25 二次函数的综合问题-【鹰击道道清】2025年天津中考数学冲关模拟分类

在Rt△D'OE中， DE=20D'=20D=1, OE=√OD-DE √2-1=√3， ∴.点D的坐标为（√3,1） 图② ,D'F⊥OB,D'E⊥OA,OB⊥OA, ∴.四边形OFDE是矩形， .OF=DE=1,FD'=OE=3, ∴.BF=OB-OF=6-1=5, ∴.BD=√BF+FD=√52+(W3)2=2√7. (3)△ABP面积的最小值为号 25二次函数的综合问题 第一部分通关“中考真题” 1.解：(1)，抛物线y=x2+mx-2m经过点A(1,0), ,.0=1十m一2m,解得m=1. ∴.抛物线的解析式为y=x2十x一2. “y=r+x-2=(+2》'-是， 小顶点P的坐标为（一合一》 (2)抛物线y=x2十mx一2m的顶点P的坐标为 (受m） 由点A(1,0)在x轴正半轴上，点P在x轴下方， ∠AOP=45°，知点P在第四象限。 如图①，过点P作PQ⊥x轴于点Q,则∠POQ ∠OPQ=45° 可知PQ=OQ,即心十8m=一空，解得m=0, 4 2=-10. 当m=0时，点P不在第四象限，舍去 m=-10. .抛物线的解析式为y=x2一10x十20. 图① 图② ·66 (3)由y=x2十mx一2m=(x-2)m十x2可知， 当x=2时，无论m取何值，y都等于4， 得点H的坐标为(2,4). 如图②，过点A作AD⊥AH,交射线HP于点D, 分别过点D,H作x轴的垂线，垂足分别为点E, G,则∠DEA=∠AGH=90°. '∠DAH=90°，∠AHD=45°， ∠ADH=45°，.AH=AD :∠DAE+∠HAG=∠AHG+∠HAG=90°， ∴·∠DAE=∠AHG,∴.△ADE≌△HAG, ∴.DE=AG=1,AE=HG=4, 可得点D的坐标为(-3,1)或(5，一1). ①当点D的坐标为（一3,1）时， 可得直线DH的解析式为y一号x+兰 “点P(-受-8）)在直线y=号+普上， -m8m=号×(-）)+ 4 解得m=一4，网=一兰 当m=一4时，点P与点H重合，不符合题意，舍 去心m=- 5 ②当点D的坐标为(5，一1)时， 可得直线DH的解析式为y=一号z+号 3 :点P(-受，-m牛8m)在直线y=- 4 3x+ 4-m牛8m=-号×(-》+号 解得m1=二4（舍），m:=一3.·m二-22 31 综上所述，m=-14或m=-2 6 31 故指物线的解析式为y一一兰x十得或y一 22144 3x+3 2.解：(1)，抛物线y=x2-bx十c经过点A(-1,0), .1+b十c=0,即c=-b-1. 当b=2时，y=x2-2x-3=(x-1)3-4, .抛物线的顶点坐标为(1，一4). (2)由(1)知，抛物线的解析式为y=x2一bx一b-1, :点D(b,yD)在抛物线y=x2-bx-b-1上， .yn=b2-b·b-b-1=-b-1. 由6>0，得6>名>0，-b-1<0, ∴.点D(b,一b一1)在第四象限，且在抛物线对称 轴直线工=名的右侧. 如图①，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E,则点 E(b,0), .AE=b十1，DE=b+1,得AE=DE, ∴.在Rt△ADE中，∠ADE=∠DAE=45, ∴AD=√2AE. 由已知AM=AD,m=5, ∴.5-(-1)=√2(b+1),∴b=3√2-1. (3):点Q6+?y%)在抛物线y=2-bx-b 1上， 如-(6+2》”-66+2）-6-1=-名-是 可知点Q6+2,-名-名)在第四象限，且在直 线x=b的右侧. 2AM+2QM=2(号AM+QM), .可取点N(0,1), 如图②，过点Q作直线AN的垂线，垂足为点G, QG与x轴相交于点M, 由∠GAM=46,得号AM=GM,则此时点M满足 题意. 过点Q作QH⊥x轴于点H, 则点H6+20): 在Rt△MQH中，可知∠QMH=∠MQH=45°， ∴.QH=MH,QM=√2MH. 点M(m,0), 0-(-名-)=(+2)-m, 解得m=名一子 ZAM+2QM-33 4 ·67 [(名-)-(-1D]+2[(+) (-)]-382,6=4 图① 图② 3.解：(1)当a=1,m=一3时，抛物线的解析式为 y=x2+bx-3. 抛物线经过点A(1,0), ∴.0=1十b-3,解得b=2. .抛物线的解析式为y=x2+2x一3. y=x2+2x-3=(x+1)2-4, ∴抛物线的顶点坐标为（一1，一4）. (2)①，抛物线y=ax2十bx十m经过点A(1,0)和 M(m,0),m<0, .0=a+b+m,0=am2+bm+m, 即am十b+1=0,a=1,b=-m-1. ∴.抛物线的解析式为y=x2一(m十1)x十m. 根据题意，得点C(0,m),点E(m十1，m), 如图，过点A作AH⊥I于点H, 由点A(1,0),得点H(1,m). 在Rt△EAH中， EH-1-(m+1)=-m, HA=0-m=一m, ∴.AE=EH+HA=-√2m. AE=EF=22, ∴.-√2m=2√2，解得m=-2. 此时，点E(-1,一2)，点C(0,-2),有EC=1. ,点F在y轴上， ∴.在Rt△EFC中，CF=√EF-EC=√7. ∴点F的坐标为(0，-2-√7)或(0，-2十√7). ②由N是EF的中点，连接CN,CM,得CN= 吉EF=E 根据题意，点N在以点C为圆心、√2为半径的 圆上， 由点M(m,0),点C(0,m),得MO=-m,CO= 一m, ∴.在Rt△MCO中，MC=√MO+CO=-√2m. 当MC≥≥√2，即m≤一1时，满足条件的点N在线 段MC上. MN的最小值为MC-NC=-区m-反-=受，解 得m一 当MC<√2，即一1<m<0时，满足条件的点N落 在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC MC=E-(一Em)-号，解得m=一安 :当m的值为一多或-之时，MN的最小值 是要 4.解：抛物线y=a.x2-2ax十c(a,c为常数，a≠0)经 过点C(0,-1),则c=-1. (1)当a=1时，抛物线的解析式为y=x2一2x 1=(x-1)2-2, 故抛物线的顶点坐标为(1，一2). (2)y=ax2-2a.x-1=a(x-1)2-a-1, 故点D(1,-a-1), 由DE=2√2DC得DE2=8CD, 即(0-1)2+(a+1+a+1)2=8[(1-0)2+(-a 1+1)2], 解得a=2或a= 故抛物线的解析式为)一-一1或)一受 3x-1. (3)将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位 得到点D(-2,一a), 作点F关于x轴的对称点F',则点F的坐标为 (0,a-1), 当满足条件的点M落 D' 在FD'上时，如图，由 图象的平移知DN= D'M,故此时FM+ND 68 最小，即FM+ND=FM+D'M=FD'为最小， 即FD'=2√10. 则FD2=FH+DH=(1-2a)2+4=(2√10)2， 解得a=名（合去）或a=一是 则点D,F的坐标分别为(-2，)，(0，-) 由点D',F的坐标，得直线DF'的解析式为y= 7 一3x-2' 当y=0时y=-3江一名-0，解得x=一名=m, 则m+3=君 即点M的坐标为（一名，0），点N的坐标为岩，-， 5.解：(1)①若b=-2,c=一3， 则抛物线y=ax2十bx十c=ax2一2x一3， ,抛物线y=ax2+bx十c与x轴相交于点A(一1,0)， ∴.a十2一3=0，解得a=1, ∴.抛物线的解析式为y=x2一2x-3=(x一1)2-4， .顶点P的坐标为(1，-4). ②当y=0时，x2-2x-3=0, 解得x1=一1，x2=3. .B(3,0). 设直线BP的解析式为y=kx十n(k≠O), ,3k十n=0, k=2, 解得 k+n=-4,1 n=-6. ∴，直线BP的解析式为y=2x一6. ,直线x=m(m是常数，1<n<3)与抛物线相交 于点M,与BP相交于点G, 则点M(m,m2-2m-3),G(m,2m-6), .MG=2m-6-(m2-2m-3)=-m2+4m-3= -(m-2)2+1, .当m=2时，MG取得最大值1， 此时，点M2,一3)，G(2,-2). (2)抛物线y=ax2十b.x十c与x轴相交于点 A(-1,0), .a-b+c=0. 又3b=2c, ∴.b=-2a,c=-3a(a>0), .抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3a, .y=ax2-2ax-3a=a(x1)2-4a, ∴.顶点P的坐标为(1，一4a). 直线x=2与抛物线相交于点N, ∴.点N的坐标为(2，-3a). 如图，作点P关于y轴的对 称点P',作点N关于x轴 的对称点N', 得点P的坐标为（一1， 一4a),点N的坐标为 (2,3a), 当满足条件的点E,F落在直线P'N'上时，PF+ FE+EN取得最小值，此时，PF+FE十EN= P'N'=5. 延长P'P与直线x=2相交于点H,则PH⊥ N'H. 在Rt△P'HN'中，P'H=3,HN'=3a-(-4a)= 7a. ∴.p'N2=p'H+N'H2=9+49a2=25, 解得a1=号a=一号（舍）. “点P的坐标为(-1，-)，点N的坐标为 (2.) 直线P'N的解新析式为y=号x-引 20 ∴点E(号，0)，点F(o,-》 6.解：(1)①由b=一2，c=3,得抛物线的解析式为 y=-x2-2x+3. y=-x2-2x十3=-(x+1)2+4, ∴点P的坐标为(-1,4). 当y=0时，-x2-2x+3=0, 解得x1=-3,x2=1. 又点A在点B的左侧， ∴点A的坐标为(3,0) ②如图①，过点M作ME⊥x轴于点E,与直线 AC相交于点F. 点A(-3,0),点C(0,3), .OA=OC,可得Rt△AOC中，∠OAC=45. ∴.在Rt△AEF中，EF=AE. 抛物线y=一x2一2x十3上的点M的横坐标为 ·69 m,其中-3<m<一1， .点M(m,-m2-2m+3), 点E(m,0). 得EF=AE=m-(一3)= m+3,即点F(m,m十3). ∴.FM=(-m2-2m十3)一 (m十3)=-m2-3m. 图① 在Rt△FMN中，可得∠MFN=45°. '.FM=√2MN. 又MN=√2，∴.FM=2, 即-m2-3m=2,解得m1=一2，m2=一1（舍）. .点M的坐标为（一2,3）. (2),点A(-c,0)在抛物线y=-x2十bx十c上， 其中c>1, .-c2-bc十c=0,解得b=1-c. .抛物线的解析式为y=一x2十(1一c)x十c. 则点M(m,一m2+(1一c)m十c),其中一c<m< 1-c 2 “y=-x+(1-c)z+e=-(x-2)'+ a+c), 4 ∴顶点P的坐标为(2,1中)，对称轴为直 线x-号号 如图②，过点M作MQ⊥l于点Q, 则∠MQP=90°， 点Q2,-m+1-c)m+: 由MP∥AC,得∠PMQ=45°，于是MQ=QP, 2-m=14e-[-m+1-6m+ 4 即(c+2m)2=1, 解得c1=-2m-1,c2=-2m十1（舍）. 同(1)，过点M作ME⊥x轴于点E,与直线AC相 交于点F, 则点E(m,0),点F(m,一m-1),点M(m,m-1). AN +3MN AF FN+3MN=/2 EF+ 22FM=9√2， ∴√2(-m-1)+2W2(m2-1+m+1)=92, 即2m2+m-10=0, 解得m1=一 5 m:=2(舍). 点M的坐标为(-受， 》. 7.解：(1)，2a十b=0,a=1, 图② ∴.b=-2a=-2. 又c=-1, .该抛物线的解析式为y=x2一2x一1. :y=x2-2x-1=(x-1)2-2, .该抛物线顶点P的坐标为(1，一2) (2)如图①，过点M(m,1)作 MH⊥x轴，垂足为点H,m>1, 则∠MHO=90°， HM=1,OH=m. 在Rt△MOH中， 图① 由HM+OF=Or,OM=空，得1+m= (),解得m=名m=一（舍)。 3 “点M的坐标为（受，）： 2a+b=0, b=-2a,即-名-1 .抛物线y=ax2一2ax十c的对称轴为直线x=1. ,对称轴与x轴相交于点D, ∴.OD=1,∠ODP=90. 在Rt△OPD中， 由OD+PD=0P,OP=罗，得1+PD (空)，解得PD=号（负值已舍去）. 由>0，得该抛物线顶点P的坐标为(1，-) ∴该抛物线的解析式为y=a(红-1-是 :点M号，1)在该抛物线上， 1=a(-1)°-a=10, (3)如图②，过点M(m,1)作MH⊥x轴，垂足为点 7 H,m>1, 则∠MHO=90°，HM=1, OH=m. ..DH=OH-OD=m-1. ∴.在Rt△DMH中， DM=DH+HM=(m- 1)2+1. 过点N作NK⊥x轴，垂足 图② 为点K, 则∠DKN=90. ,∠MDN=90°， ∴.∠DNK=90°-∠NDK=∠MDH, 又DM=DN,∠DKN=∠MHD=90°， '.△NDK≌△DMH, ..DK=MH=1,NK=DH=m-1, .点N的坐标为(2,1一m). 在Rt△DMN中，∠DMN=∠DNM=45, MN=DMP+DN=2DMf,即MN=√2DM 根据题意，NE+NF=√2DM,MN=ME+NE,得 ME=NF. 在△DMN的外部，作∠DNG=∠DME=45°，且 NG=DM,连接GF, 得∠MNG=∠DNM+∠DNG=90 ∴.△GNF≌△DME. ∴GF=DE ∴.DE+MF=GF+MF≥GM. 当满足条件的点F落在线段GM上时，DE十MF 取得最小值，即GM=√I5. 在Rt△GMN中，GMP=NG+MN=3DMP, ∴.（√15）2=3DM,.DMP=5. .(m-1)2+1=5,解得m1=3,m2=一1（舍）. ∴.点M的坐标为(3,1)，点N的坐标为(2，一2) 点M(3,1),N(2,-2)都在抛物线y=ax2- 2ax十c上， ∴.1=9a-6a+c,-2=4a-4a+c, .a=1. 第二部分详练“模拟原题” A组 1.解：(1)抛物线y=一x2十bx+c经过点C(0,2), 对称轴为直线x= .1 2, c=2, b 1一2×(-1) =-2 fb=一1， 解得 c=2, y=--x+2=-(x+2)+, P(-) 令y=0,得-x2-x十2=0， 解得x1=-2,xg=1. 又：点A在点B的左侧，.A(一2,0). (2)如图①，当点D在y轴正半轴上时， :△ABD沿AD所在直线翻 折得到△ABD, ..AB'=AB=3. 设对称轴直线x=一 P 与 H:O 图① x轴交于点H, 则H(-名o,AH=2, 在R△AHB中，o∠HAB=铝-号， .∠HAB=60°，则∠HAD=30° 在Rt△AD0中，DO=AO·tan∠HAD=2y3 3 ∴点D的坐标为0,2y)】 同理，当点D在y轴负半轴上时，点D的坐标为 (o,-29 综上，点D的坐标为0,2)或(0，-2) (3)由(1)知C(0,2),A(-2,0),B(1,0)得BC= √5， 设直线AC的解析式为y=kx十b,则有 0=-2k+b', 2=6, b=2, 解得 k=1. 故直线AC的解析式为y=x+2. 71 同理，直线BC的解析式为y=一2x十2. 如图②，点M在抛物线上 且在直线y=c(即y=2) 上方，设点M的横坐标 为m, 则M(m,一m2一m十2)， 图② -1<m<0, ,MN⊥AC,.直线MN的解析式为y=一x m2+2. y=-x-m2+2, MN交BC于点N,.联立得 y=-2x+2, 得N(m2,-2m2+2), .Q(0,-2m2+2),有MN-2√2QN =√(m2-m)+[(-2m2+2)-(-m2-m+2)] -2√2m =√2(m2-m)-2√2m2 =-√2m2-√2m =-(m+2》广+9。 即当m=一 时，MN-2EQN有最大值号， 即当m=一 号时，CB-MN+2,EQN有最小值 5- 2.解：(1)当m=1时，抛物线的解析式为y=一x2+ 2x+c. ,抛物线与x轴交于点A(一1,0)， ∴.0=-1-2+c,得c=3. ∴.抛物线的解析式为y=一x2十2x十3. y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴抛物线的顶点坐标为(1,4). (2):抛物线y=一x2十2mx十c与x轴交于点 A(-1,0), .0=-1-2m+c,得c=1+2m. .抛物线的解析式为y=一x2十2mx+1十2m. 可得抛物线的对称轴为直线x=m,C(0,1+2m), Mm,2）: 由对称性可知，点B的坐标为(2m十1,0). MB=+(m+1)2,MC=m2+(2m+2)）', .MB=MC, }+(m+1)2=m2+(2m+号)月， 解得m=号，m=一（合）。 抛物线的解析式为y=一x2十x十2. (3)点C(0,1+2m),点P(W3m,1-m), 得直线CP的解析式为y=一√3x+1十2m. 设直线CP与抛物线的对称轴相交于点T,则 T(m,2m-√3m十1). 如图，作点D关于直线1的对称点D', 则D'(m,2-2m),∴.TD'=4m-√3m-1. 过点D作DN⊥CP,垂足为点N,与直线I相交 于点Q,连接DQ, D'Y 此时DQ十QN=D'Q十QN=D'N取得最小值，即 D'N=10-33 4 在Rt△CEP中，PE=√3m,CE=3m, 由1an∠PCE=器-9，得∠PCE=30 在Rt△TD'N中，∠DTN=30°， 有DN=号TD, ÷24m-5m-1）-10-38, 4 解得m一是 3.解：1)当6=-2时，y=2-2x-5=子(x 4)2-9, ∴.抛物线的顶点坐标为(4，一9). (2)①在y=2+6x+26-1中，当x=0时y 2b-1, ∴.点C的坐标为(0,2b-1). ·72 在y=寻2+6x+26-1中，当y=0时石=-2， x2=2-4b, :点C在y轴负半轴上， 26-1<0,即6<2 ∴.2-4b>0. :点A在点B的左侧， .点B的坐标为(2-4b,0). ,点M的坐标为(0,2)，点C(0,2b-1)在y轴负 半轴上， ∴.MC=2-(2b-1)=3-2b. 在Rt△BOM中，由勾股定理，得 MB2=(2-4b)2+22=(2-4b)2+4. 'MB=MC,即MB2=MC, .(2-4b)2+4=(3-2b)2, 解得6名或6-一合 又6<分 6言 ②由①知点A(-2,0),B(-4b+2,0),C(0, 2b-1), :点M是y轴上一点，点N为BM的中点， ∴.随着点M的运动，点N的运动轨迹为直线x= -2b+1. 如图，作点A关于直线x=一2b+1的对称点A', 连接A'C交直线x=-2b+1于点N',则AN= A'N,此时AN+CN=A'N+CN≥A'C,即 AN+CN的最小值为A'C,即A'C=13. 由对称的性质可知，点A'的坐标为（一4b十4,0）， ,点C在y轴负半轴上，.OC=1-2b, 在Rt△A'OC中，A'C2=OC2+OA2, 即132=(1-2b)2+(-4b+4)2, 解得6=-2或6-号 b< .1 26=-2. [a+b+4=0, 4.解：(1)由题意得 16a+4b+4=0, a=1, 解得 b=-5. .该抛物线的解析式为y=x2一5x十4. (2)如图①，当x=0时，y=4, M .点C(0,4), 图③ ∴.OC=4. ∠MDB=∠DBO,∴.DE=BE. 设E(t,0),则DE=BE=4一t 在Rt△OED中，DE=OE+OD, ∴.(4-)2=2+4， 解得1=是E(受0) 设直线DE的解析式为y=k1x十b1. 图① 2+6=0. 设直线BC的解析式为y=kx十4，将点B(4,0), b=2, 代入得0=4k+4, 解得k=一1. 解得 b1=2, .直线BC的解析式为y=一x十4. 由题意知M(m,m2-5m十4)，点N(m,一m+4), 直线DE的解析式为y=一3x+2, 4 ∴.MN=-m2+4m. 3m+2=m2-5m+4, MN=OC,.-m2+4m=4, 解得m=2. 2 解得m=3或m=3 点M的坐标为(2，一2). (3)D为OC的中点，C(0,4),.D(0,2). 当m=3时=-音×3+2=-2 ①当点M在DB上方时，如图②， 当m-号时y=-青×号+2- 9, 点M的坐标为3，-2)或（号，智）， 综上所述，点M的坐标为(3，一2)或（号，9）或 (+2)(2. 图② B组 :∠MDB=∠DBO,∴.DM∥OB. 5.解：(1)B(2,0),.OB=2, OB=OC,..OC=2. 由m-5m+4=2,解得m=5±√☑ 2 ,a>0,∴抛物线开口向上 又，抛物线与x轴有两个交点，对称轴为直线 点M的坐标为(+厘2)或，2) x=-1, ②当点M在DB下方时，如图③，设DM与x轴 ∴·点C在y轴的负半轴上， 交于点E, .C(0,-2),.抛物线y=ax2+bx-2. ·73· 抛物线的对称轴为直线x=一1，与x轴交于点 SAAEF= 95am=2×6X4=12 B(2,0), b 2a 解得 -（》， 4a+2b-2=0, 6= 2 能景 抛物线的解析式为y=4x+2x一2， ,EF∥CG,.△AHF∽△AOG, (2),抛物线的对称轴为直线x=一1，与x轴交 铝能 于点A和点B(2,0), 点A的坐标为（一4,0）. 即-号 设直线AC的解析式为y=kx十t, 把A(-4,0),C(0,-2)代入得， AH-5 0=-4k+t, -2=t, 六0H=4-8=4 3=3’ 1 解得 k=一2 “点P的横坐标为一子 t=-2, 把x=-代入y=+2x-2得，y=× “直线AC的解析式为y=一2z一2. 同理可得直线BC的解析式为y=x一2. (-)》‘+2×(-)-2=-0, 根据题意，画图象如图①， ∴点P的坐标为(-音，-》。 ⊥x2+2x-2 (3)存在点D广的坐标为（受，一是）该（中9， 45十95)时，△DDM为等腰三角形. 16 4 56x 点D是抛物线的顶点， D(-1,-） 图① ,将抛物线沿着射线AC平移，点D的对应点 ,AF∥BC, 为D, .设直线AF的解析式为y=x十n,把A(一4,0) .DD'∥AC 代人得，0=一4十n, 设直线DD的解析式为y=一乞x十m, 1 .n=4, 直线AF的解析式为y=x十4. 把D(-1,-号)代入得，-号=-合×(-1D+m, 设直线AF与y轴的交点为G,则G(0,4) ∴.CG=4-(-2)=6. 4 PH⊥x轴， ∴.EF∥CG, 直线DD的解析式为y=--具. .△AEF∽△ACG, 如图②，过点D作DN⊥D'M于点N,则MN= 9 ·74· G +x-2 4方6 图② 当DN=MN=是，即DM=号时，△DD'M为等 腰三角形，此时点D的纵坐标为一号， 把y=-号代入y=一-得， 解得x=2' 7 D(-） 当DD=DM时，设D'(,-名-)， 则M(s,0), (+10+(-2-+)=(--) s=1g5(會去)或=1+95， 8 8 ∴D(1+95,-45+9 8 16 当MD=MD时， 有s+1)+()=(-3-)》, “=2或=-1（合去），D(2,-15), 综上，点D的坐标为(3-号)或(2，-)或 (1+95,-45+95)时，△DDM为等腰三 8 16 角形 6.解：(1)把B(3,0),C(0,-3)代人y=ax2-2x+c, f9a-6+c=0,. a=1, 得 解得 =-3, c=-3, ∴.y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .抛物线的顶点坐标为(1，一4) ·75 (2)①当AP最短时，AP⊥BC,连接AC,过点P 作PE⊥AB于点E,如图①， 图① ,抛物线y=x2一2x一3与x轴交于A,B两点， ∴.令y=0,则x2-2x-3=0, 解得x1=一1，x2=3, .A(-1,0),∴.AB=4,0A=1. C(0,-3), ∴.BC=√32+3=3√2，OC=3. :Sam=号BC·AP=2AB·0C, ∴BC·AP=AB·OC,即3√2AP=4X3, ∴AP=2√2 ,AP⊥BC,PE⊥AB, .∠AEP=∠APB=90 :∠PAE=∠BAP, ∴.△APEn△ABP, 铝-器AP=ABAE, ∴.(2√2)2=4AE,.AE=2, ..OE=AE-OA=1. 在R△APE中，由勾股定理，得 PE=√AP-AE=2, .P(1,-2). ②如图②，过点Q作QH∥BC交x轴于点H,交 y轴于点G, 图②鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 中中多 25二次函数的综合问题 g第一部分通关“中考真题”) 2.(2019·天津中考)已知抛物线y=x2一 1.(2018·天津中考)在平面直角坐标系中，点 bx+c(b,c为常数，b>0)经过点A(一1,0)， O(0,0),点A(1,0).已知抛物线y=x2+ 点M(m,0)是x轴正半轴上的动点. mx一2m(m是常数)，顶点为P. (1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标； (1)当抛物线经过点A时，求顶点P的 (2)点D(b,yD)在抛物线上，当AM=AD, 坐标： m=5时，求b的值； (2)若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时， (3)点Q6+2a)在抛物线上，当2AM+ 求抛物线的解析式： (3)无论m取何值，该抛物线都经过定点 2QM的最小值为3，时，求b的值。 H,当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式 ·132· 6】 25二次函数的综合问题父C。 岳名 3.(2020·天津中考)已知点A(1,0)是抛物线 4.(2021·天津中考)已知抛物线y=ax2一 y=ax2十bx十m(a,b,m为常数，a≠0，m< 2ax十c(a,c为常数，a≠0)经过点C(0,一1)， 0)与x轴的一个交点， 顶点为D (1)当a=-1,m=一3时，求该抛物线的顶点 (1)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标； 坐标； (2)当a>0时，点E(0,1+a),若DE= (2)若抛物线与x轴的另一个交点为M(m, 2√2DC,求该抛物线的解析式； 0),与y轴的交点为C,过点C作直线l平 (3)当a<一1时，点F(0,1一a),过点C作 行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴 直线I平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动 上的动点，EF=2√2. 点，N(m十3，一1)是直线l上的动点，当a ①当点E落在抛物线上（不与点C重合）， 为何值时，FM+DN的最小值为2√/10，并 且AE=EF时，求点F的坐标： 求此时点M,N的坐标. ②取EF的中点N,当m为何值时，MN的 最小值是号？ ·133· 少鹰击道道清中考冲关模拟分类数学 中中居 5.(2022·天津中考)已知抛物线y=ax2十 6.(2023·天津中考)已知抛物线y=一x2十 bx十c(a,b,c是常数，a>0)的顶点为P,与 bx十c(b,c为常数，c>1)的顶点为P,与 x轴相交于点A(一1,0)和点B. x轴相交于A,B两点（点A在点B的左 (1)若b=-2,c=-3: 侧)，与y轴相交于点C,抛物线上的点M ①求点P的坐标； 的横坐标为m,且一c<m<名，过点M作 ②直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物 线相交于点M,与BP相交于点G,当MG MN⊥AC,垂足为点N. 取得最大值时，求点M,G的坐标。 (1)若b=-2,c=3: (2)若3b=2c,直线x=2与抛物线相交于 ①求点P和点A的坐标： 点N,E是x轴的正半轴上的动点，F是 ②当MN=√2时，求点M的坐标. y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN (2)若点A的坐标为（一c,0),且MP∥AC, 的最小值为5时，求点E,F的坐标。 当AN+3MN=9√2时，求点M的坐标. ·134· 6 25二次函数的综合问题父心 岳岳名 7.(2024·天津中考)已知抛物线y=ax2十 第二部分详练“模拟原题”) bx十c(a,b,c为常数，a>0)的顶点为P,且 A组 2a十b=0,对称轴与x轴相交于点D,点 1.(2024·河北一模)已知抛物线y=一x2十 M(m,1)在抛物线上，m>1,O为坐标原点. bx十c,与x轴相交于A,B两点（点A在点 (1)当a=1,c=-1时，求该抛物线顶点P B的左侧)，与y轴相交于点C,若点C的坐 的坐标； 标为0,2)，对称轴为直线x=一2 (2)当OM=OP=时，求a的值， (1)求抛物线顶点P和点A的坐标； (3)若N是抛物线上的点，且点N在第四 (2)点D为y轴上一点，连接AD,BD,若将 象限，∠MDN=90°，DM=DN,点E在线 △ABD沿AD所在直线翻折，点B的对应 段MN上，点F在线段DN上，NE+NF= 点B'恰好落在抛物线的对称轴上，求点D 2DM,当DE+MF的最小值为√I5时，求 的坐标； a的值. (3)抛物线上点M在直线y=c上方，过M 作AC的垂线交线段BC于点N,过点N向 y轴作垂线，垂足为点Q,求CB一MN+ 2√2QN的最小值 ·135· ) 少鹰击道道清中考冲关模拟分类数学 中中居 2.(2024·滨海一模)已知抛物线y=一x2十 3.(2024·河西二模)已知抛物线y=2十 2mx十c(m,c为常数，且m>0),与x轴交 于点A(-1,0),B两点，与y轴相交于 bx+2b一1(b为常数)与x轴相交于A,B 点C 两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴 (1)当m=1时，求抛物线的顶点坐标； 交于点C. (2)点M为抛物线对称轴上一点，点M的 (1)当b=一2时，求抛物线的顶点坐标： (2)若点M是y轴上一点，连接BM,点N 纵坐标为2，若MB=MC,求抛物线的解 是BM的中点，连接CN. 析式； ①当点M的坐标为(0,2)，且MB=MC时， (3)当m>1时，抛物线的对称轴与x轴交 求b的值； 于点D,过点P(3m,1一m)作直线L垂直 ②当AN十CN的最小值是13时，求b 于y轴，垂足为点E,Q为直线l上一动点， 的值。 N为线段CP上一动点，当DQ十QN的最 小值为1035时，求m的值 ·136· 6 25二次函数的综合问题父心 岳岳名 4.(2024·红桥二模)已知抛物线y=ax2十 B组 bx十4(a,b为常数，a≠0)经过点A(1,0)和 5.（2024·滨海二模)已知抛物线y=ax2十 点B(4,0),与y轴相交于点C,M为抛物线 bx十c(a,b,c为常数，a>0),对称轴为直线 上横坐标为m的点。 x=-1,与x轴交于点A和点B(2,0),与 (1)求该抛物线的解析式； y轴交于点C,且OB=OC,连接AC (2)当1<m<4时，过点M作x轴的垂线 (1)求抛物线的解析式； 与BC相交于点N,若MN=OC,求点M的 (2)点P为直线AC下方抛物线上一点，过 坐标； 点P作PH⊥x轴于点H,交直线AC于点 (3)D为线段OC的中点，当∠MDB= E,过点A作AF∥BC交直线PE于点F, ∠DBO时，求点M的坐标 若Sag9求点P的坐标： (3)点D是抛物线的顶点，将抛物线沿着射 线AC平移，点D的对应点为D',过点D 作D'M⊥x轴于点M,在平移的过程中，是 否存在以DD'为腰的等腰三角形DD'M? 若存在，直接写出点D的坐标；若不存在， 请说明理由 ·137· ) 鹰击道道清中考冲关模拟分类数学 中中居 6.(2024·部分区二模)已知抛物线y=ax2一 7.(2024·河北二模)已知抛物线y=ax2一 2x十c(a,c为常数，a≠0)与x轴交于A,B 2ax十c(a<0)与x轴相交于A,B两点（点 两点，与y轴交于点C,点B的坐标是 A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,过抛 (3,0),点C的坐标为(0，一3) 物线的顶点D作DM⊥x轴于点M,点N (1)求a,c的值及抛物线的顶点坐标： 在y轴正半轴上，∠NMO=60°，点P在抛 (2)点C关于x轴的对称点为D,P为线段 物线上，过点P作x轴的垂线，交x轴于点 BC上的一个动点，连接AP, E,交直线MN于点F ①当AP最短时，求点P的坐标； (1)若a=-1,c=3. ②@若Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ, ①求抛物线的顶点D和点A的坐标： 连接DQ,当3AP+4DQ的值最小时，求 ②若点P在第一象限，过点P作PH垂直 DQ的长 直线MN于点H,PH=√，求点E的 坐标； (2)若c=-3a(a<-1),点P与点C关于 抛物线的对称轴对称，射线PC交直线MN 于点G,当2NC+√3MF=7√3时，求顶点D 的坐标。 ·138· 6为 25二次函数的综合问题父心 岳名 8.(2024·红桥三模)经过原点的抛物线y 9.(2024·河东-模)已知抛物线y=2x十 一x2+2mx(m>0)与x轴的另一个交点为 A,过点P(1,m)作直线PM⊥x轴于点M, bx十c(b,c为常数)，与x轴相交于A,B两 交抛物线于点B,记点B关于抛物线对称轴 点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点 的对称点为点C(点B,C不重合)，连接 C,抛物线的顶点为D. CB,CP. (1)若6=-2，c=-6. (1)当m=3时，求点A的坐标及BC的长； ①求点A和点D的坐标； (2)当m>1时，连接CA,若CA⊥CP,求m ②连接AC并延长交BD的延长线于点E, 的值； 求∠CEB的度数 (3)过点P作PE⊥PC,且PE=PC,当点E (2)若点B的坐标为（一c,0),且c<一1，抛 落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应 物线上的点F的横坐标为m,且一b< 的点E的坐标 m<一c,过点F作FG⊥BC,垂足为点G, 且DF∥BC,当BG十3FG=4√2时，求m 的值 ·139· “鹰击道道清 中考冲关模拟分类数学 中中居 C组 11.(2024·南开二模)已知抛物线y=ax2十 10.(2024·河东二模)已知抛物线y=ax2+ bx十c(其中a,b,c为常数，a<0,c≠0)与 b.x十4(a,b,c为常数，a≠0) x轴交于A,B两点（其中点A在点B的左 (1)若直线l:x=2是抛物线的对称轴，且 侧)，与y轴相交于点C,且点A的坐标为 a=1. (3一c,0),点D(3,c)在抛物线上，连接 ①求抛物线与x轴的交点坐标： AD,过抛物线的顶点E作直线EP∥AD, ②在平面直角坐标系中，点O(0,0),点 EP交抛物线于点P,设点P的横坐标 A(3,3),若动点P在直线OA下方的抛物 为m, 线上，连接PA,PO,当△OPA的面积最大 (1)若c=6,求抛物线的解析式及点E的 时，求点P的坐标 坐标； (2)若b=一6a,抛物线过点B(一2,0)，与 (2)若c=-10a,求a,m的值； y轴交于点C,将点B绕点N(0,n)(n<0) (3)过点P作PQ∥x轴交直线AD于点 顺时针旋转（旋转角小于180）得到点B′， Q,连接BQ,恰有BQ∥y轴，求a,m的值 当点B'恰好落在抛物线上，且满足 (直接写出结果即可). ∠BNB+∠BCB'=180时，求n的值. ·140· 6】 25二次函数的综合问题父（心 岳名 12.(2024·和平一模)已知抛物线C:y= 13.(2024·和平二模)已知抛物线y=一x2 ax2+bx十c(a,b,c是常数，a≠0)的顶点 bx十c(b,c为常数，c>0)的顶点为P,与 为P(一1，一4)，与x轴相交于点A(1,0) x轴相交于A,B两点（点A在点B的左 和点B,与y轴相交于点C,抛物线C1上 侧)，与y轴相交于点C,直线x=m(m是 的点P的横坐标为t. (1)求点B和点C的坐标； 常数，0<m<c且m≠- )与抛物线相交 (2)若点P在直线BC下方的抛物线C, 于点M,与BC相交于点E. 上，过点P作PE⊥x轴，PF⊥y轴，分别 (1)若b=-2,c=3, 与直线BC相交于点E和点F,当EF取 ①求点P和点B的坐标； 得最大值时，求点P的坐标： ②若抛物线的对称轴与BC相交于点D, (3)抛物线C2:y=mx2+2mx-1(m是常 当PD=ME时，求m的值. 数，m≠0)经过点A,若点P在x轴下方的 (2)若点B的坐标为(c,0),过点M作 抛物线C上运动，过点P作PD⊥x轴于 MN⊥BC,垂足为点N,过点N作NF⊥ 点D,与抛物线C2相交于点H,在点P运 x轴，垂足为点F,当直线MN经过点P, 动过程中册的值是香为一个定值？如果 且ME=NF时，求抛物线的解析式 是，请求出此定值；如果不是，请说明理由： ·141·