第五单元 圆（知识梳理+16个考点讲练+真题演练+难度分层练 共57题）-2025-2026学年人教版数学六年级上册单元复习举一反三培优精讲练

第五单元 圆 （知识梳理+16个考点讲练+真题演练+难度分层练 共57题） 【原卷版】 资料简介 内容梳理 2 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：圆的认识 2 知识点梳理02：用圆规画圆 3 知识点梳理03：圆的周长 3 知识点梳理04：圆的面积 4 知识点梳理05：扇形的认识 4 知识点梳理06：圆的知识的实际应用 5 知识点梳理07：易错点提示 5 重点那点 考点讲练 6 高频考点讲练1：圆的概念及特点 6 高频考点讲练2：画圆 7 高频考点讲练3：与圆相关的轴对称图形 8 高频考点讲练4：圆的周长 9 高频考点讲练5：半圆的周长 9 高频考点讲练6：圆的周长的应用 10 高频考点讲练7：含圆的组合图形的周长 11 高频考点讲练8：圆的面积 12 高频考点讲练9：圆的面积的应用 12 高频考点讲练10：圆环的面积 13 高频考点讲练11：求最大面积 14 高频考点讲练12：含圆的组合图形的面积 14 高频考点讲练12：方中圆和圆中方的面积问题 15 高频考点讲练13：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 16 高频考点讲练14：弧、圆心角、扇形的认识 17 高频考点讲练15：画扇形 17 高频考点讲练16：扇形的周长和面积 18 升学真题 实战演练 19 优选题型 培优强化 20 基础夯实 能力提升 20 创新拓展 拔尖冲刺 23 同学你好，该份讲义用于人教版六年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：圆的认识 1.圆的定义： 一条线段绕着它固定的一个端点在平面上旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点叫做圆心。 2.圆的各部分名称及特征： （1）圆心 (O)： 圆中心的一点，它决定圆的位置。 （2）半径 (r)： 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 ①一个圆有无数条半径。 ②在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等。 ③半径决定圆的大小。 （3）直径 (d)： 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 ①一个圆有无数条直径。 ②在同圆或等圆中，所有直径的长度都相等。 （4）半径与直径的关系： 在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，即 或 。 3.圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。 （2）每条对称轴都是直径所在的直线。 知识点梳理02：用圆规画圆 1.画圆步骤： （1）定圆心：把圆规的两脚分开，有针尖的一脚固定在一点上，这个点就是圆心。 （2）定半径：根据所画圆的大小，调整圆规两脚之间的距离，这个距离就是半径。 （3）旋转一周：把装有铅笔尖的一脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 2.注意事项： （1）画圆时，圆规两脚之间的距离不能改变。 （2）针尖要固定好，不能移动。 （3）旋转时要平稳，用力均匀。 知识点梳理03：圆的周长 1.圆的周长 (C) 的意义： 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率 (π)： （1）任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 π (pài) 表示。 （2）π是一个无限不循环小数，π ≈ 3.1415926535...，在小学阶段的计算中，通常取 π ≈ 3.14。 3.圆的周长计算公式： （1）已知直径 (d)，求周长： （2）已知半径 (r)，求周长： 4.半圆的周长： 半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径。 （1） 或 5.圆的周长公式的应用： （1）已知周长求直径： （2）已知周长求半径： 知识点梳理04：圆的面积 1.圆的面积 (S) 的意义： 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 2.圆的面积计算公式的推导： 通常采用“转化”的方法，将圆等分成若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆周长的一半 ()，宽近似于圆的半径 (r)。因为长方形的面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 。 3.圆的面积计算公式： 4.圆的面积公式的应用： （1）已知半径求面积： （2）已知直径求面积：先求半径 ，再用 （3）已知周长求面积：先求半径 ，再用 5.环形（圆环）的面积： 环形面积 = 外圆面积 - 内圆面积。 （1）设外圆半径为 R，内圆半径为 r，则 知识点梳理05：扇形的认识 1.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（如∠AOB）。扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 3.扇形的各部分名称：半径（两条）、弧（一条曲线）、圆心角。 4.特殊扇形： （1）圆心角是180°的扇形是一个半圆。 （2）圆心角是90°的扇形是一个四分之一圆。 知识点梳理06：圆的知识的实际应用 1.解决与圆的周长有关的实际问题：车轮滚动一周前进的路程（车轮周长）、围绕圆形花坛跑一圈的长度、钟面上时针/分针尖端走过的路程等。 2.解决与圆的面积有关的实际问题：圆形草坪的占地面积、圆形铁片的面积、给圆形桌面配玻璃等。 3.组合图形的周长与面积： （1）周长： 注意区分是哪些边的长度之和，特别是组合图形中“内边”是否计算。 （2）面积： 通常采用“割补法”或“加减法”，将组合图形转化为基本图形（如圆、长方形、正方形、三角形等）的面积之和或差。例如：求“外方内圆”、“外圆内方”中正方形与圆之间部分的面积。 知识点梳理07：易错点提示 1.概念混淆： 半径和直径的概念及关系（易忽略“同圆或等圆中”）；周长和面积的概念（一个是长度，一个是面积）。 2.圆周率 (π) 的取值： 计算时要明确题目要求，π取3.14还是保留π。 3.公式运用错误： 周长和面积公式混淆；已知直径或周长求面积时，忘记先求半径。 4.半圆周长与圆周长一半的区别： 半圆周长包括直径，圆周长的一半不包括直径。 5.单位问题： 长度单位（如厘米、米）和面积单位（如平方厘米、平方米）的区分和正确使用。 6.计算粗心： 涉及π的计算较繁琐，容易出错；平方的计算（如 是 r × r，不是 r × 2）。 7.环形面积计算： 容易写成 ，正确应为 。 8.审题不清： 如“占地面积”是求面积，“走了多少米”是求周长；“半圆”和“半圆形”在具体问题中的含义。 高频考点讲练1：圆的概念及特点 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）在越野定位赛中，选手们习惯用几点钟方向表示方位，例如3点钟方向10千米处，即O点正东方向10千米处（如下图）。 （1）A点在O点（    ）偏（    ）°方向，即（    ）点钟方向，距离（    ）千米处。 （2）B点在O点西偏南30°的方向，距离O点20千米处，请标出B点的位置。 （3）下午将有一场暴雨，以点O为中心，覆盖半径为20千米，请在图中画出暴雨覆盖的区域。 【变式训练】（24-25六年级上·广西玉林·期末）如图是某处海域的平面示意图，一艘轮船距离灯塔1千米。 （1）这艘轮船的位置可能在哪？请画出所有可能的位置。 （2）要想精准确定这艘轮船的位置，还需要补充什么条件？先填一填，再根据你补充的条件画出轮船准确的位置。我补充的条件：_______________________ 高频考点讲练2：画圆 【典例精讲】（（24-25六年级上·广西柳州·期末）2022年北京冬奥会后，市民参与冰雪运动的热情不断高涨。小明和同学们在冰场上练习滑冰。 （1）小明在冰场中心（    ）偏（    ）（    ）°距离（    ）米的位置。 （2）小红在冰场中心西偏北50°距离2.5米的位置，请标出小红的位置。 （3）小明站在原地，小芳绕小明做旋转运动，两人冰鞋之间的距离是2米，请画出小芳在冰面上划过的轨迹。 【变式训练】（24-25六年级上·青海西宁·期末）在学习了圆的相关知识以后，张岩设计了一个画圆的工具，他将两支笔分别固定在直尺上，如下图，你觉得张岩利用这个画圆工具可以画出圆吗？说一说你的想法。 高频考点讲练3：与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（（24-25六年级上·青海西宁·期末）下面方格图中每个小方格都代表边长1厘米的正方形，按要求作图。 （1）画一个周长是20厘米，长和宽的比是3∶2的长方形，并在图中标出长和宽的数据。 （2）画一个正方形，让它和图中已有圆形组成一个轴对称图形。 【变式训练】（24-25六年级上·北京海淀·期末）在下面图形中描出一个或几个圆，使描出的圆与正方形组成一个轴对称图形，且对称轴的数量满足相应的要求。（参照示例） 高频考点讲练4：圆的周长 【典例精讲】（（24-25六年级上·重庆巴南·期末）聪聪将一张圆形的防油垫纸剪成两个相等的半圆，周长增加了12cm，这个圆形防油垫纸的周长是( )，如果这个防油垫纸的直径增加1cm， 那么它的周长增加了( )。 【变式训练】（24-25六年级上·重庆南岸·期末）下图有( )条对称轴，如果长方形的周长是12厘米，那么长方形的面积是( )平方厘米，一个圆的周长是( )厘米。 高频考点讲练5：半圆的周长 【典例精讲】（（24-25六年级上·重庆巴南·期末）要在一个长方形的纸片上剪出一个周长是的半圆，则这张长方形纸片的面积至少是（    ）。 A． B． C． D．无法判断 【变式训练】（24-25六年级上·浙江宁波·期末）图1是一个半径为50米的半圆形花坛，李爷爷习惯饭后绕着它的周边匀速散步。李爷爷从O点出发，按箭头所指的方向步行，最后回到出发点。他步行过程中距离与时间的关系如图2所示。 （1）李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要多少米？ （2）观察图2，请你计算李爷爷散步的速度？ （3）如果李爷爷只在散步途中休息了一次，请看图分析，在图1上用“☆”标出休息的位置。 高频考点讲练6：圆的周长的应用 【典例精讲】（（24-25六年级上·重庆永川·期末）小华骑自行车到学校用10分钟。从小华家到学校大约多少米？ ①小华自行车的车轮外直径大约60厘米。②小华步行大约每分钟50米。 ③车轮平均每分钟转100圈。④小华跑步大约需要8分钟到学校。 （1）要解决这个问题，需要选择方框内（    ）信息（请将序号填在括号里）。 （2）根据你所选的信息，解答这个问题。 【变式训练】（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，有一只狗被拴在一个建筑物的墙角点处，这个建筑物的底面是一个边长为8米的正方形，拴狗的绳长18米。现在狗从点B出发，将绳拉紧并沿顺时针方向跑。狗最多可以跑多少米？ 高频考点讲练7：含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（（24-25六年级上·广西南宁·期末）如图，若小圆的半径是3分米，那么大圆的周长是（    ）分米。 A． B． C．6 D．3 【变式训练】（24-25六年级上·河南郑州·期末）在观看过升旗仪式后，桃子自己制作了一个简易的升旗装置（如图），桃子现需要给装置缠上一圈线，至少需要多少厘米的线？（接口处忽略不计） 高频考点讲练8：圆的面积 【典例精讲】（（2024·重庆永川·小升初真题）一个圆柱扫地机器人在一块长方形场地内可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯。如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为20厘米的圆盘。机器人在扫地时覆盖不到的面积约为（    ）平方厘米。（π取值3） A．400 B．300 C．100 D．0 【变式训练】（20-21六年级下·河南信阳·期末）求阴影部分的面积。 高频考点讲练9：圆的面积的应用 【典例精讲】（（24-25六年级上·四川凉山·期末）如下图，在两个边长相等的正方形内剪圆片，剩下的边角料（    ）多。 A．甲 B．乙 C．一样 D．无法判断 【变式训练】（24-25六年级上·重庆江北·期末）一个正方形羊圈，边长6米（如图）。A点是一条边的中点，B点是一个顶点。 （1）把一只羊放到羊圈外的草地上吃草。主人用一根2米长的绳子，一端系在A点处，一端系住羊。请在图上画出这只羊可吃到草的区域（示意图），并计算出面积。 （2）如果主人用一根4米长的绳子将羊系在B点处，那么这只羊可吃到草的面积是多少平方米？ 高频考点讲练10：圆环的面积 【典例精讲】（（24-25六年级上·重庆·期末）欣欣小学有一个圆形花坛，半径是2米。 （1）在花坛里按照3∶1的面积比分别种上了月季和菊花。种月季和菊花的面积分别是多少平方米？ （2）在圆形花坛周围修一条宽1米的小路，小路的面积是多少平方米？ 【变式训练】（22-23六年级上·河北保定·期末）2022年10月25日，国家林业和草原局等部门联合下发了《“十四五”乡村绿化美化行动方案》。方案持续推进乡村绿化美化，改善提升农村人居环境，建设生态宜居美丽乡村。 （1）幸福新村修建了一个周长是37.68米的圆形花坛，在花坛周围铺了一条2米宽的石子路，石子路的面积是多少平方米？ （2）幸福新村把一些树苗分给三个绿化队来栽种，第一队栽种的棵数是总数的，第二队栽种的棵数是总数的，第三队栽种了500棵。这批树苗一共有多少棵？ 高频考点讲练11：求最大面积 【典例精讲】（（21-22六年级上·湖南张家界·期末）同学们用同样长的三根绳子分别围成长方形、正方形、圆形，其中面积最大的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．无法确定 【变式训练】（22-23六年级上·福建厦门·期末）如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 高频考点讲练12：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（（24-25六年级上·江西吉安·期末）一面镜子的形状如图所示，它的边是由4个直径相等的半圆组成的。 （1）给镜子的周围镶上铝边，需要铝边多少分米？ （2）镜子的面积是多少平方分米？ 【变式训练】（2009六年级下·全国·竞赛）如图，五环旗中每一环的外圆半径为10厘米，其中两两相交的小四曲边形（图中阴影部分）的面积相等，每个小四曲边形的面积是40平方厘米，五环盖住的总面积是684.8平方厘米，问每一环的内圆半径为多少厘米？（π＝3.14） 高频考点讲练12：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（（24-25六年级上·新疆克孜勒苏·期末）求图中阴影部分的面积。 【变式训练】（24-25六年级上·广西柳州·期末）人民公园里安装了一个圆形的喷水池。喷水池内的正方形区域是喷水区（如图），喷水区的面积是( )m2。 高频考点讲练13：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（（24-25六年级上·安徽黄山·期末）科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 【变式训练】（24-25六年级上·浙江杭州·期末）画一画，算一算。 （1）在上右边的正方形中画一个图形并涂上阴影，使阴影部分的面积和上左图正方形中涂色部分的面积相等。 （2）算一算，上左图阴影部分的面积是（    ）。 高频考点讲练14：弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】（（24-25六年级上·重庆渝中·期末）弧度制规定：长度等于半径的圆弧，所对的圆心角为1弧度（图示），那么1弧度约等于（    ）度。 A．1 B．57.3 C．60 D．62.3 【变式训练】（24-25六年级上·湖北荆州·期末）把圆分割成许多扇形，然后拼成一个近似的长方形，长方形的周长比圆的周长多厘米，这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 高频考点讲练15：画扇形 【典例精讲】（（24-25六年级上·江西吉安·期末）根据要求画一画。 （1）以点（5，4）为圆心O，在图中画一个半径为4cm的圆。 （2）在这个圆中画一个扇形并涂色，使扇形的面积正好是圆面积的。 【变式训练】（24-25六年级上·广西南宁·期末）下图中每个小方格都代表边长为1厘米的正方形，请在图中按要求画一画。 （1）画一个长方形，周长为18厘米，长和宽的比是。   （2）在画出的长方形中画阴影表示的含义。 （3）画一个半径为2厘米的圆并在圆中画一个圆心角是的扇形，把扇形涂上颜色。 高频考点讲练16：扇形的周长和面积 【典例精讲】（（24-25六年级上·安徽宣城·期末）（1）（如图）一座房屋的长是8米、宽是6米，在这座房子的墙角外A点处拴着一条狗，绳长4米，请在图中画出狗可以活动的范围。 （2）计算出狗可以活动范围的面积。 （3）房屋里有一只猫在B点处休息，它在A点东偏北30°方向5米的地方，请在图中标出B点的位置。 【变式训练】（23-24六年级上·全国·单元测试）下图（1）是一个半径为3厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转30°，此时B点移动到C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【演练1】（2023·贵州黔西·小升初真题）如图，已知圆的周长是31.4米，求阴影部分的面积。（单位：米） 【演练2】（2023·贵州黔西·小升初真题）如图，长方形的周长是40cm，图中每个圆的直径是( )cm。 【演练3】（2024·河南郑州·小升初真题）如图，以点A为圆心的圆内画出三角形ABC。如果∠B是60°，这个三角形一定是等边三角形。做出这样判断的依据是（    ）。 A．圆的周长是直径的π倍 B．圆有无数条对称轴 C．同一个圆半径都相等 D．同一个圆直径是半径的2倍 【演练4】（2024·辽宁盘锦·小升初真题）你还记得吗？在我们以前的学习中，曾经用下面的方法把平行四边形转化成长方形，从而得到平行四边形面积的计算方法。 请你借鉴上面的方法计算出下图涂色部分的面积是( )cm2。 【演练5】（2024·湖北武汉·小升初真题）计算图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 基础夯实 能力提升 1．（2024·河北石家庄·小升初真题）我国伟大的数学家（    ）计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点7位的人。 A．刘徽 B．祖冲之 C．杨辉 D．朱世杰 2．（24-25六年级上·山东济南·期末）一个钟面上的时针长10cm，从6：00到12：00时针针尖走了（    ）cm。 A．15.7 B．31.4 C．78.5 D．314 3．（2024·河北承德·小升初真题）将一个圆形纸片至少对折( )次，才能找到它的圆心。 4．（19-20六年级上·云南昆明·期中）如下图，已知正方形的面积是10m2，这个圆的面积是( )m2。 5．（2024·河北邯郸·小升初真题）用同样长的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，则围成的长方形面积最大。( )（判断对错） 6．（23-24六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）求阴影部分面积（单位：厘米）。 7．（24-25六年级上·重庆长寿·期末）区里科技节举行四驱车比赛。陈明制作的四驱车速度为2米/秒，沿圆形赛道跑一圈，需要多长时间？ 8．（24-25六年级上·湖北随州·期末）如图所示，根据要求填空或画图。 （1）购物中心在信号塔的（    ）偏（    ）（    ）°方向（    ）米处。 （2）信号塔的信号覆盖区域是距离信号塔300米的圆形区域，请在图中画出信号覆盖范围。 （3）碧桂园在购物中心的南偏西方向400米处，在图中标出碧桂园的位置。 （4）信号塔具有一定的辐射，因此安装时需要远离居民。如果信号塔与周边居民的安全距离为80米，那么购物中心和碧桂园都是（    ）的。（填“安全”或“不安全”） 9．（22-23六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）张明和李芳从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，李芳每分钟走72米，张明每分钟走85米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 创新拓展 拔尖冲刺 10．（23-24六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法不正确的是（    ）。 A．半径是直径的。 B．1的倒数是1，0没有倒数。 C．圆的半径之比等于面积之比。 D．圆有无数条对称轴 11．（2024·河南安阳·小升初真题）小明在研究圆的面积计算公式时将圆平均分成16份，拼成一个近似梯形（如图）。此时梯形的上底与下底的和相当于圆的（    ）。 A．半径 B．直径 C．周长的一半 12．如图，△ABC为等腰直角三角形，以AB为直径的半圆交斜边AC于点D，以点C为圆心，以BC为半径的扇形BCE交AC于点E，若AB＝10，则图中阴影部分的面积是（    ）。（π≈3.14） A．28.5 B．157 C．67.75 D．107 13．（2024·广东湛江·小升初真题）霞霞一家在“世纪家博会”上看中了一款圆形折叠桌。它的桌面是一个直径是2m的圆形，该圆形桌面的周长是( )米，桌面折叠后是一个正方形，这个正方形面积是( )平方米。 14．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）固定绳子的一端，沿另一端可以画圆，要画一个周长25.12米的圆，需要( )米的绳子。 15．（2024·湖南怀化·小升初真题）如图所示，圆中的三个正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是1厘米、2厘米、3厘米，圆的面积是( )平方厘米。 16．（24-25六年级上·重庆渝北·期末）在正方形中画一个最大的圆，正方形周长与圆的周长的比是。( )（判断对错） 17．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）求阴影部分面积。（π取3.14） 18．（24-25六年级上·湖南怀化·期末）为提升城市品质，打造宜居环境，某市政府用一块面积约为3公顷的地建造了一个公园，并在公园中心挖了一个直径为100米的圆形人工湖。 （1）为了保证安全，要在人工湖的外围安装防护栏，至少需要安装多长的防护栏？ （2）若沿湖边铺设一条宽为2米的圆环形鹅卵石小路，每平方米小路大约需要鹅卵石50千克，铺设这条小路大约需要多少千克鹅卵石？ 19．（23-24六年级上·全国·单元测试）如图：（1）是一个直径是12厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 20．（24-25六年级上·全国·单元测试）大正方形的面积为400cm2，被平均分成4个相同的小正方形，请依次求出每个小正方形内阴影部分的面积S1、S2、S3、S4（π取3.14）。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五单元 圆 （知识梳理+16个考点讲练+真题演练+难度分层练 共57题） 【解析版】 资料简介 内容梳理 2 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：圆的认识 2 知识点梳理02：用圆规画圆 3 知识点梳理03：圆的周长 3 知识点梳理04：圆的面积 4 知识点梳理05：扇形的认识 4 知识点梳理06：圆的知识的实际应用 5 知识点梳理07：易错点提示 5 重点那点 考点讲练 6 高频考点讲练1：圆的概念及特点 6 高频考点讲练2：画圆 8 高频考点讲练3：与圆相关的轴对称图形 9 高频考点讲练4：圆的周长 11 高频考点讲练5：半圆的周长 13 高频考点讲练6：圆的周长的应用 15 高频考点讲练7：含圆的组合图形的周长 16 高频考点讲练8：圆的面积 18 高频考点讲练9：圆的面积的应用 19 高频考点讲练10：圆环的面积 21 高频考点讲练11：求最大面积 23 高频考点讲练12：含圆的组合图形的面积 25 高频考点讲练12：方中圆和圆中方的面积问题 27 高频考点讲练13：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 28 高频考点讲练14：弧、圆心角、扇形的认识 29 高频考点讲练15：画扇形 30 高频考点讲练16：扇形的周长和面积 33 升学真题 实战演练 35 优选题型 培优强化 37 基础夯实 能力提升 37 创新拓展 拔尖冲刺 43 同学你好，该份讲义用于人教版六年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：圆的认识 1.圆的定义： 一条线段绕着它固定的一个端点在平面上旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点叫做圆心。 2.圆的各部分名称及特征： （1）圆心 (O)： 圆中心的一点，它决定圆的位置。 （2）半径 (r)： 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 ①一个圆有无数条半径。 ②在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等。 ③半径决定圆的大小。 （3）直径 (d)： 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 ①一个圆有无数条直径。 ②在同圆或等圆中，所有直径的长度都相等。 （4）半径与直径的关系： 在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，即 或 。 3.圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。 （2）每条对称轴都是直径所在的直线。 知识点梳理02：用圆规画圆 1.画圆步骤： （1）定圆心：把圆规的两脚分开，有针尖的一脚固定在一点上，这个点就是圆心。 （2）定半径：根据所画圆的大小，调整圆规两脚之间的距离，这个距离就是半径。 （3）旋转一周：把装有铅笔尖的一脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 2.注意事项： （1）画圆时，圆规两脚之间的距离不能改变。 （2）针尖要固定好，不能移动。 （3）旋转时要平稳，用力均匀。 知识点梳理03：圆的周长 1.圆的周长 (C) 的意义： 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率 (π)： （1）任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 π (pài) 表示。 （2）π是一个无限不循环小数，π ≈ 3.1415926535...，在小学阶段的计算中，通常取 π ≈ 3.14。 3.圆的周长计算公式： （1）已知直径 (d)，求周长： （2）已知半径 (r)，求周长： 4.半圆的周长： 半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径。 （1） 或 5.圆的周长公式的应用： （1）已知周长求直径： （2）已知周长求半径： 知识点梳理04：圆的面积 1.圆的面积 (S) 的意义： 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 2.圆的面积计算公式的推导： 通常采用“转化”的方法，将圆等分成若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆周长的一半 ()，宽近似于圆的半径 (r)。因为长方形的面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 。 3.圆的面积计算公式： 4.圆的面积公式的应用： （1）已知半径求面积： （2）已知直径求面积：先求半径 ，再用 （3）已知周长求面积：先求半径 ，再用 5.环形（圆环）的面积： 环形面积 = 外圆面积 - 内圆面积。 （1）设外圆半径为 R，内圆半径为 r，则 知识点梳理05：扇形的认识 1.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（如∠AOB）。扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 3.扇形的各部分名称：半径（两条）、弧（一条曲线）、圆心角。 4.特殊扇形： （1）圆心角是180°的扇形是一个半圆。 （2）圆心角是90°的扇形是一个四分之一圆。 知识点梳理06：圆的知识的实际应用 1.解决与圆的周长有关的实际问题：车轮滚动一周前进的路程（车轮周长）、围绕圆形花坛跑一圈的长度、钟面上时针/分针尖端走过的路程等。 2.解决与圆的面积有关的实际问题：圆形草坪的占地面积、圆形铁片的面积、给圆形桌面配玻璃等。 3.组合图形的周长与面积： （1）周长： 注意区分是哪些边的长度之和，特别是组合图形中“内边”是否计算。 （2）面积： 通常采用“割补法”或“加减法”，将组合图形转化为基本图形（如圆、长方形、正方形、三角形等）的面积之和或差。例如：求“外方内圆”、“外圆内方”中正方形与圆之间部分的面积。 知识点梳理07：易错点提示 1.概念混淆： 半径和直径的概念及关系（易忽略“同圆或等圆中”）；周长和面积的概念（一个是长度，一个是面积）。 2.圆周率 (π) 的取值： 计算时要明确题目要求，π取3.14还是保留π。 3.公式运用错误： 周长和面积公式混淆；已知直径或周长求面积时，忘记先求半径。 4.半圆周长与圆周长一半的区别： 半圆周长包括直径，圆周长的一半不包括直径。 5.单位问题： 长度单位（如厘米、米）和面积单位（如平方厘米、平方米）的区分和正确使用。 6.计算粗心： 涉及π的计算较繁琐，容易出错；平方的计算（如 是 r × r，不是 r × 2）。 7.环形面积计算： 容易写成 ，正确应为 。 8.审题不清： 如“占地面积”是求面积，“走了多少米”是求周长；“半圆”和“半圆形”在具体问题中的含义。 高频考点讲练1：圆的概念及特点 【典例精讲】（24-25六年级上·全国·单元测试）在越野定位赛中，选手们习惯用几点钟方向表示方位，例如3点钟方向10千米处，即O点正东方向10千米处（如下图）。 （1）A点在O点（    ）偏（    ）°方向，即（    ）点钟方向，距离（    ）千米处。 （2）B点在O点西偏南30°的方向，距离O点20千米处，请标出B点的位置。 （3）下午将有一场暴雨，以点O为中心，覆盖半径为20千米，请在图中画出暴雨覆盖的区域。 【答案】（1）东（或南）；南（或东）；30（或60）；4；40 （2）（3）见解答 【思路引导】（1）90°所对的弧被平均分成3份，1份的弧所对的角是30°，据此以点O为观察点，根据上北下南，左西右东确定方向和角度，根据钟面的刻度可知几点钟方向，根据圆的特征，同一圆上的半径都相等，观察可知半径有4个10千米可确定距离； （2）找一个地方在另一个地方什么位置，就以另一个地方为观测点，根据方向、角度、距离确定物体的位置； （3）圆的画法：确定圆心O，圆规针尖固定在这一点，拉开圆规的两脚，使两脚之间的距离为2段，然后旋转一周，即可画出半径为20千米的圆； （1）东；南 ；30；4；40 【规范解答】（1）10×4＝40（千米） 90°÷3＝30° A点在O点东（或南）偏南（或东）30°（或60°）方向，即4点钟方向，距离40千米处。 （2）20÷10＝2（段） 作图如下： （3）覆盖半径为20千米，就是圆的半径是2段，作图如下： 【变式训练】（24-25六年级上·广西玉林·期末）如图是某处海域的平面示意图，一艘轮船距离灯塔1千米。 （1）这艘轮船的位置可能在哪？请画出所有可能的位置。 （2）要想精准确定这艘轮船的位置，还需要补充什么条件？先填一填，再根据你补充的条件画出轮船准确的位置。我补充的条件：_______________________ 【答案】（1）见详解 （2）补充的条件：在灯塔北偏东45°方向上；图见详解 【思路引导】（1）根据题意可知，这艘轮船的位置是以灯塔为圆心，实际距离1千米为半径的圆上，据此求出图上距离，画图即可； （2）根据方向、角度和距离方可确定物体的位置，现在只知道距离，所以知道了方向和角度就知道轮船的具体位置，据此解答。（答案不唯一） 【规范解答】（1）1千米＝1000米 1000÷500＝2（厘米） 已灯塔为圆心，半径为2厘米画圆；如下图： （2）在灯塔北偏东45°方向上，如下图（答案不唯一）： 高频考点讲练2：画圆 【典例精讲】（（24-25六年级上·广西柳州·期末）2022年北京冬奥会后，市民参与冰雪运动的热情不断高涨。小明和同学们在冰场上练习滑冰。 （1）小明在冰场中心（    ）偏（    ）（    ）°距离（    ）米的位置。 （2）小红在冰场中心西偏北50°距离2.5米的位置，请标出小红的位置。 （3）小明站在原地，小芳绕小明做旋转运动，两人冰鞋之间的距离是2米，请画出小芳在冰面上划过的轨迹。 【答案】（1）东；南；40；1 （2）图见详解 （3）图见详解 【思路引导】以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米当于实际距离1米。 （1）以冰场中心为观测点， 量得小明与冰场中心的连线与正东方向的夹角是40°，量得小明与冰场中心相距1厘米，那么实际相距1米，根据方向、角度和距离确定小明与冰场中心的位置关系。 （2）在冰场中心西偏北50°方向上画2.5÷1＝2.5厘米长的线段，即是小红的位置。 （3）根据题意，小明站在原地，小芳绕小明做旋转运动，两人冰鞋之间的距离是2米，则图上距离是2÷1＝2厘米；那么小芳在冰面上划过的轨迹就是一个以小明为圆心，半径为2厘米的圆，据此画图即可。 【规范解答】（1）小明在冰场中心东偏南40°（或南偏东50°）距离1米的位置。 （2）小红在西偏北50°距离2.5米的位置，如下图。 （3）小芳在冰面上划过的轨迹，如下图。 【变式训练】（24-25六年级上·青海西宁·期末）在学习了圆的相关知识以后，张岩设计了一个画圆的工具，他将两支笔分别固定在直尺上，如下图，你觉得张岩利用这个画圆工具可以画出圆吗？说一说你的想法。 【答案】可以；理由见详解 【思路引导】根据用圆规画圆的方法：确定圆心的位置，半径确定圆的大小。据此分析解答即可。 【规范解答】答：这个画图工具可以画出圆。因为将两支铅笔如图分别固定在直尺上，以其中一支铅笔笔尖为圆心，以两支铅笔笔尖之间的距离为半径，让另一支笔的笔尖旋转一周，可以画出一个圆。 高频考点讲练3：与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（（24-25六年级上·青海西宁·期末）下面方格图中每个小方格都代表边长1厘米的正方形，按要求作图。 （1）画一个周长是20厘米，长和宽的比是3∶2的长方形，并在图中标出长和宽的数据。 （2）画一个正方形，让它和图中已有圆形组成一个轴对称图形。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）分析题目，先用周长除以2求出长方形的长宽之和，再根据比的意义把长宽之和看作单位“1”，则长占其中的，据此用乘法求出长，再用长宽之和减去长即可得到宽，据此画出长方形即可； （2）如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合，则这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴；圆有无数条对称轴，正方形只有4条对称轴，据此可以在圆的外部画一个以圆的直径为边长的正方形即可。 【规范解答】（1）20÷2＝10（厘米） 长：10×＝6（厘米） 宽：10－6＝4（厘米） （1）（2）作图如下： （正方形画法不唯一） 【变式训练】（24-25六年级上·北京海淀·期末）在下面图形中描出一个或几个圆，使描出的圆与正方形组成一个轴对称图形，且对称轴的数量满足相应的要求。（参照示例） 【答案】见详解 【思路引导】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，直线叫做对称轴；本题中因为正方形只有四条对称轴，所以考虑整体组合图形的对称轴时，只能从正方形的这四条对称轴中选择。 【规范解答】如图所示： （画法不唯一） 高频考点讲练4：圆的周长 【典例精讲】（（24-25六年级上·重庆巴南·期末）聪聪将一张圆形的防油垫纸剪成两个相等的半圆，周长增加了12cm，这个圆形防油垫纸的周长是( )，如果这个防油垫纸的直径增加1cm， 那么它的周长增加了( )。 【答案】 18.84 3.14 【思路引导】根据题意，作图如下： 从图中可知：一张圆形的防油垫纸剪成两个相等的半圆，周长增加了12cm，即增加了2条直径，用12÷2＝6cm求出圆的直径。如果这个防油垫纸的直径增加1cm，那么直径后的直径是6＋1＝7cm。根据圆周长：C＝πd，分别代入数据，求出增加前后的两个圆的周长，再相减，即可求出周长增加了多少cm。 【规范解答】12÷2＝6（cm） 6×3.14＝18.84 （6＋1）×3.14 ＝7×3.14 ＝21.98 21.98－18.84＝3.14（cm） 这个圆形防油垫纸的周长是21.98cm，如果这个防油垫纸的直径增加1cm， 那么它的周长增加了3.14cm。 【变式训练】（24-25六年级上·重庆南岸·期末）下图有( )条对称轴，如果长方形的周长是12厘米，那么长方形的面积是( )平方厘米，一个圆的周长是( )厘米。 【答案】 2 8 6.28 【思路引导】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答； 根据图形可知，长方形的长等于圆的直径×2，长方形的宽等于圆的直径；则长方形的长加宽的和相当于3个直径的长度，根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，据此求出长方形的长和宽；再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出长方形面积；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，据此求出一个圆的周长。 【规范解答】 如图：，有2条对称轴。 12÷2÷3 ＝6÷3 ＝2（厘米） （2×2）×2 ＝4×2 ＝8（平方厘米） 3.14×2＝6.28（厘米） 有2条对称轴，如果长方形的周长是12厘米，那么长方形的面积是8平方厘米，一个圆的周长是6.28厘米。 高频考点讲练5：半圆的周长 【典例精讲】（（24-25六年级上·重庆巴南·期末）要在一个长方形的纸片上剪出一个周长是的半圆，则这张长方形纸片的面积至少是（    ）。 A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【思路引导】根据半圆的周长公式：周长＝半径×π＋半径×2；半径＝周长÷（π＋2），代入数据，求出据半径，因为长方形的纸片上剪半圆，所以长方形的长等于圆的直径；长方形的宽至少等于圆的半径，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出长方形纸片的面积，据此解答。 【规范解答】15.42÷（3.14＋2） ＝15.42÷5.14 ＝3（cm） （3×2）×3 ＝6×3 ＝18（cm2） 要在一个长方形的纸片上剪出一个周长是15.42cm的半圆，则这张长方形纸片的面积至少是18cm2。 故答案为：B 【变式训练】（24-25六年级上·浙江宁波·期末）图1是一个半径为50米的半圆形花坛，李爷爷习惯饭后绕着它的周边匀速散步。李爷爷从O点出发，按箭头所指的方向步行，最后回到出发点。他步行过程中距离与时间的关系如图2所示。 （1）李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要多少米？ （2）观察图2，请你计算李爷爷散步的速度？ （3）如果李爷爷只在散步途中休息了一次，请看图分析，在图1上用“☆”标出休息的位置。 【答案】（1）257米 （2）50米/分 （3）图见详解 【思路引导】（1）根据题意和图意可知，求李爷爷绕半圆形花坛散步一圈的长度，就是求半圆的周长；根据半圆的周长＝直径＋圆周长的一半，其中圆的直径＝半径×2，圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 （2）观察李爷爷步行过程中距离与时间的关系图可知，他步行50米，用时1分钟，根据“速度＝路程÷时间”求出他散步的速度。 （3）从关系图中可知，李爷爷在从B点返回O点的中途休息了一次，据此在图1上用“☆”标出休息的位置。 【规范解答】（1）50×2＋2×3.14×50× ＝100＋157 ＝257（米） 答：李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要257米。 （2）50÷1＝50（米/分） 答：李爷爷散步的速度是50米/分。 （3）如图： 高频考点讲练6：圆的周长的应用 【典例精讲】（（24-25六年级上·重庆永川·期末）小华骑自行车到学校用10分钟。从小华家到学校大约多少米？ ①小华自行车的车轮外直径大约60厘米。②小华步行大约每分钟50米。 ③车轮平均每分钟转100圈。④小华跑步大约需要8分钟到学校。 （1）要解决这个问题，需要选择方框内（    ）信息（请将序号填在括号里）。 （2）根据你所选的信息，解答这个问题。 【答案】（1）①③ （2）1884米 【思路引导】（1）小华骑自行车到学校，已知用的时间，还需要知道自行车车轮的直径，车轮平均每分钟转的圈数，据此选择。 （2）已知自行车的车轮外直径大约60厘米，根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮的周长，也就是车轮转一圈走过的距离； 已知车轮平均每分钟转100圈，用车轮的周长乘100，求出车轮每分钟走过的距离，也就是自行车的速度； 已知小华骑自行车到学校用10分钟，根据“速度×时间＝路程”，求出从小华家到学校的距离，最后根据进率“1米＝100厘米”换算单位即可。 【规范解答】（1）要解决这个问题，需要选择方框内（①③）信息。 （2）3.14×60×100×10 ＝188.4×100×10 ＝18840×10 ＝188400（厘米） 188400厘米＝1884米 答：从小华家到学校大约1884米。 【变式训练】（24-25六年级上·全国·单元测试）如图，有一只狗被拴在一个建筑物的墙角点处，这个建筑物的底面是一个边长为8米的正方形，拴狗的绳长18米。现在狗从点B出发，将绳拉紧并沿顺时针方向跑。狗最多可以跑多少米？ 【答案】47.1米 【思路引导】 如图，狗将绳拉紧并沿顺时针方向跑的路程＝半径18米的圆周长的＋半径（18－8）米的圆周长的＋半径（18－8－8）米的圆的周长的，圆的周长＝2×圆周率×半径，求一个数的几分之几是多少用乘法，据此列式解答。 【规范解答】2×3.14×18×＋2×3.14×（18－8）×＋2×3.14×（18－8－8）× ＝113.04×＋6.28×10×＋6.28×2× ＝28.26＋62.8×＋12.56× ＝28.26＋15.7＋3.14 ＝47.1（米） 答：狗最多可以跑47.1米。 【考点剖析】关键是想清楚，建筑物会挡住绳子的长度，跑动的半径逐渐变小，利用圆的面积公式进行计算。 高频考点讲练7：含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（（24-25六年级上·广西南宁·期末）如图，若小圆的半径是3分米，那么大圆的周长是（    ）分米。 A． B． C．6 D．3 【答案】A 【思路引导】观察可知，小圆的直径等于大圆的半径，根据直径＝半径×2，再根据圆的周长公式，代入数据计算即可。 【规范解答】 如图，若小圆的半径是3分米，那么大圆的周长是分米。 故答案为：A 【变式训练】（24-25六年级上·河南郑州·期末）在观看过升旗仪式后，桃子自己制作了一个简易的升旗装置（如图），桃子现需要给装置缠上一圈线，至少需要多少厘米的线？（接口处忽略不计） 【答案】44.56厘米 【思路引导】看图可知，这个装置可以看成上下2个半圆和中间1个长方形组成，上下2个半圆可以拼成一个圆，线的长度＝圆的周长＋长方形的长×2，圆的周长＝2×圆周率×半径，长方形的长＝20厘米－圆的半径×2，据此列式解答。 【规范解答】2×3.14×2＋（20－2×2）×2 ＝12.56＋（20－4）×2 ＝12.56＋16×2 ＝12.56＋32 ＝44.56（厘米） 答：至少需要44.56厘米的线。 高频考点讲练8：圆的面积 【典例精讲】（（2024·重庆永川·小升初真题）一个圆柱扫地机器人在一块长方形场地内可以任意行走，碰到障碍物会自动转弯。如图，这个扫地机器人的底面是一个直径为20厘米的圆盘。机器人在扫地时覆盖不到的面积约为（    ）平方厘米。（π取值3） A．400 B．300 C．100 D．0 【答案】C 【思路引导】根据题意作图如下： 从图中可知：空白部分就是扫地机器人在长方形的四个角都覆盖不到，这四个空白部分（覆盖不到）面积之和＝正方形的面积－圆的面积。正方形的边长＝圆的直径＝20厘米，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积：S＝πr2，代入数据计算分别求出面积，再相减即可。 【规范解答】20×20－（20÷2）2×3 ＝20×20－102×3 ＝20×20－100×3 ＝400－300 ＝100（平方厘米） 机器人在扫地时覆盖不到的面积约为100平方厘米。 故答案为：C 【变式训练】（20-21六年级下·河南信阳·期末）求阴影部分的面积。 【答案】41.12cm2 【思路引导】观察图形可知，空白部分是4个半径为（8÷2）cm的圆，可以组成一个圆；4个半径为（8÷2）cm的圆，合起来是3个圆；所以阴影部分的面积＝正方形的面积－4个圆的面积＋4个圆的面积＝正方形的面积＋2个圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【规范解答】圆的直径、正方形边长：8÷2＝4（cm） 圆的半径：4÷2＝2（cm） 4×4＋3.14×22×2 ＝16＋3.14×4×2 ＝16＋25.12 ＝41.12（cm2） 阴影部分的面积是41.12cm2。 【考点剖析】利用面积转化的方法，将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的组合面积是解决本题的关键。 高频考点讲练9：圆的面积的应用 【典例精讲】（（24-25六年级上·四川凉山·期末）如下图，在两个边长相等的正方形内剪圆片，剩下的边角料（    ）多。 A．甲 B．乙 C．一样 D．无法判断 【答案】C 【思路引导】假设乙图中小圆的半径为r,小圆的直径是2r，正方形边长等于2个小圆直径，即边长为4r,所以甲图中大圆的半径为2r。圆的面积=，据此分别计算出甲乙两图中减去的圆的面积，再比较谁剪下的圆片更多，剪下得更多的图形剩下的边角料更少，据此解答即可。 【规范解答】 所以甲乙两个正方形剪去的面积一样多，所以剩下的边角料一样多。 故答案为：C 【变式训练】（24-25六年级上·重庆江北·期末）一个正方形羊圈，边长6米（如图）。A点是一条边的中点，B点是一个顶点。 （1）把一只羊放到羊圈外的草地上吃草。主人用一根2米长的绳子，一端系在A点处，一端系住羊。请在图上画出这只羊可吃到草的区域（示意图），并计算出面积。 （2）如果主人用一根4米长的绳子将羊系在B点处，那么这只羊可吃到草的面积是多少平方米？ 【答案】（1）图见详解；6.28平方米 （2）37.68平方米 【思路引导】（1）A点系绳，羊吃到草的面积是以A点为圆心，绳子的长度为半径的半圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 （2）B点系绳，羊吃到草的面积就是以B点为圆心，绳子的长度为半径的圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【规范解答】（1）如图： 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方米） 答：这只羊可吃到草的面积是6.28平方米。 （2）如图： ＝ ＝37.68（平方米） 答：这只羊可吃到草的面积是37.68平方米。 高频考点讲练10：圆环的面积 【典例精讲】（（24-25六年级上·重庆·期末）欣欣小学有一个圆形花坛，半径是2米。 （1）在花坛里按照3∶1的面积比分别种上了月季和菊花。种月季和菊花的面积分别是多少平方米？ （2）在圆形花坛周围修一条宽1米的小路，小路的面积是多少平方米？ 【答案】（1）月季9.42平方米；菊花3.14平方米 （2）15.7平方米 【思路引导】（1）已知圆形花坛的半径是2米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出花坛的面积； 在花坛里按照3∶1的面积比分别种上了月季和菊花，即月季、菊花的面积分别占花坛面积的、，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出种月季和菊花的面积。 （2）在圆形花坛周围修一条宽1米的小路，用圆形花坛的半径加上1米，即是外圆的半径；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出小路的面积。 【规范解答】（1）3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 12.56× ＝12.56× ＝9.42（平方米） 12.56× ＝12.56× ＝3.14（平方米） 答：种月季的面积是9.42平方米，菊花的面积是3.14平方米。 （2）2＋1＝3（米） 3.14×（32－22） ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（平方米） 答：小路的面积是15.7平方米。 【变式训练】（22-23六年级上·河北保定·期末）2022年10月25日，国家林业和草原局等部门联合下发了《“十四五”乡村绿化美化行动方案》。方案持续推进乡村绿化美化，改善提升农村人居环境，建设生态宜居美丽乡村。 （1）幸福新村修建了一个周长是37.68米的圆形花坛，在花坛周围铺了一条2米宽的石子路，石子路的面积是多少平方米？ （2）幸福新村把一些树苗分给三个绿化队来栽种，第一队栽种的棵数是总数的，第二队栽种的棵数是总数的，第三队栽种了500棵。这批树苗一共有多少棵？ 【答案】（1）87.92平方米 （2）1200棵 【思路引导】（1）已知圆形的花坛的周长是37.68米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆形花坛的半径； 已知在花坛周围铺了一条2米宽的石子路，求石子路的面积，就是求圆环的面积，用圆形花坛的半径r加上2米，即是外圆的半径R；然后根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算即可求解。 （2）把这批树苗的总数看作单位“1”，已知第一队、第二队栽种的棵数分别占总数的、，那么第三队栽种的500棵树占总数的（1－－），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出这批树苗的总数。 【规范解答】（1）37.68÷3.14÷2 ＝12÷2 ＝6（米） 6＋2＝8（米） 3.14×（82－62） ＝3.14×（64－36） ＝3.14×28 ＝87.92（平方米） 答：石子路的面积是87.92平方米。 （2）500÷（1－－） ＝500÷（1－－） ＝500÷ ＝500× ＝1200（棵） 答：这批树苗一共有1200棵。 【考点剖析】（1）本题考查圆的周长、圆环的面积公式的灵活运用，求出圆环的内圆半径、外圆半径是解题的关键。 （2）本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。 高频考点讲练11：求最大面积 【典例精讲】（（21-22六年级上·湖南张家界·期末）同学们用同样长的三根绳子分别围成长方形、正方形、圆形，其中面积最大的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】由题意可知，长方形、正方形和圆的周长都是绳子的长度，所以三个图形周长相等。假设绳子的长度是18.84厘米，根据圆的周长公式和正方形的周长公式，分别求出圆的半径和正方形的边长，然后根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出圆的面积和正方形的面积，再比较。周长相等的正方形的面积大于长方形的面积。因为要使积大，两个乘数的差就小。据此解答。 【规范解答】假设绳子的长度是18.84厘米， 18.84÷3.14＝6（厘米） 圆的面积：3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 18.84÷4＝4.71（厘米） 正方形的面积：4.71×4.71＝22.1841（平方厘米） 28.26＞22.1841 周长相等的正方形的面积大于长方形的面积。 同学们用同样长的三根绳子分别围成长方形、正方形、圆形，这三个图形面积最大的是圆。 故答案为：C 【考点剖析】明确两个数相差越小积就越大的规律及平面图形的面积公式是解决本题的关键。 【变式训练】（22-23六年级上·福建厦门·期末）如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 【答案】图见详解 【思路引导】通过观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米的圆面积的加上半径为2米的圆面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【规范解答】3.14×42×＋3.14×22× ＝3.14×16×＋3.14×4× ＝50.24×＋12.56× ＝12.56＋3.14 ＝15.7（平方米） 这只小羊吃草的面积是15.7平方米。 作图如下： 【考点剖析】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 高频考点讲练12：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（（24-25六年级上·江西吉安·期末）一面镜子的形状如图所示，它的边是由4个直径相等的半圆组成的。 （1）给镜子的周围镶上铝边，需要铝边多少分米？ （2）镜子的面积是多少平方分米？ 【答案】（1）25.12分米 （2）41.12平方分米 【思路引导】（1）由图可知：图形的周长等于直径是4分米的两个圆组成的，根据圆的周长＝圆周率×直径，代入数据计算出1个圆的周长，再乘2即可解答； （2）镜子的面积等于两个直径是4分米的圆和一个边长是4分米的正方形组成的，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，正方形的面积＝边长×边长解答即可。 【规范解答】（1）3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（分米） 答：需要25.12分米。 （2）3.14××2＋4×4 ＝3.14××2＋16 ＝3.14×4×2＋16 ＝12.56×2＋16 ＝25.12＋16 ＝41.12（平方分米） 答：镜子的面积是41.12平方分米。 【变式训练】（2009六年级下·全国·竞赛）如图，五环旗中每一环的外圆半径为10厘米，其中两两相交的小四曲边形（图中阴影部分）的面积相等，每个小四曲边形的面积是40平方厘米，五环盖住的总面积是684.8平方厘米，问每一环的内圆半径为多少厘米？（π＝3.14） 【答案】6厘米 【思路引导】根据题意可知，五个环各自的面积和＝五环盖住的总面积＋所有四曲边形的面积和，用684.8＋40×8即可出五个环各自的面积和，再除以5即可求出每一环的面积，根据圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，圆面积公式：S＝πr2，用3.14×102－每一环的面积即可求出内圆的面积，然后用内圆的面积除以3.14，即可求出内圆半径的平方，进而得到内圆的半径。 【规范解答】684.8＋40×8 ＝684.8＋320 ＝1004.8（平方厘米） 1004.8÷5＝200.96（平方厘米） 3.14×102－200.96 ＝3.14×100－200.96 ＝314－200.96 ＝113.04（平方厘米） 113.04÷3.14＝36（平方厘米） 36＝6×6 答：每一环的内圆半径为6厘米。 【考点剖析】求出五个圆的面积和是解答本题的关键。 高频考点讲练12：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（（24-25六年级上·新疆克孜勒苏·期末）求图中阴影部分的面积。 【答案】 【思路引导】阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，据此代入数据解答即可。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ 图中阴影部分的面积3.44cm2。 【变式训练】（24-25六年级上·广西柳州·期末）人民公园里安装了一个圆形的喷水池。喷水池内的正方形区域是喷水区（如图），喷水区的面积是( )m2。 【答案】50 【思路引导】从图中可知，正方形的一条对角线把正方形平均分成两个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形喷水区的面积。 【规范解答】圆的半径：10÷2＝5（m） 10×5÷2×2＝50（m2） 喷水区的面积是50m2。 高频考点讲练13：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（（24-25六年级上·安徽黄山·期末）科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 【答案】39.25平方米；15.7秒 【思路引导】观察图形可知：比赛场地是一个不规则图形，右下角的小半圆可以填补到左边的空白半圆处，这样比赛场地就变为一个以10米为直径的半圆，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，再除以2即可求出需要草皮的面积。 观察图形可知：比赛场地周长的上半部分是以10米为直径的圆的周长的一半，下半部分的两条半圆弧可以组成以（10÷2）米为直径的圆。根据圆的周长＝πd，分别求出两部分的长度，再把它们相加可以求出比赛场地的周长。最后根据路程÷速度＝时间，用场地的周长除以2，即可求出沿赛道跑一周需要多长时间。 【规范解答】（10÷2）2×3.14÷2 ＝52×3.14÷2 ＝25×3.14÷2 ＝39.25（平方米） 10×3.14÷2＋10÷2×3.14 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（米） 31.4÷2＝15.7（秒） 答：需要准备39.25平方米草皮；沿赛道跑一周需要15.7秒。 【变式训练】（24-25六年级上·浙江杭州·期末）画一画，算一算。 （1）在上右边的正方形中画一个图形并涂上阴影，使阴影部分的面积和上左图正方形中涂色部分的面积相等。 （2）算一算，上左图阴影部分的面积是（    ）。 【答案】（1）见详解 （2）4.5 【思路引导】（1）如下图所示，通过旋转，阴影部分①可以填补到空白部分A的位置，阴影部分②填补到B的位置，这样阴影部分就转化为一个三角形，它的面积是正方形面积的一半，据此在右边的正方形中画一条对角线，把正方形分成两个面积相等的三角形，其中的一半涂上颜色即可。 （2）由（1）的分析可知：阴影部分可以转化为一个底和高都是3cm的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 【规范解答】（1）阴影部分如图所示： （2）3×3÷2＝4.5（cm2），则阴影部分的面积是4.5。 高频考点讲练14：弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】（（24-25六年级上·重庆渝中·期末）弧度制规定：长度等于半径的圆弧，所对的圆心角为1弧度（图示），那么1弧度约等于（    ）度。 A．1 B．57.3 C．60 D．62.3 【答案】B 【思路引导】圆的周长＝2×圆周率×半径，将圆的周长看作单位“1”，1弧度是圆周长的，圆心角×1弧度对应分率＝1弧度的度数，π取3.14，计算即可。 【规范解答】r÷2πr＝＝ 360×＝360×＝360×≈57.3（度） 1弧度约等于57.3度。 故答案为：B 【变式训练】（24-25六年级上·湖北荆州·期末）把圆分割成许多扇形，然后拼成一个近似的长方形，长方形的周长比圆的周长多厘米，这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【答案】 50.24 25.12 【思路引导】把一个圆剪拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长比圆的周长多两个半径的长，多出来8厘米，因此圆的半径就是厘米，根据和求圆的面积和周长，据此解答。 【规范解答】半径：（厘米） 面积：（平方厘米） 周长： （厘米） 这个圆的面积是50.24平方厘米，周长是25.12厘米。 高频考点讲练15：画扇形 【典例精讲】（（24-25六年级上·江西吉安·期末）根据要求画一画。 （1）以点（5，4）为圆心O，在图中画一个半径为4cm的圆。 （2）在这个圆中画一个扇形并涂色，使扇形的面积正好是圆面积的。 【答案】（画法不唯一） 【思路引导】（1）数对（5，4）表示第5列第4行，据此找出点O的位置，再根据圆的半径即可画出圆。 （2）要使扇形面积（涂上阴影）正好是圆面积的，则扇形的圆心角是360°÷4＝90°，据此画出扇形（画法不唯一）。 【规范解答】（1）如图所示： （2）如图所示： （画法不唯一） 【变式训练】（24-25六年级上·广西南宁·期末）下图中每个小方格都代表边长为1厘米的正方形，请在图中按要求画一画。 （1）画一个长方形，周长为18厘米，长和宽的比是。   （2）在画出的长方形中画阴影表示的含义。 （3）画一个半径为2厘米的圆并在圆中画一个圆心角是的扇形，把扇形涂上颜色。 【答案】见详解 【思路引导】（1）长方形周长÷2＝长宽和，将比的前后项看成份数，长宽和÷总份数＝一份数，一份数分别乘长和宽的对应份数，即可求出长和宽，作图即可； （2）将整个长方形看作单位“1”，根据分数的意义，分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，选取整个长方形的；再将选取的看作单位“1”，选取，即的，表示，据此作图； （3）画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。据此画出半径2厘米的圆，再以一条半径为角的一条边，画一个的圆心角，两条半径和弧围起来的部分就是要画的扇形。 【规范解答】（1）18÷2÷（5＋4） ＝9÷9 ＝1（厘米） 1×5＝5（厘米） 1×4＝4（厘米） 作图如下： （2）作图如下： （3） 高频考点讲练16：扇形的周长和面积 【典例精讲】（（24-25六年级上·安徽宣城·期末）（1）（如图）一座房屋的长是8米、宽是6米，在这座房子的墙角外A点处拴着一条狗，绳长4米，请在图中画出狗可以活动的范围。 （2）计算出狗可以活动范围的面积。 （3）房屋里有一只猫在B点处休息，它在A点东偏北30°方向5米的地方，请在图中标出B点的位置。 【答案】（1）见详解 （2）37.68平方米 （3）见详解 【思路引导】（1）狗的活动范围是以A点为圆心，绳长4米为半径的圆的一部分，因为在墙角，所以是个圆，我们通过画圆的一部分来确定其活动范围； （2）根据扇形面积公式S＝× （n是圆心角度数，r是半径）来计算狗活动范围的面积，这里n＝270°，r＝4米； （3）根据上北下南，左西右东，以A点为观测点，结合角度和距离来确定B点位置。 【规范解答】（1）如图： （2）2＋2＝4（米） ×3.14× ＝×3.14×16 ＝3.14×12 ＝37.68（平方米） 答：狗可以活动的范围是37.68平方米。 （3）如图： 【变式训练】（23-24六年级上·全国·单元测试）下图（1）是一个半径为3厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转30°，此时B点移动到C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】9.42平方厘米 【思路引导】从“让A点不动，把整个半圆逆时针转30°”可知，以A为圆心，以线段AB为半径逆时针转30°，可得扇形ABC。阴影部分的面积＝以AC为直径的半圆的面积＋扇形ABC的面积－以AB为直径的半圆的面积，即阴影部分面积＝扇形ABC的面积。 【规范解答】×3.14×（3×2）2 ＝×3.14×36 ＝9.42（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是9.42平方厘米。 【考点剖析】明确阴影部分面积就是扇形ABC的面积是解此题的关键。 【演练1】（2023·贵州黔西·小升初真题）如图，已知圆的周长是31.4米，求阴影部分的面积。（单位：米） 【答案】32.5平方米 【思路引导】根据圆的周长＝2×半径，用圆的周长除以3.14，再除以2求出半径，阴影部分是一个梯形，梯形的上底和高都等于圆的半径，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。 【规范解答】31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） （5＋8）×5÷2 ＝13×5÷2 ＝65÷2 ＝32.5（平方米） 【演练2】（2023·贵州黔西·小升初真题）如图，长方形的周长是40cm，图中每个圆的直径是( )cm。 【答案】5 【思路引导】看图可知，长方形的长＝圆的直径×3，长方形的宽＝圆的直径，长方形的周长＝（长＋宽）×2，因此长方形的周长包含（3＋1）×2条直径，长方形的周长÷直径的数量＝圆的直径。 【规范解答】40÷[（3＋1）×2] ＝40÷[4×2] ＝40÷8 ＝5（cm） 每个圆的直径是5cm。 【演练3】（2024·河南郑州·小升初真题）如图，以点A为圆心的圆内画出三角形ABC。如果∠B是60°，这个三角形一定是等边三角形。做出这样判断的依据是（    ）。 A．圆的周长是直径的π倍 B．圆有无数条对称轴 C．同一个圆半径都相等 D．同一个圆直径是半径的2倍 【答案】C 【思路引导】根据圆的特征可知，半径是圆心到圆上的距离，同一个圆里，有无数条半径，所有半径长度都相等，所以三角形ABC中，AB＝AC，是等腰三角形，由于其中一个角是60°，那么另外两个角也是60°，据此即可选择。 【规范解答】由于AB和AC都是圆的半径，所以AB＝AC，三角形ABC是等腰三角形； ∠B＝∠C＝60° ∠A＝180°−60°−60°＝60° 所以三角形ABC是等边三角形。 故答案为：C 【演练4】（2024·辽宁盘锦·小升初真题）你还记得吗？在我们以前的学习中，曾经用下面的方法把平行四边形转化成长方形，从而得到平行四边形面积的计算方法。 请你借鉴上面的方法计算出下图涂色部分的面积是( )cm2。 【答案】25.12 【思路引导】根据题意可知：将右下半圆剪下，填补到左边空白半圆，组成一个半径是4cm的大半圆。根据圆的面积：S＝πr2，求出半径是4cm圆的面积，再除以2即可。 【规范解答】如图： 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（cm2） 涂色部分的面积是25.12 cm2。 【演练5】（2024·湖北武汉·小升初真题）计算图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】7.5平方厘米 【思路引导】如下图所示，将阴影部分的图形通过旋转和平移，转化为一个上底是1厘米，下底是4厘米，高是3厘米的梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算。 【规范解答】4－3＝1（厘米） （1＋4）×3÷2 ＝5×3÷2 ＝15÷2 ＝7.5（平方厘米） 则阴影部分的面积7.5平方厘米。 基础夯实 能力提升 1．（2024·河北石家庄·小升初真题）我国伟大的数学家（    ）计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点7位的人。 A．刘徽 B．祖冲之 C．杨辉 D．朱世杰 【答案】B 【思路引导】中国数学家祖冲之是世界上第一次把圆周率精确到小数点后第七位数字的人，比外国早了近一千年，他推算出圆周率的数值在3.1415926到3.1415927之间，也就是精确到小数点后第七位。 【规范解答】由分析可知： 我国伟大的数学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点7位的人。 故答案为：B 2．（24-25六年级上·山东济南·期末）一个钟面上的时针长10cm，从6：00到12：00时针针尖走了（    ）cm。 A．15.7 B．31.4 C．78.5 D．314 【答案】B 【思路引导】从6：00到12：00，正好走了半个圆，所以时针针尖走过的距离就是求半径为10厘米圆的周长的一半，根据圆的周长公式，代入数据解答即可。 【规范解答】2×3.14×10÷2 ＝6.28×10÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（cm） 所以，从6：00到12：00时针针尖走了31.4 cm。 故答案为：B 3．（2024·河北承德·小升初真题）将一个圆形纸片至少对折( )次，才能找到它的圆心。 【答案】2 【思路引导】用折叠法将圆形纸片对折两次，两次折痕的交点就是圆心的位置，据此解答。 【规范解答】如图： 将一个圆形纸片至少对折2次，才能找到它的圆心。 4．（19-20六年级上·云南昆明·期中）如下图，已知正方形的面积是10m2，这个圆的面积是( )m2。 【答案】31.4 【思路引导】根据已知条件正方形的面积是10m2，我们可以假设正方形的边长是a，根据正方形的面积＝边长×边长，可知a×a＝10，即a2＝10。观察题中的图片可知，正方形的边长就是圆形的半径，圆的面积＝πr2，在本题中圆的半径的平方就等于正方形边长的平方，将正方形边长的平方的值代入即可求出圆的面积。 【规范解答】假设正方形的边长为a米，则圆的半径也为a米。 正方形的面积＝a2＝10m2 圆的面积＝πr2＝πa2＝3.14×10＝31.4（m2） 【考点剖析】这道题考查了将正方形面积和圆的面积结合起来看，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，在本题中要通过观察了解正方形的边长也就是圆的半径这一点，这是解题的关键。 5．（2024·河北邯郸·小升初真题）用同样长的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，则围成的长方形面积最大。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】三个图形的周长相同，故可以设出其周长，再根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝π×r2从而可求出三个图形的面积，比较即可。 【规范解答】解：设它们的周长为16厘米 ①长方形：假设长为5厘米，宽就为（16－2×5）÷2＝（16－10）÷2＝6÷2＝3（厘米），则S＝5×3＝15（平方厘米）； ②正方形：边长为16÷4＝4（厘米），则S＝4×4＝16（平方厘米）； ③圆：C＝2πr＝16，r＝，则S＝π•r2＝π（）2＝π×≈20（平方厘米）； 20＞16＞15 所以圆＞正方形＞长方形。因此圆的面积最大。 故答案为：× 6．（23-24六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）求阴影部分面积（单位：厘米）。 【答案】62.8平方厘米；30平方厘米 【思路引导】左图：阴影部分是圆环，已知外圆半径是6厘米，内圆半径是4厘米，然后根据圆环面积公式“S＝π（R2－r2）”计算出阴影部分圆环的面积； 右图：已知长方形长12厘米、宽8厘米，根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形面积；已知左上角空白三角形底12厘米，高8厘米，右下角空白三角形底是12－6＝6（厘米），高是8－2＝6（厘米），根据“三角形面积＝底×高÷2”分别计算出两个空白三角形的面积；最后用长方形面积减去两个空白三角形面积即可。 【规范解答】左图： 3.14×（62－42） ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（平方厘米） 所以阴影部分的面积是62.8平方厘米； 右图：12×8＝96（平方厘米） 12×8÷2 ＝96÷2 ＝48（平方厘米） （12－6）×（8－2）÷2 ＝6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 96－48－18 ＝48－18 ＝30（平方厘米） 所以阴影部分的面积是30平方厘米。 7．（24-25六年级上·重庆长寿·期末）区里科技节举行四驱车比赛。陈明制作的四驱车速度为2米/秒，沿圆形赛道跑一圈，需要多长时间？ 【答案】9.42秒 【思路引导】根据圆的周长＝求出这个圆形赛道的周长，即路程，再根据时间＝路程÷速度，用赛道的周长除以四驱车速度即可求出四驱车沿圆形赛道跑一圈所需时间，据此解答即可。 【规范解答】（米） （秒） 答：需要9.42秒。 8．（24-25六年级上·湖北随州·期末）如图所示，根据要求填空或画图。 （1）购物中心在信号塔的（    ）偏（    ）（    ）°方向（    ）米处。 （2）信号塔的信号覆盖区域是距离信号塔300米的圆形区域，请在图中画出信号覆盖范围。 （3）碧桂园在购物中心的南偏西方向400米处，在图中标出碧桂园的位置。 （4）信号塔具有一定的辐射，因此安装时需要远离居民。如果信号塔与周边居民的安全距离为80米，那么购物中心和碧桂园都是（    ）的。（填“安全”或“不安全”） 【答案】（1）西（北）；北（西）；30（60）；600 （2）（3）见详解 （4）安全 【思路引导】（1）由图可知，购物中心在信号塔的西偏北30°方向上，距离是3×200＝600（米）； （2）由题意可知，以信号塔为圆心，300÷200＝1.5厘米为半径画圆，圆内即是信号覆盖的范围； （3）以购物中心为观测点，结合“上北下南左西右东”和角度，距离为400÷200＝2（厘米），画出碧桂园的位置； （4）根据图示可知购物中心和碧桂园均不在信号塔的信号覆盖范围内，是安全的。 【规范解答】（1）购物中心在信号塔的西偏北30°（或北偏西60°）方向600米处。 （2）（3）见下图 （4）信号塔具有一定的辐射，因此安装时需要远离居民。如果信号塔与周边居民的安全距离为80米，那么购物中心和碧桂园都是安全的。 9．（22-23六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）张明和李芳从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，李芳每分钟走72米，张明每分钟走85米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）200米 （2）31400平方米 【思路引导】（1）根据速度和×相遇时间＝总路程，求出圆形场地的周长，再根据圆的直径＝周长÷圆周率，列式解答即可； （2）根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。 【规范解答】（1）（72＋85）×4 ＝157×4 ＝628（米） 628÷3.14＝200（米） 答：这个圆形场地的直径是200米。 （2）3.14×（200÷2）2 ＝3.14×1002 ＝3.14×10000 ＝31400（平方米） 答：它的占地面积是31400平方米。 创新拓展 拔尖冲刺 10．（23-24六年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法不正确的是（    ）。 A．半径是直径的。 B．1的倒数是1，0没有倒数。 C．圆的半径之比等于面积之比。 D．圆有无数条对称轴 【答案】C 【思路引导】在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的；乘积是1的两个数互为倒数，所以1的倒数是1，0没有倒数；已知圆的面积公式为：S＝πr2，根据比的基本性质，两个圆的面积之比等于两个圆的半径平方比；一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。折痕所在的直线就是对称轴。据此可知圆有无数条对称轴。 【规范解答】A．同圆或等圆中半径是直径的；原说法正确； B．1的倒数是1，0没有倒数；原说法正确； C．两个圆的面积之比等于两个圆的半径平方比；原说法错误； D．圆有无数条对称轴；原说法正确。 故答案为：C 11．（2024·河南安阳·小升初真题）小明在研究圆的面积计算公式时将圆平均分成16份，拼成一个近似梯形（如图）。此时梯形的上底与下底的和相当于圆的（    ）。 A．半径 B．直径 C．周长的一半 【答案】C 【思路引导】根据圆的面积公式的推导过程可知，把一个圆平均分成16份，周长也平均分成16份。沿半径剪开，然后拼成一个近似的等腰梯形，这个梯形的上底是3份，下底是5份，上下底之和等于圆的周长的一半，梯形的高等于半径的2倍，据此解答。 【规范解答】3＋5＝8 8÷16＝ 则梯形的上底与下底的和相当于圆的一半。 故答案为：C 12．（2015六年级·全国·竞赛）如图，△ABC为等腰直角三角形，以AB为直径的半圆交斜边AC于点D，以点C为圆心，以BC为半径的扇形BCE交AC于点E，若AB＝10，则图中阴影部分的面积是（    ）。（π≈3.14） A．28.5 B．157 C．67.75 D．107 【答案】A 【思路引导】通过观察可知，阴影部分的面积相当于半圆ABD的面积＋扇形BCE的面积－△ABC的面积，已知AB＝10，则半圆ABD的半径是（10÷2），根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（10÷2）2÷2即可求出半圆ABD的面积；已知△ABC为等腰直角三角形，则扇形BCE的圆心角是45°，根据扇形的面积公式：S＝πr2，用×3.14×102即可求出扇形BCE的面积；然后根据三角形的面积＝底×高÷2，用10×10÷2即可求出△ABC的面积，进而求出阴影部分的面积。 【规范解答】3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝39.25 ×3.14×102 ＝×3.14×100 ＝39.25 10×10÷2＝50 39.25＋39.25－50＝28.5 图中阴影部分的面积是28.5。 故答案为：A 【考点剖析】解答求阴影部分的面积，关键是观察分析图形是由哪几部分组成的，是求各部分的面积和、还是求各部分的面积差，再根据相应的面积公式解答。 13．（2024·广东湛江·小升初真题）霞霞一家在“世纪家博会”上看中了一款圆形折叠桌。它的桌面是一个直径是2m的圆形，该圆形桌面的周长是( )米，桌面折叠后是一个正方形，这个正方形面积是( )平方米。 【答案】 6.28 2 【思路引导】根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出圆桌的周长。 根据圆内最大正方形的特征，把圆内的这个正方形分成两个完全一样的三角形，这两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据平行四边形的面积＝底×高，把数据代入公式求出这个正方形的面积。 【规范解答】3.14×2＝6.28（米） 2×（2÷2） ＝2×1 ＝2（平方米） 该圆形桌面的周长是6.28米，这个正方形的面积是2平方米。 14．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）固定绳子的一端，沿另一端可以画圆，要画一个周长25.12米的圆，需要( )米的绳子。 【答案】4 【思路引导】由题意可知，绳子的长就是圆的半径，根据圆的周长公式的逆运算，用周长除以圆周率再除以2，即可得解。 【规范解答】 （米） 固定绳子的一端，沿另一端可以画圆，要画一个周长25.12米的圆，需要4米的绳子。 15．（2024·湖南怀化·小升初真题）如图所示，圆中的三个正方形（涂色部分）A、B、C的边长分别是1厘米、2厘米、3厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】56.52 【思路引导】 如图，将大正方形平均分成4个等腰直角三角形，直角三角形的两直角边可以看作底和高，且都等于圆的半径。大正方形的边长为（1＋2＋3）厘米，正方形面积＝边长×边长，用大正方形的面积除以4，得到一个等腰直角三角形的面积，三角形的面积×2＝底×高＝半径的平方，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，即可求出圆的面积。 【规范解答】1＋2＋3＝6（厘米） 6×6＝36（平方厘米） 36÷4＝9（平方厘米） 9×2＝18（平方厘米） 3.14×18＝56.52（平方厘米） 圆的面积是56.52平方厘米。 【考点剖析】解答本题需灵活利用正方形和三角形面积公式确定半径的平方，进而求出圆面积。 16．（24-25六年级上·重庆渝北·期末）在正方形中画一个最大的圆，正方形周长与圆的周长的比是。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，设正方形边长为1，则圆的直径也为1，根据正方形周长公式：周长＝边长×4，圆的周长公式：周长＝π×直径，分别求出正方形周长和圆的周长，再根据比的意义，用正方形周长∶圆的周长，即可解答。 【规范解答】设正方形边长为1，则圆的直径为1。 （1×4）∶（π×1）＝4∶π 在正方形中画一个最大的圆，正方形周长与圆的周长的比是4∶π。 原题干说法正确。 故答案为：√ 17．（24-25六年级上·湖南长沙·期末）求阴影部分面积。（π取3.14） 【答案】17.12cm2 【思路引导】根据图示，阴影部分的面积等于半径是8÷2＝4（cm）的圆面积的一半，减去底是8÷2＝4（cm），高是8÷2＝4（cm）的三角形的面积，根据圆的面积＝πr2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据解答即可。 【规范解答】8÷2＝4（cm） 3.14×42÷2－4×4÷2 ＝3.14×16÷2－4×4÷2 ＝25.12－8 ＝17.12（cm2） 阴影部分面积是17.12cm2。 18．（24-25六年级上·湖南怀化·期末）为提升城市品质，打造宜居环境，某市政府用一块面积约为3公顷的地建造了一个公园，并在公园中心挖了一个直径为100米的圆形人工湖。 （1）为了保证安全，要在人工湖的外围安装防护栏，至少需要安装多长的防护栏？ （2）若沿湖边铺设一条宽为2米的圆环形鹅卵石小路，每平方米小路大约需要鹅卵石50千克，铺设这条小路大约需要多少千克鹅卵石？ 【答案】（1）米 （2）千克 【思路引导】（1）求防护栏的长度就是求这个圆形人工湖的周长，根据圆的周长＝，代入数据计算即可。 （2）先根据圆环的面积＝，小圆的半径r是人工湖的半径，大圆的半径R＝小圆的半径＋鹅卵石路的宽度，代入数据计算，再乘50即可。 【规范解答】（1）（米） 答： 至少需要安装314米长的防护栏。 （2）r：（米） R：（米） （平方米） （千克） 答：铺设这条小路大约需要32028千克。 19．（23-24六年级上·全国·单元测试）如图：（1）是一个直径是12厘米的半圆，AB是直径。如图（2）所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点。请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】75.36平方厘米 【思路引导】阴影部分的面积等于整个图形的面积减去半圆的面积，整个图形的面积等于一个半圆的面积加上一个圆心角为60°的扇形的面积，所以阴影部分的面积等于圆心角为60°的扇形的面积，这个扇形的半径等于半圆的直径，即。12厘米 【规范解答】 ＝ ＝75.36（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是75.36平方厘米。 【考点剖析】本题考查了不规则图形的面积的计算方法，把不规则图形转化为规则图形来计算是常用的方法。 20．（24-25六年级上·全国·单元测试）大正方形的面积为400cm2，被平均分成4个相同的小正方形，请依次求出每个小正方形内阴影部分的面积S1、S2、S3、S4（π取3.14）。 【答案】S1是21.5cm2；S2是28.5cm2；S3是57cm2；S4是28.5cm2 【思路引导】根据题意，大正方形被平均分成了4个相同的小正方形，那么每个小正方形的面积是400÷4＝100cm2；根据正方形的面积S＝a2，确定小正方形的边长，同时也是圆的半径。 S1的面积＝小正方形的面积－圆的面积； S2的面积＝圆的面积－等腰直角三角形的面积； S3的面积＝（圆的面积－等腰直角三角形的面积）×2； 先把S4画对角线弧形平移一下，发现跟S2一样的，即S4的面积＝S2的面积＝圆的面积－等腰直角三角形的面积； 以上根据圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S＝ah×，代入数据计算求出各阴影部分的面积。 【规范解答】400÷4＝100（cm2） 因为100＝10×10，所以每一个小正方形的边长为10cm，圆半径也是10cm。 S1＝10×10－×3.14×102 ＝10×10－×3.14×100 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） S2＝×3.14×102－×10×10 ＝×3.14×100－×10×10 ＝78.5－50 ＝28.5（cm2） S3＝（×3.14×102－×10×10）×2 ＝（×3.14×100－×10×10）×2 ＝（78.5－50）×2 ＝28.5×2 ＝57（cm2） S4画对角线弧形平移一下发现跟S2一样的： S4＝S2＝28.5（cm2） 答：每个小正方形内阴影部分的面积S1是21.5cm2，S2是28.5cm2， S3是57cm2，S4是28.5cm2。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$