二象限 B．第四象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 6．若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是（　　） A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0 7．一元二次方程 配方后可化为（　　） A． B． C． D． 8．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，；按照这个规定，若，求x的值，甲答：或．乙答：；丙答：，则正确的是（　　） A．只有甲答得对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 9．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．方程的解为　 　. 11．一元二次方程的解是　 　． 12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　． 13．如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是的矩形割补成一个正方形，则m的值是． 14．已知代数式x2－4与代数式x2的值互为相反数，那么x的值为． 15．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是　 　． 16．定义新运算：规定，例如，若，则的值为　 　． 17．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　． 18．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长　 　． 19．如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为　 　． 三、解答题 20．解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 21．设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①；②；③；④． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 22．解方程：嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （1）嘉嘉的解法 ___________；淇淇的解法 ___________；（填“正确”或“不正确”） （2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程． 23．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程． 解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得．，． 我们称小明这种解法为“平均数法” （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：．，∴．直接开平方并整理，得．，． 上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______． （2）请用“平均数法”解方程：． 参考答案 1．B 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．D 8．A 9．B 10．， 11． 12．且 13．3 14．± 15． 16．或 17． 18．20 19． 20．解：移项得x2﹣4x＝3， 配方得x2﹣4x+4＝3+4， 即（x﹣2）2＝， 开方得x﹣2＝±， ∴x1＝2+，x2＝2﹣． 21．解：中， ①时，，方程有两个相等的实数根； ②时，，方程有两个不相等的实数根； ③时，，方程有两个不相等的实数根； ④时，，方程没有实数根； 因此可选择②或③． 选择②时， ， ， ， ，； 选择③时， ， ， ， ，． 22．（1）不正确，不正确 （2）（2）解：方法1：当即，方程成立； 当即时， 两边同除以，得，则， ∴，． 方法2：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 23．（1）7，2，，． （2），． 学科网（北京）股份有限公司 $$